Zadanie 1 Zadanie 2 Zadanie 3
advertisement
Zadanie 1 Dane są wielomiany , i . Znajdź wielomian Wskazówka To łatwe. Rozwiązanie Uwagi Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem. Zadanie 2 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian . Wskazówka Przykro nam ale to zadanie również nie wymaga wskazówki. Rozwiązanie Uwagi Zadanie 3 Znajdź resztę z dzielenia wielomianu Wskazówka Jakiego stopnia jest reszta? przez wielomian . Rozwiązanie Ponieważ dzielimy przez wielomian drugiego stopnia, reszta jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego . Mamy gdzie jest pewnym wielomianem. Wstawiając do ostatniej równości kolejno i otrzymujemy i . Czyli , . Szukaną resztą jest . Uwagi Jak widać przy znajdowaniu reszty nie jest potrzebna znajomość wyniku dzielenia. Zadanie 4 Znajdź resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian Wskazówka Podstaw . Rozwiązanie Zadanie sprowadza się do dzielenia wielomianu przez wielomian . Reszta z takiego dzielenia jest wielomianem stopnia co najwyżej 0 i wynosi ona Uwagi Zadanie 5 Podziel (z resztą) wielomian Wskazówka przez wielomian . . Rozwiązanie . Uwagi Przypomnieć definicję podzielności wielomianów i twierdzenie Bezoute'a Zadanie 6 Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej. Wskazówka Rozwiązanie Uwagi Przećwiczyć przesuwanie wykresu funkcji! Zadanie 7 Rozwiąż równanie Wskazówka Zamiast wskazówki zakaz: nie wolno wykonywać mnożenia. Rozwiązanie Uwagi Zadanie 8 Znajdź środek symetrii wykresu funkcji Wskazówka Sprowadź wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej Środek symetrii znajduje się w punkcie . (dlaczego?). Rozwiązanie Sprowadzamy wielomian trzeciego stopnia do postaci kanonicznej [Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 914x50] [Error parsing LaTeX formula. Error 6: dimension error: 903x50] Położenie środka symetrii to . Uwagi Zadanie 9 Dla jakich wartości parametru (różne) pierwiastki ujemne. Wskazówka Skorzystaj ze wzorów Viete'a. równanie kwadratowe (na ) ma dwa Rozwiązanie Aby istniały dwa pierwiastki rzeczywiste trójmianu kwadratowego jego wyróżnik musi być dodatni , aby pierwiastki te były ujemne potrzeba i wystarcza by po pierwsze suma pierwiastków była ujemna tzn. po drugie iloczyn pierwiastków był dodatni odpowiedź . Zbierając otrzymane wyniki otrzymujemy . Uwagi Zadanie 10 Wielomian Znajdź wartości następujących wyrażeń: a) b) ma cztery pierwiastki rzeczywiste c) i . Wskazówka Wyprowadź wzory Viete'a dla równania czwartego stopnia. Rozwiązanie Wielomian można przedstawić w postaci iloczynowej . Po wymnożeniu otrzymujemy . Porównując współczynniki otrzymujemy a) Uwagi , b) , c) . Zadanie 11 Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite równania. . Wskazówka Rozwiązań szukamy pośród liczb . Rozwiązanie Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki otrzymujemy . Uwagi Podkreślić należy, że twierdzenia podane na wykładzie dotyczą wielomianów o współczynnikach całkowitych. Ponadto pomimo, że podstawowe twierdzenie algebry zostanie omówione później można już w tym miejscu korzystać z faktu iż wielomian stopnia ma co najwyżej pierwiastków. Zadanie 12 Znajdź wszystkie rozwiązania wymierne równania . Wskazówka Rozwiązań szukamy pośród liczb znalezieniu trzech pierwiastków. . Poszukiwania przerywamy po Rozwiązanie Sprawdzając wszystkie możliwe przypadki otrzymujemy . Uwagi Patrz uwagi do poprzedniego zadania Zadanie 13 Dla funkcji znaleźć zbiór wartości , dla którego . Wskazówka Rozwiązanie Wyróżnik trójmianu kwadratowego musi być ujemny tzn. . Odpowiedź: Uwagi Zadanie 14 Rozwiąż nierówność . Wskazówka Naszkicuj pomocniczy wykresy wielomianu , z uwzględnieniem miejsc zerowych i ich krotności. Rozwiązanie Odpowiedź: . Uwagi Omówić zachowanie asymptotyczne wielomianów. Zadanie 15 Rozwiąż nierówność . Wskazówka Podstaw . Rozwiązanie Podstawienie Ponieważ funkcja daje nierówność , która jest spełniona dla jest rosnąca otrzymujemy wynik . Uwagi .
