1 MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, – fragmenty

MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, ... – fragmenty
1
1.36. Wykaż, że liczba 354 jest rozwiązaniem równania 24311 − 8114 + 7 x = 927 .
( ) − (34 )
1.36. Wskazówka: 24311 − 8114 + 7 ⋅ 354 = 35
11
14
(
)
27
+ 7 ⋅ 354 = 354 3 − 32 + 7 = 35544 = 927
.
2.15. Oblicz, o ile zwiększy się pole kwadratu o boku a, gdy jego
bok zwiększymy o 4. Napisz odpowiedź w postaci wyrażenia i doprowadź je do najprostszej postaci. Oblicz wartość tego wyrażenia,
gdy a = 2 − 1.
2.15. Pole kwadratu zwiększy się o 8a + 1
16
6 , czyli o 8 ( 2 + 1) , gdy a = 2 − 11..
2
Wskazówka: Różnica pól to wyrażenie ( a + 4 ) − a 2 .
3.23. Koszt y (w złotych) wynajęcia lokalu A na imprezę oblicza się z wzoru y = 6000 + 200 x , a koszt y wy-
y = 200 x + 6000
najęcia sali B oblicza się z wzoru y = 5000 + 400 x ,
gdzie x jest liczbą godzin trwania imprezy. Uzasadnij
y = 400 x + 5000
wybór lokalu ze względu na koszty, gdybyś organizował(a) pięciogodzinne spotkanie towarzyskie.
 y = 200 x + 6000
3.23. Interpretacją geometryczną rozwiązania układu równań 
jest punkt
 y = 400 x + 5000
o współrzędnych ( 5, 7000 ) , więc koszt pięciogodzinnego spotkania towarzyskiego jest jednakowy
w obu lokalach i równy 7000
7000 zł.
4.12. Na rysunku przedstawione są wykresy
funkcji f i g. Odczytaj z wykresu rozwiązanie:
a) równania f ( x ) = g ( x ) ,
b) nierówności g ( x ) < 0,
c) nierówności f ( x ) > −1,
d) nierówności f ( x ) ≤ g ( x ).
4.12. a) x1 = −2 , x2 = 4 , b) x ∈ ( −5
−5; 7 , c) x ∈ ( −2; 3) , d) x ∈ −3
−3; − 2 lub x = 4.
4.
2
MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, ... – fragmenty
4.70. Uzasadnij, że jeżeli wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f ( x ) = x 2 + x + c leży w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych, to c <
4.70. Wskazówka: xw = −
1
.
4
1
 1
0.
i f  −  < 0.
2
 2
4.89. Uzupełnij tabelę.
Lp.
Obecna wielkość
populacji
Czas podwojenia populacji
Wielkość populacji po upływie
t godzin
1
1000
20 minut
1000 ⋅ 23t
2
200
2 godziny
...........
3
400
1,5 godziny
...........
4
500
...........
500 ⋅ 20,4t
2
t
t
4.89. 2. populacja 200 ⋅ 2 2 , 3. populacja 400 ⋅ 2 3 , 4. populacja 2,5 godziny.
21. Na wykresie zaznaczono trzy punkty należące do wykresu ciągu
arytmetycznego ( an ) , w którym
A) a1 = −2 i r = 2
B) a1 = −1 i r = 1
C) a1 = 0 i r = 2
D) a1 = 1 i r = 2
21. Odp.: A.
48. Dla jakiej wartości x liczby postaci: sin 60°, sin 45°, x są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego ( bn ) ?
A) sin 60°
B) cos 60°
C) tg 30°
D) tg 45°
48. Odp.: C.
y
6.47. Uwzględnij dane na rysunku i wykaż, że kąt α ma
B = ( 3, 3)
C = ( −1, 3 )
miarę 75°.
1
–1 O
COA ) =
6.47. Wskazówka: tg (  COA
α = 120° −
°
A
3
3
, skąd  COA
COA = 120° i tg  COB
COB = , skąd  COB
COB = 45°,
° , więc
−1
3
3
x
MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, ... – fragmenty
3
7.9. Sprawdź, czy umieszczone na rysunku dane są poprawne. Wskaż błędne dane.
a)
7.9. Wskazówka:
b)
 AOC = 2  ABC = 140° (kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku).
Korzystamy
Korzystamy z własności sumy miar kątów w czworokącie AOCD. b) Odcinek AC jest średnicą okręgu, więc
trójkąty ABC i ADC są prostokątne. Stosując w nich twierdzenie Pitagorasa otrzymamy sprzeczność.
7.72. W równoległoboku ABCD wysokość h1 = 2 cm
i h2 = 4 cm . Obwód L równoległoboku ma długość
48 cm. Oblicz długości boków a i b.
7.72. a = 8,
8, b = 16
16.. Wskazówka: Pole równoległoboku P = aah
h2 lub P = bbhh1, zatem ah2 = bh1.
2a + 2b = L
.
Rozwiązujemy układ równań 
ah2 = bh1
8.45. Na rysunku poniżej czworokąt ABCD jest trapezem.
Uzasadnij, że trójkąty ASD i BSC są przystające.
y
C
7
B
S
4 D
1
0 1
4
A
9 x
8.45. Wskazówka: Trapez jest równoramienny.
S
9.71. Dwa stożki, jeden o wysokości h, a drugi o wysokości 2h sklejono podstawami. Okazało się, że tworzące tych stożków tworzą kąt
prosty. Uzasadnij, że objętość V powstałej bryły określona jest wzorem V = 2π h3 , gdzie r jest promieniem podstaw stożków.
A
1
9.71. Wskazówka: Objętość bryły jest sumą objętości stożków ABS i ABC
ABC,, gdzie VABS = π r 2 h ,
3
1
VABC =
r ⋅
3
r
h
O
2h
B
4
MATURA z matematyki w roku 2015, 2016, ... – fragmenty
10.43. Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych takich, że w ich zapisie
dziesiętnym:
a) występują tylko cyfry nieparzyste lub tylko cyfry parzyste,
b) występuje jedna cyfra nieparzysta i dwie cyfry parzyste,
c) występuje jedna cyfra parzysta i dwie cyfry nieparzyste.
10.43. a) 225, b) 325, c) 350. Wskazówka: a) liczb trzycyfrowych o cyfrach nieparzystych jest 53, liczb
trzycyfrowych o cyfrach parzystych jest 4 ⋅ 52 , zatem wszystkich takich liczb jest 53 + 4 ⋅ 52 ,
b
b)) rozpatrzmy trzy możliwości utworzenia liczb trzycyfrowych:
5
5
wybór
liczby
nieparzystej
(cyfra setek)
(
5
wybór
liczby
parzystej
)
lub
4
5
5
lub
4
5
5
wybór
wybór
wybór
wybór
wybór
wybór
liczby
liczby
liczby
liczby
liczby
liczby
parzystej nieparzystej parzystej
parzystej parzystej nieparzystej
(cyfra setek)
(cyfra setek)
2 . c) 53 ⋅ 2 + 4 ⋅ 52 .
Zatem 53 + 4 ⋅ 52 ⋅ 2.