Wykład 7 Niech K będzie ciałem i niech f(x),g(x) ∈ K[x

Wykład 7
Niech K będzie ciałem i niech f (x), g(x) ∈ K[x]. Będziemy mówić, że
f (x) dzieli wielomian g(x) jeśli istnieje wielomian h(x) ∈ K[x] taki, że g(x) =
f (x)h(x) i piszemy wtedy f (x)|g(x). A więc mamy:
f (x)|g(x) ⇐⇒ ∃h(x) ∈ K[x] g(x) = f (x)h(x)
Przykład (2x + 1)|(6x2 − x − 2).
Własności podzielności wielomianów
(1) Jeśli wielomian f (x) dzieli wielomian g(x), a wielomian g(x) dzieli wielomian h(x) to wielomian f (x) dzieli wielomian h(x), czyli:
f (x)|g(x) i g(x)|h(x) ⇒ f (x)|h(x)
(2) Jeśli wielomian f (x) dzieli wielomian g(x) to st(f (x)) ¬ st(g(x))
Niech f (x) i g(x) będą wielomianami nad ciałem K. Wtedy wielomian
d(x) ∈ K[x] nazywamy największym wspólnym dzielnikiem wielomianów
f (x) i g(x) jeśli:
(i) d(x)|f (x) i d(x)|g(x),
(ii) jeśli c(x)|f (x) i c(x)|g(x) to st(c(x)) ¬ st(d(x)),
(iii) wielomian d(x) jest unormowany.
Największy wspólny dzielnik wielomianów f (x) i g(x) oznaczać będziemy
przez NWD(f (x), g(x)).
Podobnie jak w przypadku pierścienia liczb całkowitych, efektywną metodą wyznaczania największego wspólnego dzielnika dwóch wielomianów jest
wielomianowa wersja algorytmu Euklidesa. To znaczy jeśli chcemy wyznaczyć największy wspólny dzielnik wielomianów f (x) i g(x), przy założeniu,
że st(f (x)) ­ st(g(x)) to stosujemy algorytm:
f (x) = q(x)g(x) + r(x) 0 ¬ st(r(x)) < st(g(x))
g(x) = q1 (x)r(x) + r1 (x) 0 ¬ st(g(x)) < st(r1 (x))
..
.
ostatnia niezerowa reszta jest (po unormowaniu) jest największym wspólnym dzielnikiem. To daje nam możliwość rozwiązywania równań postaci
f (x)u(x) + g(x)v(x) = NWD(f (x), g(x)) analogicznie do podobnych równań
o współczynnikach całkowitych.
Twierdzenie 1 Jeśli f (x), g(x) ∈ K[x] to istnieją wielomiany u(x), v(x) ∈
K[x], że
f (x)u(x) + g(x)v(x) = NWD(f (x), g(x))
1
Wniosek 1 Wielomian d(x) jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianów f (x) i g(x) wtedy i tylko wtedy gdy:
(i) d(x)|f (x) i d(x)|g(x),
(ii) jeśli c(x)|f (x) i c(x)|g(x) to c(x)|d(x),
(iii) d(x) jest unormowany.
Przykład Wyznaczyć największy wspólny dzielnik wielomianów
x4 − x3 − x2 + 1, x2 − 1 ∈ Q(x)
Jednym z zastosowań powyższego twierdzenia mogą być następujące przykłady.
√
√
3
3
Przykład Wyznaczyć
liczby
x,
y,
z
∈
Q,
tak
aby
liczba
x
+
y
2
+
y
4 była
√
√
3
3
odwrotna do 1 + 2 + 2 4.
Przykład Wyznaczyć macierz odwrotną do A3 + A2 + A + I gdzie




A=
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
−1
−1
−1
−1



.

Podobnie jak w teorii liczb możemy mówić o względnie pierwszych wielomianach. Wielomiany f (x) i g(x) nazywamy względnie pierwszymi jeśli
NWD(f (x), g(x)) = 1.
Twierdzenie 2 Niech f (x), g(x), h(x) będą wielomianami nad ciałem K.
Wtedy jeśli f (x)|g(x)h(x) i f (x) i g(x) są względnie pierwsze to f (x)|h(x).
Twierdzenie 3 Niech K będzie ciałem. Wtedy wielomian f (x) jest odwracalny w pierścieniu K[x] wtedy i tylko wtedy gdy f (x) jest wielomianem stałym różnym od zera.
Mówimy, że wielomian f (x) jest stowarzyszony z wielomianem g(x) jeśli
istnieje c ∈ K, że c 6= 0K i f (x) = cg(x).
Można zauważyć, że wielomian f (x) jest stowarzyszony g(x) wtedy i tylko
wtedy gdy wielomian g(x) jest stowarzyszony z f (x).
Mówimy, że wielomian f (x) jest rozkładalny (przywiedlny) w pierścieniu K[x] jeśli istnieją wielomiany g(x), h(x) ∈ K[x], że f (x) = g(x)h(x) i
st(g(x)) > 0, st(h(x)) > 0. W przeciwnym przypadku mówimy, że wielomian
jest nierozkładalny.
Przykład Wialomian x2 − 2 jest nierozkładalny w Q[x].
Wielomiany stopnia pierwszego są nierozkładalne.
Pojęcie wielomianu nierozkładalnego odpowiada pojęciu liczb pierwszych.
2
Twierdzenie 4 Niech K będzie ciałem i niech f (x) ∈ K[x]. Wtedy następujące warunki są równoważne:
(i) wielomian f (x) jest nierozkładalny,
(ii) jeśli f (x)|g(x)h(x) to f (x)|g(x) lub f (x)|h(x).
Twierdzenie 5 Każdy wielomian g(x) nad ciałem K można zapisać jedniznacznie w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych nad ciałem K.
Jednoznaczność zapisu należy rozumieć w następującym sensie.
Jeśli f1 (x), f2 (x), . . . , fs (x) i p1 (x), p2 (x), . . . , pt (x) są wielomianami nierozkładalnymi nad K i:
f1 (x)f2 (x) . . . fs (x) = p1 (x)p2 (x) . . . pt (x)
to s = t i po ewentualnym przenumerowaniu wielomian fi (x) jest stowarzyszony z wielomianem pi (x).
Mówimy, że liczba a ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu f (x) ∈ K[x]
jeśli (x − a)|f (x). W przypadku wielomianów można mówić o podstawianiu
elementu a za zmienną x, tzn: jeśli f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 to
f (a) = an an + an−1 an−1 + . . . + a1 a + a0 ∈ K. Podstawianie ma następujące
własności:
(i) jeśli f (x) = g(x) + h(x) to f (a) = g(a) + h(a),
(ii) jeśli f (x) = g(x)h(x) to f (a) = g(a)h(a).
Twierdzenie 6 (Twierdzenie Bezout) Element a ∈ K jest pierwiastkiem wielomianu f (x) wtedy i tylko wtedy gdy f (a) = 0K .
Wniosek 2 Jeśli f (x) jest wielomianem stopnia n nad ciałem K to f (x)
ma co najwyżej n różnych pierwiastków w ciele K.
Wniosek 3 Jeśli wielomian f (x) ma stopień większy bądź równy od 2 to:
(i) jeśli f (x) jest nierozkładalny to f (x) nie ma pierwiastków w K,
(ii) jeśli f (x) ma stopień równy 2 lub 3 i nie ma pierwiastków w K to f (x)
jest nierozkładalny w K.
Nierozkładalność w ciele Q
Jeśli wielomian f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ma współczynniki
wymierne to istnieje liczba całkowita c, że wielomian cf (x) ma współczynniki całkowite (wystarczy za c przyjąć najmniejszą wspólną wielokrotność
mianowników współczynników an , . . . , a0 ). Zatem zamiast badać wielomian
f (x) można badać wielomian cf (x), który należy do pierścienia Z[x].
3
Twierdzenie 7 Niech f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 będzie wielomianem z całkowitymi współrzędnymi. Wtedy jeśli liczba wymierna pq jest
pierwiastkiem wielomianu f (x) to p|a0 , a q|an .
Przykład Znaleźć pierwiastki wymierne wielomianu
f (x) = 2x4 + x3 − 21x2 − 14x + 12.
Twierdzenie 8 (Kryterium Eisensteina) Niech f (x) = an xn +an−1 xn−1 +
. . .+a1 x+a0 będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, niezerowego
stopnia. Wtedy jeśli istnieje liczba pierwsza p taka, że p dzieli współczynniki
an−1 , . . . , a0 , p nie dzieli an i p2 nie dzieli a0 to f (x) jest nierozkładalny nad
ciałem Q.
Przykład Wielomian f (x) = x4 − 7x3 + 49x2 − 14x + 7 jest nierozkładalny
nad ciałem Q. Wystarczy wziąć liczbę 7 i zastosować kryterium Eisensteina.
Twierdzenie 9 Dla każdej liczby naturalnej n > 1 istnieje wielomian stopnia n o współczynnikach wymiernych, który jest nierozkładalny nad Q.
Nierozkładalność w ciałach R i C
Twierdzenie 10 Zasadnicze Twierdzenie Algebry Każdy wielomian o współczynnikach zespolonych stopnia większego od 0 ma pierwiastek zespolony.
Każde ciało, które spełnia powyższy warunek nazywamy ciałem algebraicznie domkniętym. Powyższe twierdzenie mówi, że ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Ciała Q i R nie są algebraicznie domknięte.
Wniosek 4 Wielomian f (x) ∈ C[x] jest nierozkładalny na ciałem C wtedy
i tylko wtedy gdy jego stopień jest równy 1.
Wniosek 5 Każdy wielomian f (x) ∈ C[x] może być jednoznacznie zapisany
w postaci c(x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − as ), gdzie c, a1 , . . . , as ∈ C.
Twierdzenie 11 Niech f (x) ∈ R[x]. Wtedy jeśli liczba zespolona a + bi jest
pierwiastkiem tego wielomianu to liczba do niej sprzężona a − bi również jest
pierwiastkiem tego wielomianu.
4
Zauważmy, że z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu f (x) (o współczynnikach rzeczywistych)
to również liczba zespolona z̄ jest pierwiastkiem tego wielomianu. Inaczej
mówiąc wielomian f (x) jest podzielny przez (x − z)(x − z̄). Obliczmy
(x − z)(x − z̄) = x2 − 2(z + z̄)x + z z̄ = x2 − 2Re(z)x + |z|
Ponieważ Re(z) i |z| są liczbami rzeczywistymi to wielomian (x−z)(x− z̄) ma
współczynniki rzeczywiste. To oznacza, że dowolny wielomian o współczynnikach rzeczywistych albo ma pierwiastek rzeczywisty albo jest podzielny przez
wielomian o kwadratowy o współczynnikach rzeczywistych. Inaczej mówiąc:
Twierdzenie 12 Jeżeli wielomian f (x) jest nierozkładalny nad ciałem R to
jego stopień jest równy 1 lub 2. Ponadto wielomian kwadratowy ax2 + bx + c
jest nierozkładalny nad R wtedy i tylko wtedy gdy ∆ = b2 − 4ac < 0.
5