Modelowanie matematyczne - kilka oczywistych faktów, które warto

Modelowanie matematyczne - kilka oczywistych faktów,
które warto sobie uświadomić
Co to jest Model:
• reprezentacja badanego obiektu w postaci innej, niż ta, w której
występuje on w rzeczywistości.
• W nauce model jest rozumiany jako uproszczona, celowo,
reprezentacja rzeczywistości.
Typy modeli:
• modele o podobieństwie geometrycznym (mapy, makiety)
• modele o podobieństwie kinematycznym
• modele o podobieństwie dynamicznym (makiety stosowane w
tunelach aerodynamicznych)
• modele tworzone przez analogie (hydrauliczno elektryczny)
• modele matematyczne
Model matematyczny to skończony zbiór symboli i relacji
matematycznych oraz ścisłych zasad operowania nimi, przy czym
zawarte w modelu symbole i relacje mają interpretację odnoszącą się do
konkretnych elementów modelowanego wycinka rzeczywistości.
Zbiór symboli i relacji matematycznych - to twór abstrakcyjny;
czynnikiem przekształcającym go w model matematyczny jest
fizyczna interpretacja.
1
Jak tworzymy model?
Problem
b d
Cele modelowania
Hipotezy
Teorie
Prawa
Wiedza
Empiry
czna
Kategoria modelu
Struktura modelu
Identyfikacja
Dane
Algorytmy
Obliczenia
Prognozy
Weryfikacja
Zweryfikowa
ny
model
2
Przykład: wzrost populacji bakterii
Niech:
N(t) - ilość bakterii w chwili t
r - prędkość reprodukcji
W takim razie, pomijając wymieranie, możemy przypuszczać, że:
N (t + ∆t ) ≈ N (t ) + rN (t )∆t
N (t + ∆t ) − N (t )
= rN (t )
∆t
Zakładamy teraz, że rozmiar populacji N (t ) jest wielkością ciągłą.
Ma to sens przy następujących założeniach:
1. Liczebność populacji jest duża tak, że dodanie lub odjęcie kilku
osobników nic nie zmienia.
2. Rozmnażanie się pojedynczych osobników nie ma wpływu na
rozmnażanie się innych osobników.(nie ma skorelowanych
gwałtownych zmian liczebności)
Wtedy przechodząc w granicy ∆t → 0 powyższe równanie różnicowe
można zastąpić równaniem różniczkowym:
dN
= rN
dt
Równanie to jest znane jako prawo Malthusa (1798). Zastosował je on
do opisu populacji ludzi na Ziemi i jego wnioski były nieco zatrważające
...
Równanie to możemy scałkować przez rozdzielenie zmiennych
dN
= rdt
N
t dN
t
=
∫0 N ∫0rds
t
ln N 0 = rt
ln N (t ) − ln N (0 ) = rt
Czyli mamy wzrost exponencjalny !
 N (t ) 
 = rt
ln
N
 0 
N (t ) = N 0ert
3
Dyskretne modele jednej populacji
Opis dyskretny jest dobry dla populacji dla których nie ma zachodzenia
pokoleń na siebie.
Będziemy analizować modele opisywane równaniami różnicowymi typu:
N t +1 = N t F ( N t ) = f ( N t )
Sztuka modelowania polega na umiejętnym dobraniu f ( N ) tak aby
równanie powyższe dobrze oddawało obserwowane fakty.
Uwaga: nie ma prostego związku między równaniami różnicowymi i
różniczkowymi:
• Najprostszy przykład:
N t +1 = rN t ⇒ N t = r t N 0
czyli mamy wzrost wykładniczy (a jaki był wzrost dla analogicznego
równania różniczkowego?)
• Jak uwzględnić wpływ pojemności środowiska?
1−b
b takie, że N s < N t
Np.: N t +1 = rN s gdzie N s = N t
Interpretacja: N s - frakcja populacji przeżywająca do rozrodu
• A co się stanie jeśli weźmiemy dyskretną kalkę modelu
logistycznego?
 N 
N t +1 = rN t 1 − t 
K 

r ,K > 0
Np. dla N t > K N t +1 < 0
Można to poprawić tak:
  N 
N t +1 = N t exp r 1 − t 
r, K > 0
K




 rN 
exp − t  - czynnik śmiertelności związany z pojemnością środowiska
 K 
4
Pajęczynki - graficzna metoda badania równań
różnicowych
Stany stacjonarne
( )
( )
N * = f N * = N *F N *
N* = 0
⇒
( )
F N* =1
łatwo znaleźć graficznie:
1
0.9
0.8
Nt+1=Nt
0.7
0.6
Nt+1
0.5
Nt+1=f(Nt)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Nt
Zachowanie w pobliżu punktu stacjonarnego zależy od sposobu
przecięcia się f ( N ) i N t +1 = N t
Ponieważ prosta N t +1 = N t ma stały kąt nachylenia w układzie wsp.
Wystarczy rozważyć jedynie lokalne nachylenie krzywej N t +1 = f ( N t )
( ))
(czyli pochodną f ' N
-1
*
0
1
( )
f ' N*
5
-1
Nie stabilny
Stabilny –
zbiega
oscylując
( )
f ' N*
1
0
Stabilny –
zbiega
monotonicznie
Nie stabilny
Bifurkacja – modele są na ogół zależne od pewnych parametrów.
Stabilność stanów stacjonarnych może zależeć od wartości parametrów.
Jeśli przy małej zmianie jakiegoś parametru r w sąsiedztwie wartości r0
następuje jakościowa zmiana zachowania modelu (stan stacjonarny
zyskuje lub traci stabilność, pojawiają się nowe stany stacjonarne itp.) to
mówimy że wartość r0 jest wartością bifurkacji.
Zadanie 1:
Dla modelu:

 N 
N t +1 = N t 1 + r 1 − t 
K 


•
•
•
•
•
Przejść do zmiennych bezwymiarowych
określić nieujemne stany stacjonarne
przedyskutować ich liniową stabilność
znaleźć minimalną i maksymalną liczebność populacji
znaleźć wartość pierwszej bifurkacji
Zadanie 2:
• Skonstruować pajęczynkę dla modelu:
N t +1 =
(1 + r )Nt
1 + rN t
• Przedyskutować jakościowo globalne zachowanie rozwiązań.
• Podać minimalną i maksymalną wartość N t .
6
Równanie logistyczne – chaos deterministyczny
Przeanalizujmy zachowanie się odwzorowania
xt +1 = rxt (1 − xt ) (*)
możemy interpretować je jako bezwymiarową wersję równania na
liczebność populacji z uwzględnieniem pojemności środowiska.
Równanie to ( jak pewnie wiecie ) ma ciekawe zachowanie zależne od
wartości parametru r
1. Znajdźmy jego stany stacjonarne i zbadajmy jak zmienia się ich
stabilność w zależności od wartości parametru r
2. Narysujmy pajęczynkę dla tego odwzorowania dla r = 2 i dla r = 3.1
3. Znajdźmy stany stacjonarne dla odwzorowania
xt + 2 = rx t +1 (1 − xt +1 ) = r (rxt (1 − xt ))(1 − rx t (1 − xt )) (**)
Musimy w tym celu rozwiązać równanie
x = r (rx(1 − x ))(1 − rx(1 − x ))
zauważmy, że stany stacjonarne poprzedniego odwzorowania (*) są też
stanami stacjonarnymi odwzorowania (**), a także wyższych iteracji
równania (*). Zatem wielomian:
p( x ) = r (rxt (1 − xt ))(1 − rxt (1 − xt )) − x
możemy podzielić przez
 1
x − 1 − 
 r
otrzymujemy sfaktoryzowany wielomian:

 1   1 1 
 1  
p( x ) = -r 3 x  x + 1 −   x 2 -x1 +  +  + 2  
 r   r r 
 r  

Ostatecznie punktami stacjonarnymi naszego odwzorowania (**) są
0

1

1
−

r
1
x=
r + 1 + (r − 3)(r + 1)
 2r
1
 r + 1 − (r − 3)(r + 1)
 2r
(
(
)
)
dwa ostatnie pierwiastki są rzeczywiste tylko dla r < −1 ∨ r > 3
Tak więc dla dodatnich r te dwa stany stacjonarne istnieją gdy r > 3 ,
wtedy też stan stacjonarny 1 −
1
traci stabilność. Można pokazać
r
7
rachunkiem wprost, że punkty
3 < r < r2 ≈ 3.3 .
(
1
r +1±
2r
(r − 3)(r + 1)) są stabilne dla
W analogiczny sposób można znaleźć i zbadać stabilność punktów
n
stacjonarnych kolejnych iteracji równania (*) -> orbity o okresach 2 .
Nowy jakościowo efekt pojawia się w momencie gdy r ≈ 3.83 . Pojawia
się wówczas orbita o okresie 3. Udowodnione jest twierdzenie, że jeśli
dla pewnego rc istnieje rozwiązanie dla okresów nieparzystych (co
najmniej 3) to powyżej rc istnieją rozwiązania aperiodyczne.
4. Zbadajmy graficznie co dzieje się z kolejnymi iteracjami (*)
8
Układy dwóch równań różnicowych
Rozszerzymy teraz naszą metodologię na układy dwóch równań
różnicowych. Układ dany jest równaniem :
xn +1 = f (xn , yn )
yn +1 = g (xn , yn )
f, g – funkcje nieliniowe
W punktach stacjonarnych mamy:
( )
= g (x , y )
x* = f x* , y *
y*
*
*
Aby wnioskować o stabilności stanu stacjonarnego zbadamy co dzieje się
*
*
z małymi zaburzeniami x + x' , y + y ' .
(
Rozwijamy funkcje
f ig
)
w szereg Taylora wokół punktu
stacjonarnego:
(
) (
)
∂f
∂f
x' +
y' + K
∂x x* , y*
∂y x* , y*
(
) (
)
∂g
∂x
f x* + x' , y * + y ' = f x* , y * +
g x* + x' , y * + y ' = g x* , y * +
x' +
*
x ,y
*
∂g
∂y
*
x ,y
*
y' + K
i zostawiamy tylko wyrazy liniowe
Oznaczmy:
a11 =
∂f
,
∂x x * , y *
a21 =
∂g
∂x
,
x* , y*
a12 =
∂f
∂y x * , y *
a22 =
∂g
∂y
x* , y*
wówczas nasze równania w przybliżeniu liniowym wyglądają
następująco:
x'n+1 = a11 x'n + a12 y 'n
y 'n+1 = a21 x'n + a22 y 'n
w notacji wektorowej
x'n +1 = Ax'n
 x 'n 
 a11 a12 
 , x'n =  
 a21 a22 
 y 'n 
gdzie A = 
Teraz musimy znaleźć pierwiastki równania charakterystycznego:
det (A − λI ) = 0
λ2 − tr Aλ + det A = 0
9
Aby punkt stacjonarny był stabilny potrzeba aby oba pierwiastki co do
modułu były mniejsze niż 1.
Jakie wynikają stąd warunki na ślad i wyznacznik?
tr A ± tr A 2 − 4 det A
Pierwiastki tego równania to: λ1, 2 =
2
2
Dla rzeczywistych pierwiastków ( tr A > 4 det A ):
Wierzchołek paraboli musi być pomiędzy -1 a 1
tr A
<1
2
2 > tr A
−1<
zaś odległość pomiędzy wierzchołkiem paraboli a miejscem zerowym
musi być mniejsza niż odległość wierzchołka od ± 1
tr A
tr A 2 − 4 det A
>
1−
2
2
tr A 2 tr A 2 − 4 det A
1 − tr A +
>
4
4
1 + det A > tr A
łącząc oba warunki mamy
2 > 1 + det A > tr A
0.8
0.6
0.4
0.2
1/2 √ (trA 2-4detA )
<
>
0
trA /2
-0.2
-0.4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
10
Warunek stabilności dla układów wyższego rzędu
Dla układów wyższych rzędów metoda postępowania teoretycznie jest
taka sama - linearyzacja układu w pobliżu punktu stacjonarnego, a
następnie zbadanie wartości własnych jakobianu. Problem praktyczny
polega na tym, że dla wyższych stopni równania charakterystycznego
trudno jest znaleźć analityczną postać pierwiastków. Pomocne jest tu
kryterium Jury1 (1971) .
Rozważmy wielomian:
P(λ ) = λn + a1λn −1 + a2 λn − 2 + K + an −1λ + an
Potrzebne nam będą kombinacje parametrów konstruowane w
następujący sposób:
bn = 1 − an2
bn −1 = a1 − an an −1
M
bn − k = ak − an an − k
M
M
M
b1 = an −1 − an a1
cn = bn2 − b12
cn −1 = bnbn −1 − b1b2
M
cn − k = bnbn − k − b1bk +1
M
M
c2 = bnb2 − b1bn −1
d n = cn2 − c22
d n −1 = cn cn −1 − c2c3
M
d n − k = cn cn − k − c2ck + 2
M
d3 = cn c3 − c2cn −1
aż do momentu gdy zostaną nam trzy wielkości np.:
qn = pn2 − pn2−3
qn −1 = pn pn −1 − pn −3 pn − 2
qn − 2 = pn pn − 2 − pn −3 pn −1
1
Jury, E.I. (1971) The inners approach to some problems of. IEEE Trans. Automatic Contr. AC12,233-240 system theory
11
Na tak zdefiniowanych parametrach test Jury wygląda następująco:
Warunki konieczne i wystarczające na to aby wielomian P(λ ) miał
pierwiastki λ < 1 są następujące:
P(1) = 1 + a1 + a2 + K + an > 0
(− 1)n P(− 1) = (− 1)n [(− 1)n + a1 (− 1)n −1 + L + an −1 (− 1) + an ] > 0
an < 1
bn < b1
cn < c2
M
qn < qn − 2
Przykład zastosowania testu Jury:
Mamy wielomian:
P(x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1
n=4
1. P(1) = 4 > 0
2. (− 1) P(− 1) = 1(1 − 1 + 1 − 1 + 1) = 1 > 0
4
3. an = 1 → nie spelniony warunek
Ponieważ trzeci warunek nie jest spełniony więc ten wielomian ma
przynajmniej jeden pierwiastek nie mniejszy niż 1.
12
Przykład
Prostym przykładem modelu z układem dwóch równań różnicowych jest
model opisujący pasożyty i ich nosicieli w świecie owadów.
Wspólne założenia dla tego typu modeli są następujące:
1. Nosiciele zakażeni pasożytami wydadzą następne pokolenie
pasożytów
2. Nosiciele nie zakażeni wydadzą kolejne pokolenie własnego
gatunku
3. Frakcja nosicieli zakażonych zależy od częstości spotkań obu
gatunków, najczęściej zależy od gęstości obu gatunków.
Do opisu modelu wprowadzimy następujące zmienne:
N t - gęstość nosicieli w pokoleniu t
Pt - gęstość pasożytów w pokoleniu t
f = f (N t , Pt ) - frakcja nosicieli, która nie została zakażona
λ - prędkość reprodukcji nosicieli
c - średnia ilość jaj pasożytów złożona na pojedynczym nosicielu
Założenia 1-3 prowadzą do następującej postaci równań:
N t +1 = λN t f (N t , Pt )
Pt +1 = cNt [1 − f (N t , Pt )]
Jest to ogólna postać równań dla układu nosiciel – pasożyt
13
Dla skonkretyzowania dalszych rozważań przeanalizujemy konkretny
model opisany przez Nicholsona (biolog) i Baileya(fizyk) (1935).
Panowie ci dołożyli do poprzednich założeń dwa następne:
4. Spotkania pasożytów i nosicieli są przypadkowe. Liczba spotkań
jest zatem proporcjonalna do iloczynu gęstości obu populacji:
ne = aN t Pt
5. Tylko pierwsze spotkanie dwóch osobników jest znaczące. (Przy
pierwszym spotkaniu pasożyt składa jaja w nosicielu, kolejne
spotkania zakażonego nosiciela z pasożytami nie zmieniają ilości
potomnych pasożytów (c), które wylęgną się z tego zakażonego
nosiciela.
Ponieważ spotkania następują przypadkowo to trzeba je opisywać
jakąś funkcją rozkładu prawdopodobieństwa. Zajście pewnej średniej
liczby zdarzeń w jednostce
Dla przypomnienia:
czasu dobrze opisuje rozkład
Prawdopodobieństwo zajścia w
Poissona.
Prawdopodobieństwo tego, że jednostce czasu k zdarzeń których
średnio zachodzi µ dane jest
nosiciel w czasie swojego
e− µ µ k
życia nie zostanie zarażony
p(k ) =
wynosi:
k!
f (Nt , Pt ) = p(0) = e´− aPt
Zatem otrzymujmy model:
N t +1 = λN t e − aPt
(
Pt +1 = cNt 1 − e − aPt
)
Zadanie
Znaleźć stany stacjonarne. Zbadać ich stabilność.
Zadanie kolejne
Zbadać powyższy model przy dodatkowym założeniu, że pod
nieobecność pasożytów populacja nosicieli ma wzrost limitowany
pojemnością środowiska:
λ (N t ) = e r (1−
Nt
K
)
14