zestaw wybranych wzorów matematycznych

ZESTAW
WYBRANYCH WZORÓW
MATEMATYCZNYCH
Materiały pomocnicze opracowane dla potrzeb egzaminu maturalnego
i dopuszczone jako pomoce egzaminacyjne.
S
l
h
h
r
O
publikacja współfinansowana przez Europejski Fundusz Społeczny
Zestaw matematycznych wzorów został przygotowany dla
potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki. Zestaw ten został
opracowany w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy
z pracownikami wyższych uczelni oraz w konsultacji z ekspertami
z okręgowych komisji egzaminacyjnych.
Na zlecenie CKE zestaw wzorów matematycznych dla potrzeb
egzaminu maturalnego z matematyki dla niewidomych i słabo
widzących przystosowały
mgr Bogumiła Golańska i mgr inż. Agnieszka Lato w Specjalnym
Ośrodku Szkolno Wychowawczym dla Dzieci Niewidomych
i Słabowidzących, Kraków ul. Tyniecka 7.
To oznaczenie wskazuje materiał z zakresu rozszerzonego.
2
SPIS TREŚCI
Wartość bezwzględna liczby ............................................... 4
Potęgi i pierwiastki............................................................... 4
Silnia. Symbol Newtona ...................................................... 5
Dwumian Newtona .............................................................. 6
Wzory skróconego mnożenia.............................................. 6
Ciągi .................................................................................... 7
Funkcja kwadratowa ........................................................... 8
Logarytmy............................................................................ 9
Pochodna funkcji ................................................................. 10
Geometria analityczna......................................................... 11
Planimetria .......................................................................... 14
Stereometria........................................................................ 18
Trygonometria ..................................................................... 21
Kombinatoryka ................................................................... 27
Rachunek prawdopodobieństwa ......................................... 27
Parametry danych statystycznych...................................... 29
Tablica wartości funkcji trygonometrycznych ..................... 31
3
WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:
 x dla x ∈ 0, ∞)
x =
− x dla x ∈ (− ∞,0)
Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0.
Dla dowolnych liczb x, y
x ≥0
−x = x
x2 = x
x+ y ≤ x + y
x− y ≤ x + y
x⋅ y = x ⋅ y
x
x
= .
y
y
Dla dowolnych liczb a oraz r ≥ 0 , mamy warunki równoważne:
x−a ≤r ⇔ a−r ≤ x≤a+r
Ponadto, jeśli y ≠ 0, to
x − a ≥ r ⇔ ( x ≤ a − r lub x ≥ a + r )
POTĘGI I PIERWIASTKI
Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a
definiujemy n -tą potęgę:
a n = a1⋅2
...3
⋅a
n razy
Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Definiujemy:
a 0 = 1
 1
a = a
dla a ≠ 0
 2
=
⋅
a
a
a

a n+1 = a n ⋅ a dla n > 1

4
Pierwiastkiem n a stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę
b ≥ 0 taką, że b n = a .
Jeżeli a < 0 oraz n jest liczbą nieparzystą to n a oznacza liczbę
b < 0 taką, że b n = a .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
x2 = x
Niech m, n są liczbami całkowitymi
1
a−n = n
dla a ≠ 0
a
m
an
a
−
= n am
m
n
=
dla a ≥ 0
1
n
a
m
dla a > 0
Działania na potęgach
Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0
i b > 0 , to zachodzą równości:
a r ⋅ a s = a r+s
ar
= a r −s
s
a
( a r ) s = a r ⋅s
( a ⋅ b) r = a r ⋅ b r
r
r
a
a
  = r
b b
Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory
obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 , b ≠ 0 .
SILNIA. SYMBOL NEWTONA
Silnią liczby całkowitej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb
całkowitych:
n!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n − 1) ⋅ n
0!= 1
5
Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek:
(n + 1)!= n!⋅(n + 1)
Symbol Newtona
Dla liczb n, k spełniających warunki 0 ≤ k ≤ n definiujemy symbol
Newtona:
n
n!
  =
 k  k!⋅(n − k )!
n  n 
  = 

k
k
−
1
  

n
  = 1
0
 n + 1  n   n 


 =   + 
k
+
1
k
k
+
1

   

n
  = 1
n
 n  n n − k

 =   ⋅
k
+
1

 k  k +1
DWUMIAN NEWTONA
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych
liczb a, b mamy:
n
n
n
 n  n −1  n  n
(a + b )n =  a n +  a n −1b +  a n − 2b 2 + ... + 
ab +  b
−
0
1
2
1
n
 
 
 


n
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b mamy:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
(a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3
a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n−2 b + ... + a n−k b k + ... + ab n−2 + b n−1 )
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
6
a 3 +b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
a 3 −b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
CIĄGI
Ciąg arytmetyczny
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym
wyrazie a1 i różnicy r :
a n = a 1 + ( n − 1) r
Wzór na sumę S n = a1 + a2 + a3 + ... + an początkowych n wyrazów
ciągu arytmetycznego:
a + an
2a + (n − 1)r
Sn = 1
⋅n = 1
⋅n
2
2
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi
związek:
a + an+1
an = n−1
dla n ≥ 2
2
Ciąg geometryczny
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym
wyrazie a1 i ilorazie q :
an = a1 ⋅ q n−1
Wzór na sumę S n = a1 + a2 + a3 + ... + an początkowych n wyrazów
ciągu geometrycznego:
 1 − qn
dla q ≠ 1
a
Sn =  1 1 − q
n ⋅ a
dla q = 1
 1
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi
związek:
an2 = an−1 ⋅ an+1
dla n ≥ 2
7
Procent składany
Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym
oprocentowanie lokat wynosi p % w skali rocznej, to kapitał
końcowy K n wyraża się wzorem:
p 

K n = K ⋅ 1 +

 100 
n
Granica ciągu - twierdzenia
Jeżeli lim an = g oraz lim bn = h , to
n →∞
n →∞
lim(an + bn ) = g + h
n →∞
lim(an ⋅ bn ) = g ⋅ h
lim(an − bn ) = g − h
n →∞
n →∞
Jeżeli (an ) , n ≥ 1 jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o
ilorazie q < 1, to ciąg sum jego początkowych wyrazów
S n = a1 + a2 + a3 + ... + an ma granicę:
a1
=
S
lim
n
1− q
n →∞
FUNKCJA KWADRATOWA
Postać ogólna funkcji kwadratowej:
f ( x) = ax 2 + bx + c , gdzie a ≠ 0 i a, b, c ∈ R
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:
2
∆
b 

gdzie ∆ = b 2 − 4ac
f ( x ) = a x +  −
2a  4a

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w
 b −∆
punkcie W =  − ,
 . Ramiona paraboli skierowane są do
2
a
4
a


góry, gdy a > 0, do dołu, gdy a < 0 .
8
wyróżnik
∆<0
∆=0
∆>0
f ( x) = ax 2 + bx + c dla a ≠ 0 i x ∈ R
liczba miejsc zerowych
postać iloczynowa
nie ma postaci
nie ma miejsc zerowych
iloczynowej
jedno miejsce zerowe
−b
f ( x) = a ( x − x0 ) 2
x0 =
2a
dwa różne miejsca zerowe
f ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )
−b− ∆
−b+ ∆
, x2 =
,
x1 =
2a
2a
Wzory Viète’a
x1 + x2 =
−b
,
a
c
x1 ⋅ x2 = .
a
LOGARYTMY
Niech a > 0 i a ≠ 1 . Logarytmem log a c liczby c > 0 przy
podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy
podnieść podstawę a , aby otrzymać liczbę c :
b = log a x ⇔ a b = c
Równoważnie:
a log a c = c
Dla dowolnych liczb x > 0, y > 0 oraz r zachodzą wzory:
log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y
log a x r = r ⋅ log a x
log a
x
= log a x − log a y
y
9
Wzór na zamianę podstawy logarytmu:
Jeżeli a > 0, a ≠ 1 , b > 0, b ≠ 1, oraz c > 0, to
log a c
logb c =
log a b
POCHODNA FUNKCJI
Jeżeli funkcje f i g
[c ⋅ f ( x)] '= c ⋅ f ' ( x)
mają pochodne dla x ∈ R , to:
dla c ∈ R
[ f ( x ) + g ( x )] ' =
f ' ( x) + g ' ( x)
[ f ( x) − g ( x)] ′=
f ′( x) − g ′( x)
[ f ( x) ⋅ g ( x)] ′=
f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
′
 f ( x) 
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
=
,
 g ( x) 
[g ( x)]2


Wzór funkcji f
f ( x) = c
f ( x) = ax + b
f ( x) = ax 2 + bx + c
f ( x) = x r
f ( x) =
a
x
gdy g ( x) ≠ 0.
Pochodna
f ′(x) funkcji f
f ′( x) = 0
x∈R i c∈R
f ′( x) = a
x∈R i a∈ R i b∈R
f ′( x) = 2ax + b
x∈ R i a∈ R i b∈ R i c∈ R
x∈ R i r ∈ N i r >1
r −1
lub
f ′( x) = rx
x ∈ R \ {0} i r ∈ C i r < 0
−a
f ′( x) = 2
x∈R i x ≠ 0i a∈R
x
10
Równanie stycznej
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , to równanie stycznej
do wykresu funkcji f w punkcie ( x0 , f ( x0 )) dane jest wzorem:
y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 )
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Odcinek
Y
B = ( xB , yB )
Długość odcinka o końcach w
punktach A = ( x A , y A ), B = ( xB , y B )
AB = ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
Środek M = ( x0 , y0 ) odcinka AB
A = ( xA , yA )
O
X
x0 =
x A + xB
y + yB
, y0 = A
.
2
2
Wektor
Współrzędne wektora AB , który przesuwa punkt A na punkt B:
AB = [ xB − x A , y B − y A ]
Jeżeli u = [u1 , u2 ] , v = [v1 , v2 ] są wektorami, zaś a jest liczbą, to
u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ]
a ⋅ u = [a ⋅ u1 , a ⋅ u2 ]
Prosta
Równanie ogólne:
Ax + By + C = 0,
gdzie A2 + B 2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie
równe 0).
Jeżeli A = 0 , prosta jest równoległa do osi Ox .
Jeżeli B = 0 , prosta jest równoległa do osi Oy .
11
Jeżeli C = 0 , to prosta przechodzi przez początek układu
współrzędnych.
Równanie kierunkowe prostej y = ax + b , gdzie a, b ∈ R .
Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej:
a = tgα
α -kąt nachylenia prostej do osi Ox , α ≠
π
.
2
Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta
ją przecina.
Równanie prostej przechodzącej przez punkty
A = ( x A , y A ) i B = ( xB , y B ) :
( y − y A )( xB − x A ) − ( y B − y A )( x − x A ) = 0.
Prosta i punkt
Odległość d punktu P = ( x0 , y0 ) od prostej o równaniu
Ax + By + C = 0, jest wyrażona wzorem
Ax0 + By0 + C
d=
A2 + B 2
Para prostych – wzajemne położenie prostych
równanie kierunkowe
równanie ogólne
prostych
prostych
l1 : y = a1 x + b1 ,
l1 : A1 x + B1 y+ C1 = 0 ,
l2 : y = a2 x + b2
l2 : A2 x + B2 y+ C2 = 0
warunek
a1 = a2
A1B2 − A2 B1 = 0
równoległości
prostych
warunek
1 + a1a2 = 0
A1 A2 + B1B2 = 0
prostopadłości
prostych
ϕ - kąt
a2 − a1
A1B2 − A2 B1
ϕ
tg
=
ϕ
tg
=
między
1 + a1a2
A1 A2 + B1B2
prostymi
dla 1 + a1a2 ≠ 0
dla A1 A2 + B1B2 ≠ 0
l1 i l2
12
Trójkąt
Pole trójkąta ABC, gdzie A = ( x A , y A ), B = ( xB , y B ), C = ( xC , yC )
dane jest wzorem
P∆ABC =
1
( xB − x A )( yC − y A ) − ( y B − y A )( xC − x A ) .
2
Środek ciężkości S = ( xS , y S ) trójkąta, czyli punkt przecięcia jego
środkowych, ma współrzędne:
x + xB + xC
y + y B + yC
,
.
xS = A
yS = A
3
3
PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Punkt A′ = ( x′, y′) jest obrazem punktu A = ( x, y ) w symetrii
względem początku układu współrzędnych, gdy
x′ = − x , y′ = − y.
Punkt A′ = ( x′, y′) jest obrazem punktu A = ( x, y ) w symetrii
względem osi OX , gdy
x′ = x , y′ = − y.
Punkt A′ = ( x′, y′) jest obrazem punktu A = ( x, y ) w symetrii
względem osi OY , gdy
x′ = − x , y′ = y.
Punkt A′ = ( x′, y′) jest obrazem punktu A = ( x, y ) w translacji
(przesunięciu równoległym) o wektor u = [a, b] , gdy
x′ = x + a , y′ = y + b.
Punkt A′ = ( x′, y′) jest obrazem punktu A = ( x, y ) w jednokładności
o środku w punkcie O = (0,0) i skali s ( s ≠ 0) , gdy
x′ = sx
, y′ = sy.
13
Równanie okręgu o środku w punkcie S = (a, b) i promieniu r > 0 :
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2
lub
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ,
gdzie r 2 = a 2 + b 2 − c i a 2 + b 2 − c > 0 .
PLANIMETRIA
Oznaczenia
C
γ
b
A
a
α
β
c
B
a, b, c – długości boków,leżących
odpowiednio naprzeciwko
wierzchołków A, B, C ;
2 p = a + b + c – obwód trójkąta;
α , β , γ - miary kątów przy
wierzchołkach A, B, C ;
ha , hb , hc – wysokości trójkąta
opuszczonej z wierzchołków
A, B, C ;
R – długość promienia okręgu
opisanego na trójkącie
r – długość promienia okręgu
wpisanego w trójkąt
Wzory na pole trójkata
1
1
1
P∆ABC = ⋅ a ⋅ ha = ⋅ b ⋅ hb = ⋅ c ⋅ hc
2
2
2
1
P∆ABC = a ⋅ b ⋅ sin γ
2
1 sin β ⋅ sin γ
P∆ABC = a 2
2
sin α
P∆ABC = 2 R 2 ⋅ sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ
14
P∆ABC =
abc
4R
P∆ABC = rp
P∆ABC =
p ( p − a )( p − b)( p − c)
(wzór Herona)
Twierdzenie sinusów:
a
b
c
=
=
= 2R
sin α sin β sin γ
Twierdzenie cosinusów:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli miara kąta γ = 90o , to:
C
a 2 + b 2 = c 2 – twierdzenie
Pitagorasa
γ
b
A
h
α
c
.
a
β
D
B
Związki miarowe w trójkącie
prostokątnym
Jeżeli miara kąta γ = 90o , to:
h 2 = pq gdzie p = AD , q = DB
a = c sin α = c cos β
a = b ⋅ tgα = b ⋅ ctgβ
1
R= c
2
15
Twierdzenie Talesa
m
l
k
Jeżeli k l i l m , to:
AB
BC
=
A′B′ B′C ′
C
B
A
A′
B′
C′
Czworokąty
b
D
Trapez
Czworokąt, który ma co najmniej
jedną parę boków równoległych.
Wzór na pole trapezu:
a+b
P=
⋅h
2
C
h
E
A
B
a
D
C
h
A
ϕ
b
α
B
a
D
C
h
A
α
a
B
Równoległobok
Czworokąt, który ma dwie pary
boków równoległych.
Wzór na pole równoległoboku:
P = ah
P = ab ⋅ sin α
d1 = AC , d 2 = BD
d ⋅ d ⋅ sin ϕ
P= 1 2
2
Romb
Czworokąt, który ma dwie pary boków
równoległych jednakowej długości.
Wzór na pole rombu:
P = ah
P = a 2 ⋅ sin α
d1 = AC , d 2 = BD
d ⋅d
P= 1 2
2
16
D
A
C
B
Koło
P - pole koła o promieniu r
P = πr 2
Obwód koła
Ob = 2πr
r
O
r
Wycinek koła
Pole wycinka koła o promieniu r
i kącie śrokowym α
A
α
O
Deltoid
Czworokąt, który ma oś symetrii,
zawierającą jedną z przekątnych.
Wzór na pole deltoidu:
d1 = AC , d 2 = BD
d ⋅d
P= 1 2
2
P = πr 2 ⋅
α
360o
l – długość łuku
B
l = 2πr ⋅
α
360o
Kąty w okręgu
Miara kąta wpisanego w okrąg jest
równa połowie miary kąta środkowego
opartego na tym samym łuku.
α
α
O
α
2α
B
A
Miary kątów wpisanych w okrąg,
opartych na tym samym łuku,
są równe.
17
Okrąg opisany na czworokacie
C
γ
Na czworokącie można opisać okrąg
wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar jego
przeciwległych kątów wewnętrznych
jest równa 180o :
α + γ = β + δ = 180o
B
β
D δ
α
Okrąg wpisany w czworokąt
A
W czworokąt wypukły można wpisać
okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy
długości przeciwległych boków są
równe:
a+c =b+d
C
c
D
r
b
d
B
a
A
STEREOMETRIA
Oznaczenia
P – pole powierzchni całkowitej, Pp – pole podstawy,
Pb – pole powierzchni bocznej,
V – objętość bryły.
H
G
E
Prostopadłościan
a, b, c – długości krawędzi
F
c
D
C
P = 2(ab + bc + ac)
V = abc
b
A
a
B
18
Graniastosłup prosty
I
J
H
F
G
h – długość wysokości
h
Pb = 2 p ⋅ h
D
E
2 p – długość obwodu podstawy
C
V = Pp ⋅ h
B
A
Ostrosłup
S
h – długość wysokości
P = Pp + Pb
h
D
E
1
V = Pp ⋅ h
3
C
B
A
Walec
r – długość promienia podstawy
h – długość wysokości
Pb = 2πr ⋅ h
h
P = 2πr (r + h)
V = πr 2 h
r
O
19
Stożek
r – długość promienia podstawy
S
h – długość wysokości
h
l – długość tworzącej
l
Pb = π r l
P = πr (r + l )
r
O
1
V = πr 2 h
3
Kula
O
r
r – długość promienia kuli
P = 4πr 2
4
V = πr 3
3
20
TRYGONOMETRIA
Definicje funkcji trygonometrycznych
y
Y
sin α = ,
r
M=(x, y)
x
cos α =
r
y
r
y
tgα = , x ≠ 0 ,
x
x
ctgα = , y ≠ 0.
α
y
x
O
M’
X
gdzie r = x 2 + y 2
Wartości funkcji trygonometrycznych kąta α, gdzie α ∈ ⟨ 0,2π ⟩ :
α
αo
sin α
cos α
tgα
0
0
0
1
0
(0,90o )
+
+
+
+
90o
1
0
nie
istnieje
0
( ,π )
2
(90o ,180o )
+
−
−
−
π
180o
0
-1
0
nie
istnieje
−
+
+
+
-1
0
nie
istnieje
0
−
+
−
−
0
1
0
nie
istnieje
π
(0, )
2
π
π
2
(π ,
3π
) (180o ,270o )
2
3π
2
(
270o
3π
,2π ) (270o ,360o )
2
2π
360o
ctgα
nie
istnieje
+ oznacza, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
− oznacza, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.
21
Wykresy funkcji trygonometrycznych
y = sin x
y = cos x
y = tgx
y = ctgx
22
Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego
kąta:
• sin 2 α + cos 2 α = 1 dla dowolnego kąta α
sin α
π
dla α ≠ + kπ , k ∈ C
• tgα =
2
cos α
cos α
• ctgα =
dla α ≠ kπ , k ∈ C
sin α
kπ
1
dla α ≠
, k ∈C
• ctgα =
2
tgα
Wartości funkcji trygonometrycznych:
α
0, (0o )
sin α
0
cos α
1
tgα
0
ctgα
nie
istnieje
π
6
, (30o )
1
2
3
2
3
3
3
π
2
, (45o )
2
2
2
2
π
3
, (60o )
3
2
1
2
1
1
2
, (90o )
1
0
3
3
3
π
nie
istnieje
0
Wzory redukcyjne
ϕ=
sin α
cos α
tgα
ctgα
−α
− sin α
cos α
− tgα
− ctgα
α
sin α
cos α
tgα
ctgα
π −α
sin α
− cos α
− tgα
− ctgα
π +α
− sin α
− cos α
tgα
ctgα
23
Wzory redukcyjne
ϕ=
sin α
cos α
tgα
ctgα
−α
cos α
sin α
ctgα
tgα
+α
2
3π
−α
2
3π
+α
2
cos α
− sin α
− ctgα
− tgα
− cos α
− sin α
ctgα
tgα
− cos α
sin α
− ctgα
− tgα
2π − α
− sin α
cos α
− tgα
− ctgα
π
2
π
Funkcje sumy i różnicy kątów
Dla dowolnych kątów α i β:
sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α + β ) = cos α cos β + sin α sin β
Jeżeli 1 − tgα ⋅ tgβ ≠ 0 , to
tgα + tgβ
tg (α + β ) =
1 − tgα ⋅ tgβ
Jeżeli 1 + tgα ⋅ tgβ ≠ 0 , to
tgα − tgβ
tg (α − β ) =
1 + tgα ⋅ tgβ
Jeżeli ctgα + ctgβ ≠ 0 , to
ctgα ⋅ ctgβ − 1
ctg (α + β ) =
ctgα + ctgβ
24
Jeżeli ctgα − ctgβ ≠ 0 , to
ctgα ⋅ ctgβ + 1
ctg (α − β ) =
ctgα − ctgβ
Funkcje kąta podwojonego
Dla dowolnego kąta α:
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α
Jeżeli α ≠
π
2
+ kπ , k ∈ C
to
2tgα
1 + tg 2α
1 − tg 2α
cos 2α =
1 + tg 2α
sin 2α =
Jeżeli α ≠
π
2
tg 2α =
Jeżeli α ≠
π
2
+ kπ , k ∈ C
i 1 − tg 2α ≠ 0 to
2tgα
1 − tg 2α
+k
π
2
, k ∈C
i ctgα ≠ 0 to
ctg 2α − 1
ctg 2α =
2ctgα
Funkcje kąta potrojonego
Dla dowolnego kąta α:
sin 3α = sin α (3 cos 2 α − sin 2 α ) = sin α (3 − 4 sin 2 α )
cos 3α = cos α (cos 2 α − 3 sin 2 α ) = cos α (4 cos 2 α − 3)
25
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych
Dla dowolnych kątów α i β:
α+β
α−β
sin α + sin β = 2 sin
cos
2
2
α−β
α+β
sin α − sin β = 2 sin
cos
2
2
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
α+β
α−β
cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
26
KOMBINATORYKA
Permutacje
Liczba sposobów Pn , w jaki n ≥ 1 elementów można ustawić
w ciąg, jest wyrażona wzorem: Pn = n!
Wariacje bez powtórzeń
Liczba sposobów Vnk , w jaki z n elementów można utworzyć ciąg
składający się z k (1 ≤ k ≤ n) różnych wyrazów, jest równa:
n!
Vnk =
(n − k )!
Wariacje z powtórzeniami
Liczba sposobów Wnk , w jaki z n elementów można utworzyć ciąg
składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest wyrażona
wzorem:
Wnk = n k
Kombinacje
Liczba sposobów Cnk , w jaki spośród n elementów można wybrać
k (0 ≤ k ≤ n) elementów, jest równa:
n
Cnk =  
k 
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:
Jeżeli Ω jest skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń
elementarnych równoprawdopodobnych i A ⊂ Ω , to liczbę
A A m( A)
= =
P( A) =
Ω Ω m(Ω)
nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A, gdzie
A , A , m( A) – liczba wszystkich elementów zbioru A,
27
Ω , Ω , m(Ω) – liczba wszystkich elementów zbioru Ω .
Własności prawdopodobieństwa:
• 0 ≤ P ( A) ≤ 1 dla każdego A ⊂ Ω
• P(Ω) = 1 Ω - zdarzenie pewne
• P(∅) = 0 ∅ - zdarzenie niemożliwe
• P( A) ≤ P ( B ) dla A ⊂ B
• P( A′) = 1 − P( A) gdzie A′ oznacza zdarzenie przeciwne
do A ⊂ Ω
• Jeżeli A ⊂ Ω i B ⊂ Ω , to prawdopodobieństwo sumy
zdarzeń A i B
P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B)
P( A ∪ B ) ≤ P ( A) + P( B )
Zdarzenia niezależne
Zdarzenia A ⊂ Ω i B ⊂ Ω są niezależne, gdy
P( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ).
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwem warunkowym P( A \ B ) zdarzenia A pod
warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywamy liczbę
P( A ∩ B)
,
gdzie A ⊂ Ω , B ⊂ Ω i P( B) > 0.
P( A \ B) =
P( B)
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia B1 , B2 , ..., Bn ⊂ Ω, spełniają warunki:
1. Bi ∩ B j = ∅ dla i ≠ j oraz i, j ∈ {1,2,..., n}
2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω
3. P( Bi ) > 0 dla i ∈ {1,2,..., n}
to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi wzór:
P( A) = P ( A \ B1 ) ⋅ P( B1 ) + P ( A \ B2 ) ⋅ P ( B2 ) + ...P ( A \ Bn ) ⋅ P ( Bn ).
28
Twierdzenie Bernoullego
Prawdopodobieństwo PN (k ) uzyskania dokładnie k sukcesów
(0 ≤ k ≤ N ) w schemacie N prób Bernoullego
wyraża się wzorem:
N
PN (k ) =   ⋅ p k ⋅ q N − k
k 
p > 0, q > 0 i p + q = 1
gdzie:
p – prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,
q - prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.
PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH
Średnia arytmetyczna a
a + a + ... + an
a= 1 2
n
liczb a1 , a2 , a3 ,..., an jest równa
Średnia ważona mn liczb a1 , a2 , a3 ,..., an , którym przypisano
odpowiednio dodatnie wagi w1 , w2 ,..., wn jest równa
w a + w2 a2 + ... + wn an
mn = 1 1
w1 + w2 + ... + wn
Średnia geometryczna mg dodatnich liczb a1 , a2 , a3 ,..., an jest
równa
mg = n a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an
Średnia harmoniczna mh dodatnich liczb a1 , a2 , a3 ,..., an jest
równa
n
mh =
1 1
1
+ + ... +
a1 a2
an
29
Mediana M n uporządkowanych niemalejąco danych
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an jest równa
• M = a n+1 jeżeli n jest liczbą nieparzystą
2
1
• M =  a n + a n +1  , jeżeli n jest liczbą parzystą
2 2 2 
Wariancja σ 2 z n uporządkowanych danych a1 , a2 , a3 ,..., an jest
równa
(a1 − a ) 2 + (a2 − a ) 2 + (a3 − a ) 2 + ... + (an − a) 2
σ =
.
n
2
Odchylenie standardowe σ z n uporządkowanych danych
a1 , a2 , a3 ,..., an jest równa
σ = σ2 .
30
TABLICA FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
α [o ]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
sin α
cos β
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
tgα
ctgβ
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
β [o ]
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
α [o ]
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
sin α
cos β
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
tgα
ctgβ
1,0355
1,0724
1,1106
1,1504
1,1918
1,2349
1,2799
1,3270
1,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3559
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2709
3,4874
3,7321
4,0108
4,3315
β [o ]
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
4,7046
5,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6363
57,2900
–
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
32