Analiza statystyczna pomiaru jednej wielkości.

MATEMATYCZNE
MODELOWANIE PROCESÓW
BIOTECHNOLOGICZNYCH
Prezentacja – 4
Matematyczne opracowywanie wyników
eksperymentalnych
Metody statystyczne
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
UWAGI OGÓLNE
Na poprzedniej prezentacji zaznaczyłem, że wyniki eksperymentów
jakościowych są opracowywane metodami statystycznymi. Otóż
statystyka matematyczną ma zastosowanie również przy opracowywaniu
wyników ilościowych. Wiąże się to z faktem, że wszystkie eksperymenty
mają określoną dokładność.
Teraz chciałbym Państwu przedstawić podstawowe wiadomości związane
z analizą błędów eksperymentalnych.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
BŁĘDY POMIAROWE
Podstawowe informacje o błędach pomiarowych.
Najczęściej używanymi pojęciami określającymi niepewność wyników
pomiarowych są: błąd bezwzględny (absolutny) oraz błąd
względny (procentowy).
Błąd bezwzględny jest to po prostu różnica między uzyskaną wartością
zmierzoną a wartością rzeczywistą.
y  yi  y
Dokładna wartość mierzonej wielkości y na ogół nie jest znana
(jej wyznaczenie jest celem pomiaru).
Błąd bezwzględny ma ten sam wymiar, co wielkość mierzona
i może być dodatni lub ujemny.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
BŁĘDY POMIAROWE
Błąd względny jest to stosunek błędu bezwzględnego do wartości
rzeczywistej:
y yi  y
y 

y
y
Błąd względny jest bezwymiarowy i może być dodatni lub ujemny.
W popularnym zastosowaniu jest jego wartość pomnożona przez 100
nazywana względnym błędem procentowym.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
BŁĘDY POMIAROWE
Bardzo istotne z punktu widzenia statystyki są pojęcia błędu
systematycznego i przypadkowego.
Błędem systematycznym – nazywamy część błędu bezwzględnego,
która pojawia się w każdym pomiarze i której nie można wyeliminować
za pomocą powtarzania pomiarów. Przyczyną błędów systematycznych
na ogół jest ukryta wada przyrządów pomiarowych lub niewłaściwa
procedura pomiarowa.
Błąd przypadkowy – jest to natomiast ta część błędu bezwzględnego,
która powstaje na skutek wielu przyczyn pojawiających się losowo
podczas określonego pomiaru.
y  (y ) s  (y ) p
W związku z tym, że błędów systematycznych nie można zmniejszyć za
pomocą powtarzania pomiarów w dalszych rozważaniach nie będziemy
się tymi błędami zajmować tzn. będziemy przyjmować, że cały błąd ma
charakter losowy.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkłady prawdopodobieństwa stosowane w analizie statystycznej
eksperymentu fizykochemicznego.
Powtarzanie danego pomiaru daje różne wyniki, dlatego zarówno wynik
pomiaru, błąd bezwzględny jak i względny można traktować jako
zmienne losowe o pewnym rozkładzie prawdopodobieństwa. Spośród
wielu rozkładów prawdopodobieństwa stosowanych w statystyce
matematycznej fundamentalne znaczenia ma tzw.
rozkład normalny Gaussa, którego postać analityczna jest następująca:
 ( y  y0 ) 2 
1

 ( y) 
exp  
2
2
 2


Wielkość  ( y ) jest to tzw. gęstość rozkładu zmiennej losowej y.
Iloczyn
 ( y)dy
oznacza prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej
losowej y znajdować się będzie między y a y+dy.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład normalny jest określony za pomocą dwu parametrów:
y0 – oznacza środek rozkładu,

- oznacza szerokość rozkładu.
Można wykazać, że środek rozkładu normalnego jest jednocześnie
wartością oczekiwaną (w znaczeniu teorii prawdopodobieństwa)
zmiennej losowej y, natomiast szerokość rozkładu σ jest jednocześnie
odchyleniem standardowym zmiennej losowej y.
Kwadrat odchylenia standardowego σ2 nazywany jest wariancją
rozkładu zmiennej losowej.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Rozkłady prawdopodobieństwa
Przykładowy wykres rozkładu normalnego:
ρ(y)
0.4
0.3
0.2
0.1
y
-3
-2
-1
1
2
Przedstawiony rozkład ma parametry: y0=0, σ=1
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
Rozkłady prawdopodobieństwa
Odchylenie standardowe wskazuje, że prawdopodobieństwo tego że
wynik pomiaru będzie zawierał się w granicach:
y0    y  y0  
wynosi 68,26 %.
Wartość ta określa tzw. poziom ufności często stosowany
w statystyce. Podwyższenie poziomu ufności skutkuje dopuszczeniem,
że błąd będzie większy niż wartość σ. Np. przedział y0  2
posiada poziom ufności 95,45 %.
Zależność między poziomem ufności a dopuszczalnym zakresem błądu
określa tzw. funkcja błędu będąca całką rozkładu normalnego:
 z2 
1
P( y0  y  y  y0  y)  erf (t ) 
exp   dz

2 t
 2
gdzie y  t Wyrażenie po lewej stronie (3.45) oznacza
t
prawdopodobieństwo (poziom ufności) otrzymania
wyniku w zakresie y0  y
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
Analiza statystyczna pomiaru jednej wielkości.
W niektórych eksperymentach fizykochemicznych wyznacza się jedną
wielkość y za pomocą n pomiarów prowadzonych w podobnych warunkach.
Zakładając, że błędy wpływające na wynik pomiaru mają charakter losowy
można wykazać, że rozkład zmiennej losowej będącej wynikiem pomiarów
jest rozkładem normalnym, którego środek jest dobrą miarą wielkości
mierzonej, a odchylenie standardowe jest dobrą miarą wartości
bezwzględnej średniego błędu bezwzględnego.
Załóżmy, że wykonaliśmy n pomiarów, których wyniki tworzą dyskretny zbiór
{ yi }  { y1, y2 ,..., yn }
Założenie o normalnym rozkładzie wyników prowadzi do wniosku, że
najlepszą miarą środka rozkładu, czyli rzeczywistej wartości y jest średnia
arytmetyczna y
y1  y2  ...  yi  ... yn 1 n
yn 
  yi
n
n i 1
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
Znajomość zbioru pomiarowego { y
i
}
pozwala również na obliczenie dobrego oszacowania wariancji
rozkładu normalnego σn2:
n
1
2
 n2 
(
y

y
)

i
n  1 i 1
Wielkości
yn
i
 n2
mają ważne własności graniczne:
lim( yn )  y0
n
2
2
(

)


lim n
n
Oznacza to, że rozkład normalny jest rozkładem granicznym przy
nieskończonej liczbie pomiarów. W rzeczywistości zazwyczaj
wystarczająca liczba pomiarów to kilka lub kilkanaście.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
W praktyce bardzo istotne jest oszacowanie wariancji.
Pozwala ono na obliczenie odchylenia standardowego będącego miarą
niepewności (czyli błędu) wyznaczanej wielkości:
n
1
2
 n   n2 
(
y

y
)
 y i

i
n
n  1 i 1
Wzór powyższy określa oszacowanie odchylenia standardowego pojedynczego
pomiaru. Średnia arytmetyczna wszystkich pomiarów jest oczywiście
dokładniejsza a oszacowane dla niej odchylenie standardowe dane jest wzorem:
n
n
1
2
 ( yn ) 

(
y

y
)

i
n
n(n  1) i 1
n
Zauważmy, że pojawiają się tutaj sumy kwadratów różnicy wartości mierzonej
i średniej arytmetycznej. Zatem zastosowanie metody najmniejszych kwadratów
prowadzi do minimalizacji odchylenia standardowego mierzonej wielkości.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
Zasady przenoszenia i kumulacji błędów.
W wielu przypadkach ostateczny wynik eksperymentu powstaje na
skutek pewnego przekształcenia wyniku pomiarowego. Przykładowo,
objętość kuli otrzymamy po zmierzeniu jej średnicy i zastosowaniu
odpowiedniego wzoru. W takim przypadku zmianie ulegnie również błąd.
Zasada przenoszenia błędu, w przypadku przekształcenia jednej
wielkości polega na zastosowaniu wzoru:
dq( y )
q 
y
dy
gdzie mierzoną wielkością jest y, a końcowy wynik q otrzymujemy
na podstawie funkcji q( y )
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
Zasady przenoszenia i kumulacji błędów.
Dosyć często, końcowy wynik q jest rezultatem niezależnych pomiarów
różnych wielkości
yi
i  1,2,..., N
oraz funkcji wielu zmiennych:
q  q( y1 , y2 ,..., yN )
Załóżmy, że znamy oszacowania błędów pomiarów poszczególnych
zmiennych:
yi
i  1,2,..., N Oszacowanie błędu końcowej wielkości jest
dane wzorem:
2
2
 q

 q
  q

q  
y1   
y2   ...  
yN 
 y1
  y2

 yN

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
2
Analiza statystyczna pomiarów
Analiza statystyczna eksperymentu wyznaczającego zależność funkcyjną.
W ogromnej większości, eksperymenty polegają na doświadczalnym
wyznaczaniu wartości pewnej funkcji jednej lub wielu zmiennych.
Celem eksperymentu jest albo sama funkcja (np. zależność
prężności pary nasyconej od temperatury), albo jej parametry
(np. wartość energii aktywacji w zależności Arrheniusa).
Funkcję (lub jej parametry) wyznacza się prowadząc szereg pomiarów
w wybranych z dziedziny funkcji punktach. Pomiary w różnych punktach,
ściśle rzecz biorąc, są pojedynczymi eksperymentami opisanymi przez
pojedyncze zmienne losowe (różne dla różnych pomiarów). Aby
przeprowadzić analizę statystyczną takich pomiarów, zakłada się że
prowadzone są one z taką samą dokładnością a zmienna losowa opisująca
ich błędy bezwzględne ma rozkład normalny o środku 0 i pewnej
szerokości równej średniemu odchyleniu standardowemu.
Na podstawie tego założenia można przeprowadzić aproksymację funkcji
metodą najmniejszych kwadratów oraz oszacować średnie błędy wartości
funkcji i jej parametrów.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
W przypadkach, kiedy dokładności poszczególnych pomiarów są istotnie
różne, słuszność powyższego założenia można zachować, wprowadzając
odpowiednie wagi sprowadzające różne rozkłady losowe do jednego
rozkładu ważonego.
Załóżmy, że wykonano n pomiarów w różnych punktach xi.
Punkty te tworzą dyskretny zbiór {xi}.
Wagi poszczególnych pomiarów są określone przez nieujemne liczby wi.
Wyniki pomiarów dają dyskretny zbiór {yi}.
Następnie za pomocą metody najmniejszych kwadratów aproksymujemy
dyskretną funkcję eksperymentalną, otrzymując ciągłą funkcję modelową:
y  f ( x, a1 , a1 ,..., ak )
Znajomość tej funkcji pozwala na oszacowanie średnich wartości wariancji
i odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru wielkości y:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
 y2 
n
n
n
(n  k ) wi
2
w
[
y

f
(
x
,
a
,
a
,...,
a
)]
 i i
i
1
2
k
i 1
i 1
 y   y2 
n
n
n
(n  k ) wi
i 1
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
2
w
[
y

f
(
x
,
a
,
a
,...,
a
)]
 i i
i
1
2
k
i 1
Analiza statystyczna pomiarów
W częstym przypadku, gdy pomiary są jednakowo ważne a liczba
parametrów wynosi 2, wzór określający odchylenie standardowe
przyjmuje postać:
n
1
2
 y   y2 
[
y

f
(
x
,
a
,
a
)]

i
i
1
2
(n  2) i 1
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
Niepewności parametrów w metodzie najmniejszych kwadratów
Wyznaczone metodą najmniejszych kwadratów parametry a1,a2,…,ak
funkcji aproksymującej f(x) są również obarczone niepewnością.
Oszacowanie wariancji tych parametrów dla przypadku funkcji liniowej
ze względu na parametry jest dane za pomocą wzoru:
  w det  B ( x ) 
n
 
2
aj
2 i 1
y
i
j
2
i
det B
2
j  1, 2,..., k
gdzie B jest macierzą główną układu równań opisujących współczynniki
natomiast B j ( xi ) jest macierzą kwadratową rzędu k, powstałą przez
zastąpienie j – tej kolumny w macierzy B wektorem:
[1 ( xi ), 2 ( xi ),..., r ( xi ),..., k ( xi )]
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
Przypominam, że funkcja liniowa ze względu na parametry ma postać:
k
f ( x, a1 , a2 ,..., ak )  a11 ( x)  a22 ( x)  ...  akk ( x)   a j j ( x)
j 1
gdzie
1 ( x), 2 ( x),..., k ( x)
są to stosunkowo proste ale liniowo
niezależne tzw. funkcje bazowe.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
Natomiast liniowy układ równań określający współczynniki ma postać:
a1b11  a2b12  ...  ak b1k  c1
a1b21  a2b22  ...  ak b2 k  c2
...........................................
a1bk1  a2bk 2  ...  ak bkk  ck
gdzie:
n
 w
i 1
i
j
( xi ) r ( xi )  brj
n
 w y  (x )  c
i 1
i
i
r
i
r
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Analiza statystyczna pomiarów
n
W przypadku pomiarów jednakowo ważnych gdy wi=1 oraz
w
i 1
i
wzór powyższy można uprościć do wyrażenia:
 
2
aj
2
y
det B jj
det B
j  1, 2,..., k
gdzie: B jj oznacza macierz k-1 rzędu powstałą przez skreślenie
w macierzy B j – tej kolumny oraz j – tego wiersza.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
n
Analiza statystyczna pomiarów
Dla funkcji liniowej postaci f(x)=a1+a2x w przypadku pomiarów
jednakowo ważnych wyrażenia określające wariancje parametrów
przyjmują następującą postać:
n
 a2 
1
2
x
i
i 1
n
2
[
y

(
a

a
x
)]
 i 1 2i
i 1
(n  2)  n 2   n  2
n   xi     xi 
 i 1   i 1 
n

2
a2
2
[
y

(
a

a
x
)]
 i 1 2i
n
i 1

(n  2)  n 2   n  2
n   xi     xi 
 i 1   i 1 
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
To tyle na dzisiaj.
Dziękuję bardzo Państwu za uwagę.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej