Modelowanie matematyczne

MATEMATYCZNE
MODELOWANIE PROCESÓW
BIOTECHNOLOGICZNYCH - 1
Wprowadzenie – Istota i
klasyfikacja modelowania
matematycznego
Proste przykłady
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Zakres zajęć
Tematyka naszych zajęć będzie zawierać następujące elementy:
• Powtórzenie niektórych podstaw matematyki, które są niezbędne w
praktyce modelowania matematycznego.
• Przypomnienie i rozszerzenie wiadomości dotyczących analitycznego
i numerycznego rozwiązywania równań liczbowych.
•Podstawowe wiadomości o równaniach różniczkowych.
Analityczne i numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych.
• Zastosowanie metod modelowania matematycznego w kinetyce
chemicznej.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
2
Co to jest modelowanie ?
Modelowaniem nazywamy odwzorowanie (opis)
pewnego fragmentu rzeczywistości za pomocą
za pomocą obiektu nazywanego modelem.
Fragment
rzeczywistości
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Modelowanie
Model
3
Rodzaje modelowania
W zależności od tworzonego modelu możemy rozróżniać
wiele rodzajów modelowania. I tak mamy:
• Modelowanie fizyczne, gdy model jest obiektem fizycznym.
• Modelowanie opisowe, gdy model jest słownym lub
pisemnym opisem modelowanej rzeczywistości.
• Modelowanie obrazowe, gdy model jest graficzną
ilustracją modelowanego obiektu.
• Modelowanie matematyczne, gdy model jest zbiorem
formuł matematycznych.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
4
Definicja modelowania
matematycznego
Modelowanie matematyczne jest to opis rzeczywistego
zjawiska fizykochemicznego lub procesu inżynieryjnego
za pomocą zestawu formuł matematycznych.
Podstawą takiego opisu są podstawowe prawa fizyki i chemii.
Celem modelowania jest uzyskanie pewnych ilościowych
informacji dotyczących danego zjawiska lub procesu
przy ograniczeniu eksperymentów do minimum.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
5
Istota modelowania
matematycznego
Świat realny
Świat matematyki
Proces inżynierii np. destylacja, ekstrakcja,
suszenie,…
a,b,c,… – znane lub założone parametry
ilościowe opisujące proces, np. ilość surowca
w destylacji, skład surowca, ilość destylatu, Budowa
jego skład
modelu
z1,z2,…,zn – niewiadome parametry
niezbędne do projektowania i prowadzenia
procesu, np. ilość cieczy wyczerpanej i jej
skład
z1,z2,…,zn
Φ1(a,b,…,z1,z2,…,zn)=0
Φ2(a,b,…,z1,z2,…zn)=0
…………………………..
Φn(a,b,…,z1,z2,…,zn)=0
Interpretacja
niewiadomych
jako parametrów
rzeczywistego
procesu
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Rozwiązanie
modelu
z1,z2,…,zn
6
Proste przykłady modelowania
matematycznego
Przykład 1.
Bardzo prostym przykładem modelowania matematycznego procesu
inżynieryjnego może być bilansowanie procesu destylacji ciągłej
roztworu dwuskładnikowego.
Załóżmy że należy ciecz dwuskładnikową w ilości S o zawartości xS
składnika lotnego rozdzielić na destylat o składzie xD oraz ciecz
wyczerpaną o składzie xW.
Ilość destylatu D i cieczy wyczerpanej W jest niewiadoma.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Proste przykłady modelowania
matematycznego
D, xD
Modelowanie w tym przypadku polega na
sformułowaniu dwu równań bilansowych
opartych na prawie zachowania masy:
S, xS
S  D W
SxS  Dx D  WxW
Rozwiązując układ równań ze względu
na niewiadome D i W otrzymujemy:
W, xW
xS  xW
DS
x D  xw
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
x D  xS
W S
x D  xw
8
Proste przykłady modelowania
matematycznego
Przykład 2.
Drugi przykład modelowania matematycznego dotyczy zjawiska opadania
cząstek ciała stałego w płynach mającego istotne znaczenie w procesie
sedymentacji. Dla prawidłowego opisu tego procesu niezbędna jest
znajomość zależności prędkości swobodnego opadania cząstek wo od szeregu
parametrów takich jak: średnica cząstki d, gęstość płynu ρ, gęstość ciała
stałego ρs, lepkość dynamiczna płynu η i przyspieszenie ziemskie g.
wo  f (d ,  ,  s , , g )
Funkcję powyższą można by wyznaczyć eksperymentalnie, ale wymagałoby
to olbrzymiej liczby doświadczeń i byłoby niezmiernie kosztowne.
Modelowanie matematyczne oparte na podstawowych prawach fizyki
pozwoli na stosunkowo łatwe wyprowadzenie wzorów określających
powyższą zależność i ograniczenie liczby niezbędnych eksperymentów.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
9
Proste przykłady modelowania
matematycznego
Konstruując model zastosujmy najpierw
I zasadę dynamiki Newtona zgodnie z którą:
R
W
G
Ruch cząstki
jest ustalony

Siły działające
na cząstkę
są zrównoważone
Siły działające na cząstkę:
- siła grawitacji G
- siła wyporu (Archimedesa) W
- siła oporu R działająca przeciwnie do kierunku
ruchu cząstki.
Wartości powyższych sił możemy określić
za pomocą wzorów:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
10
Proste przykłady modelowania
matematycznego
G  ms g   sVs g   s
d 3
g
6
d 3
W  m p g  Vs g  
g
6
wo2 
d 2 wo2 
R  As

  f (Re)
2
4 2
Główne równanie modelu jest bilansem sił wynikającym
z I zasady dynamiki Newtona:
W  R  G 
d 2 wo2 
4
2

d 3
6
g  s
d 3
6
g
Upraszczając i uwzględniając, że współczynnik oporu ζ jest funkcją
liczby Reynoldsa otrzymujemy model w postaci układu 3 równań:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
11
Proste przykłady modelowania
matematycznego
4 2
wo   d (  s   ) g
3
  f (Re)
Re 
wo d

W układzie tym mamy 3 niewiadome: główna – prędkość opadania wo
i 2 pomocnicze – współczynnik oporu ζ oraz liczba Reynoldsa Re.
W celu rozwiązania powyższego układu niezbędną jest znajomość funkcji
określającej zależność współczynnika oporu od liczby Re. Dla cząstek kulistych
postać funkcji f(Re) zależy od zakresu Re:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
12
Proste przykłady modelowania
matematycznego
Re  1.89
1.89  Re  513
Re  513
24

Re
18.6
  0.6
Re
  0.44
zakres Stokesa
zakres Allena
zakres Newtona
Rozwiązanie modelu będzie zależało od zakresu i w każdym zakresie
będzie opisywane za pomocą innego wzoru. Podstawiając odpowiednie
wzory i rozwiązując nieliniowy układ równań otrzymujemy zależności
określające prędkość ustalonego opadania kulistych cząstek ciała
stałego w płynach:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
13
Proste przykłady modelowania
matematycznego
dla
Re  1.89
d 2 (s   ) g
wo 
18
dla
1.89  Re  513
    
wo  0.1522  d  s
 g
    
dla
Re  513
d (s   ) g
0.33
wo 
0.7143
 d 





0.4286
Dla przykładu oszacujmy za pomocą powyższego modelu prędkość swobodnego
opadania człowieka ważącego 80 kg w powietrzu. Gęstość powietrza możemy
przyjąć ρ=1.2 kg/m3, gęstość ciała ρs=1000 kg/m3, średnicę jako średnicę kuli
o tej samej objętości d=[6·80/(π ·1000)]1/3=0.535 m.
Zakładając, że jesteśmy w obszarze Newtona otrzymujemy prędkość opadania:
wo=[0.535(1000-1.2)·9.81 /(0.33·1.2)]1/2=115 m/s
Re=115·0.535·1.2/18·10-6=4.1·106 Re>513.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
14
Proste przykłady modelowania
matematycznego
Przy okazji rozważania przedstawionych tutaj przykładów omówmy
zagadnienie uproszczeń dokonywanych przy formułowaniu równań
modelowych. Uproszczenia są niezbędne gdyż na ogół modelowana
rzeczywistość jest złożona i uwzględnienie wszystkich jej aspektów
jest niemożliwe. Modelujący musi dokonywać wyboru tych aspektów,
które są niezbędne i pomijać te aspekty, które w jego ocenie nie są
istotne.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
15
Proste przykłady modelowania
matematycznego
W przykładzie 1 założono, że proces destylacji jest ustalony
oraz że podczas procesu nie odbywa się żadna reakcja chemiczna
z udziałem rozważanych składników.
W przykładzie 2 założono, że opadanie cząstki jest ustalone oraz że
cząstka ma kształt kulisty.
Nie zawsze wszystkie założenia upraszczające są zasadne. Przykładowo
rozważmy zjawisko opadania cząstki w płynie, ale interesuje nas
początkowy okres opadania. W taki przypadku oczywiście założenie,
że proces jest ustalony jest nieuprawnione. Musimy zbudować model
bez tego założenia.
Model taki przedstawię Państwu jako kolejny przykład.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
16
Proste przykłady modelowania
matematycznego
Przykład 3.
Modelować będziemy swobodne opadanie cząstki ciała stałego w płynie.
Ogólny opis zjawiska jest analogiczny jak w przykładzie 2. Na cząstkę
działają 3 siły: grawitacji G, wyporu W i oporu R. Ponieważ nie zakładamy,
że opadanie jest ustalone więc również te 3 działające siły w ogólnym
przypadku nie są zrównoważone. Dla sformułowania głównego równania
modelu użyjemy II prawa dynamiki Newtona zgodnie z którym, wypadkowa
układu sił działającego na cząstkę jest równa iloczynowi masy cząstki
i jej przyśpieszenia tzn. pochodnej prędkości po czasie:
dw
F  G  W  R  ms a  m s
dt
Podstawiając do powyższego równania wyrażenia określające poszczególne
siły oraz zakładając że cząstka jest kulą o średnicy d otrzymujemy
zasadnicze równanie modelu w postaci:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
17
Proste przykłady modelowania
matematycznego
dw w2  w2

dt
ho
w 
gdzie
4 d (s   )g
3

4s d
ho 
3
Jak widzimy, w głównym równaniu modelu występuje operacja różniczkowania
zatem jest to równanie różniczkowe. Niewiadomą jest tutaj funkcja prędkości
opadania cząstki od czasu w(t). Jest to równanie nieliniowe (człon w2) I rzędu.
Dla jednoznacznego rozwiązania równania konieczne jest jeszcze sformułowanie
warunku początkowego, który w tym przypadku jest bardzo prosty.
Załóżmy mianowicie że na początku procesu cząstka jest nieruchoma co
można zapisać jako:
w(0)  0
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
18
Proste przykłady modelowania
matematycznego
W celu rozwiązania naszego modelu musimy jeszcze rozważyć
współczynnik oporu ζ. Jak pamiętamy jest on funkcją liczby Reynoldsa
czyli prędkości. Jednak w obszarze Re>500 tzn. w obszarze Newtona
współczynnik ten jest stały. Zatem stałe będą również wielkości
w∞ i ho występujące w równaniu różniczkowym. Równanie to możemy
przekształcić rozdzielając zmienne a następnie scałkować uwzględniając
warunek początkowy.
dw
dt

2
2
w  w
ho
1
2 w

dw
2 w
 1
1  dt

 

 w  w w  w  ho
 1
1 
dt
0  w  w  w  w dw  0 ho
w
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
t

19
Proste przykłady modelowania
matematycznego
1
2 w
t
 1
1 
dt
0  w  w  w  w dw  0 ho
w
 w  w  2 w t
 
ln 
ho
 w  w 


 2 w 
exp 
t   1
ho 

w(t )  w
 2w 
exp 
t   1
 ho 
Otrzymana jako rozwiązanie modelu funkcja przedstawia szukaną zależność
prędkości opadania cząstki ciała stałego od czasu. Zauważmy, że funkcja
ta spełnia warunek początkowy, natomiast granicznie dla t=>∞ prędkość
ustala się na poziomie w∞. Tą samą wartość otrzymaliśmy w przykładzie 2
rozpatrując proces ustalony. Dla parametrów określonych w przykładzie 2
wykres funkcji w(t) jest następujący:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
20
Proste przykłady modelowania
matematycznego
w [m/s]
w∞
100
80
60
40
20
10
20
30
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
40
50
60
t [s]
21
Klasyfikacja modelowania
matematycznego
W zależności od rodzaju formuł matematycznych w opisie problemu
modelowanie matematyczne możemy sklasyfikować zgodnie ze schematem:
Modelowanie
matematyczne
Modelowanie
algebraiczne
Równania
liniowe
Modelowanie
różniczkowe
Równania
nieliniowe
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Równania
zwyczajne
Równania
cząstkowe
22
Klasyfikacja modelowania
matematycznego
Modelowanie algebraiczne polega na opisie zjawiska lub procesu
za pomocą układu równań algebraicznych z pewną liczbą niewiadomych.
Aby model był rozwiązywalny na ogół liczba równań powinna być
równa liczbie niewiadomych.
Układ ten może być liniowy jak w naszym pierwszym przykładzie lub
nieliniowy jak w przykładzie opisującym swobodne opadanie.
Modelowanie algebraiczne występuje zazwyczaj w problemach bilansowych
procesów ustalonych oraz przy wyznaczaniu stanów równowagi fazowej
lub chemicznej.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
23
Klasyfikacja modelowania
matematycznego
Modelowanie różniczkowe mamy wtedy gdy zasadnicze formuły
modelu są równaniami różniczkowymi.
Równania te mogą być zwyczajne gdy opisują funkcje zależne od jednej
zmiennej lub cząstkowe gdy dotyczą funkcji wielu zmiennych.
W zastosowaniach inżynieryjnych w równaniach zwyczajnych zmienną
najczęściej jest czas, natomiast w równaniach cząstkowych zmiennymi są
czas i parametry przestrzenne.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
24
Klasyfikacja modelowania
matematycznego
Należy zwrócić uwagę, że w modelowaniu różniczkowym oprócz
zasadniczych równań różniczkowych, dla zapewnienia jednoznaczności,
konieczne jest zazwyczaj sformułowanie dodatkowych, tzw. warunków
początkowych i brzegowych, które najczęściej mają charakter równań
algebraicznych.
Modelowanie różniczkowe stosujemy do:
- opisu procesów ustalonych w aparatach przestrzennych,
- opisu procesów nieustalonych w aparatach lub cząstkach.
Modelowaniem różniczkowym jest bardzo często stosowane w kinetyce
chemicznej gdzie rozpatruje się zagadnienie szybkości różnych
reakcji chemicznych.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
25
Przypomnienie elementarnych
zagadnień z matematyki
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry
Jednym z podstawowych pojęć w matematyce jest pojęcie liczby.
Liczby tworzą pewne systemy (zbiory) nazywane przestrzeniami
algebraicznymi. W przestrzeniach algebraicznych kluczową rolę
odgrywają różne operacje na elementach nazywane działaniami.
Przypomnimy teraz najważniejsze rodzaje liczb i związanych z nimi
przestrzeni algebraicznych.
1.
Liczby naturalne, N={1,2,3,….}.
W zbiorze liczb naturalnych możliwe jest tylko dodawanie i
mnożenie.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry
2.
Liczby całkowite, I={…-2,-1,0,1,2…}.
W zbiorze liczb całkowitych możliwe jest dodawanie i
odejmowanie oraz mnożenie.
3.
Liczby wymierne, w€W<=>w=i1/i2, i1,i2€I, i2≠0.
Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postać ułamka dwu
liczb całkowitych. W zbiorze liczb wymiernych możliwe jest
dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry cd.
4.
Liczby rzeczywiste, r€R.
Zbiór liczb rzeczywistych odgrywa podstawową rolę zarówno w
algebrze jak i analizie matematycznej. Dokładna definicja liczb
rzeczywistych jest dosyć trudna i nie będę jej tutaj podawał.
W zbiorze liczb rzeczywistych możliwe jest dodawanie i
odejmowanie, mnożenie i dzielenie ( z wyjątkiem zera). Ze
względu na te działania zbiór liczb rzeczywistych jest tzw. ciałem
algebraicznym. Z pewnymi ograniczeniami w zbiorze liczb
rzeczywistych można definiować inne operacje algebraiczne takie
jak: potęgowanie i pierwiastkowanie.
Za pomocą liczb rzeczywistych opisujemy wielkości fizyczne
nazywane skalarami.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry cd.
5.
Liczby zespolone, z€C
z=(x,y) x,y€R, i=√(-1) jednostka urojona.
Liczby zespolone odgrywają ważną rolę w różnych modelach
matematycznych stosowanych w inżynierii. Zbiór liczb zespolonych,
podobnie jak zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem algebraicznym, w
którym możliwe są dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i
dzielenie. Liczby zespolone mają tradycyjną interpretację algebraiczną,
w której zapisywane są one jako suma dwu części: rzeczywistej
i urojonej
z  x  iy
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Elementy algebry cd.
Oprócz algebraicznej istnieje też geometryczna interpretacja
liczb zespolonych, w której liczby te są utożsamiane z punktami
na płaszczyźnie:
z=x+iy
y
x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne
Funkcją nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie pewnej liczby
y€Y liczbie x€D. Przyporządkowanie to zapisujemy w postaci:
y  f (x)
Zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji, natomiast zbiór D jest
to tzw. dziedzina funkcji. Zbiory X i Y mogą być równe zbiorowi R
liczb rzeczywistych lub też mogą być podzbiorami tego zbioru.
Elementy zbioru X nazywamy zmienną niezależną x.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne
Z pośród wielu funkcji wyróżniamy tzw. funkcje elementarne, do
których należą:
1. Funkcje algebraiczne. Są to funkcje zapisane za pomocą wzoru,
w którym występują tylko operatory algebraiczne tzn. dodawanie,
odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz potęgowanie całkowite.
Przykłady funkcji algebraicznych:
y  2x  5
y  3x 3  2 x 2  5
x
y
4x  3
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
2. Funkcje potęgowe.
Są to funkcje, w których zmienna niezależna x występuje jako
podstawa podniesiona do potęgi α (α dowolna liczba naturalna,
całkowita, wymierna lub rzeczywista).
yx
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

Funkcje elementarne cd.
3.
Funkcje wykładnicze. Są to funkcje, w których zmienna niezależna x
występuje w wykładniku potęgi jakiegoś wyrażenia. Dosyć często
podstawą takiej funkcji jest niewymierna liczba e. W takim przypadku
funkcję nazywamy ekspotencjalną i oznaczamy ją za pomocą symbolu:
y  exp( x)  e
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
x
4.
Funkcje elementarne cd.
Funkcje logarytmiczne. Są to funkcje odwrotne do funkcji
wykładniczych. Zmienna niezależna x występuje tutaj pod znakiem
logarytmu, najczęściej o podstawie e. W takim przypadku mamy do
czynienia z tzw. logarytmem naturalnym. Najprostsza funkcja
logarytmiczna ma zapis:
y  ln( x) 
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
x  ey
5.
Funkcje elementarne cd.
Funkcje trygonometryczne. Są to funkcje zdefiniowane za pomocą
odpowiednich stosunków długości boków trójkąta prostokątnego.
Zmienną niezależną w tych funkcjach jest kąt w trójkącie wyrażony
w mierze łukowej. Najczęściej stosowane są podstawowe 4 funkcje
trygonometryczne:
y  sin( x) y  cos( x) y  tan( x) y  cot( x)
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Funkcje elementarne cd.
6.
Funkcje hiperboliczne. Są to funkcje zdefiniowane za pomocą pewnych
kombinacji funkcji ekspotencjalnych.
e x  e x
sinh( x) 
2
sinh( x) e x  e  x
tanh( x) 
 x
cosh( x) e  e  x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
e x  e x
cosh( x) 
2
cosh( x) e x  e  x
coth( x) 
 x x
sinh( x) e  e
Funkcje elementarne cd.
Wykresy funkcji hiperbolicznych:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Wybrane własności funkcji
Niektóre funkcje spełniają pewne szczególne własności pomocne
w ich zastosowaniu. Najważniejsze są następujące własności:
1. Parzystość. Funkcja f(x) jest parzysta jeżeli spełnia warunek:
f ( x)  f ( x)
Parzyste są np. funkcje: x2, cos(x), cosh(x). Wykresy funcji
parzystych są symetryczne względem osi y.
2. Nieparzystość. Funkcja f(x) jest nieparzysta jeżeli spełnia
warunek:
f ( x)   f ( x)
Nieparzyste są np. funkcje: x3, sin(x), tan(x). Wykresy funkcji
nieparzystych są symetryczne względem początku układu
współrzędnych.
Uwaga. Większość funkcji nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
Wybrane własności funkcji cd.
3. Okresowość. Funkcja f(x) jest okresowa jeżeli spełnia warunek:
f ( x)  f ( x  x0 )
Stałą wartość x0 nazywamy okresem funkcji. Okresowe są
wszystkie funkcje trygonometryczne. Okres funkcji sinus i kosinus
wynosi 2π a funkcji tanges i kotanges π.
4. Monotoniczność. Mówimy że funkcja jest monotoniczna jeżeli
jest ona w całym rozważanym przedziale albo rosnąca albo
malejąca. Funkcje które posiadają ekstrema tzn. maksima
lub minima nie są monotoniczne.
Monotoniczne są np. funkcje 2x, x3, ex. Funkcje trygonometryczne
są monotoniczne tylko w ograniczonych przedziałach.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
RÓWNANIA
Olbrzymią rolę w modelowaniu odgrywają wszelkiego rodzaju równania.
Równaniem nazywamy formułę, w której po dwu stronach równości
występują różne wyrażenia. W wyrażeniach tych występują pewne
nieznane obiekty które oznaczymy ogólnie {x} oraz znane parametry
które oznaczymy jako {a}. Ogólną postać równania możemy zapisać
następująco:
W1[{x},{a}]  W2[{x},{a}]
lub prościej po przeniesieniu jednego z wyrażeń na drugą stronę:
W [{x},{a}]  0
W zależności od rodzaju obiektów {x} i {a} mamy różne rodzaje równań.
Najprostsze są równania liczbowe, w których niewiadoma jest jedna lub
kilka liczb zwanych pierwiastkami równania. Parametry {a} stanowią
w takim przypadku układ znanych liczb. W wyrażeniu W występują
operatory algebraiczne (działania) oraz na ogół funkcje elementarne.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
RÓWNANIA
LICZBOWE
Równania liczbowe mogą mieć jedną lub więcej niewiadomych.
Ogólną postać równania liczbowego z jedną niewiadomą możemy
zapisać w postaci:
F ( x, a1 , a2 ,...an )  0
W zależności od funkcji występujących w równaniu, równania
dzielimy na algebraiczne, wymierne i przestępne. Równanie
algebraiczne ma postać:
an x n  an 1 x n 1  an 2 x n2  ...  a0  0
an  0
Mówimy, że równanie takie jest stopnia n. Najprostsze są równania
algebraiczne stopnia 1 – liniowe i 2 – kwadratowe. Parametry równania
algebraicznego nazywamy współczynnikami. Najczęściej współczynniki
są liczbami rzeczywistymi. Ogólnie równanie algebraiczne ze współczynnikami
rzeczywistymi stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
Równanie stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej 1 pierwiastek.
Równanie stopnia parzystego może nie mieć w ogóle pierwiastków
rzeczywistych.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ
Rozwiązanie równania liczbowego polega na znalezieniu wszystkich
wartości x1, x2, …xn spełniających dane równanie. Rozwiązywanie
równań może być analityczne (dokładne), gdy pierwiastki równania
mogą być przedstawione za pomocą wzoru:
x    (a1 , a2 ,...an )
Analitycznie można rozwiązywać wszystkie równania algebraiczne do stopnia 4,
niektóre równania algebraiczne wyższych stopni oraz niektóre równania
przestępne.
Druga grupa metod rozwiązywania równań są to metody przybliżone,
często określane jako tzw. metody numeryczne. Metody te polegają
na konstrukcji pewnego ciągu nieskończonego, którego granicą jest szukany
pierwiastek danego równania.
x1 , x2 ,...xi ,...  x
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH
1. Równania 1 – go stopnia (liniowe).
a1 x  a0  0
a0
x 
a1

2. Równania 2 – go stopnia (kwadratowe)
a2 x 2  a1 x  a0  0
  a12  4a0 a2
 a1  
x 
2a2

1
 a1  
x 
2a2

2
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
3. Równania 3 – go stopnia (kubiczne).
3
2
3
2
1
0
a y a y a ya 0
Podstawienie
a2
y  x
3a3
x 3  px  q  0
3a3a1  a
p
3a32
2
2
prowadzi do równania z dwoma
parametrami p i q:
gdzie
a0 a1a2 2  a2 
q   2   
a3 3a3 27  a3 
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
Równania 3 – go stopnia cd.
Otrzymane po podstawieniu równanie rozwiązuje się w zależności
od wartości wyróżnika Δ zdefiniowanego wzorem:
3
 p q
    
 3  2
2
Mogą zachodzić 3 przypadki:
I.   0
Równanie ma 1 pierwiastek rzeczywisty, który możemy
obliczyć za pomocą wzoru Cardana (lub Tartagli):
q
q
3
x    
 
2
2

3
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
II.
0
Równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste, które możemy
obliczyć za pomocą wzorów:
p
x  
3

1
p
x  
3

1
x  0
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
x2  3  4q dla q  0
x2  3  4q dla q  0
dla q  0
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
III.
0
Równanie ma 3 pierwiastki rzeczywiste, które możemy
obliczyć za pomocą wzorów:
  
   2  
   4 
x  2r cos  x2  2r cos
 x2  2r cos

3
 3 
 3 

1
p
gdzie : r  
3
 q 
  arccos  3 
 2r 
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
Przykłady liczbowe rozwiązywania równań kubicznych
y  2y  2y  3  0
3
P1:
Podstawienie
2
2
y  x
 x
3
3
2
Obliczając parametry p i q:
3a3a1  a22 3 1 (2)  (2) 2
10
p


2
2
3a3
3 1
3
3
a0 a1a2 2  a2   3  2  (2) 2   2 
133
q   2    

 
 
a3 3a3 27  a3 
1
3
27  1 
27
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
otrzymujemy równanie:
x3 
10
133
x
0
3
27
Teraz obliczamy wyróżnik Δ:
 p   q    10    133  169
       
0
 
 
36
 3   2   3  3   2  27 
3
2
3
2

13
6
Równanie ma zatem 1 pierwiastek rzeczywisty, który możemy obliczyć
za pomocą wzoru Cardano:
133 13 3 133 13 7
x
  
 
2  27 6
2  27 6 3
3
Pierwiastek wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego
podstawienia:
2 7 2
y  x
3

3

3
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
y  8 y  20 y  16  0
3
P2:
Podstawienie
8
8
y  x
 x
3
3
2
Obliczając parametry p i q:
3a3a1  a22 3 1 (20)  (8) 2
4
p


2
2
3a3
3 1
3
3
a0 a1a2 2  a2   16 20  (8) 2   8 
16
q   2    

 
 
a3 3a3 27  a3 
1
3
27  1 
27
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
otrzymujemy równanie:
x3 
4
16
x
0
3
27
Teraz obliczamy wyróżnik Δ:
 p   q    4    16 
       
 
 0
 3   2   3  3   2  27 
3
2
3
2
Równanie ma zatem 2 pierwiastki rzeczywisty, który możemy obliczyć
za pomocą wzorów dla q<0:
p
4
2
x1     

3
3 3
3
 16 4
x2   4q   4

27
3
3
3
Pierwiastki wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego
podstawienia:
y1  x1 
8
2 8
  2
3
3 3
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
y 2  x2 
8 4 8
  4
3 3 3
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
8 y 3  20 y 2  194 y  91  0
P3:
Podstawienie
a2
20
5
y  x
 x
 x
3a3
38
6
prowadzi do równania z parametrami p i q:
3a3a1  a22 3  8  (194)  (20) 2
79
p


2
2
3a3
38
3
3
a0 a1a2 2  a2  91 194  (20) 2  20 
884
q  2    

 
 
2
a3 3a3 27  a3 
8
38
27  8 
27
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
3
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
otrzymujemy równanie:
79
884
x  x
0
3
27
3
Teraz obliczamy wyróżnik Δ:
1225
 p   q   79   884 
       
 
 
3
 3   2   3  3   2  27 
3
2
3
2
0
Równanie ma zatem 3 pierwiastki rzeczywiste, który możemy obliczyć
za pomocą wzorów :
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
r 
79
79
p

 
3
33
3


884
 q 
 0.889913
  arccos   3   arccos  
3 
 2r 
 2  27( 79 / 3) 
79
 0.889913  17
 
cos 
x1  2r cos    2

3
3
 3

3
   2
x2  2r cos 
 3
79
 0.889913  2

cos 
2
3
3


13


3

   2
x2  2r cos 
 3
79
 0.889913  4

cos 
2
3
3


4


3

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
Pierwiastki wyjściowego równania otrzymujemy wracając do wyjściowego
podstawienia:
5 17 5 13
y1  x1    
6 3 6 2
5 13 5
7
y2  x2  
 
6
3
6
2
5 4 5
4
y3  x3  
 
6 3 6
3
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
4. Równania 4 – go stopnia .
a4 x 4  a3 y 3  a2 y 2  a1 y  a0  0
Podzielenie równania przez a4 prowadzi do równania z czterema
parametrami b, c, d i e:
x  bx  cx  dx  e  0
4
gdzie:
3
2
a3
b
a4
a2
c
a4
a1
d
a4
a0
e
a4
Jedna z metod analitycznych rozwiązania tego równania jest
następująca:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
W kroku 1° znajdujemy dowolny pierwiastek rzeczywisty „z” równania
3 – go stopnia:
8z  4cz  (2bd  8e) z  e(4c  b )  d  0
3
2
2
2
W kroku 2° rozwiązujemy 2 równania kwadratowe
gdzie:
bz  d 
 b  A1  

  0
x 
x   z 
A1 
 2  
2
bz  d 
 b  A2  
  0
x 
 x   z 
A2 
 2  
2
A1  8 z  b 2  4c
A2   A1
Pierwiastki tych równań kwadratowych są szukanymi pierwiastkami
równania 4 – tego stopnia.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
Przykład rozwiązania równania 4 – tego stopnia:
x 4  7 x3  5 x 2  31x  30  0
b  7
c5
d  31
e  30
W kroku 1° znajdujemy równanie 3 – go stopnia:
a3  8
a2  4c  20
a1  2bd  8e  194
a0  e(4c  b )  d 2  91
2
8 z  20 z  194 z  91  0
3
2
Równanie to rozwiązaliśmy jako przykład P3. Jednym z pierwiastków
rzeczywistych był z1=13/2. Na podstawie tego pierwiastka
w kroku 2° znajdujemy współczynniki równań kwadratowych:
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
ANALITYCZNE ROZWIĄZYWANIE
RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH cd.
A1  8z1  b2  4c  9
b  A1
b1 
1
2
A2  9
bz1  d
c1  z1 
 2
A1
b  A2
b2 
 8
2
bz1  d
c2  z1 
 15
A2
Końcowe równania kwadratowe oraz ich pierwiastki mają postać:
x2  x  2  0
x 2  8 x  15  0
9
4
 3
 2
x1  2
x3  3
Znalezione pierwiastki są równocześnie pierwiastkami
wyjściowego równania 4 – tego stopnia.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej
x2  1
x4  5