b. Liczby niewymierne

a.
b. Liczby niewymierne
a. 1. Cele lekcji
Wyjaśnienie i utrwalenie pojęcia liczb niewymiernych. Rozszerzenie wiadomości o liczbach
niewymiernych.
i. a) Wiadomości
Uczeń powinien:
 znać pojęcie liczby niewymiernej,

znać twierdzenie Pitagorasa,

odróżniać liczby wymierne od niewymiernych,

wiedzieć, jakie rozwinięcie dziesiętne ma liczba niewymierna.
ii. b) Umiejętności
Uczeń powinien:
n , n  N na osi liczbowej,

umieć zaznaczać punkty odpowiadające wartościom

ćwiczyć dowodzenie twierdzeń metodą nie wprost,

umieć wykazywać niewymierność liczb,

umieć wykonywać działania na liczbach niewymiernych,

umieć posługiwać się technologią informacyjną.
b. 2. Metoda i forma pracy
Czynnościowa, poszukująca, aktywizująca uczniów, praca indywidualna, praca zbiorowa.
c. 3. Środki dydaktyczne
Stanowiska komputerowe z dostępem do internetu i zainstalowanym programem Geometria Cabri.
d. 4. Przebieg lekcji
i. a) Faza przygotowawcza
Nauczyciel nawiązuje do tematu, na przykład: „Twierdzenie Pitagorasa miało istotne znaczenie dla
rozwoju pojęcia liczby. Rozpatrzmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długość 1.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: c2 = 12 + 12 = 2, czyli c = 2 . Udowodnimy, że
2 nie jest liczbą
wymierną, co oznacza, że istnieją również liczby niewymierne.”
ii. b) Faza realizacyjna
1. Podanie celu i tematu lekcji.
2. Rozłóż liczby 102 i 82 na czynniki pierwsze.
102 = 10 ∙ 10 = (2 ∙ 5) ∙ ( 2 ∙ 5) = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5
82 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2 ∙ 2) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
3. Wniosek: Liczby będące czynnikami pierwszymi występują w rozkładzie parzystą liczbę razy.
4. Twierdzenie :
2 jest liczbą niewymierną.
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.
5. Definicja liczby niewymiernej, wprowadzenie oznaczenia zbioru liczb niewymiernych NW.
6. W jaki sposób wykazać, że
3 jest liczbą niewymierną?
7. Podaj przykłady geometrycznej interpretacji liczby
3.
Odp. Na przykład wysokość w trójkącie równobocznym o boku 2, długość przekątnej sześcianu
o krawędzi 1.
8. Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa do zaznaczenia na osi liczbowej punktu odpowiadającego
wartości a) 17 , b) 7 .
9. Przykłady liczb niewymiernych:
a.
Liczba złota - wyznacza złoty podział odcinka.
Podział odcinka na dwie części, tak by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki
sam, jak całego odcinka do części dłuższej, stosunek ten nazywa się liczbą złotą i oznacza
grecką literą  .

a b a

a
b
Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika 1 
b a

a b
1 5 
czyli 1 + 1/φ = φ . Dodatnim rozwiązaniem tego równania jest  =
1,618033989
2
Sprawdź, w programie geometria Cabri, że przekątne pięciokąta foremnego przecinają się w
punkcie, który dzieli je w złoty sposób.
Liczba  - równa stosunkowi obwodu okręgu do długości jego średnicy.
Sprawdź w programie Cabri, że stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy jest
stały.
10. Rozwinięcia dziesiętne liczb niewymiernych.
b.
a. Zobacz na stronie www.wikipedia.org/wiki/pi rozwinięcie liczby 
b. Skorzystaj z kalkulatora umieszczonego w systemie komputera i wyświetl rozwinięcie
dziesiętne liczby 2 .
c. Twierdzenie: Liczba a jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy ma rozwinięcie
dziesiętne nieskończone i nieokresowe.
6
 401 są niewymierne?
9
Spostrzeżenie: Suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczba niewymierną. Podobnie
iloczyn liczby wymiernej różnej od zera i niewymiernej jest liczbą niewymierną.
11. Czy liczby: 2 2 , 2 -
2 , 3+5 3 ,
12. Jaki jest wynik działań arytmetycznych na liczbach niewymiernych?
Odp.: Może być liczbą niewymierną lub wymierną np.: 2 - ( 2 - 1) = 1  W, 3 ∙ 3 =
3  W, 3 : 3 = 1  W, 3 ∙ ( 2 +1) = 6 + 3  NW
Wniosek: Działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia nie są wykonalne w zbiorze
liczb niewymiernych.
iii. c) Faza podsumowująca
Pytania kontrolne: Co to jest liczba niewymierna? W jaki sposób dowodzi się jej niewymierności?
Jakie rozwinięcie ma liczba niewymierna? Czy działania arytmetyczne są wykonalne w zbiorze liczb
niewymiernych?
Zadanie pracy domowej i jej objaśnienie.
e. 5. Bibliografia
W. Babiański, L. Chańko, D. Ponczek, Matematyka 1, Nowa Era, Warszawa 2005.
f. 6. Załączniki
i. Zadanie domowe
Praca obowiązkowa:
Wykaż, że
5 jest liczbą niewymierną. Zaznacz punkt odpowiadający liczbie
g. 7. Czas trwania lekcji
45 minut
h. 8. Uwagi do scenariusza
brak
5 na osi liczbowej.