Przestrzeń wektorowa. Baza, wymiar przestrzeni wektorowej.

Przestrzeo wektorowa.
Baza, wymiar przestrzeni
wektorowej.
Angelika Michałowska
PRZESTRZEŃ WEKTOROWA
Nieformalnie:
Zbiór obiektów (wektorów), które można dodawać i skalować.
Formalnie:
Zbiór , w którym określone są dwa działania:
> dodawanie elementów przestrzeni
> mnożenie przez elementy, nieleżące do danego ciała
DEFINICJA
Przestrzeń liniowa (wektorowa)
Niech x,y ∈ V i ⍺, β ∈ F.
Niepusty zbiór V, w którym określone jest działanie dwuargumentowe: dodawania i
mnożenia, nad ciałem F nazywamy przestrzenią wektorową, jeżeli:
(*) V jest grupą abelową ze względu na dodawanie
(**) Dla wszystkich x,y ∈ V i ⍺, β ∈ F zachodzą równości:
⍺(x+y) = ⍺x + ⍺y
(⍺+ β)x= ⍺x+ βx
⍺(β)x= (⍺β)x
1x=x
UWAGA
Elementy zbioru V – wektory
Elementy ciała F - skalary
DEFINICJA
Liniowa niezależność
Ciąg wektorów x1 x2,…, xs przestrzeni wektorowej V nad ciałem F
nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli równość
⍺1x1 +⍺2x2+ … + ⍺sxs = 0
(1)
jest możliwa tylko wtedy, gdy ⍺1 = ⍺2 = … = ⍺s = 0
Przykład 1 (liniowa niezależność)
Badanie liniowej niezależności wektorów A=
B=
0
1

2
0
 1 0
 1 1


w przestrzeni liniowej macierzy.
ROZWIĄZANIE:
⍺1, ⍺2 dowolne skalary, należące do F
⍺1 A + ⍺2 B= 0
Otrzymujemy:
 1
   
1
2

(2)
2 2  0


 1  0
Przyrównując odpowiednie wyrazy dostajemy:
⍺1 = ⍺2 = 0
(4)
A zatem wektory A i B są liniowo niezależne.
0
0
(3)
DEFINICJA
WYMIAR PRZESTRZENI WEKTOROWEJ
Przestrzeń wektorową V nazywamy n – wymiarową, jeżeli istnieje w niej tylko
n liniowo niezależnych wektorów.
UWAGA !
Jeżeli można znaleźć dowolną liczbę wektorów niezależnych, wówczas
przestrzeń nazywamy nieskończenie wymiarową.
Przykład:
zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych nad ciałem
liczb rzeczywistych
DEFINICJA
Baza przestrzeni wektorowej
Dowolny uporządkowany zbiór n wektorów
liniowo niezależnych
n-wymiarowej przestrzeni V nazywamy
bazą przestrzeni.
Przykład 2 (baza)
Pokazać, że wektory
e1 = (1,0,1,0)
e2 = (1,1,0,0)
e3 = (0,1,1,1)
e4 = (0,0,1,1) tworzą bazę w R4
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić czy te wektory są liniowo niezależne.
⍺1, ⍺2 , ⍺3, ⍺4 dowolne skalary, należące do F
⍺1 e1 + ⍺2 e2 + ⍺3 e3 + ⍺4 e4 = 0
(5)
Otrzymujemy:
(⍺1 + ⍺2, ⍺2 + ⍺3, ⍺1 + ⍺3+ ⍺4, ⍺3 + ⍺4) = (0,0,0,0)
(6)
Porównując odpowiednie współrzędne i rozwiązując układ równań dostajemy:
⍺1 = ⍺2 = ⍺3 = ⍺4 = 0
(7)
Zatem e1, … , e4 są liniowo niezależne, a dalej tworzą bazę w R4
Przykład 3
Przedstawienie wektora x=(2,0,-1,-2) w bazie z przykładu 2.
Rozwiązanie:
Przyrównując lewą stronę równania (6) z przykładu 2 do wektora x
otrzymujemy:
(⍺1 + ⍺2, ⍺2 + ⍺3, ⍺1 + ⍺3+ ⍺4, ⍺3 + ⍺4) = (2,0,-1,-2)
(8)
Przyrównując odpowiednie współrzędne otrzymujemy układ równań:
1   2  2
    0
 2
3

1   3   4  1
 3   4  2
Rozwiązując go otrzymujemy:
⍺1 =1, ⍺2=1, ⍺3 =-1, ⍺4 =-1
(9)
TWIERDZENIE
Układ wektorów e1, … en jest bazą przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy
wektory e1, … en są liniowo niezależne i dowolny wektor x tej przestrzeni
jest kombinacją liniową wektorów e1, … en
DEFINICJA
Kombinacja liniowa
Wektor y przestrzeni V nad ciałem F nazywamy kombinacją liniową
wektorów x1,…, xk, gdy:
y = ⍺1x1 +⍺2x2+ … + ⍺kxk
Bibliografia:
1. A. Romanowski „Algebra liniowa”
2. Wikipedia:
> http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa
> http://pl.wikipedia.org/wiki/Baza_%28przestrze%C5%84_liniowa%29