Modelowanie rynków finansowych - lista pomocnicza Odpowied¹

Modelowanie rynków nansowych - lista pomocnicza
Zadania pochodz¡ z ró»nych egzaminów na aktuariusza: zadanie 1 - egzamin 5.10.2009,
zad.2 - 6.04.2009, zad. 3,4 - 6.10.2008, zad. 5,6 - 3.12.2007, zad. 7 - 12.10.2002,
zad. 8 - 25.01.2003, zad. 9, 10 - 15.06.2002.
1. Inwestor stosuje strategi¦ typu
bull spread
zbudowan¡ w oparciu o europejskie opcje kupna o
okresie wykonania 5 lat. Uwzgl¦dniaj¡ca koszty transakcji wypªata, w zale»no±ci od ceny
S5
instrumentu bazowego w momencie wykonania, przedstawiona jest nastepuj¡cym wzorem:


S5 < 110
−27.5,
S5 − 137.5, S5 ∈ [110, 140)


2.5,
S5 ≥ 140.
Obecne (na moment
t = 0)
kwotowania europejskich opcji sprzeda»y wystawionych na in-
strument bazowy o obecnej cenie
wykonania
Zmienno±¢
X
S0 = 125
i okresie wykonania 5 lat, w zale»no±ci od ceny
przedstawione s¡ w tabeli:
Cena wykonania
Cena opcji sprzeda»y
110
0.13
140
1.84
150
3.36
σ (volatility )
instrumentu bazowego jest równa 10%, wolna od ryzyka stopa
procentowa wynosi 7%.
Ile wynosi obecny koszt, jaki poniósª inwestor przyjmuj¡c t¦ strategi¦?
Odpowied¹
Okoªo 19.43.
2. Rozpatrzmy ameryka«sk¡ opcj¦ kupna na akcj¦ niepªac¡c¡ dywidendy, dla której termin
wyga±ni¦cia upªywa za 4 miesi¡ce.
Obecna cena akcji wynosi 40 a cena wykonania opcji
44. Wiadomo, »e w ci¡gu ka»dego miesi¡ca kurs akcji ro±nie b¡d¹ spada o 15%. Zakªadamy
ponadto, »e rynek nie dopuszcza arbitra»u.
Stopa wolna od ryzyka wynosi 5% w uj¦ciu
rocznym. Ile wynosi cena tej opcji przy podanych zaªo»eniach?
Odpowied¹:
Okoªo 3.8.
3. Rozwa»my ameryka«sk¡ opcj¦ sprzeda»y na akcj¦ nie pªac¡c¡ dywidendy.
Termin wyga-
±ni¦cia dla tej opcji upªywa za 3 lata. Obecna cena akcji wynosi 150 a jej cena wykonania
160. Wiadomo, »e w ci¡gu ka»dego roku cena akcji ro±nie b¡d¹ maleje o 25%. Intensywno±¢
oprocentowania wynosi 0.07 (kapitalizacja ci¡gªa).
Ile wynosi obecna cena tej opcji przy
zaªo»eniu braku arbitra»u?
Odpowied¹:
Okoªo 20.
Buttery spread )
4. Inwestor stosuje strategi¦ motyla (
zbudowan¡ w oparciu o europejskie
opcje kupna o okresie do wykonania 1 rok. Prol wypªaty (w zale»no±ci od ceny instrumentu
bazowego w momencie wykonania
ST )
przedstawiony jest nast¦puj¡co:


ST < 100,
0,
ST − 100,
ST ∈ [100, 120) ,


120 − ST ,
ST ∈ [120, 150) , −10,
ST ≥ 150.
Obecne (na moment
Cena wykonania
Cena opcji sprzeda»y
100
1.3
t = 0)
120
6.7
150
25.5
kwotowania europejskich opcji sprzeda»y wystawionych na in-
strument bazowy o obecnej cenie
S0 = 120
i okresie wykonania 1 rok, w zale»no±ci od ceny
wykonania X przedstawione s¡ w tabeli:
Zmienno±¢
σ (volatility )
instrumentu bazowego jest równa 20%, wolna od ryzyka stopa
procentowa wynosi 5%. Ile wynosi obecny (na moment
t = 0)
koszt jaki poniósª inwestor
przyjmuj¡c strategi¦ motyla, o wypªacie opisanej powy»ej?
Odpowied¹:
Okoªo 3.9.
5. Rozwa»my europejsk¡ opcj¦ sprzeda»y na rynku Blacka-Scholesa.
Termin wyga±ni¦cia tej
opcji upªywa za 3 miesi¡ce. Bie»¡ca cena akcji wynosi 60, cena wykonania opcji 80, zmienno±¢ cen akcji
σ = 3,
a roczna, ci¡gªa, stopa wolna od ryzyka r = 4%. Ile wynosi bie»¡ca
cena tej opcji? (potrzebne b¦d¡ warto±ci dystrybuanty rozkªadu
Odpowied¹:
N (0, 1).
Okoªo 48.
6. Rozpatrzmy ameryka«sk¡ opcj¦ kupna na akcj¦ nie pªac¡c¡ dywidendy, dla której termin
wyga±ni¦cia upªywa za 4 miesi¡ce.
Obecna cena akcji wynosi 20 a cena wykonania opcji
24. Wiadomo, »e w ci¡gu ka»dego miesi¡ca kurs akcji ro±nie b¡d¹ spada o 20%. Zakªadamy
ponadto, »e rynek nie dopuszcza arbitra»u. Stopa wolna od ryzyka w uj¦ciu miesi¦cznym
wynosi 1%. Ile wynosi cena tej opcji przy podanych zaªo»eniach?
Odpowied¹:
Okoªo 2.2.
7. Czy funkcj¦ wypªaty:


ST < 6,
2,
ST − 4
ST ∈ [6, 8)


4,
ST ≥ 8,
mo»na otrzyma¢ poprzez nast¦puj¡c¡ strategi¦ inwestycyjn¡: Sprzeda» opcji Call przy cenie
wykonania 8,
Zakup opcji Put przy cenie wykonania 6,
Zakup opcji Call przy cenie wykonania 4,
Sprzeda» opcji Put przy cenie wykonania 4?
Odpowied¹:
Tak.
8. Prol wypªaty (w zale»no±ci od ceny instrumentu bazowego w momencie wykonania
przedstawiony jest nast¦puj¡co:


ST > 140,
20,
ST − 120,
ST ∈ (100, 140] ,


−20,
ST ≤ 100.
za pomoc¡ zakupu lub sprzeda»y odpowiednich opcji.
Wyznacz koszt realizacji tej strategii inwestycyjnej, je»eli wiadomo, »e:
ST )
Cena wykonania
Cena opcji kupna
Cena opcji sprzeda»y
100
37.221
X
110
34.436
40.979
120
31.937
47.710
140
27.651
X
•
dane s¡ ceny odpowiednich opcji put i call:
•
parytet kupna-sprzeda»y jest zachowany,
•
na rynku nie wyst¦puj¡ koszty transakcji.
Odpowied¹:
Okoªo -9.
9. Cena akcji spóªki X wynosi 100.
Za trzy miesi¡ce cena akcji b¦dzie wynosi¢ 120 lub 80.
Oszacowano (na podstawie obserwacji historycznej), »e prawdopodobie«stwo wzrostu ceny
akcji wynosi 0.8, natomiast spadku 0.2. Wolne od ryzyka nat¦»enie oprocentowania wynosi
0.08 w stosunku rocznym.
Ile wynosi arbitra»owe prawdopodobie«stwo, tzn.
dobie«stwo zaobserwowane przez inwestora oboj¦tnego wzgl¦dem ryzyka (ang.
probability ), wzrostu ceny akcji do 120.
Odpowied¹:
prawdopo-
risk-neutral
Okoªo 0.55.
10. Znale¹¢ bie»¡c¡ cen¦ akcji wiedz¡c, »e ceny 3-miesi¦cznych europejskich opcji na t¦ akcj¦, z
cen¡ wykonania 95, wynosz¡ 5.20 (opcja kupna) oraz 2.20 (opcja sprzeda»y), natomiast 9miesi¦czne europejskie opcje na t¦ akcj¦, z cen¡ wykonania 100, kosztuj¡ 6.20 (opcja kupna)
oraz 4.70 (opcja sprzeda»y). Zakªadamy brak arbitra»u.
Odpowied¹:
Okoªo 96.34.
Miªego rozwi¡zywania,
Michaª Balcerek