Ruch pod wpływem sił zachowawczych

Ruch pod wpływem sił zachowawczych
Fizyka I (B+C)
Wykład XV:
• Energia potencjalna
• Siły centralne
• Ruch w polu grawitacyjnym
• Pole odpychajace
˛
Energia potencjalna
Równania ruchu
Znajomość energii potencjalnej jest rownoważna znajomości siły (zachowawczej):
~ = −∇E
~ p
F
Czy znajac
˛ Ep(~
r ) możemy rozwiazać
˛
równania ruchu ciała ?
~ (~
r ) i skorzystać z II zasady dynamiki...
• Możemy wyznaczyć zależność F
albo
• Możemy wykorzystać zasade˛ zachowania energii:
E = Ek (~
r˙ ) + Ep(~
r ) = const
W zależności od zagadnienia jeden albo drugi sposób może być bardziej użyteczny...
A.F.Żarnecki
Wykład XV
1
Ruch prostoliniowy
Energia potencjalna
~ (x),
Dla ruchu prostoliniowego pod działaniem siły zachowawczej F
energia potencjalna Ep = Ep(x)
m dx 2
E =
+ Ep(x) = const
2 dt
⇒
dx
=
dt
s
2
(E − Ep(x))
m
Rozdzielajac
˛ zmienne i całkujac
˛ otrzymujemy:
dt = q
t =
Zx
x◦
dx
2 E − E (x)
)
p
m(
dx0
q
2 E − E (x0)
p
m
⇒ Znajac
˛ Ep(x) możemy zawsze znaleźć zwiazek
˛
miedzy
˛
x i t.
A.F.Żarnecki
Wykład XV
2
Energia potencjalna
Ruch prostoliniowy
~ = F ~ix = const
Przykład: F
dE
Fx = − dxp
⇒ Ep(x) = −F x
Przyjmujac,
˛ że x = 0 w chwili t = 0 mamy:
t =
⇒
⇒
s
2
2
t =
m
F
q
r
m
2
Zx
0
dx0
p
E + F x0
2p
2√
E+F x
=
E+F x−
E
F
F
0
0
x
√
p
F
√
t+ E = E+F x
2m
⇒
x =
1 F
· t2 +
2 m
1
a
2
s
2E
·t
m
· t 2 + v◦ · t
mv◦2
v◦ - predkość w chwili t = 0 ⇒ energia całkowita E = 2 > 0
A.F.Żarnecki
Wykład XV
3
Siła centralna
Rozważmy ruch punktu materialnego o masie m
~ = F (r) · ~ir
w polu centralnej siły zachowawczej F
⇒ zasada zachowania energii:
2
mv
E = 2 + Ep(r) = const
⇒ zasada zachowania momentu pedu:
˛
~ = m~
L
r × ~v = const
Zachowanie momentu pedu
˛ ⇒ ruch płaski
⇒
dr ~
dθ
~v = ~ir ·
⇒ v2 =
+ iθ · r
dt
dt
Wstawiajac
˛ do wyrażenia na energie˛ kinetyczna˛
dr 2
+ r2 ω2
dt
L = m r2 ω
m dr 2
m dr 2
L2
eff (r)
E = E k + Ep =
+
+
E
(r)
=
+
E
p
p
2 dt
2 m r2
2 dt
⇒ równanie różniczkowe dla składowej radialnej ⇒ problem jednowymiarowy
A.F.Żarnecki
Wykład XV
4
Siła centralna
Energia efektywna
“Efektywna” energia potencjalna w polu siły centralnej:
L2
+ Ep(r)
2
2mr
Epeff (r) =
Jeśli L 6= 0 to zasada zachowania momentu pedu
˛
“przeciwstawia sie”
˛ zbliżeniu ciała do źródła siły (r = 0).
bariera centryfugalna
“energia dośrodkowa” ⇔ siła odśrodkowa
d
Fo = −
dr
A.F.Żarnecki
L2
2 m r2
!
2
dθ
L2
=
=
m
r
m r3
dt
Wykład XV
5
Siła centralna
Ruch radialny
Jednowymiarowe zagadnienie ruchu radialnego:
dr
=
dt
s
t =
Zr
r◦
2
eff
E − Ep (r)
m
2
L
Epeff (r) =
+ Ep(r)
2 m r2
dr 0
r
2 E − E eff (r 0)
p
m
eff
Ruch może sie˛ odbywać tylko w obszarze E − Ep (r) ≥ 0
⇒ dla L 6= 0 istnieje ograniczenie na odległość najmiejszego zbliżenia: r ≥ rmin
teoretycznie można wymyśleć siłe˛ centralna˛ silniejsza˛ od siły odśrodkowej
eff
⇒ jeśli E < Ep (∞) to ciało nie może dowolnie oddalić sie˛ od centrum siły: r ≤ rmax
⇒ ruch w ograniczonym obszarze
A.F.Żarnecki
Wykład XV
6
Siła centralna
Ruch katowy
˛
Zachowany moment pedu:
˛
L = m r2 ω
⇒
ω =
dθ
L
=
dt
m r2
θ − θ◦ =
Zt
0
L
0
dt
m r2
Możemy wyprowadzić równanie na tor ciała porównujac
˛ zależności od czasu:
dt = r
dr
2 E − E eff (r)
p
m
⇒
m r2
dθ
=
L
θ − θ◦ =
Z
m r2
L dr
r
2 E − E eff (r)
p
m
równanie toru we współrzednych
˛
biegunowych
A.F.Żarnecki
Wykład XV
7
Siła centralna
Ruch katowy
˛
Zmiana kata
˛ biegunowego przy przejściu ciała
od rmin do rmax
∆θ =
rZmax
rmin m r 2
L dr
r
2 E − E eff (r)
p
m
Tor bedzie
˛
krzywa˛ zamkniet
˛ a,
˛ jeśli ∆θ = 2π m
n
m, n - liczby całkowite
Warunek ten spełniony jest tylko dla dwóch pól:
(niezależnie od warunków poczatkowych)
˛
• Ep(r) ∼ 1r - siła grawitacyjna, siła kulombowska
• Ep(r) ∼ r 2 - siły spreżystości
˛
A.F.Żarnecki
Wykład XV
8
Ruch w polu grawitacyjnym
energia efektywna
Pole grawitacyjne
Ogólne wyrażenie na energie˛ potencjalna:
˛
k
r
k > 0 ⇒ siła przyciagaj
˛ aca
˛
wybieramy Ep(∞) = 0
Ep(r) = −
Charakter ruch zależy od energii całkowitej:
• E1 > 0 - tor otwarty
• E2 < 0 - tor zamkniety
˛
• E3 = Emin - ruch po okregu
˛
A.F.Żarnecki
Wykład XV
9
Ruch w polu grawitacyjnym
Model
A.F.Żarnecki
Wykład XV
10
Ruch w polu grawitacyjnym
Równanie toru
Rozwiazujemy:
˛
θ − θ◦ =
Z
L dr
r
=
2 E − E eff (r)
p
m
Z
d 1r
= − r
2mE + 2mk 1 − 1 2
r
r
L2
L2
m r2
Gdzie wprowadziliśmy parametry: p = mk oraz ε =
Otrzymaliśmy całk˛e postaci:
−
A.F.Żarnecki
dx
q
1 − x2
= arccos(x)
dr
r2
s
2m
L2
L2
E + kr − 2mr2
1
1
Z
d r−p
= − r
ε2 − 1 − 1 2
r
p
p2
L2
Z
Z
=⇒
Wykład XV
r
2
2EL
1 + mk2
r =
p
1 + ε · cos(θ − θ◦)
11
Ruch w polu grawitacyjnym
Równanie toru
r
ε = AB
Otrzymaliśmy równanie krzywej stożkowej
(we współrzednych
˛
biegunowych)
p
r(θ) =
1 + ε · cos(θ − θ◦)
ε - mimośród orbity
ε=
r
2
2EL
1 + mk2
2
L
p = mk
• ε = 0 - ruch po okregu
˛
o promieniu p
• ε < 1 - ruch po elipsie E < 0
• ε = 1 - ruch po paraboli E = 0
• ε > 1 - ruch po hiperboli E > 0
A.F.Żarnecki
Osie elipsy:
•
k
2a = 2p 2 = 2|E|
1−ε
- zależy tylko od energii
•
2b = √ 2p
Wykład XV
1−ε2
=√ L
2m|E|
- zależy także od momentu pedu
˛
12
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po okregu
˛
Przypadek szczególny: ε = 0
m k2
E = Emin = −
2 L2
minimalna energia całkowita
przy ustalonym L
W przypadku L = 0 mamy ruch po odcinku
k ;b=0
o długości 2a = 2|E|
A.F.Żarnecki
Wykład XV
13
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po elipsie
Warunek: Emin < E < 0
Ruch ograniczony do: rmin < r < rmax
eff
eff
Ep (rmin ) = Ep (rmax ) = E
Źródło siły znajduje sie˛ w jednym z ognisk elipsy.
Długa półoś zależy wyłacznie
˛
od energii;
“spłaszczenie” zależy od momentu pedu
˛
A.F.Żarnecki
Wykład XV
14
Ruch w polu grawitacyjnym
Prawa Keplera
I. Każda planeta kraży
˛ po elipsie ze Słońcem w jednym z jej ognisk
II. Promień wodzacy
˛ każdej planety zakreśla równe pola w równych czasach
III. Kwadrat okresu obiegu każdej planety wokół Słońca
jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej elipsy
Okres obiegu możemy wyznaczyć z predkości
˛
polowej
T =
S
dS
dt
=
πab
L
2m
= πk
dS
dt
s
=
L
,
2m
2a =
k
,
2|E|
L
2m|E|
2b = √
m
2|E|3
Podnoszac
˛ do kwadratu
2k2m
2m
π
4π
3
T2 =
=
a
·
2|E|3
k
A.F.Żarnecki
Wykład XV
15
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po paraboli
Przypadek szczególny: E = 0
Ruch jest nieskończony,
ciało nie jest zwiazane
˛
przez centrum siły.
Jednak oddalajac
˛ sie do nieskończoności
ciało bedzie
˛
poruszać sie˛ coraz wolniej.
Asymptotycznie zatrzyma sie.
˛
A.F.Żarnecki
Wykład XV
16
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po hiperboli
Dla E > 0
Ruch jest nieskończony.
Asymptpotycznie predkość
˛
ciała daży
˛ do
v∞ =
s
2E
> 0
m
orbity komet nieperiodycznych
Im mniejsze L
tym mniejsza odległość zbliżenia rmin
A.F.Żarnecki
Wykład XV
17
Ruch w polu grawitacyjnym
Rodzaje orbit
Kształt orbity zależy od energii całkowitej E i momentu pedu
˛ ciała L
ε=
r
2
2EL
1 + mk2
E=0
E<0
E>0
Orbity o tej samej wartości L, lecz o różnych wartościach E
A.F.Żarnecki
Wykład XV
18
Ruch w polu sił
Potencjał odpychajacy
˛
k
Ep(r) = +
r
A.F.Żarnecki
k>0
Wykład XV
19
Ruch w polu sił
Potencjał odpychajac
˛
Uzyskane rozwiazanie
˛
pozostaje
słuszne, z dokładnościa˛ do zmiany
znaku k ⇒ zmiana znaku p
p
r(θ) =
ε · cos(θ − θ◦ ) − 1
Jak porzednio ε =
r
2
1 + 2EL
mk 2
Teraz jednak zawsze E > 0
Im wieksze
˛
ε, tym wiekszy
˛
kat
˛
rozwarcia hiperboli
A.F.Żarnecki
Wykład XV
20