Algorytm i liczby Kaprekara - Wydział Fizyki Technicznej i

Politechnika Gdańska
Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej
Algorytm i liczby Kaprekara
Anna Mezer
MS, rok V, sem. IX
Gdańsk, październik 2008
1
Nota biograficzna
Dattaraya Ramchandra Kaprekar (ur. 1905 w Dahanu, zm. 1986 w Maharashtra) był hinduskim matematykiem.
Uczył w niewielkiej szkole w Deolali. Poczynił wiele ciekawych odkryć dotyczących teorii liczb, ułamków okresowych oraz
kwadratów magicznych. Na szczególną uwagę zasługują niewątpliwie liczby Kaprekara, stała Kaprekara oraz liczby własne.
2
Algorytm Kaprekara
Algorytm ten został opracowany w 1949 r. przez Dattaraya Ramchandra Kaprekara. Polega na nastepującym postępowaniu:
• Wybranie liczby czterocyfrowej n, której nie wszystkie cyfry sa jednakowe;
• Uporządkowanie cyfr liczby n od najmniejszej do największej;
• Utworzenie liczby k poprzez odwórcenie kolejności cyfr liczby n;
• Uzyskanie różnicy n - k ;
• Powtórznie algorytmu aż do uzyskania liczby 6174 (Przy zastosowaniu powyższego algorytmu liczba ta przechodzi
w samą siebie, co kończy postępowanie).
Przykład 1. Wybieramy dowolną liczbę czterocyfrową, spełniającą założenia algorytmu Kaprekara: 5832.
Porządkujemy odpowiednio jej cyfry. Zatem n = 8532, k = 2358, a różnica n-k = 6174.
Badania przypadku ogólnego (patrz [1]) doprowadzają do wniosków, że dla liczb czterocyfrowych spełniających
założenia algorytmu Kaprekara mamy 30 różnic (odpowiadających grupom cyfr), a algorytm zakończy działanie po
najwyżej 7 operacjach. Co więcej liczby te moga przechodzić jedna w drugą, co zobrazuje nastepujący przykład.
Przykład 2.
5544 → 9810 → 9621 → 8532 → 6174.
5544 - 4455 = 1089,
9810 - 189 = 9621,
9621 - 1269 = 8352,
8532 - 2358 = 6174.
Ostateczną różnicę, którą jest dla czterocyfrowych liczba 6174, nazywamy studnią Kaprekara. Charakteryzuje się
ona tym, że w toku algorytmu przechodzi w sama siebie. Studnią dla liczb trzycyfrowych jest 495. W przypadku liczby
dwucyfrowych studnia nie istnieje, gdyż mamy do czynienia z cyklem różnic
0 → 9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 0 → 9 → ... .
Studnia Kaprekara posiada pewną własność. Rozpatrzmy studnię liczb trzycyfrowych 495. Podzielmy jej cyfry na
3 grupy: 4, 9, 5, a nastepnie wstawmy pomiędzy nie kolejno cyfry: 5, 9, 4. Otrzymamy liczbę 549945. Po zastosowaniu
algorytmu Kaprekara 995544 - 445599 = 549 945 otrzymamy studnię liczb sześciocyfrowych. Analogiczne postępowanie
możemy zastosować w jej przypadku. Zatem dzielimy liczbę 549 945 na trzy grupy cyfr 54 99 45 i tak jak poprzednio
wstawiamy pomiędzy nie kolejno cyfry 5, 9, 4. Otrzymujemy 999 555 444 - 444 555 999 = 554 999 455. Jak widać
otrzymaliśmy studnię liczb dziewięciocyfrowych.
Można sprawdzić czy studnia liczb czterocyfrowych 6174 zachowuje się podobnie. Rozdzielmy cyfry tej liczby na 3
grupy: 6, 17, 4 i wstawmy pomiędzy nie kolejno cyfry 3, 6. Otrzymamy studnię liczb sześciocyfrowych 631 764.
Powtarzając powyższe czynności dla liczby 631 764. Otrzymamy studnię liczb ośmiocyfrowych 63 317 664.
3
Liczby Kaprekara
Badanie, czy dana liczba jest liczbą Kaprekara pokazuje poniższy przykład.
Przykład 3. Zbadajmy liczbę 297. Wykonujemy nastepujące operacje: podnosimy liczbę do kwadratu, dzielimy cyfry
otrzymanej na grupy, a następnie sprawdzamy czy suma liczb tych grup jest równa liczbie wyjściowej.
2972 = 88209,
88 + 209 = 297.
2
Co więcej podobnie zachowuje się liczba 703, która jest dopełnieniem 297 do 1000. Mamy zatem
7032 = 494209,
494 + 209 = 703.
Podobnie zachowuje się liczba 99.
992 = 9801,
4
98 + 1 = 99.
Liczby własne
Liczby własne nazywane także liczbami Devlali to takie liczby całkowite zadane w danym systemie liczbowym (dziesiętnym,
binarnym itd.), które nie powstaną w toku następującego postępowania:
• Wybierz dowolną liczbę całkowitą;
• Utwórz sumę, którą tworzą składniki: wybrana liczba oraz jej cyfry.
Liczba 23 nie jest liczba własną, ponieważ można ją wygenerować zgodnie z podanym wcześniej algorytmem:
16 + 1 + 6 = 23.)
Liczby własne zostały odkryte przez D. R. Kaprekara w 1949 r. (patrz [2])
5
Materiały pomocnicze
[ 1 ] Rościsław Rabczuk Algorytm i liczby Kaprekara,
[ 2 ] http://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar.
3