Numer 7

Podstawy matematyki praca domowa nr 7
Termin oddania: 16 grudnia 2013
1. Niech
R
b¦dzie rodzin¡ wszystkich sko«czonych multizbiorów liczb naturalnych, tzn.
wszystkich funkcji cz¦±ciowych
równoliczny z
f : N −◦ N
o sko«czonej dziedzinie. Czy zbiór
R
jest
N?
U = {f : N → Q | ∀n(f (n) 6= 0) ∧ limn→∞ f (n) = 0}. Okre±limy relacj¦ na U :
(n)
f ' g , wtedy i tylko wtedy, gdy granica limn→∞ fg(n)
istnieje i nale»y do R − {0}.
2. Niech
(a) Czy klasa abstrakcji relacji
zbiorem liczb rzeczywistych
liczny z
' wyznaczona przez ci¡g { n1 }n∈N jest równoliczna ze
R? Mo»na skorzysta¢ z faktu, »e zbiór QN jest równo-
R.
(b) Czy ka»de dwie klasy abstrakcji relacji
'
s¡ równoliczne?
(c) 1 Poka», »e zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji
'
jest równoliczny z
R.
Rozwi¡zania
1: Zbiór R jest równoliczny z N. Poka»emy dwie funkcje ró»nowarto±ciowe F : R → N oraz G : N → R.
Niech {pi }i∈N b¦dzie rosn¡cym ci¡giem wszystkich liczb pierwszych (p0 = 2, p1 = 3, i tak dalej).
Funkcj¦ F okre±limy tak:
f (i)
F (f ) = Πi∈Dom(f ) pi ,
przy czym uwa»amy, »e iloczyn, który nie ma czynników, jest równy jeden.
Poka»emy ró»nowarto±ciowo±¢ F . Niech f1 , f2 : N −◦ N b¦d¡ ró»ne. S¡ dwie mo»liwo±ci: albo
dziedziny tych funkcji s¡ ró»ne, albo dla pewnego n ∈ N warto±ci f1 (n) i f2 (n) s¡ okre±lone i ró»ne.
W ka»dym z tych przypadków rozkªady liczb F (f1 ) i F (f2 ) na czynniki pierwsze ró»ni¡ si¦ pot¦gami
w jakich wyst¦puje czynnik pn . Zatem z twierdzenia o jednoznaczno±ci rozkªadu na czynniki pierwsze
liczby te musz¡ by¢ ró»ne.
Dla k ∈ N przyjmijmy, »e G(k) = (λn. 0){k} . Wtedy G(k) ∈ R oraz Dom(G(k)) = {k}. Poniewa»
dla ka»dego k funkcja G(k) jest inna (ma inn¡ dziedzin¦), wi¦c funkcja G : N → R jest ró»nowarto±ciowa. Skoro funkcje F i G s¡ ró»nowarto±ciowe, to po zastosowaniu twierdzenia Cantora-Bernsteina
uzyskujemy R ∼ N.
S
Inne rozwi¡zanie: Niech Rn = {f ∈ R | Dom(f ) ma n elementów}. Wtedy R =
{Rn | n ∈ N}.
1−1
2n
Udowodnimy, »e ka»dy zbiór Rn jest przeliczalny, okre±laj¡c funkcje Fn : Rn −→ N . Dla f ∈ Rn
ustawimy wszystkie elementy dziedziny Dom(f ) w ci¡g rosn¡cy a1 < a2 < · · · < an i przyjmiemy
Fn (f ) = ha1 , . . . , an , f (a1 ), . . . , f (an )i. Funkcja Fn jest ró»nowarto±ciowa, bo z równo±ci Fn (f ) = Fn (g)
od razu wynika f = g (pierwsze n wspóªrz¦dnych determinuje dziedzin¦, a pozostaªe okre±laj¡ warto±ci
funkcji dla wszystkich argumentów). Zatem zbiór R jest sum¡ przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych, a wi¦c jest przeliczalny. Poniewa» N ∼ N{0} ⊆ R, wi¦c zbiór R jest niesko«czony. A ka»dy
niesko«czony zbiór przeliczalny jest równoliczny z N.
2a: Tak, ta klasa jest równoliczna z R. Przyjmijmy oznaczenie V = [{ n1 }n∈N ]' . Poniewa» V
jest podzbiorem QN , wi¦c V ≤ QN = R. Aby udowodni¢ nierówno±¢ R ≤ V okre±limy funkcj¦
ró»nowarto±ciow¡ G : R → V . W tym celu zauwa»my, »e ka»da liczba rzeczywista r jest granic¡
pewnego ci¡gu {rn }n∈N liczb wymiernych ró»nych od zera. Istotnie, niech rn0 b¦dzie obci¦ciem dziesi¦tnej reprezentacji liczby r do n najbardziej znacz¡cych cyfr po przecinku. Wtedy mo»emy przyj¡¢
1
Trudne zadanie
rn = if rn0 6= 0 then rn0 else n1 . Teraz niech G(r)(n) = rn /n. Z wªasno±ci dziaªa« na ci¡gach
wynika, »e granica ci¡gu G(r) jest równa 0, za± wyrazy jego s¡ niezerowe, bo rn s¡ niezerowe. Co
wi¦cej, limn→∞ rnn / n1 = limn→∞ rn = r, a zatem {rn /n}n∈N ' {1/n}n∈N . Zatem funkcja G przyjmuje
warto±ci wyª¡cznie w V .
Pozostaje sprawdzi¢, »e funkcja G jest ró»nowarto±ciowa. Je±li r 6= s, to ci¡gi {rn }n∈N i {sn }n∈N s¡
ró»ne, bo maj¡ ró»ne granice. Zatem ci¡gi {rn /n}n∈N i {sn /n}n∈N te» s¡ ró»ne, czyli G(r) 6= G(s).
A wi¦c funkcja G rzeczywi±cie jest ró»nowarto±ciowa.
Skoro V ≤ R i R ≤ V , to z twierdzenia Cantora-Bernsteina wynika R ∼ N.
na
Rozwi¡zanie alternatywne: Okre±limy funkcj¦ H : V −→ R, przyjmuj¡c H(f ) = limn→∞ (n · f (n)).
Funkcja H jest na R (sk¡d R ≤ V ), bo dla ka»dej liczby rzeczywistej r mamy r = H({ rnn }n∈N ).
2b: Zauwa»my, »e poprzednie rozumowanie nie wykorzystywaªo »adnych specycznych wªasno±ci
ci¡gu { n1 }n∈N . Mo»na zatem pokaza¢, »e ka»da klasa abstrakcji jest równoliczna z R, a wi¦c dowolne
dwie klasy s¡ równoliczne.
2c: Poka»emy najpierw, »e U/' ≤ R. Dowolna funkcja wyboru F : U/' → U jest ró»nowarto±ciowa,
bo klasy abstrakcji s¡ niepuste i parami rozª¡czne. Poniewa» U ⊆ QN , wi¦c U/' ≤ U = QN = R.
Zaobserwujmy teraz, »e dla dowolnej liczby dodatniej r granica limn→∞ 1/nrn istnieje i jest równa 0.
W dodatku ci¡g {1/nrn }n∈N nigdzie nie przyjmuje warto±ci zero. Zatem ka»dy ci¡g postaci {1/nrn }n∈N
nale»y do U . Poniewa» dla r > s mamy
lim (1/nrn )/(1/nsn ) = lim nsn /nrn = lim nsn −rn = 0,
n→∞
n→∞
n→∞
wi¦c do relacji ' nie nale»y »adna para ci¡gów {1/nrn }n∈N i {1/nsn }n∈N , gdzie r 6= s. A wi¦c funkcja
G : R → U/' , okre±lona przez G(r) = [{1/nrn }n∈N ]' , jest ró»nowarto±ciowa. St¡d R ≤ U /' .
Wiemy ju», »e U/' ≤ R, wi¦c z twierdzenia Cantora-Bernsteina wynika, »e U/' ∼ R.
Rozwi¡zanie alternatywne: Zbiór wszystkich wierzchoªków niesko«czonego peªnego drzea binarnego
jest mocy ℵ0 , mo»na wi¦c jego wierzchoªki ponumerowa¢ liczbami naturalnymi, np. tak, jak na rysunku.
Ale zbiór G wszystkich niesko«czonych gaª¦zi tego drzewa jest równoliczny ze zbiorem N → {0, 1}
wszystkich niesko«czonych ci¡gów zerojedynkowych, czyli jest tej samej mocy, co R.
Niech Aα oznacza zbiór numerów tych wierzchoªków, które nale»¡ do gaª¦zi α. Wa»ne jest to, »e dla
ró»nych gaª¦zi α i β , obie ró»nice Aα − Aβ i Aβ − Aα s¡ niesko«czone.
Dla α ∈ G zdeniujmy funkcje fα = λn. if n ∈ Aα then 1 else 2. Dla ró»nych gaª¦zi α, β , iloraz
fα (n)/fβ (n) przyjmuje dla niesko«czenie wielu n warto±¢ 12 i dla niesko«czenie wielu n warto±¢ 2.
Granica tego ilorazu nie istnieje, a zatem funkcje fα i fβ wyznaczaj¡ ró»ne klasy abstrakcji. W ten
sposób wyznaczyli±my funkcj¦ ró»nowarto±ciow¡ λα. fα : G → U/' . Mamy zatem R = G ≤ U/' ,
co ª¡cznie z pocz¡tkow¡ obserwacj¡ U/' ≤ R daje U/' = R na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina.
2