8. Określenie ciągu liczbowego, definicja zbieżności ciągu

8. Określenie ciągu liczbowego, definicja
zbieżności ciągu, własności ciągów zbieżnych.
1
Pojęcie ciągu. Ciągi liczbowe.
1.1
Definicja Ciągu
N
Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych
lub
jego skończony odcinek początkowy {1, 2, 3, ..., m}.
W pierwszym przypadku ciąg nazywa się ciągiem nieskończonym, a w drugim
ciągiem skończonym, dokładniej m-elementowym lub m-wyrazowym.
1.2
Definicja Ciągu liczbowego
Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego wyrazy są liczbami.
Ciąg liczbowy jest jednoznacznie określony przez podanie ogólnego wzoru, wyrażającego n-ty wyraz an jako funkcję zmiennej n, lub przez podanie wzoru rekurencyjnego wyrażającego an przez wyrazy wcześniejsze: a1 , a2 , a3 , ..., an−1 , musi być
przy tym podany pierwszy wyraz. Nie każdy ciąg liczbowy można przedstawić
tymi sposobami.
2
Ciągi ograniczone. Ciągi monotoniczne.
2.1
Ciąg ograniczony
Ciągiem ograniczonym nazywamy ciąg liczbowy, którego zbiór wyrazów jest zbiorem ograniczonym.
Ciąg liczb rzeczywistych (an ) jest ciągiem ograniczonym z góry lub odpowiednio
z dołu, gdy zbiór jego wyrazów jest ograniczony z góry (z dołu). Mamy zatem:
W
a) ciąg (an ) jest ciągiem ograniczonym z góry⇐⇒
R
r∈
b) ciąg (an ) jest ciągiem ograniczonym z dołu ⇐⇒
W
c) ciąg (an ) jest ciągiem ograniczonym ⇐⇒
n∈N
1
W
r∈R
V
V
r∈R
n∈
V
N an 6 r
n∈N
an > r
|an | 6 r.
2.2
Ciąg monotoniczny
Ciąg liczb rzeczywistych (an ) nazywamy ciągiem monotonicznym, jeśli spełnia
jeden z dwóch warunków:
a)
V
b)
V
n∈N
an+1 ≥ an lub
n∈N
an+1 ≤ an .
Jeśli spełniony jest warunek (1), ciąg (an ) jest ciągiem niemalejącym, jeśli warunek
(2) – ciąg jest ciągiem nierosnącym. Gdy warunek (1) lub (2) jest spełniony w
mocniejszej postaci, z nierównością ostrą zamiast słabej, ciąg (an ) nazywamy
ciągiem rosnącym lub odpowiednio ciągiem malejącym. Ciąg, który jest malejący
lub rosnący, nazywamy ciągiem ściśle monotonicznym.
3
Pojęcie granicy. Ciągi zbieżne i rozbieżne.
3.1
Pojęcie granicy
Liczbę g nazywamy granicą ciągu nieskończonego(an ), jeśli dla każdej liczby dodatniej istnieje taka liczba k, że dla n>k zachodzi nierówność: |an − g| < 3.2
Ciągi zbieżne i rozbieżne.
Ciągiem zbieżnym (rozbieżnym) nazywamy ciąg, który posiada granicę (nie posiada granicy).
4
Własności
a) Jeśli ciąg posiada granicę, to tylko jedną.
b) Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
c) Przy założeniu, że ciągi (an ) i (bn ) są zbieżne zachodzą następujące wzory:
(1)limn→∞ (an + bn ) = limn→∞ an + limn→∞ bn
(2)limn→∞ (an − bn ) = limn→∞ an − limn→∞ bn
(3)limn→∞ (an · bn ) = limn→∞ an · limn→∞ bn
(4)limn→∞ ( abnn ) =
limn→∞ an
,
limn→∞ bn
o ile limn→∞ bn 6= 0.
Wniosek z (3): limn→∞ (−an ) = − limn→∞ an .
d) Jeżeli ciąg (bn ) jest zbieżny i limn→∞ bn 6= 0, to limn→∞ ( b1n ) =
1
.
limn→∞ bn
e) Jeżeli ciąg (an ) jest zbieżny to zachodzi: limn→∞ |an | = | limn→∞ an |.
2
f) (twierdzenie o trzech ciągach): Jeśli an ≤ cn ≤ bn i limn→∞ an = g =
limn→∞ bn , to ciąg (cn ) jest zbieżny, przy czym
limn→∞ cn = limn→∞ bn = limn→∞ an
g) Zmiana skończonej ilości wyrazów ciągu nie wpływa na zbieżność tego ciągu
ani na jego granicę.
h) Podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy, co ciąg dany (jeśli
limn→∞ an = g, to limn→∞ amn = g).
3