WSTĘP DO LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

WSTĘP DO LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI - PPT
Lista 3 - Kwantyfikatory
Zadanie 0.
Przestudiuj paragraf 3.2. Własności kwantyfikatorów z książki Cichonia.
Zadanie 1.
Zapisz przy użyciu symboli 1, +, ·, 6, | oraz symboli logicznych następujące formuły
(zakres zmienności to N):
(a) p jest liczbą pierwszą;
(b) x = NWD(y, z);
(c) m jest liczbą doskonałą;
(d) Twierdzenie Hilberta-Waringa Dla każdej liczby naturalnej k istnieje liczba naturalna g taka, że każda liczba naturalna jest sumą g wielu k-tych potęg liczb naturalnych.
Zadanie 2.
Zapisz przy użyciu symboli 6, ∈ oraz symboli logicznych następujące formuły
(oprócz (a) zakres zmienności to R):
(a) Aksjomaty ZF : Ekstensjonalności, Pary, Zbioru Potęgowego i Sumy;
(b) s jest kresem górnym zbioru S ⊆ R;
(c) funkcja (!) ciągła f : R → R ma własność Darboux;
(d)∗ każda funkcja ciągła w przedziale obustronnie domkniętym osiąga swoje kresy.
Zadanie 3.
Zapisz za pomocą kwantyfikatorów poniższe twierdzenia i je udowodnij:
(a) Każdy zbieżny ciąg liczb rzeczywistych jest ciągiem Cauchy’ego.
(b) Suma funkcji jednostajnie ciągłych jest funkcją jednostajnie ciągłą.
Zadanie 4.
Znajdź wykresy następujących funkcji zdaniowych:
(a) x2 + y 2 6 1 (b) xy = 0 (c) x < |y| (d) xy < 1 ⇒ xy √
= 1 (e) ∃x (x2 + y 2 = 1)
(f ) ∃x (xy 6= 1) (g) ∀x (xy < 1) (h) ∃x ∀y (xy = z) (i) ∀x ( 1 − x2 = y)
Zadanie 5.
Niech ϕ i ψ będą funkcjami zdaniowymi, zaś θ niech będzie zdaniem.
Sprawdź, czy poniższe formuły są tautologiami lub podaj kontrprzykład:
(a) ∀x [ϕ(x) ⇒ ψ(x)] ⇒ [∀x ϕ(x) ⇒ ∀x ψ(x)] (b) θ ∨ [∃x ϕ(x)] ⇒ ∃x [θ ∨ ϕ(x)]
(c) [∀x ∃y ϕ(x, y)] ⇒ [∃y ∀x ϕ(x, y)] (d) ∀x [ϕ(x) ∧ ψ(x)] ⇒ [∀x ϕ(x) ∧ ∀x ψ(x)]
(e) (∀x θ) ⇔ θ
(f ) ∃x [ϕ(x) ⇒ ψ(x)] ⇒ [∃x ϕ(x) ⇒ ∃x ψ(x)]
(g) [∃x ϕ(x) ⇒ θ] ⇒ ∀x [ϕ(x) ⇒ θ] (h) ∃x ϕ(x) ∨ ∃x ψ(x) ⇒ ∃x [ϕ(x) ∨ ψ(x)]
(i) ∀x ∀y ϕ(x, y) ⇒ ∀x ϕ(x, x) (j) ∃x ∃y ϕ(x, y) ⇒ ∃x ϕ(x, x)
Czy odpowiedź w dwóch ostatnich podpunktach się zmienia, jeśli dodatkowo założymy, że ϕ nie zawiera żadnego kwantyfikatora, który wiąże zmienną x i w którego
zasięgu jest zmienna wolna y?
Zadanie 6.
Udowodnij poniższe równości (A, B - rodziny zbiorów):
(a)
S
(A∪B) =
S
A∪
S
B; (b)
S
C=
S
A∩
S
B, gdzie C = {A∩B : A ∈ A, B ∈ B};
S
T
(c) D = {x ∈ X : ∃y∈Y ϕ(x, y)} oraz D = {x ∈ X : ∀y∈Y ϕ(x, y)},
gdzie D = {{x ∈ X : ϕ(x, y)} : y ∈ Y }, zaś ϕ to formuła o dwóch zmiennych.
Zadanie 7.
(a) Oblicz
S
A dla A = {{rx ∈ R : x ∈ R} : r > 0}.
(b)∗ Niech (fn )n∈N będzie ciągiem funkcji rzeczywistych
T
S
T określonych na R zbieżnym
jednostajnie do funkcji f : R → R. Oblicz k∈N m∈N n∈N Akmn ,
gdzie Akmn = {x ∈ R : n > m ⇒ |fn (x) − f (x)| < k1 }.
Zadanie 8.∗
Zbiór X nazywamy tranzytywnym, jeśli każdy jego element
jest jego podzbiorem.
S
Wykaż, że X jest tranzytywny wtedy i tylko wtedy, gdy X ⊆ X.