Niech X ∼ B(p, p), p> 0. Na podstawie jednej obserwacji skonstruuj

Niech X ∼ B(p, p), p > 0. Na podstawie jednej obserwacji skonstruuj test jednostajnie
najmocniejszy dla testowania hipotezy H : p = p0 przeciwko hipotezie K : p = p1 > p0 na
poziomie istotności α ∈ (0, 1). Wyznacz funkcję mocy tego testu dla p ∈ {p0 , p1 }. Przedstaw test i jego funkcję mocy w takiej postaci, aby możliwie najmniej wartości trzeba było
odczytywać z tablic. W rozwiązaniu przyjmij następujące oznaczenie: bp (x) – dystrybuanta rozkładu B(p, p).
Wskazówka: Nie operuj zgaduj-zgadulą. Po prostu licz.
ROZWIĄZANIE:
Zgodnie z lematem Naymana-Pearsona obszar krytyczny testu jednostajnie najmocniejszego w powyższym problemie jest wyznaczony przez warunek:
C1 xp1 −1 (1 − x)p1 −1
> k, x ∈ [0, 1]
C0 xp0 −1 (1 − x)p0 −1
dla pewnej stałej k > 0 (C0 , C1 – stałe normujące dla odpowiednich rozkładów), co jest
równoważne:
1
C0 p1 −p0
x(1 − x) > k
C1
czyli C ≤ x ≤ 1 − C dla pewnego C ∈ (0, 12 ). Test ma postać:
1, C ≤ X ≤ 1 − C
ϕ(X) =
0 w p. p.
Wyznaczamy C, pamiętając, że rozkład B(p, p) jest symetryczny względem 12 :
1
1
Ep0 ϕ(X) = Pp0 (C ≤ X ≤ 1 − C) = 2Pp0 C ≤ X ≤
= 2 bp 0
− bp0 (C) =
2
2
1
1−α
−1
− bp0 (C) = 1 − 2bp0 (C) = α ⇒ C = bp0
=2
2
2
Wyznaczamy funkcję mocy:
1−α
−1
βϕ (p) = 1 − 2bp (C) = 1 − 2bp bp0
2
Ostatecznie
βϕ (p) =
α,
1 − 2bp1 b−1
p0
1−α
2
p = p0
.
, p = p1