modelowanie strefy wpływu ciepła podczas jednościegowego
advertisement
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 50, ISSN 1896-771X MODELOWANIE STREFY WPŁYWU CIEPŁA PODCZAS JEDNOŚCIEGOWEGO NAPAWANIA Z WYKORZYSTANIEM DWUROZKŁADOWEGO MODELU ŹRÓDŁA CIEPŁA Jerzy Winczek Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska [email protected] Streszczenie Przyjmowane w opisach pola temperatury podczas napawania jednorozkładowe modele źródła nie pozwalają na odtworzenia nieregularnych kształtów izoterm (w tym linii wtopienia), dlatego też zaproponowano model dwurozkładowy, znajdując uzasadnienie w sposobie przekazywania do napawanego przedmiotu ciepła wydzielonego przez łuk elektryczny. Wykonano obliczenia pola temperatury dla przykładu jednościegowego napawania płyty ze stali S235. Uzyskano potwierdzenie wymiarów i kształtu linii wtopienia uzyskanej doświadczalnie przez innych badaczy, używając w obliczeniach parametrów napawania przyjętych w eksperymencie. Wartości maksymalnej temperatury umożliwiły wyznaczenie charakterystycznych stref wpływu ciepła. Obliczono udziały objętościowe poszczególnych składników strukturalnych (ferrytu, perlitu i bainitu). Słowa kluczowe: napawanie, pole temperatury, przemiany fazowe, modelowanie, strefa wpływu ciepła THE MODELLING OF HEAT AFFECTED ZONE DURING SINGLE-PASS SURFACING BY WELDING USING A BIMODAL HEAT SOURCE MODEL Summary Single-distributed heat source models accepted in the descriptions of the temperature field during surfacing by welding, do not allow for restoration of irregular isotherms shapes (including the fusion line), therefore a bimodal model is proposed, finding justification in the way of transmitting heat generated by an electric arc to the surfaced object. Calculations of the temperature field were performed for a single-pass surfaced S235 steel plate. The size and shape of the fusion line, experimentally obtained by other investigators, was confirmed, using in the calculations the welding parameters adopted in the experiment. The maximum temperature allowed for the determination of specific heat affected zones. The volume fractions of particular structural components (ferrite, pearlite and bainite) were calculated. Keywords: surfacing, temperature field, phase transformations, modelling, heat affected zone 1. WSTĘP Powszechnie stosowanym modelem źródła ciepła w opisach pola temperatury spawania jest zaproponowany na początku lat 80.ubiegłego wieku model Goldaka [1]. Od tamtej pory wielu badaczy podejmuje próby opisania źródła ciepła w celu uzyskania rozkładu temperatury jak najbliższego rzeczywistemu. Parametry geometryczne tych modeli nie są bezpośrednio związane z parametrami technologicznymi procesu spawania. 69 MODELOWANIE STREFY WPŁYWU CIEPŁA PODCZAS JEDNOŚCIEGOWEGO NAPAWANIA Zastosowanie źródła ciepła o pojedynczym rozkładzie daje izotermy o regularnym kształcie. Analizując zgłady metalograficzne połączeń spawanych czy napoin, w wielu przypadkach obserwuje się nieregularne kształty linii wtopienia czy strefy wpływu ciepła. Stąd też próby opisania pola temperatury za pomocą dwurozkładowych źródeł ciepła. Wu i Sun [2] dla dużych deformacji jeziorka spawalniczego i spoiny zaproponowali model bazujący na dwumodalnym rozkładzie ciepła łuku elektrycznego w spawaniu metodą GMAW. Podobnie Jeong i Cho [3] zaproponowali uwzględnienie obszaru przetopionego metalu w spawanym połączeniu pachwinowym przez dwuwariantowe sumowanie rozkładu Gaussowskiego źródła ciepła. Kang i Cho [4] przedstawili model pola temperatury dla spawania metodą GTA z uwzględnieniem materiału dodatkowego. W rozwiązaniu całkowitą ilość ciepła dostarczonego do spawanego materiału określono, sumując ciepło łuku elektrycznego w postaci płaskiego gaussowskiego źródła i punktowego źródła ciepła stopionego materiału dodatkowego. Z kolei Azar i in. [5] ze względu na nieregularny kształt jeziorka spawalniczego zaproponowali źródło składające się z dwóch wzajemnie prostopadłych płaskich źródeł elipsoidalnych, nie uzasadniając takiego podejścia żadnymi warunkami technologicznymi. W pracy zaproponowano dwurozkładowy model źródła ciepła, uzasadniając takie podejście sposobem przekazywania ciepła do napawanego przedmiotu. gdzie Tw(x,y,z,t) i Ta(x,y,z,t) są polami temperatury wywołanymi odpowiednio ciepłem nadlewu napoiny (zużytego na stopienie elektrody) i bezpośredniego oddziaływania łuku elektrycznego, a T0 temperaturą początkową. Przyjęto objętościowy model źródła ciepła napoiny (rys. 1) opisany przez autora w pracy [6], którego ograniczeniem dolnym jest kształt napawanej powierzchni, natomiast ograniczenie górne stanowi lico napoiny. Kształt lica napoiny determinowany jest w głównej mierze siłami napięcia powierzchniowego. Na podstawie badań doświadczalnych Hrabe i in. [7] przyjęto paraboliczny kształt lica. Rys. 1. Geometria napoiny: hw - wysokość nadlewu, ww - szerokość napoiny, dp - głębokość wypełnienia 2. POLE TEMPERATURY W proponowanym modelu przyjęto fizycznie jedno źródło ciepła – łuku elektrycznego. Natomiast pole temperatury opisano, sumując przyrosty temperatury wywołane przez ciepło przekazywane do napawanego przedmiotu bezpośrednio łukiem elektrycznym oraz poprzez stopiony materiał elektrody w postaci kropel, które pod wpływem sił elektromagnetycznych ulegają oderwaniu i przeniesieniu do powstającej napoiny. Materiał ten, po wymieszaniu się w jeziorku spawalniczym, wraz z roztopionym materiałem napawanego przedmiotu stanowi napoinę. Przyjęto, że objętość nadlewu napoiny w przybliżeniu jest równa objętości stopionego drutu elektrody, a ilość ciepła zużyta na stopienie elektrody równa ilości ciepła skumulowanej w nadlewie napoiny. Ilość ciepła przenoszona do napawanego przedmiotu została więc podzielona ze względu na sposób przekazywania na część przenoszoną bezpośrednio promieniowaniem łuku elektrycznego i część przenoszoną przez stopiony materiał elektrody. Podziału dokonano w oparciu o bilans cieplny, czyli obliczenia całkowitej ilości ciepła wydzielonej przez łuk elektryczny oraz ilości ciepła potrzebnej na stopienie elektrody. Powyższe założenia pozwoliły na sformułowanie pola temperatury postaci: T (x , y, z , t ) − T0 = Tw (x , y , z , t ) + Ta (x , y , z , t ) Rys. 2. Powierzchniowo gaussowski rozkład objętościowego źródła ciepła Rys. 3. Schemat jednościegowego napawania Do opisu pola temperatury wywołanego łukiem elektrycznym przyjęto źródło objętościowe o rozkładzie powierzchniowo-gaussowskim (rys. 2) i parabolicznej zmianie po głębokości [8]. Wówczas składowe sumarycznego pola temperatury opisanego zależnością (1) podczas jednościegowego napawania (rys. 3) wyraża się wzorami: (1) 70 Jerzy Winczek - dla czasu t ≤ tc , gdzie tc oznacza całkowity czas wykonania napoiny: Tw (x , y , z , t ) = Aw ∫ {H H (t'' )(F2 (y , z ) + AC = (2) −1 dla z ∈< 0, z 0 ) Φ (z ) = 1 dla z ∈< z 0 ,−∞) (3) z 2 + 2a (t − t') z + z 0 erf ΨC (t') = 1 − 2(a (t − t'))0.5 + z 02 t 0 + F3 (y , z ) − F4 (y , z ) − F1 (y, z ))}dt'' t Ta (x , y , z , t ) = AH ∫ FH (t '' )dt'' 0 z − z0 − Φ (z )erf Φ (z ) ( (t − t'))0.5 2 a - dla czasu t > tc: Tw (x , y, z , t ) = Aw ∫ {H C (t')(G 2 (y , z ) + tc 0 + G 3 (y, z ) − G 4 (y, z ) − G1 (y , z ))}dt'+ tc Ta (x , y, z , t ) = AC ∫ FC (t' )dt ' 3 q& 8 cρπ az 0 + (4) (z − z 0 )2 2a(t − t' ) z + z 0 − + + exp (πa (t − t'))0.5 z 02 4a (t − t') (5) − 0 Aw = q&v 1 ∆l − 2(ξ + vt'') + erf t'' 4 at'' ∆l + 2(ξ + vt'') + erf 4 at '' H H (t'') = HC (t') = ∆l − 2(x − vt'−x ) 0 erf (t − t') 4 a (t − t') (7) [9] (por. rys. 2). Moc q& [W] bezpośredniego oddziaływania łuku elek- (8) trycznego określono z zależności: vξ v 2t 0 3 q& AH = exp − − 8 C p ρπaz 0 4a 2a q& = ηUI − q&v (9) ξ 2 + (y − y 0 )2 v 2t'' 1 Ψ (t'') = exp − − t''+t 0 4a (t''+t 0 ) 4a z 2 + 2at '' z + z 0 erf Ψ(t'') = 1 − 2(at '' )0.5 + z 02 z − z 0 + − Φ(z )erf Φ(z ) 2(at'' )0.5 (z − z 0 )2 2at '' z + z 0 − + + 2 exp z 0 (πat'')0.5 4at'' Ilość ciepła qv zawarta w materiale stopionej elektrody wyrażona jest zależnością [10]: (10) q v = ∆q solid + ∆q f + ∆q liqiud (11) q&v = m& (c (TL − Te ) + L ) 1 t + t 0 − t' (x − v t'−x 0 ) + (y − y ) exp − 4a (t + t 0 − t') 2 ξ = x − v (t + t 0 ) − x 0 2 ΨC (t') (19) gdzie ∆qsolid oznacza ciepło potrzebne do nagrzania elektrody od temperatury początkowej do temperatury topnienia, ∆qf – ciepło zużyte na stopienie elektrody (ciepło topnienia), ∆qliquid – ciepło zużyte na nagrzanie stopionego materiału do temperatury, w którym kropla metalu spada na powierzchnię napawanego przedmiotu. Wartość początkowej temperatury elektrody wysuwanej z głowicy określa się na 100 0C. W związku z powyższym: (z + z 0 )2 z − z0 exp − 0 ,5 (at'') 4at'' FC (t ') = (18) gdzie: U [V] i I [A] oznaczają napięcie i natężenie prądu, a η współczynnik sprawności. FH (t'') = − (17) uruchomienia źródła ciepła [s], t’’ = t – t’, z0 – głębokość zalegania objętościowego źródła ciepła [m], x0, y0 – współrzędne początku napoiny, t0 charakteryzuje powierzchniowy rozkład źródła ciepła, przy czym rB2 = 4at 0 1 ∆l + 2(x − vt'−x 0 ) + erf 4 − ' a ( t t ) (16) gdzie funkcje F1(y,z) - F4(y,z) oraz G1(y,z) - G4(y,z) są określone wzorami (30) - (37) (Załącznik), v oznacza prędkość napawania [m/s], a - współczynnik wyrównywania temperatury [m2/s], c - ciepło właściwe [J/kg0C], ρ - gęstość [kg/m3], t’ - czas, który upłynął od chwili (6) 8cρ πa (15) (z + z 0 )2 z − z0 exp − 0 .5 (πa (t − t')) 4a (t − t') tc = l / v gdzie: (14) (12) m& = ρe πd 2 4 ve (20) (21) gdzie L oznacza ciepło krzepnięcia [J/kg], TL - temperatura kropli ciekłego metalu w chwili odrywania się od końca elektrody, d – oznacza średnicę elektrody [m], ρ e (13) 71 MODELOWANIE STREFY WPŁYWU CIEPŁA PODCZAS JEDNOŚCIEGOWEGO NAPAWANIA martenzyt (i≡M). Udział objętościowy ϕi powstającej fazy wyrażono na wzór formuły (30), korzystając ze zmiennej niezależnej, którą jest temperatura T [16, 17]. Ponadto, uwzględniając niepełną przemianę austenityczną, ułamek i-tego składnika podczas chłodzenia wyniesie: gęstość jej materiału [kg/m3], a ve prędkość podawania drutu elektrodowego [m/s]. 3. MODELOWANIE KINETYKI PRZEMIAN FAZOWYCH W modelowaniu kinetyki dyfuzyjnych przemian fazowych nagrzewania i chłodzenia powszechnie korzysta się z równania Johnsona-Mehla-AvramiegoKołomogorova [11-13] postaci: ϕ = 1 − exp(−bt ) ϕi = ϕAϕimax (1 − exp(− biT ni )) + ϕi0 gdzie: (22) ni = gdzie: ϕ - ułamek objętościowy nowopowstałej fazy, t czas, b i n wspólczynniki wyznaczane doświadczalnie. W przypadku przemian fazowych nagrzewania początek i koniec przemiany limitują temperatury A1 i A3. Jeśli temperatura maksymalnego nagrzania przekroczy temperaturę początku przemiany austenitycznej A1,,to wówczas mamy do czynienia z niepełną przemianą austenityczną, jeśli zaś przekroczy temperaturę A3, to struktura pierwotna (wyjściowa) ulega całkowitej przemianie w austenit. Przemiany te opisuje się jak dla procesu ciągłego. Do modelowania kinetyki nagrzewania użyto równania JMAK (30), zastępując czas t nową zmienną niezależną, którą jest temperatura T [14, 15]. Ilość austenitu ϕA powstałego podczas nagrzewania stali ferrytyczno-perlitycznej jest określana według wzoru: ϕA (T ) = ∑ ϕi0 (1 − exp(−b iT ni )) (26) ln (ln (1 − ϕ is ) / ln (1 − ϕ if )) ln (Tis /Ti f ) (27) ni (1 − ϕif ) Tis (28) bi = ϕis = 0.01 ϕimax ϕif = 0.99 ϕimax (29) ϕi0 jest ułamkiem i-tego składnika strukturalnego, który nie uległ przemianie podczas austenityzacji Tis = Tis(v8/5) i Tif = Tif(v8/5) są temperaturami odpowiedni początku i końca przemiany fazy i, a ϕimax maksymalnym udziałem fazy i który powstaje z przechłodzonego austenitu. (23) i gdzie ϕi0 stanowią udziały początkowe ferrytu (i≡F) i perlitu (i≡P) oraz 0.01ni A1 (24) ln (ln(0.99 )) ln(A1 / A3 ) (25) bi = ni = W celu ilościowego opisania zależności struktury i własności materiału od temperatury i czasu przemiany austenitu przechłodzonego korzysta się ze spawalniczych wykresów czas-temperatura-przemiana przy chłodzeniu ciągłym (CTPc-S). Wykresy sporządzone są przy założeniu, że chłodzenie w przedziale temperatur 800 - 500 0C następuje ze stałą prędkością i w ujęciu ilościowym postęp przemiany fazowej szacuje się w zależności od czasu t8/5 (czasu przebywania materiału w tym zakresie temperatury). Objętościowy udział składników strukturalnych w zależności od temperatury i czasu przemiany austenitu w procesie chłodzenia określany jest na podstawie wykresów, które wiążą czas chłodzenia t8/5 (czas przebywania w zakresie temperatury 800-500oC), bądź Rys. 4. Schemat przemian fazowych austenitu przechłodzonego w zależności od prędkości chłodzenia w przedziale 800-500 0C 4. SYMULACJE NUMERYCZNE JEDNOŚCIEGOWEGO NAPAWANIA Obliczenia zmiennego w czasie pola temperatury, przemian fazowych i stanów naprężenie przeprowadzono dla napawanej płyty w kształcie kwadratu o długości boku 0,4 m i grubości 0,03 m wykonanej ze stali S235. Symulowano nakładanie napoin o długości 0,1 m w środkowej części płyty. Własności cieplne napawanego materiału i elektrody zostały określone przez a = 8·10-6 m2/s, c = 670 J/(kg K), prędkość chłodzenia (v8/5 = (800-500)/t8/5) i temperaturę z postępem przemiany fazowej (rys. 4). W ilościowym ujęciu postęp przemiany fazowej szacuje się udziałem objętościowym ϕi powstającej fazy, przy czym i będzie oznaczać ferryt (i≡F), perlit (i≡P), bainit (i≡B) lub ρ = ρe = 7800 kg/m3, (cρ = 5,2·106 J/Km3) i L = 268 kJ/kg. Numeryczne symulacje zostały wykonane dla spawalniczego źródła ciepła o mocy 3500 W, co odpowiada 72 Jerzy Winczek mocy napawania uzyskanej przy parametrach (U = 24,3 V, I = 232 A, η = 0.6) zastosowanych w próbach napawania metodą GMA przeprowadzonych przez Klimpla i in. [18]. Źródło związane z działaniem łuku elektrycznego o gaussowskim rozkładzie gęstości mocy zostało scharakteryzowane przez z0 = 0,0062 m i t0 = 0,001 s. Podobnie jak w eksperymencie w obliczeniach przyjęto prędkość napawania v = 0,007 m/s, średnicę drutu elektrodowego d = 1,2 mm, prędkość podawania drutu elektrodowego ve = 0,013 m/s oraz wymiary napoiny hw = 2,77 mm i ww = 11,93 mm. Przyjęto początkową temperaturę elektrody Te = 100 0C (temperaturę kontaktu drutu z głowicą spawalniczą). Obliczenia wykonano dla przekroju poprzecznego w połowie długości napawanego elementu. Na rys. 5 Na rysunkach 8 – 12 przedstawiono historię zmian temperatury i udziałów objętościowych faz dla wybranych punktów przekroju poprzecznego (por. rys. 6). przedstawiono rozkład maksymalnej temperatury. Rys. 7. Wykres CTPc-S dla stali S235 Rys. 8 ilustruje powyższe zmiany dla punktu 1 przekroju o współrzędnych (-0,003; 0,00154) [m] z obszaru nałożonej napoiny, dlatego cykl cieplny i wykres udziałów objętościowych faz rozpoczyna się od momentu narzucenia ciekłego metalu. Po zakrzepnięciu podczas chłodzenia zachodzi przemiana austenitu w ferryt, perlit i bainit. Pozostałe rysunki przedstawiają historie zmiany temperatury i udziałów objętościowych poszczególnych faz dla punktów z obszaru przetopienia (rys. 9), strefy pełnej i niepełnej przemiany (rys. 10 i 11) oraz materiału rodzimego (rys. 12). Rys. 5. Pole maksymalnej temperatury Rys. 6. Strefy wpływu ciepła Temperatury początku i końca przemiany austenitycznej przyjęto odpowiednio Ac1 = 720 0C i Ac3 = 835 0C. Granice wyznaczone temperaturami A1 i A3 pozwalają na wyznaczenie stref wpływu ciepła (rys. 6). Temperatura solidusu 1493 0C określa linię wtopienia potwierdzoną eksperymentalnie w [18]. Na rysunku zaznaczono wybrane punkty przekroju, dla których w dalszej części pracy dokonano analizy spawalniczych cykli cieplnych i przemian fazowych. Postęp przemian fazowych podczas chłodzenia określono na podstawie wykresu CTPc-S dla stali S235 przedstawionego na rys. 7 [19]. Rys. 8. Cykl cieplny i zmiany udziałów objętościowych faz w punkcie 1 przekroju poprzecznego W punktach przekroju 2 (0,001; -0,002) [m] i 3 (-0,007; -0,002) [m] - rys. 9 i 10, podczas nagrzewania dochodzi do całkowitej przemiany austenitycznej, a następnie wskutek przemian przechłodzonego austenitu powstaje struktura bainityczno-ferytycznoperlityczna. W punkcie 4 przekroju (0,009; -0,005) [m] (rys. 11) zachodzi częściowa przemiana struktury wyjściowe w austenit. 73 MODELOWANIE STREFY WPŁYWU CIEPŁA PODCZAS JEDNOŚCIEGOWEGO NAPAWANIA Rys. 9. Cykl cieplny i zmiany udziałów objętościowych faz w punkcie 2 przekroju poprzecznego Rys. 11. Cykl cieplny i zmiany udziałów objętościowych faz w punkcie 4 przekroju poprzecznego Maksymalna temperatura w tym punkcie przekracza temperaturę A1 początku austenityzacji, ale nie osiąga temperatury A3. W punkcie 5 przekroju (-0.004, -0.009) [m] – rys. 12, maksymalna temperatura nie przekroczyła temperatury A1 początku austenityzacji i materiał zachował pierwotny skład fazowy. Rys. 12. Cykl cieplny i zmiany udziałów objętościowych faz w punkcie 5 przekroju poprzecznego Rys. 10. Cykl cieplny i zmiany udziałów objętościowych faz w punkcie 3 przekroju poprzecznego Na rysunkach 13 – 15 przedstawiono udziały objętościowe bainitu, ferrytu i perlitu po napawaniu (ostygnięciu elementu). Maksymalny udział objętościowy bainitu w obszarze napoiny i strefie przemiany całkowitej wynosi 100% na styku lica z powierzchnią płyty oraz ok. 66%, ferrytu 24% i perlitu 10% w pozostałym obszarze. W strefie przemiany częściowej udział bainitu maleje i zanika w strefie materiału rodzimego, natomiast ferrytu i perlitu rośnie do początkowych wielkości materiału rodzimego odpowiednio 70% i 30%. Rys. 13. Udział objętościowy bainitu po napawaniu 74 Jerzy Winczek 5. WNIOSKI Poprawność rozwiązania opartego na zastosowaniu dwurozkładowego modelu źródła ciepła uwzględniającego ciepło przekazywane do napawanego przedmiotu przez stopiony materiał elektrody oraz promieniowanie cieplne od ruchomego łuku elektrycznego została potwierdzona doświadczalnie przez porównanie obliczonej linii wtopienia z wynikami uzyskanymi eksperymentalnie przez innych badaczy. Pozwala to na stwierdzenie, że uwzględnienie ciepła roztopionego materiału elektrody w modelowaniu pola temperatury umożliwia dokładniejsze odwzorowanie kształtu linii wtopienia, a także kształty i wymiary charakterystycznych stref wpływu ciepła. Spawalnicze cykle cieplne umożliwiają analizę przemian fazowych w dowolnym punkcie napawanego przedmiotu. Kierunkiem dalszych badań będzie analiza i wyjaśnienie największego udziału bainitu w miejscach styku napoiny z materiałem napawanym. Rys. 14. Udział objętościowy ferrytu po napawaniu Rys. 15. Udział objętościowy perlitu po napawaniu Literatura 1. Goldak, J., Chakravarti, A., Bibby, M.: A double ellipsoidal finite element model for welding heat source. II W Doc., 1985, No 212-603-85. 2. 3. Wu, C.S., Sun, J.S.: Modelling the arc heat flux distribution in GMA welding. “Computational Materials Science” 1998, 9, p. 397 – 402. Jeong, S.K., Cho, H.S.: An analytical solution for transient temperature distribution in fillet arc welding including the effect of molten metal. In: Proc. Inst.Mech. Egrs., 1997, 211, p. 63 – 72.. 4. Kang S.H., Cho H.S.: Analytical solution for transient temperature distribution in gas tungsten arc welding with consideration of filler wire. In: Proc. Instsn. Engrs, 1999, 213B, p. 799 – 811. 5. Azar A.S., Ås S.K., Akselsen O.M.: Determination of welding heat source parameters from actual bead shape. “Computational Materials Science” 2102, 54, p. 176 – 182. 6. Winczek J.: New approach to modeling of temperature field in surfaced steel elements. “International Journal of Heat and Mass Transfer” 2011, 54, p. 4702 - 4709. 7. Hrabe P., Choteborsky R., Navratilova M.: Influence of welding parameters on geometry of weld deposit bead, W: International Conference on Economic Engineering and Manufacturing Systems, Brasov, 26 – 27 November 2009, Regent 10 3, 27, p. 291 - 294. 8. Winczek J.: Analytical solution to transient temperature field in a half-infinite body caused by moving volumetric heat source. “Int. J. Heat Mass Transfer” 2010, 53, p. 5774 - 5781. 9. Vishnu, P.R., Li W.B., Easterling, K.E.: Heat-flow model for pulsed welding. “ Mat. Sci. and Tech.” 1991, 7, p. 649 - 659. 10. Modenesi P.J., Reis R.I.: A model for melting rate phenomena in GMA welding. “Journal of Materials Processing Technology” 2007, 189, p. 199 - 205. 11. Avrami M.: Kinetics of phase change. I. General theory. “Journal of Chemical Physics” 1939, 7, p. 1103 - 1112. 12. Johnson W.A., Mehl R.F.: Reaction kinetics in processes of nucleation and growth. “Trans. AIME” 1939, 135, p. 416 - 442. 75 MODELOWANIE STREFY WPŁYWU CIEPŁA PODCZAS JEDNOŚCIEGOWEGO NAPAWANIA 13. Kolmogorov A. N.: K statističeskoj teorii kristallizacii metallov. „Izvestia Akademii Nauk CCCP”. Serija matiematičeskaja, 1937, No 3, s. 355 -359. 14. Domański T., Bokota A.: Numerical models of hardening phenomena of tools steel base on the TTT and CCT diagrams. “Archives of Metallurgy and Materials” 2011, 56, p. 325 - 344. 15. Piekarska W., Kubiak M., Saternus Z.: Numerical simulation of deformations in T-joint welded by the laser beam. “Archives of Metallurgy and Materials” 2013, 58, p. 1391 - 1396. 16. Parkitny R., Winczek J.: Modelowanie przemian fazowych w spawanych elementach stalowych. W: XXXVI Sympozjon “Modelowanie w mechanice”, Gliwice1997, s. 281 - 286. 17. Parkitny R., Winczek J.: Modelowanie przemian fazowych wielokrotnego napawania. XXXVIII Sympozjon PTMTS “Modelowanie w mechanice, ZN Katedry Mechaniki Stosowanej, Politechnika Śląska, Gliwice 1999, 219 - 224. 18. Klimpel A., Balcer M., Klimpel A.S., Rzeźnikiewicz A.: Wpływ techniki napawania metodą GMA drutem litym na jakość napoin i udziału materiału podłoża w napoinie. „Biuletyn Instytutu Spawalnictwa” 2006, 1, s. 53-58. 19. Brózda J., Pilarczyk J., Zeman M.: Spawalnicze wykresy przemian austenitu CTPc-S. Katowice: Wyd. "Śląsk", 1983. ZAŁĄCZNIK 2 y − w w υi ww 2 F1 (y , z ) = ∑ w i exp − 2 at'' 2 i =1 1 erf (z + d pυi 2 − d p − hw ) 2 ' ' at 2 y − w w υi w w n 2 G 2 (y, z ) = ∑ w i exp − 2 a(t − t') 2 i =1 n 2 w w υ y − i w n 2 F2 (y , z ) = w ∑ w i exp − 2 at '' 2 i =1 1 (z − hwυi 2 ) erf 2 at '' (30) 1 (z − hwυi 2 ) erf 2 a (t − t') 2 y − w w υi ww 2 G 3 (y, z ) = ∑ w i exp − 2 a (t − t') 2 i =1 n (31) (36) 1 (z − d pυi 2 + d p + hw ) erf 2 a (t − t') 2 y − w w υi ww 2 F3 (y , z ) = ∑ w i exp − 2 at'' 2 i =1 1 (z − d pυi 2 + d p + hw ) erf 2 at '' (32) 2 y − w w υi ww 2 F4 (y , z ) = ∑ w i exp − 2 at'' 2 i =1 1 (z + hwυi 2 ) erf 2 at ' ' (33) 2 y − w w υi ww n 2 G 4 (y, z ) = ∑ w i exp − 2 a (t − t') 2 i =1 n 1 ( erf z − hwυi 2 ) 2 a (t − t') n 2 y − w w υi ww n 2 G1 (y, z ) = ∑ w i exp − 2 a (t − t') 2 i =1 (35) (34) 1 ( erf z + d pυi 2 − d p − hw ) 2 a (t − t') 76 (37)
