Systemy liczenia
advertisement
Systemy liczenia - potrzeba czy ciekawostka ? Zadanie 1 Liczyć jak to łatwo powiedzieć ... Trochę historii... Potrzeba liczenia pojawiła się wraz z posiadaniem przedmiotów. Człowiek pierwotny nie odczuwał jej. Jako myśliwy nie mógł posiadać zbyt wiele. Jednak pewien prosty system liczenia pojawił się około 30.000 lat p.n.e. Był to system karbowy. Polegał on na żłobieniu w kościach karbów, których ilość oznaczała określoną liczbę. Trochę historii... Początkowo dla wyrażenia jednostek stosowano pojedyncze kreski. Np. liczbę 18 zapisywano tak: \\\\\\\\\\\\\\\\\\ Zapis ten był mało czytelny. Łatwo można się pomylić. Aby zwiększyć czytelność zapisu liczb, co piątą kreskę stawiano pod innym kątem od pozostałych. Teraz liczbę 18 zapisywano tak: \\\\/ \\\\/\\\\/\\\ Trochę historii... Ilość kresek (karbów) jest taka sama, ale dzięki zaburzeniom łatwiej jest się zorientować w wartości liczby - są to trzy pełne piątki i trzy jednostki. Człowiek pierwotny, jeśli miał nazwy dla liczb, mógł to przeczytać jako trzy razy po pięć i trzy. Jeśli w liczbie tak zapisanej występowało dużo piątek, to co drugą piątkę zapisywano jeszcze inaczej, mianowicie tak: \ \ \ \/ \ \ \ X \ \ \ \/ \ \ \ Trochę historii... Kości z karbami z przed 30.000 lat p.n.e. Trochę historii... system babiloński Cywilizacja babilońska rozkwitła w Mezopotamii. „Piętno” Babilonu odcisnęło się na wielu cywilizacjach świata starożytnego, a nawet w naszej kulturze współczesnej. Babilończycy rozwinęli jako pierwsi system pozycyjny o podstawie 60. Do zapisu liczb potrzebowali tylko dwóch symboli - dla jedności i dla dziesiątek. Trochę historii... system babiloński Babilońskie cyfry były zbudowane z tych dwóch znaków, zapisywanych końcem ostrej trzcinki na tabliczce glinianej, stąd pochodzi charakterystyczny, klinowy kształt pisma. Trochę historii... system babiloński Cyfry systemu babilońskiego zbudowane ze znaku jednostek i dziesiątek Zapis cyfr w różnych systemach liczenia Co to jest system liczbowy ? System liczbowy to sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach. Dla dowolnego systemu liczenia istnieje zbiór znaków, za pomocą, których tworzy się liczby. Rodzaje systemów liczenia: • Pozycyjne • Niepozycyjne (addytywne) Rodzaje systemów liczenia: • W systemach liczbowych pozycyjnych liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr. Wartość jej jest zależna od położenia (pozycji) cyfry w liczbie. • Systemy niepozycyjne (addytywne) to metody zapisywania liczb w taki sposób, że znaczenie cyfry (wartość) jest niezależne od zajmowanej pozycji w liczbie. Przykłady systemów liczenia: Pozycyjne: • Dwójkowy • Ósemkowy • Dziesiątkowy • Szesnastkowy • Sześćdziesiątkowy Niepozycyjne: • Egipski • Rzymski Zadanie 2 Jak zbudować liczbę w różnych systemach ? System dwójkowy (binarny) • System liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1. • Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi 2, np. zapis 1001 wynika z : 1*23 + 0*22 + 0*21+ 1*20 System ósemkowy (oktalny) • To pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7. • Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi 8, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż: 1*82 + 4*81 + 4*80 = 64 + 32 + 4 = 100. System dziesiątkowy (decymalny) • Jest to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą są kolejne potęgi liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest 10 cyfr od 0 do 9. • Liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi 10, np. zapis „245” wynika z : 2*102 + 4*101 + 5*100 System szesnastkowy (heksadecymalny) • System liczbowy, w którym podstawą jest liczba 16. Do zapisu liczb w tym systemie potrzebne jest 16 cyfr, poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się liter A, B, C, D, E, F. Litery odpowiadają następującym wartościom: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 oraz F = 15. • Zapis „AB3” wynika z: 10*162 + 11*161 + 3*160 . System sześćdziesiątkowy • To pozycyjny system liczbowy o podstawie 60. Do zapisu liczb w tym systemie używa się znaków od 0 do 59. • Zaletą tego systemu jest podzielność liczby 60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 oraz 60. Ułamki mają wtedy formę liczb całkowitych. System rzymski (łaciński) • System liczbowy, w którego podstawowej wersji używa się 7 znaków: I-1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000. • Wpisanie liczby pomiędzy dwa znaki | oznacza liczbę stukrotnie większą, a umieszczenie poziomej kreski nad liczbą oznacza mnożenie przez 1000. • Przykłady: 2012 = MMXII 1973 = MCMLXXIII System egipski Egipcjanie do zapisu słów stosowali hieroglify, czyli obrazki przedstawiające różne przedmioty, postacie czy zwierzęta. Podobnie było z liczbami. System zapisu liczb opierał się na siedmiu hieroglifach przedstawiających kolejne potęgi liczby 10. Aby zapisać w tym systemie określoną wartość, należało powtórzyć odpowiednią liczbę razy właściwe liczebniki. System egipski – cd. Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol Nilu. Znakiem 10 000 jest wskazujący palec, a 100000 - żaba. Liczba stu tysięcy w ich pojęciu była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach Nilu po jego wylewach. Znak dla 1000000 przedstawia postać z podniesionymi rękoma. Jest to najprawdopodobniej obraz Boga podtrzymującego sklepienie niebieskie jako symbol "wszystkiego". Liczbę 10 000 000 oznaczano podkreślając koło. System egipski – cd. Egipskie liczebniki hieroglifowe Zadanie 3 Teoria zamienia się w praktykę ... czyli ulubione „zadanka” ;) Konwersja liczb z jednego systemu na inny Zadanie1: Liczbę 458 przedstaw jako liczbę w systemie szóstkowym (o podstawie sześć). Liczbę 458 dzielimy przez 6 zapisując wyniki w następujący sposób: 456 : 6 = 76 r 2 76 : 6 = 12 r 4 12 : 6 = 2 r 0 2:6=0 r2 Zapisując uzyskane reszty „od końca” otrzymujemy: 458 = 2042 (6) Przykłady działań w systemie dwójkowym: Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym, i opierają się na elementarnych działaniach: •1+ 0 = 1; 1 + 1 = 10; 1* 0 = 0 •1 * 1 = 1; 10 - 1 = 1 Przykłady działań w systemie dwójkowym: Przykład dodawania w systemie dwójkowym. 111111 1111111 + 10011 10010010 Przykłady działań w systemie dwójkowym: Przykład mnożenia w systemie dwójkowym. 101 x 111 101 101 +101 100011 Zadanie 4 Matematyka jest wszędzie – czyli ... gdzie znajdują zastosowanie inne niż dziesiątkowy systemy liczenia? Zastosowania innych systemów liczbowych System rzymski - dziś, w Polsce używany do: zapisywania numerów liceów, numerów klas i lat studiów, wieków, tomów dzieł, numerów pięter, wydziałów w instytucjach. Systemem rzymskim zapisuje się też daty urodzenia. Zastosowania innych systemów liczbowych – cd. Pozostałością po systemie babilońskim jest używany obecnie układ sześćdziesiątkowy związany z jednostkami czasu. Godzina dzieli się na 60 minut, minuta na 60 sekund. Układ sześćdziesiątkowy stosuje się też przy podawaniu miar kątowych a zwłaszcza szerokości i długości geograficznej. Zastosowania innych systemów liczbowych - cd Systemy dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy powszechnie stosowane są w elektronice i informatyce. Adresy IP np. w wersji 6 są podawane w pozycyjnym systemie szesnastkowym. Zastosowania innych systemów liczbowych - cd Do dziś w Polsce używa się takich wywodzących się z systemu dwunastkowego pojęć jak tuzin (12 sztuk), gros (12 tuzinów- 144 sztuki) oraz kopa (5 tuzinów- 60 sztuk) Zastosowania innych systemów liczbowych – cd. W 1863 roku zaproponowano nowe cyfry oraz standard zapisu i pomiaru czasu (zegar) oraz lokalizacji (kompas) w systemie pozycyjnym szesnastkowym. Czy nie można pozostawić jednego systemu liczenia, a całkowicie wyeliminować inne? Naszym zdaniem … • Każdy z systemów jest inny, potrzebny i znajduje swoje zastosowania. • Likwidacja systemu sześćdziesiątkowego i zastąpienie go systemem dziesiątkowym byłoby niepraktyczne, np.: 7.20, w układzie dziesiątkowym zamiast tego wyglądałyby tak: 7,333333333... itd. I jak tu np. ułożyć rozkład jazdy? Naszym zdaniem … System binarny jest potrzebny w informatyce, natomiast jego stosowanie w życiu codziennym nie jest wygodne. Liczby mają bardzo długi zapis, co jednak zupełnie nie przeszkadza komputerom. Korzystaliśmy z następujących zasobów: • W. Krysicki „Jak liczono dawniej, a jak liczymy dziś”. • Komitet Organizacyjny Konkursu „Kangur Matematyczny” PTM o Toruń - „Miniatury matematyczne”. • http://pl.wikipedia.org/ • http://matematyka.wroc.pl • http://serwis-matematyczny.pl • http://www.math.edu.pl/ • http://edu.I-lo.tarnow.pl W tajniki systemów liczenia zagłębiali się: (w kolejności alfabetycznej) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Góralczyk Miłosz Kardyś Mikołaj Kot Aleksandra Ligęza Jadwiga Mendala Piotr Nowak Maciej Oczkowicz Szymon Pawlik Małgorzata Stelmaszak Weronika – lider, autor prezentacji Tekielski Rafał Opiekun – p. Zofia Kondratowicz Dziękujemy za uwagę POWUZ nr IV KRAKÓW SP – M-I
