Wartość bezwzględna Równania i nierówności z wartością

Wartość bezwzględna
Definicja wartości bezwzględnej
≥ 0
−
< 0
Zatem wartość bezwzględna z danej liczby jest to ta sama liczba jeśli dana liczba jest dodatnie lub
liczba do niej przeciwna jeśli liczba jest ujemna. Wartość bezwzględna jest więc zawsze liczbą
dodatnią. Np.:
|| = |3| = 3, |−3| = 3, − √15 = √15, || = .
Na wartość bezwzględną można też patrzeć jak na odległość danej liczby od 0 na osi liczb
rzeczywistych.
Wyznaczanie wartości bezwzględnej z sumy lub różnicy liczb
Aby wyznaczyć wartość bezwzględną z sumy lub różnicy liczb musimy najpierw sprawdzić czy dana
suma lub różnica daje wynik dodatni czy ujemny.
Jeśli jest to wynik dodatni to zgodnie z definicją wartości bezwzględnej możemy opuścić wartość
bezwzględną bez żadnych zmian. Np.:
3 + 2√3 = 3 + 2√3 ponieważ zarówno 3 jak i 2√3 to liczby dodatnie więc w sumie dadzą wynik dodatni.
Jeśli jest to wynik ujemny to zgodnie z definicją wartości bezwzględnej opuszczając wartość
bezwzględną bierzemy wartość przeciwną czyli:
3 − 2√3 = −3 − 2√3 = −3 + 2√3 ponieważ 2√3 ≈ 3,46 to 3 − 2√3 daje wynik ujemny
Na wartość bezwzględną różnicy liczb można także patrzeć jak na odległość tych liczb od siebie na osi
liczb rzeczywistych.
Czyli |3 − 2| jest to odległość liczby 3 od liczby 2. Ponadto odległość liczby 3 od 2 jest taka sama jak
odległość 2 od 3 możemy więc zapisać |3 − 2| = |2 − 3| = 1. Jeżeli mamy sumę liczb pod wartością
bezwzględną to możemy ją przekształcić na różnicę w następujący sposób:
|3 + 2| = |3 − −2|
wtedy jest to odległość liczby 3 od liczby -2 na osi liczbowej i wynosi ona 5.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną
Równanie
Aby obliczyć rozwiązanie równania z wartością bezwzględną należy doprowadzić równanie do postaci
takiej, że z jednej strony równości jest tylko wyrażenie pod wartością bezwzględną, z drugiej reszta
(liczby). Następnie opuszczając wartość bezwzględną rozbijamy równanie na dwa przypadki:
| + 3| = 2
+ 3 = ∨ + 3 = −
i wyliczamy x z obu równań i wynikiem równania wyjściowego będę oba wyliczone x.
Przykład:
−3|x + 1|
= −6
2
Pierwszym krokiem będzie przekształcenie tej równości w taki sposób aby doprowadzić ją do postaci,
w której wartość bezwzględna będzie z jednej strony a liczby z drugiej. Czyli pomnożymy obie strony
równania przez 2 aby pozbyć się mianownika po lewej stronie.
−3| + 1|
∙ 2 = −6 ∙ 2
2
−3| + 1| = −12
następnie równanie podzielimy przez -3 aby po lewej stronie została tylko wartość bezwzględna
−3| + 1| −12
=
−3
−3
| + 1| = 4
teraz możemy opuścić wartość bezwzględną rozbijając równanie na dwa przypadki:
Rozwiązaniem równania
$%|&'(|
)
+1=#
=4−1
=3
∨
∨
∨
+ 1 = −#
= −4 − 1
= −5
= −6 są 3 i -5, czyli ∈ +−5,3,.
Nierówność
Aby obliczyć rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną, należy podobnie jak z równaniami
doprowadzić nierówność do postaci takiej, że po jednej stronie nierówności będzie wartość
bezwzględna po drugiej zaś liczby. Np.:
−3|x + 1|
≥ −6
2
Pierwszym krokiem będzie przekształcenie tej równości w taki sposób aby doprowadzić ją do postaci,
w której wartość bezwzględna będzie z jednej strony a liczby z drugiej. Czyli pomnożymy obie strony
równania przez 2 aby pozbyć się mianownika po lewej stronie.
−3| + 1|
∙ 2 ≥ −6 ∙ 2
2
−3| + 1| ≥ −12
następnie równanie podzielimy przez -3 aby po lewej stronie została tylko wartość bezwzględna
−3| + 1| −12
≤
−3
−3
pamiętamy przy tym, że gdy dzielimy lub mnożymy nierówność przez liczbę ujemną to zmieniamy
znak nierówności na przeciwny
| + 1| ≤ 4
teraz możemy opuścić wartość bezwzględną rozbijając równanie na dwa przypadki:
+1≤4
∧
+ 1 ≥ −4
w ten sposób, że pierwszy przypadek to po prostu opuszczenie wartości bezwzględnej, w drugim
przypadku zmieniamy znak nierówności na przeciwny i po prawej stronie nierówności liczbę
zmieniamy na przeciwną(np. 3 na -3, -5 na 5). Dodatkowo symbol ( Λ ) zależy od tego z jaką
nierównością mamy do czynienia.
≤, < 0 ∧
≥, > 0 ∨
(obracamy znak nierówności według wskazówek zegara i otrzymujemy symbol „i” albo „lub”.
Rozwiązujemy dwie nierówności:
≤4−1
≤3
∧
∧
≥ −4 − 1
≥ −5
Ponieważ pomiędzy nierównościami jest znak „i” to wynikiem będzie iloczyn (część wspólna)
przedziałów. Zatem rozwiązaniem nierówności
−3|x + 1|
≥ −6
2
jest zbiór 2−5,33.
Jeżeli pomiędzy równaniami byłby symbol „lub” to wtedy wynikiem jest suma przedziałów. Np.
|2 − 3| > 1
2 − 3 > 1
∨
2 − 3 < −1
2 > 4 |: 2
∨
2 < 2 |: 2
>2
∨
<1
Rozwiązaniem powyższej nierówności jest zbiór −∞, 1 ∪ 2, +∞.