14. obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym

OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
14. OBWODY LINIOWE POBUDZONE SYGNAŁEM
ODKSZTAŁCONYM
PRZYPOMNIENIE
A) Funkcja wykładnicza pełni wyjątkową rolę, ponieważ:
• każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyrażony w postaci sumy funkcji wykładniczych;
• w przypadku obwodów liniowych odpowiedź obwodu na wymuszenie wykładnicze jest także wykładnicza.
B) Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych pozwala traktować je jako przebiegi wykładnicze
14.1. OPIS SYGNAŁU ODKSZTAŁCONEGO
A) TRYGONOMETRYCZNY SZEREG FOURIERA
Dowolną funkcję okresową x(t) o okresie T, spełniającą warunki Dirichleta – wyrażone następująco:
• przedział o długości T można podzielić na skończoną liczbę przedziałów otwartych, w których funkcja jest ciągła i monotoniczna;
• w punktach nieciągłości funkcja x(t) ma granice lewo i prawostronne
i jej wartość jest równa średniej arytmetycznej tych granic;
można przedstawić w postaci szeregu harmonicznego nieskończonego
zwanego szeregiem trygonometrycznym Fouriera.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
1 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
Szereg trygonometryczny Fouriera:
∞
x(t ) = F0 + ∑ Fm k sin (kω1t +Ψ k )
(14.1)
k =1
składowa stała
k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera
gdzie:
ω1 =2π/T – pulsacja podstawowa
k – rząd harmonicznej
Fmk – amplituda k-tej harmonicznej
Ψk – faza początkowa k-tej harmonicznej
Szereg zawiera wyraz niezależny od czasu i SUMĘ harmonicznych funkcji czasu o
pulsacjach będących wielokrotnościami pulsacji podstawowej (pulsacji funkcji x(t)
równej ω1=2π/T). Wielkość sinusoidalną o k=1 nazywamy harmoniczną podstawową
(pierwszą harmoniczną). Wielkości o k>1 nazywamy wyższymi harmonicznymi
Interpretacja:
x(t)
T
t
0
x(t) = F0 + Fm1 sin(ω1t+Ψ1) + Fm2 sin(2ω1t+Ψ2) + .........
T2=T/2
Fm1
Fm2
T1=T
t
F0
Ψ2
0
ωt
Ψ1
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
2 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
Wiadomo jednak, że
Fm k sin (kω1t +Ψ k ) = Fm k (sin kω1t cosΨ k + cos kω1t sinΨ k )
Fm k sinΨ k = Ak
⎧⎪
⎨
⎪⎩
Jeśli oznaczymy
(14.3)
Fm k cosΨ k = Bk
Fm k sin (kω1t +Ψ k ) = Ak cos kω1t + Bk sin kω1t
to
(14.2)
(14.4)
Gdy amplitudę k-tej harmonicznej przedstawimy jako wektor wirujący, to z zależności trygonometrycznych wynikają wzory
Im
Ak
Fm k = Ak2 + Bk2
Fmk
Ψk
Bk
sinΨ k =
Re
Ak
B
, cosΨ k = k
Fmk
Fmk
(14.5)
(14.6)
Uwzględniając powyższe zależności możemy szereg (14.1) przedstawić
x(t ) = A0 +
∞
∑ ( Ak cos kω1t + Bk sin kω1t )
(14.7)
k =1
składowa stała
k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera
Współczynniki A0 , Ak , Bk wyznacza się ze wzorów:
1
A0 =
T
wartość średnia
skład. kosinusoidalna
skład. sinusoidalna
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
2
Ak =
T
2
Bk =
T
t0 +T
∫ x(t ) dt
(14.8)
t0
t 0 +T
∫ x(t ) cos kω1t dt
dla
k = 1,2, K
(14.9)
dla
k = 1,2, K
(14.10)
t0
t 0 +T
∫ x(t ) sin kω1t dt
t0
3 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
B) WYKŁADNICZY (ZESPOLONY) SZEREG FOURIERA
Jeśli w rozwinięciu w szereg Fouriera danym wyrażeniem (14.7) zastosujemy podstawienie wynikające z wzorów Eulera
e jkω1t + e − jkω1t
e jkω1t − e − jkω1t
cos kω1t =
, sin kω1t =
2
2j
to otrzymamy
(14.11)
∞
⎡ e jkω1t + e − jkω1t
e jkω1t − e − jkω1t ⎤
+ Bk
x(t ) = A0 +
⎢ Ak
⎥
2
2
j
⎢
⎣
⎦⎥
k =1
∑
(14.12)
Wprowadzając oznaczenia
C0 = A0 , C k =
stąd
x(t ) = C0 +
Ak − jBk
A + jBk
, C −k = k
2
2
∑ [C k e jkω t + C − k e− jkω t ]
(14.13)
∞
1
1
(14.14)
k =1
i ostatecznie
∞
x(t ) =
∑ C k e jkω t
1
(14.15)
k = −∞
którą to postać nazywamy postacią
zespoloną szeregu Fouriera.
1
Ck =
T
t0 +T
∫ x(t ) e
− j kω1t
dt
k-ty współczynnik wykładniczego
szeregu Fouriera
= Ck e j ηk
t0
moduł k-tego współczynnika
wykładniczego szeregu Fouriera
dla k = 0,±1,±2, K (14.16)
argument k-tego współczynnika
wykładniczego szeregu Fouriera
Uwaga: C k = C *− k
Ck = C− k i ηk = −η− k
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
4 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
C) WIDMO AMPLITUDOWE I FAZOWE
Wprowadzenie:
Fm1
Fm2
Fm3
F0
Ψ2
Ψ1
Ψ3
t
ωt
0
x(t) =
Fmk
F0
Fm1
Fm2
Fm3
F0
+ Fm1 sin(ω1t+Ψ1)
+ Fm2 sin(2ω1t+Ψ2)
π
Ψ2
Ψ1
Ψ3
+ Fm3 sin(3ω1t+Ψ3)
1 2 3
kω1
+ ....
Ψk
1 2 3
kω1
−π/2
−π
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
5 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
Wykres, w układzie współrzędnych prostokątnych, stanowiący
• zbiór modułów Ck współczynników zespolonego szeregu Fouriera
lub
• zbiór amplitud Fmk poszczególnych harmonicznych
określony dla odpowiednich pulsacji ω=kω1 (bądź częstotliwości f=kf1)
nazywamy dyskretnym WIDMEM AMPLITUDOWYM sygnału x(t).
o zbiór argumentów ηk współczynników zespolonego szeregu Fouriera
lub
o zbiór faz początkowych ψk poszczególnych harmonicznych
określony dla odpowiednich pulsacji ω=kω1 (bądź częstotliwości f=kf1)
nazywamy dyskretnym WIDMEM FAZOWYM sygnału x(t).
Pomiędzy współczynnikami rozwinięcia w trygonometryczny i w zespolony szereg Fouriera zachodzą następujące związki:
Ck = C− k =
Fm k
2
Ak2 + Bk2
2
=
η k =Ψ k −
π
2
dla
dla
k = 1,2, K
k = 1,2, K
(14.17)
(14.18)
Znajomość obydwu widm, amplitudowego i fazowego jednoznacznie określa sumę częściową szeregu Fouriera czyli z założoną dokładnością opisuje analizowany sygnał x(t). Widma
(częstotliwościowe) są równoważnym opisem do analitycznego
zapisu w dziedzinie czasu tego sygnału - jest to jego reprezentacja widmowa.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
6 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
Wyjaśnienie:
WIDMO AMPLITUDOWE
SPORZĄDZONE W OPARCIU O POSTAĆ:
TRYGONOMETRYCZNĄ
ZESPOLONĄ
Fmk
Ck
kω1
0
1
2
3
4
kω1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3
4 kω1
WIDMO FAZOWE
SPORZĄDZONE W OPARCIU O POSTAĆ:
ZESPOLONĄ
TRYGONOMETRYCZNĄ
Ψk
π
π
π/2
π/2
4 kω1
1
2
3
ηk
-1
-4
-3
-2
1
−π/2
−π/2
−π
−π
2
Widmo amplitudowe sygnału okresowego jest funkcją parzystą a widmo
fazowe funkcją nieparzystą. Prawostronne widma amplitudowe i fazowe
stanowią reprezentację sygnału okresowego w dziedzinie częstotliwości.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
7 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
D) RODZAJE SYMETRII SYGNAŁÓW
1) SYMETRIA WZGLĘDEM POCZĄTKU UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH
Funkcję nazywamy symetryczną względem początku układu współrzędnych lub funkcją nieparzystą jeśli spełnia ona zależność
x(t)
x(t ) = − x(− t )
(14.19)
Ψk = π
A0 = 0, Ak = 0
x(t ) =
t
lub Ψ k = 0
∞
∑ Bk sin kω1t
(14.20)
k =1
2) SYMETRIA WZGLĘDEM OSI RZĘDNYCH
Funkcję nazywamy symetryczną względem osi rzędnych, lub funkcją
parzystą jeśli spełnia ona zależność
x(t)
x(t ) = x(− t )
(14.21)
t
Bk = 0
Ψk =
x(t ) = A0 +
∞
π
2
lub Ψ k = −
∑ Ak cos kω1t
π
2
(14.22)
k =1
3) SYMETRIA WZGLĘDEM OSI ODCIĘTYCH
Funkcję nazywamy antysymetryczną (symetryczną względem osi
odciętych), jeśli rzędne funkcji okresowej powtarzają się co pół okresu ze
zmienionym znakiem, tzn.
⎛ T⎞
x(t ) = − x⎜ t + ⎟
⎝ 2⎠
A0 = 0
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
i
x(t)
(14.23)
A2 n = B2 n = 0 dla
t
n = 1,2, K
8 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
E) WIDMO MOCY SYGNAŁU
1T 2
Moc średnia sygnał P = x (t ) = ∫ x (t ) dt
T 0
Moc sygnału okresowego x(t), można również wyznaczyć w dziedzinie częstotliwości obliczając wartości mocy zawartej w każdej składowej
harmonicznej. Przykładowo dla n-tej składowej harmonicznej:
2
T
Fm2 n
1
2
2
Pn =
Fm n sin (nω1t +Ψ n ) dt =
T
2
∫
(14.24)
0
Wyrażając funkcję okresową x(t) za pomocą jej rozwinięcia w szereg
trygonometryczny Fouriera otrzymujemy:
P=
A02
+
∞
∑
(Ak2 + Bk2 ) = F02 + ∞
2
Fmk
2
k =1
∑
2
k =1
(14.25)
Wyznaczając widmo mocy przebiegu okresowego x(t) za pomocą
wykładniczego szeregu Fouriera, korzysta się z twierdzenia Parsevala
x1 (ω1t ) x2 (ω1t ) =
∞
∑ C1 k C *2 k
(14.26)
k = −∞
mówiącego: wartość średnia za okres iloczynu dwóch funkcji okresowych o tym samym
okresie jest równa sumie od -∞ do +∞ szeregu nieskończonego, którego wyrazami są iloczyny współczynników rozwinięcia wykładniczego jednej z tych
funkcji przez współczynniki sprzężone rozwinięcia wykładniczego drugiej
Czyli wartość średnia kwadratu funkcji okresowej zakładając
x1 (ω1t ) = x2 (ω1t ) = x (t )
Zatem:
x (t ) =
2
wynosi
P=
∞
∑
C k C *k
k = −∞
=
∞
∑ Ck2
(14.27)
k = −∞
∞
∑ Ck2
(14.28)
k = −∞
Wówczas WIDMEM MOCY sygnału nazywamy wykres zmienności kwadratów modułów współczynników wykładniczego szeregu Fouriera.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
9 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
F) APROKSYMACJA SYGNAŁU
W zagadnieniach praktycznych często zachodzi konieczność ograniczenia się do reprezentacji sygnału okresowego skończoną liczbą wyrazów
szeregu Fouriera (do aproksymacji sygnału sumą częściową szeregu).
Ograniczamy się do uwzględnienia w rozwinięciu N-harmonicznych.
Zapiszemy to następująco:
x(t ) ≅
k =+ N
∑
C k e jkω1t
(14.29)
k =− N
Jako kryterium dokładności aproksymacji sygnału x(t) sumą częściową jego rozwinięcia przyjmuje się błąd względny
δεN =
ε sk N
X
⋅ 100%
(14.30)
gdzie:
X – wartość skuteczna sygnału x(t) : X =
T
1 2
x (t ) dt = x 2 (t ) = P
∫
T 0
2
ε sk N - wartość skuteczna błędu : ε sk N = X −
k =+ N
∑
k =− N
Ck2
= 2
∞
∑ Ck2
k = N +1
Jeśli a priori założymy pewną wartość błędu aproksymacji, to przy
znajomości X, możemy ustalić ten rząd harmonicznej N, której uwzględnienie w sumie częściowej zapewnia wymaganą dokładność. Mówimy
wówczas, że sygnał x(t) zajmuje pasmo Nω1 (N⋅f1).
Sens fizyczny tak określonego pasma wiąże się z mocą średnią sygnału a mianowicie, jeśli przyjęliśmy kryterium dokładności δεN to oznacza,
że N uwzględnionych w rozwinięciu harmonicznych niesie (100 - δεN)%
mocy jaką reprezentuje sobą sygnał x(t).
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
10 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
PRZYKŁAD 1: Dany jest sygnał u(t) będący ciągiem impulsów prostokątnych o okresie T=1ms, czasie trwania ti=0,25ms oraz
amplitudzie Um=10V. Wyznaczyć widmo amplitudowe i
fazowe sygnału.
1)
Opisujemy sygnał u(t) analitycznie w przedziale czasu odpowiadającym okresowi:
ti
ti
⎧
U
dla
t
−
<
<
m
⎪
2
2
u (t ) = ⎨
ti
ti
⎪ 0 dla
<t <T −
⎩
2
2
2)
Wybieramy postać szeregu Fouriera, dla której będziemy rozwijali
sygnał
u (t ) = A0 +
∞
∑ ( Ak cos kω1t + Bk sin kω1t )
k =1
3)
Sprawdzamy rodzaj symetrii sygnał u(t)
Występuje symetria względem osi rzędnych ( f (t ) = f (− t ) ). Ponieważ jest to funkcja parzysta znikają wyrazy z sinusami ( Bk = 0 ).
u (t ) = A0 +
Zatem:
∞
∑ Ak cos kω1t
k =1
4)
Obliczamy składową stałą U 0 = A0 =
1
U0 =
T
ti
2
1
T
t 0 +T
∫ u(t ) dt
t0
ti
t
1
1 ⎛t t ⎞
1
U m dt = U m t 2t = U m ⎜ i + i ⎟ = U m i = 10 ⋅ = 2,5 [V ]
T
T ⎝ 2 2⎠
T
4
− i
t
∫
− i
2
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
2
11 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
2
5) Obliczamy współczynniki Ak =
T
2
Ak =
T
Ak =
6)
ti
2
∫t U m
−i
2
t 0 +T
∫ u(t ) cos kω1t dt
k = 1,2, K
t0
ti
2 Um 1
cos kω1t dt =
(sin kω1t ) 2ti
T kω1
−
2
2 Um 1 ⎡ ⎛
ti ⎞
t i ⎞⎤
⎛
sin
ω
sin
ω
−
−
k
k
⎜
⎟
⎜
1
1 ⎟⎥
2⎠
2 ⎠⎦
T kω1 ⎢⎣ ⎝
⎝
=
Um
kπ
⎡ ⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎤
k
sin
−
sin
⎜
⎟
⎜ − k ⎟⎥
⎢ ⎝ 4⎠
4 ⎠⎦
⎝
⎣
=
Um
kπ
⎡ ⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎤
sin
sin
k
+
⎜
⎟
⎜ k ⎟⎥
⎢ ⎝ 4⎠
⎝ 4 ⎠⎦
⎣
ω1 =
2π
T
⎛ π⎞
⎛ π⎞
sin ⎜ − k ⎟ = − sin ⎜ k ⎟
4⎠
⎝ 4⎠
⎝
=
2 Um
⎛ π ⎞ 6,37
⎛ π⎞
sin ⎜ k ⎟ =
sin ⎜ k ⎟
kπ
k
⎝ 4⎠
⎝ 4⎠
Obliczamy wartości amplitud i faz początkowych N-harmonicznych
k
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
Ak
4,502
3,183
1,501
0
-0,9
-1,061
-0,643
0
0,5
Fm k =
4,502
3,183
1,501
0
0,9
1,061
0,643
0
0,5
Ak2
Ψ k = arcsin
Ak
Fm k
90o
90o
90o
-90o
-90o
-90o
90o
12 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
7)
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
Przedstawiamy widmo amplitudowe i fazowe sygnału
Fmk
5
2,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f [kHz]
Ψk
90
o
5
1
2
3
4
6
7
8
9
f [kHz]
o
-90
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
13 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
PRZYKŁAD 2: Wyznaczyć widmo mocy sygnału z przykładu 1. Określić błąd względny aproksymacji sygnału sumą częściową dla N=3.
k
Fmk
Fm k
Ck =
2
Ck 2
-3
-
-2
-
-1
-
0
2,5
1
4,502
2
3,183
3
1,501
0.75
1,591
2,251
2,5
2,251
1,591
0.75
0,563
2,533
5,067
6,25
5,067
2,533
0,563
3
∑ Ck2
22,576
k = −3
wartość skuteczna sygnału x(t) : X =
1T 2
x (t ) dt = P = 5
T ∫0
2
ε sk N = X −
wartość skuteczna błędu :
δε N =
błąd względny:
ε sk N
X
k =3
∑ Ck2 = 1,557
k = −3
⋅ 100% = 31,14%
Czyli rozwinięcie sygnału z przykładu 1, uwzględniające składową stałą
oraz trzy pierwsze harmoniczne niesie 68,86% mocy jaką reprezentuje sobą ten sygnał.
12
0.125
0.875
10
N=3
N=9
a3( t )
a9( t )
5
2
0.125
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
t
1.875
14 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
PRZYKŁAD 3: Ilustracja wpływu dwukrotnego zwiększenia okresu na
widmo amplitudowe ciągu impulsów prostokątnych
T2 = 2T1
U(t)
Ui
t i1
t
T1
U(t)
Ui
t i1
t
T2
70,0
T1
T2=2 T1
60,0
Um [mV]
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
12,0
11,5
11,0
10,5
9,5
9,0
8,5
8,0
7,5
10,0
f [kHz]
7,0
6,5
6,0
5,5
5,0
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
15 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
PRZYKŁAD 4: Ilustracja wpływu dwukrotnego zmniejszenia czasu
trwania impulsu na widmo amplitudowe ciągu impulsów prostokątnych
t i2 = 0,5t i1
U(t)
Ui
t i1
t
T1
U(t)
Ui
t i2
t
T1
70,0
ti1
ti2=0,5 ti1
60,0
Um [mV]
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
f [kHz]
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
16 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
14.2. ANALIZA OBWODÓW SLS
PRĄDU ODKSZTAŁCONEGO
Załóżmy, że do dwójnika zawierającego elementy R, L w połączeniu
szeregowym przyłożono napięcie odkształcone u(t). Wielkością poszukiwaną jest prąd płynący przez elementy dwójnika. Rozwinięcie rozpatrywanego wymuszenia w szereg Fouriera ma postać
∞
u (t ) = U 0 + ∑ U m k sin (kω1t +Ψ uk )
k =1
= U 0 + u1 (t ) + u2 (t ) + u3 (t ) + K
(14.31)
∞
= U 0 + ∑ uk (t )
k =1
Stosujemy zasadę superpozycji w sposób następujący:
1.
Przyjmujemy, że jedynym wymuszeniem jakie działa na obwód jest
źródło napięcia stałego U0 i rozpatrywany obwód obliczamy za pomocą metod dotyczących obwodów prądu stałego, wyznaczając prąd I0;
2.
Przyjmujemy, że jedynym wymuszeniem jakie działa jest k-te źródło
napięcia harmonicznego o napięciu
uk (t ) = U m k sin (kω1t +Ψuk )
i za pomocą metod obliczania obwodów prądu harmonicznego wyznaczamy prąd obwodu
ik (t ) = I m k sin (kω1t +Ψik ),
obliczenie to powtarzamy wielokrotnie, przyjmując kolejno k=1,2,3,...
Zgodnie z zasadą superpozycji przez elementy obwodu płynie prąd
∞
i(t ) = I 0 + ∑ ik (t )
k =1
∞
(14.32)
= I 0 + ∑ I m k sin (kω1t +Ψik )
k =1
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
17 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
i(t)
i(t)
U0
R
u1 (t)
R
L
uk (t)
L
u(t)
I0
ω=0
U0
R
i1 (t) ω=ω1
u1 (t)
L
R
ik (t) ω= kω1
...
uk (t)
L
Obwód prądu stałego
R
...
L
Obwody prądu harmonicznego
uk (t ) = U m k sin (kω1t +Ψuk )
U
I0 = 0
R
U mk = U mk e jΨ uk
I mk =
U mk
Zk
⎛ kωL ⎞
j arctg ⎜
⎟
2
R ⎠
⎝
e
Z k = R + j kωL = R 2 + (kωL )
Ik =
U mk
R 2 + (kωL )2
⎡
⎛ kωL ⎞ ⎤
j ⎢Ψ uk − arctg ⎜
⎟⎥
⎝ R ⎠⎦
⎣
e
= I mk e jΨ ik
ik (t ) = I m k sin (kω1t +Ψik )
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
18 /19
OBWODY I SYGNAŁY 2
Wykład 14 : Obwody liniowe pobudzone sygnałem odkształconym
PRZYKŁAD 5: Ilustracja wpływu przenoszenia sygnału odkształconego
przez układ liniowy o znanej strukturze
Filtr dolnoprzepustowy RC I-rzędu , fg = 5kHz
Parametry ciągu imp. prostokątnych : T = 1 ms , ti = 10 μs
1,0
0,9
0,8
h2n/h1n
0,7
Ku
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
1
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
2
3
4
5
6
7
8
9
f [kHz]
10
11
12
13
14
15
16
19 /19