10. metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych 10.1

OBWODY I SYGNAŁY 1
10.
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
METODY NIEALGORYTMICZNE ANALIZY
OBWODÓW LINIOWYCH
10.1. METODA TRANSFIGURACJI
Przez termin transfiguracji rozumiemy operację kolejnego uproszczenia struktury obwodu (zmniejszenie liczby gałęzi i węzłów), przy spełnionym warunku równoważności, tzn. zastępowanie struktury bardziej złożonej równoważną strukturą prostszą.
W metodzie transfiguracji wykorzystujemy wcześniej poznane zasady,
zależności i twierdzenia:
a) zasadę zastępowania układu elementów połączonych szeregowo
jednym elementem równoważnym;
b) zasadę zastępowania układu elementów połączonych równolegle
jednym elementem równoważnym;
c) zasadę zastępowania układu idealnych źródeł napięcia połączonych szeregowo jednym źródłem równoważnym;
d) zasadę zastępowania układu idealnych źródeł prądu połączonych
szeregowo jednym źródłem równoważnym;
e) zasadę równoważności napięciowego i prądowego schematu
dwójnika źródłowego.
Metoda transfiguracji polega na zwinięciu sieci rozgałęzionej do obwodu elementarnego (źródło – odbiornik), w którym określamy prąd
i napięcie. Następnie przechodzimy ponownie drogę transfiguracji,
lecz w kierunku odwrotnym, dochodząc do sieci pierwotnej i na każdym z etapów określamy konieczne wielkości elektryczne.
UWAGA!
PRZYKŁAD 6.5 – dla obwodu prądu sinusoidalnego
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
1 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
PRZYKŁAD 10.1 – dla obwodu prądu stałego
I
W obwodzie przedstawionym na rysunku dwa rzeczywiste źródła napięcia o parametrach E1=8,8V,
R1=4Ω, E2=11,2V, R2=8Ω, połączono równolegle - wyznaczyć rozpływ
prądów jeżeli R3=6,66Ω, R4=3,33Ω ,
R5=3,33Ω.
R345
I1
I3
I4
B
I
R (R + R5 )
= 3,33[Ω]
= 3 4
R3 + (R4 + R5 )
G345 =
A
I2
I1
I2
A
1
= 0,3[S ]
R345
B
I
Dwa rzeczywiste źródła napięciowe
zastępujemy równoważnymi źródłami prądowymi.
I1
I2
A
Parametry źródeł równoważnych:
I z1 =
E1 8,8
1 1
=
= 2,2 [ A] ; G1 =
= = 0,25 [ S ]
R1
4
R1 4
I z2 =
E2 11,2
1 1
=
= 1,4 [ A] ; G2 =
= = 0,125 [ S ]
R2
8
R2 8
Dwa rzeczywiste źródła prądowe
zastępujemy jednym równoważnym
źródłem prądowym o parametrach:
B
I
A
I z = I z1 + I z 2 = 3,6[ A]
GW = G1 + G2 = 0,375[S ]
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
B
2 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
Dla zredukowanego obwodu możemy wyznaczyć:
I
(korzystając z dzielnika prądu)
I=
G345
0,3
Iz =
3,6 = 1,6[ A]
GW + G345
0,375 + 0,3
A
UAB
(korzystając z prawa Ohma)
U AB = IR345 =
I
1,6
=
= 5,33[V ]
G345 0,3
B
Przechodzimy do obwodu pierwotnego
I1
PPK I
I2
Pozostałe prądy
wyznaczamy korzystając z pierwszego
rysunku i
A
UAB
I3
I4
NPK
B
• II prawa Kirchhoffa (NPK)
E2 − R2 I 2 − U AB = 0 ⇒
I2 =
E2 − U AB 11,2 − 5,33
=
= 0,734[ A]
R2
8
• I prawa Kirchhoffa (PPK)
I1 + I 2 − I = 0 ⇒ I1 = I − I 2 = 1,6 − 0,734 = 0,866[ A]
• prawa Ohma
I3 =
U AB 5,33
=
= 0,8[ A]
R3
6,66
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
;
I4 =
U AB
5,33
=
= 0,8[ A]
R4 + R5 3,33 + 3,33
3 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
10.2. METODA SUPERPOZYCJI
Metodę superpozycji stosuje się do obwodów, w których występują co
najmniej dwa źródła niezależne.
Metoda superpozycji wywodzi się z zasady superpozycji,
Odpowiedź obwodu na jednoczesne działanie zbioru wymuszeń
jest równa
sumie odpowiedzi na każde wymuszenie działające osobno
którą można sformułować nieco inaczej – mianowicie:
Prąd (napięcie) w wyróżnionej gałęzi obwodu liniowego, w którym
występuje kilka źródeł niezależnych, może być obliczony jako suma
prądów (napięć) wywołanych w tej gałęzi przez każde z tych źródeł
działających osobno, tzn. po wyzerowaniu wszystkich pozostałych
źródeł niezależnych (zastąpieniu źródeł napięcia zwarciami a źródeł
prądowych rozwarciami).
Inaczej:
• Metoda superpozycji sprowadza się do analizy tylu obwodów ile
występuje źródeł niezależnych w obwodzie pierwotnym.
• Odpowiedź całkowita w danej gałęzi (prąd lub napięcie) jest sumą
poszczególnych odpowiedzi wymuszanych poszczególnymi źródłami niezależnymi.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
4 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
PRZYKŁAD 10.2 – dla obwodu prądu sinusoidalnego
Wyznaczyć rozpływ prądów w obwodzie, jeśli:
I Z = 0,4 A , E = 60 e
j60o
V,
I1
I3
IZ
E
Z3
Z1
Z 1 = j 25 Ω , Z 2 = j 20 Ω ,
I2
Z2
Z 3 = − j 30 Ω .
A)
I1A
Przyjmujemy:
IZ=0,4A, E=0 (zwarcie)
oraz nanosimy zwroty prądów składowych I1A , I2A , I3A – powstałych w
wyniku działania tylko źródła prądu.
Wyznaczamy:
zwarcie
Z3
Z2
Z2
Z3
I Z = ... , I 3 A =
I Z = ...
Z2 + Z3
Z2 + Z3
I2B
Przyjmujemy:
E=60ej60 V, IZ=0 (rozwarcie)
oraz nanosimy zwroty prądów składowych I2B , I3B – powstałych w wyniku działania tylko źródła napięcia.
Wyznaczamy: I 2 B = I 3 B =
C)
Z1
I3A
I 1A = I Z
I 2A =
B)
IZ
I 2A
przerwa
Z1
I3B
Z3
E
Z2
E
= ....
Z2 + Z3
Nakładamy na siebie schematy z p. A) oraz C) i określamy prądy
gałęziowe:
I1 A = I Z = 0,4 A
I 2 = I 2 A − I 2 B = ...
I 3 = I 3 A + I 3 B = ...
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
5 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
PRZYKŁAD 10.3 – dla obwodu prądu stałego
I1
Wyznaczyć rozpływ prądów w obwodzie, jeśli: IZ=5A, E=10V,
R1=1Ω, R2=10Ω, R3=5Ω.
A)
I3
I1A
Przyjmujemy:
I2
IZ=5A, E=0 (zwarcie)
I2A
I3A
zwarcie
oraz nanosimy zwroty prądów składowych I1A , I2A , I3A – powstałych w
wyniku działania tylko źródła prądu.
Wyznaczamy:
B)
I1 A = I Z = 5 A
R3
R2
5
10
I2A =
I Z = [ A] , I 3 A =
I Z = [ A]
R2 + R3
R2 + R3
3
3
I2B
Przyjmujemy:
E=10V, IZ=0 (rozwarcie)
przerwa
I3B
oraz nanosimy zwroty prądów składowych I2B , I3B – powstałych w wyniku działania tylko źródła napięcia.
Wyznaczamy: I 2 B = I 3 B =
C)
E
2
= [ A]
R2 + R3 3
Nakładamy na siebie schematy z p. A) oraz C) i określamy prądy
gałęziowe:
I1 A = I Z = 5 A
5 2
− = 1 [ A]
3 3
10 2
= + = 4 [ A]
3 3
I 2 = I 2 A − I 2B =
I 3 = I 3 A + I 3B
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
6 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
10.3. METODA ZASTĘPCZEGO GENERATORA (ŹRÓDŁA)
Niejednokrotnie w złożonych obwodach elektrycznych:
• interesują nas wielkości elektryczne związane z jedną wybraną
gałęzią,
• bądź interesuje nas analiza stanu elektrycznego w obciążeniu
(stałym bądź regulowanym) zasilanym ze złożonego układu zasilania.
Nie ma wówczas potrzeby dokonywania pełnej analizy sieci!
(wyznaczania wielkości elektrycznych gałęziowych, nie interesujących nas
z punktu widzenia sformułowanego celu szczegółowego)
Rozpatrzmy graf sieci elektrycznej, składający się z różnych (dowolnych) gałęzi. Przyjmijmy, że poszukujemy prądu i napięcia gałęziowego w
jednej wybranej gałęzi AB (szukamy IAB oraz UAB).
Gałąź AB może być zarówno gałęzią bezźródłową opisywaną funkcją impedancji ZX lub admitancji YX , jak i
gałęzią źródłową opisywaną parą: UoX , ZX lub IzX , YX .
Natomiast po „wyjęciu” gałęzi AB z punktu widzenia zacisków A-B
pozostała część sieci stanowi złożony układ zasilania dwójnik źródłowy.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
A
A
B
B
7 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
Oznacza to, że z punktu widzenia gałęzi AB pozostałą część obwodu, będącą dwójnikiem aktywnym, można zastąpić schematem
równoważnym zgodnie z
• twierdzeniem o zastępczym generatorze (źródle) napięcia
Każdy dwójnik aktywny prądu harmonicznego jest równoważny gałęzi aktywnej zawierającej:
idealne źródło napięcia harmonicznego o symbolicznej wartości UO ,
odpowiadającej napięciu dwójnika w stanie jałowym
i połączony z nim szeregowo dwójnik pasywny o symbolicznej impedancji ZW , określonej stosunkiem symbolicznych wartości napięcia źródłowego UO i prądu zwarcia IZ dwójnika
ZW =
UO
IZ
(10.1)
A
DA
A
B
B
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
8 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
LUB
z punktu widzenia gałęzi AB pozostałą część obwodu, będącą
dwójnikiem aktywnym, można zastąpić schematem równoważnym
zgodnie z
• twierdzeniem o zastępczym generatorze (źródle) prądu
Każdy dwójnik aktywny prądu harmonicznego jest równoważny gałęzi aktywnej utworzonej z
idealnego źródła prądu harmonicznego o symbolicznej wartości IZ ,
odpowiadającej prądowi zwarcia dwójnika
i połączonego z nim równolegle dwójnika pasywnego o symbolicznej admitancji YW , określonej stosunkiem symbolicznych wartości
prądu zwarcia IZ i napięcia w stanie jałowym UO dwójnika
YW =
IZ
UO
(10.2)
A
DA
A
B
B
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
9 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
Tok postępowania przy wyznaczaniu
prądu IAB
napięcia UAB
metodą zastępczego
źródła napięcia
metodą zastępczego
źródła prądu
jest następujący:
1.
w obwodzie o danym schemacie odłączyć gałąź w punktach A-B
(gałąź w której występuje szukana wartość);
dowolną metodą obliczyć
2.
3.
4.
dowolną metodą obliczyć
napięcie UO
prąd IZ
między zaciskami A-B dwójnika
w stanie jałowym;
w zwartych zaciskach A-B
dwójnika;
Obliczyć
Obliczyć
Impedancję wewnętrzną
admitancję wewnętrzną
źródła zastępczego ZW
źródła zastępczego GW
do wyznaczonego schematu zastępczego źródła napięcia należy
przyłączyć uprzednio odłączoną
do wyznaczonego schematu zastępczego źródła prądu należy
przyłączyć uprzednio odłączoną
gałąź i obliczyć w niej prąd
gałąź i obliczyć na niej napięcie wykorzystując prawo Ohma
wykorzystując prawo Ohma i II
prawo Kirchhoffa.
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
i I prawo Kirchhoffa.
10 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
PRZYKŁAD 10.4 – dla obwodu prądu stałego
Stosując metodę zastępczego źródła napięcia, obliczyć
prąd płynący przez rezystancję R4.
R1
E
I
R3
R2
Dane:
R4
E = 20 V,
R1 = 2 Ω, R2 = 6 Ω,
R3 = 18,5 Ω, R4 = 10 Ω,
ROZWIĄZANIE:
1. w obwodzie o danym schemacie odłączyć gałąź w punktach A-B,
w której występuje szukana wartość;
A
R3
R1
E
R2
B
2. dowolną metodą obliczyć napięcie UO między zaciskami A-B dwójnika
w stanie jałowym;
A
E
Z zależności dzielnika napięcia:
R3
R1
R2
U0
U0 =
R2
E = 15 [V]
R1 + R2
B
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
11 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
3. obliczyć rezystancję wewnętrzną źródła zastępczego RW (źródła napięcia = zwarcia, źródła prądu = przerwy);
A
Bazując na metodzie transfiguracji:
R3
R1
RW
R2
RW =
R1 R2
+ R3 = 20 [Ω]
R1 + R2
B
4. do wyznaczonego schematu zastępczego źródła napięcia należy przyłączyć uprzednio odłączoną gałąź i obliczyć w niej prąd wykorzystując
prawo Ohma i II prawo Kirchhoffa.
A
I
RW
R4
U0
U 0 − IRW − IR4 = 0
czyli
I=
U0
= 0,5 [A]
RW + R4
B
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
12 /13
OBWODY I SYGNAŁY 1
Wykład 10 : Metody niealgorytmiczne analizy obwodów liniowych
PRZYKŁAD 10.5 – dla obwodu prądu sinusoidalnego
Stosując metodę zastępczego źródła napięcia, obliczyć prąd płynący przez impedancję Z4.
A
Z1
I
Z3
E
DANE:
E = 14 V,
Z 4 Z1 = (250+j174)Ω, Z2 = - j82Ω,
Z2
Z3 = (250+j174)Ω, Z4 = 377Ω,
B
Ad.1. Odłączamy gałąź w punktach A-B:
Ad.2. Obliczamy napięcie UO dwójnika w stanie jałowym;
Z2
E
Z1 + Z 2
− j82
14 = −1,49 − j 4,04 = 4,31 e − j110, 2 [V ]
=
(250 + j174) + (− j82)
U0 =
Ad.3. Obliczamy impedancję wewnętrzną źródła zastępczego ZW;
Z1 Z 2
+ Z3
Z1 + Z 2
(250 + j174)(− j82) + (250 + j174) = 273,69 + j83,28 [Ω ]
=
(250 + j174) + (− j82)
ZW =
Ad.4. Przyłączamy uprzednio odłączoną gałąź do źródła zastępczego i obliczamy w niej prąd wykorzystując prawo Ohma i II prawo Kirchhoffa.
A
I
ZW
Z4
U0
B
dr inż. Marek Szulim
e-mail: [email protected]
I=
=
U0
ZW + Z 4
− 1,49 − j 4,04
(273,69 + j83,28) + 377
= −0,00303 − j 0,00583 = 0,00657 e − j117,5 [ A]
13 /13