RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Umiejętności
opracowanie: Maria Lampert
LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Co powinienem umieć
Umiejętności
znam pojęcie zdarzenia elementarnego
znam pojęcie doświadczenia losowego i potrafię opisać przestrzeń
zdarzeń elementarnych
potrafię wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające danemu
zdarzeniu losowemu
znam pojęcie zdarzenia pewnego, niemożliwego i potrafię podać
przykłady takich zdarzeń
potrafię podać zdarzenie przeciwne do danego
potrafię podać przykład zdarzeń wyłączających się
potrafię wykonywać działania na zdarzeniach
potrafię wyznaczać częstość teoretycznych zdarzeń elementarnych
rozumiem intuicyjnie pojęcie prawdopodobieństwa i jego związek
z częstością
potrafię obliczyć na podstawie definicji prawdopodobieństwo
zdarzeń
obliczam prawdopodobieństwo zdarzeń w oparciu o własności
(prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i zdarzenia przeciwnego)
znam pojęcie permutacji, znam symbol n!
znam pojęcie wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń
znam pojęcie kombinacji, znam symbol
n
 
k 
potrafię obliczyć liczbę możliwych ustawień n różnych elementów,
stosuję tę umiejętność do obliczania prawdopodobieństw
rozwiązuję zadania z obliczaniem liczby wariacji (z powtórzeniami
i bez ) i wykorzystaniem ich do obliczania prawdopodobieństwa
rozwiązuję zadania z obliczaniem liczby kombinacji i zastosowaniem ich do obliczania prawdopodobieństwa
potrafię narysować drzewko przebiegu doświadczenia losowego
potrafię obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia „metodą drzew”
- 75 -
Uwagi
Zestaw zadań
Opracowanie: Maria Lampert
ZESTAW ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO SPRAWDZIANU
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Symbolem (P) oznaczono zadania z poziomu podstawowego, czyli na ocenę co najwyżej dostateczną,
a symbolem (PP) zadania z poziomu ponadpodstawowego, czyli na ocenę dobrą i bardzo dobrą.
Zad.1 (P)
Oblicz
a) 5!
b)
6!
4!
c)
8!
2!⋅4!
6
d)  
4
 
5
e)  
2
 
 4 7
f)   ⋅  
2 3
6 6 8
g)   +   −  
3
2
3
     
Zad.2 (PP)
Rozwiąż równanie
n 
 = 6
n − 2
a) 
n  n 
b)   −   = 0
3
2
   
Zad.3 (PP)
Liczba permutacji z (n + 2) elementów jest 210 razy większa od liczby permutacji z n elementów.
Oblicz n.
Zad.4 (P)
Ze zbioru {1, 2, 3, 4} losujemy kolejno bez zwracania dwie cyfry, w wyniku czego otrzymujemy
liczbę dwucyfrową. Ile różnych liczb możemy w ten sposób otrzymać?
Zad.5 (P)
Ile różnych wyników można otrzymać przy dwukrotnym rzucie monetą ?
Zad.6 (P)
Ile różnych wyników można otrzymać przy rzucie monetą i kostką ?
Zad.7 (P)
Ze zbioru cyfr wybieramy kolejno dwie
a) ze zwracaniem
b) bez zwracania.
Ile możemy otrzymać w ten sposób różnych liczb dwucyfrowych ?
Zad.8 (P)
Ile różnych liczb pięciocyfrowych o nie powtarzających się cyfrach można ułożyć z cyfr 2, 3, 5, 6 i 7 ?
Zad.9 (PP)
Ile różnych liczb pięciocyfrowych o nie powtarzających się cyfrach można ułożyć z cyfr 0, 1, 2, 3 i 4 ?
Zad.10 (P)
Oblicz, na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 dziewcząt oraz 4 chłopców przy założeniu, że:
a) dziewczęta stoją przed chłopcami,
b) stoją na przemian.
Zad.11 (P)
Przy podłużnej ławie ma zasiąść rzędem 7 kobiet i 7 mężczyzn, na przemian. Na ile sposobów mogą
to zrobić?
Zad.12 (P)
Dwie drużyny rozgrywają ze sobą mecz piłkarski. Ile jest możliwych wyników, jeżeli wiadomo,
że każda drużyna strzeliła co najwyżej 3 bramki?
- 76 -
Zestaw zadań
Opracowanie: Maria Lampert
Zad.13 (PP)
W ostatnim etapie Konkursu Chopinowskiego jury decyduje o kolejności 6 finalistów. Jeden
z finalistów może ponadto dostać nagrodę za najlepsze wykonanie mazurków. Ile jest możliwych
rozstrzygnięć finału przy założeniu, że nie ma miejsc ex aequo ?
Zad.14 (PP)
Trzech młodych poetów zamierza wydać tomik zawierający po 6 najlepszych wierszy każdego z nich.
Na ile sposobów mogą ułożyć te wiersze, przy założeniu, że wiersze każdego z poetów idą pod rząd ?
Zad.15 (PP)
Na ile sposobów można na zwykłej szachownicy ustawić 8 wież tak, aby żadne dwie się nie biły ?
Rozważ dwa przypadki:
a) wieże nie są rozróżnialne,
b) wieże są rozróżnialne.
Zad.16 (P)
Na postoju taksówek są 4 wolne stanowiska. W jaki sposób mogą się ustawić nadjeżdżające taksówki
w kolorze zielonym, niebieskim, czarnym i białym ?
Zad.17 (P)
W urnie są 3 kule o numerach 1, 2, 3. Losujemy kolejno trzy kule bez zwracania i notujemy ich
numery wg kolejności losowania. Ile liczb można otrzymać tym sposobem ? Wypisać te liczby.
Zad.18 (P)
Podczas zawodów lekkoatletycznych w biegu na 100m startowało siedmiu zawodników. Ile było
możliwości ukończenia biegu, jeżeli zawodnicy nie dzielą miejsc ex aequo oraz:
a) wszyscy zawodnicy dobiegli do mety,
b) jeden z zawodników nie ukończył biegu i jego nazwisko jest znane,
c) jeden z zawodników nie ukończył biegu i jego nazwisko nie jest znane ?
Zad.19 (PP)
Ile istnieje permutacji liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, w których:
a) liczby 3 i 4 sąsiadują ze sobą w kolejności wzrastania,
b) liczby 3 i 4 sąsiadują ze sobą,
c) liczby 3 i 4 nie sąsiadują ze sobą,
d) liczby 3, 4, 5 sąsiadują ze sobą w kolejności wzrastania ?
Zad.20 (P)
Iloma sposobami można rozdzielić 4 jednoosobowe zaproszenia na bal między pięć osób ?
Zad.21 (P)
Z klasy liczącej 32 uczniów należy wybrać siedmioosobową delegację, która będzie ją reprezentowała
na uroczystości szkolnej. Ile istnieje sposobów wybrania tej delegacji ?
Zad.22 (P)
Z talii 52 kart losujemy bez zwracania 13 kart. Ile istnieje możliwych wyników losowania, w których
wylosujemy:
a) 2 asy,
b) 1 asa, 3 króle i 2 damy ?
Zad.23 (P)
W pudełku znajduje się 15 żarówek, w tym 5 przepalonych. Wybieramy jednocześnie 6 żarówek. Ile
istnieje sposobów wylosowania:
a) samych żarówek dobrych,
b) 3 dobrych,
c) 4 przepalonych ?
- 77 -
Zestaw zadań
Opracowanie: Maria Lampert
Zad.24 (P)
Siedmiu zawodników bierze udział w turnieju warcabowym. Ile partii powinni rozegrać, aby każdy
grał z każdym i to zarówno czarnymi jak i białymi pionkami ?
Zad.25 (P)
Klasa składa się z 12 dziewcząt i 15 chłopców. Na ile sposobów można wybrać 5-osobową delegację
złożoną:
a) wyłącznie z samych dziewcząt,
b) wyłącznie z samych chłopców,
c) wyłącznie z samych dziewcząt lub wyłącznie z samych chłopców,
d) z 3 dziewcząt i 2 chłopców lub odwrotnie ?
Zad.26 (PP)
Na ile sposobów można podzielić 12- osobowy zastęp harcerzy na:
a) dwie grupy liczące 7 i 5 harcerzy,
b) trzy grupy liczące 5, 4 i 3 harcerzy ?
Zad.27 (PP)
Do windy zatrzymującej się na 8 piętrach wsiadły 3 osoby. Na ile sposobów osoby te mogą:
a) opuścić windę,
b) wysiąść na różnych piętrach,
c) wyjść z windy na 5 piętrze ?
Zad.28 (P)
Dane są cyfry 1, 2, 3, 4, 5. Obliczyć, ile z danych cyfr można utworzyć liczb:
a) dwucyfrowych,
b) trzycyfrowych,
jeśli cyfry mogą się powtarzać ?
Zad.29 (P)
Dziesięciu abiturientów zdaje egzamin dojrzałości z matematyki. Iloma sposobami Komisja
Egzaminacyjna może wystawić oceny, jeśli:
a) żaden ze zdających nie otrzyma oceny niedostatecznej,
b) każdy ze zdających otrzyma ocenę co najmniej dobrą,
c) zdający abiturienci mogą otrzymać również ocenę niedostateczną ?
Zad.30 (P)
W urnie jest 5 numerowanych od 1 do 5 kul. Z urny losujemy kolejno bez zwracania 2 kule. Wyniki
losowań notujemy zapisując obok siebie numery kul. Ile różnych liczb dwucyfrowych otrzymamy
w ten sposób ?
Zad.31 (PP)
Do zamykania kas pancernych stosuje się zamki, które otwierają się dopiero po nastawieniu pewnego
hasła. Hasło to ustawia się za pomocą tarczy, na której znajduje się 10 liter, a hasło składa się z 5 liter.
Ile nieudanych prób nastawienia hasła może dokonać człowiek, który tego hasła nie zna ?
Zad.32 (PP)
Mamy 8 kul ponumerowanych od 1 do 8.Kule wrzucono na chybił-trafił do 3 szuflad. Ile jest różnych
rozmieszczeń tych kul ?
Zad.33 (P)
Rzucamy pięcioma monetami. Ile jest możliwych wyników tych rzutów ?
Zad.34 (PP)
Wybierając numer telefonu abonent zapomniał ostatnie 3 cyfry numeru. Pamiętał tylko tyle, że były
one różne. Ile jest możliwości różnych numerów spełniających pamiętany warunek ?
- 78 -
Zestaw zadań
Opracowanie: Maria Lampert
Zad.35 (P)
Iloma sposobami można dokonać rozdziału 4 nagród różnej wartości między 7 osób, jeśli każda z nich
może otrzymać najwyżej jedną nagrodę ?
Zad.36 (PP)
Trzeba wysłać 6 pilnych listów. Iloma sposobami można to zrobić, jeśli do ich przekazania wolno
wysłać tylko 3 kurierów, a każdy list może być powierzony każdemu z nich ?
Zad.37 (P)
W urnie są kule o numerach 1, 2, 3, 4, 5. Losujemy dwie kule bez zwracania. Ile jest możliwych
rezultatów losowania ?
Zad.38 (P)
Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje zero ?
Zad.39 (a−
−P; b−
−PP)
Test składa się z 8 pytań, z 3 wariantami odpowiedzi na każde. Wiadomo, że zawsze dokładnie jedna
odpowiedź jest poprawna. Na ile sposobów można wypełnić test przy założeniu, że:
a) nie ma punktów karnych za odpowiedzi błędne, a więc zawsze zakreślasz jedną z odpowiedzi,
b) są punkty karne za odpowiedzi błędne?
Zad.40 (P)
Na ile sposobów można podzielić 10 różnych przedmiotów pomiędzy 3 osoby? Dopuszczamy również
podziały skrajnie niesprawiedliwe, tzn. takie, że jedna z osób dostaje wszystko.
Zad.41 (P)
W następujących doświadczeniach określ zbiór zdarzeń elementarnych i oblicz jego moc:
a) rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry,
b) rzucamy parą różnokolorowych kostek,
c) rzucamy trzy razy monetą,
d) rzucamy jednocześnie, raz kostką i monetą,
e) z talii 52 kart losujemy jedną kartę,
f) z talii 52 kart losujemy kolejno bez zwracania dwie karty,
g) z talii 52 kart losujemy jednocześnie dwie karty,
h) z grupy 12 pracowników wybieramy trzyosobową delegację,
i) losowanie w Małym Totku (pięć liczb z trzydziestu pięciu).
Zad.42 (P)
Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
polegającego na otrzymaniu:
a) nieparzystej liczby oczek,
b) liczby oczek większej od 4,
c) liczby oczek podzielnej przez 3,
d) co najmniej trzech oczek,
e) czterech oczek.
Zad.43 (P)
Spośród liczb naturalnych od 3 do
prawdopodobieństwo, że będzie to liczba:
a) parzysta,
b) większa od 5,
c) podzielna przez 3,
d) nieparzysta i większa od 7,
e) nieparzysta lub większa od 7.
11
włącznie
- 79 -
wybieramy
losowo
jedną.
Oblicz
Zestaw zadań
Opracowanie: Maria Lampert
Zad.44 (P)
Wybieramy losowo jedną literę z wyrazu KOMPUTER. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
polegającego na otrzymaniu:
a) litery M,
b) samogłoski.
Zad.45 (P)
Z talii 52 kart wybieramy losowo jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na
otrzymaniu:
a) karty koloru pikowego,
b) asa,
c) asa lub króla,
d) karty koloru pikowego lub asa.
Zad.46 (P)
Wykonujemy jeden rzut sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
przeciwnego do zdarzenia polegającego na tym, że otrzymaliśmy jedno lub trzy oczka.
Zad.47 (P)
Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na
tym, że:
a) suma wyrzuconych oczek na obu kostkach jest parzysta,
b) suma wyrzuconych oczek jest większa od 10,
c) iloczyn oczek jest równy 6,
d) różnica wyrzuconych oczek wynosi 2,
e) wartość bezwzględna różnicy oczek wynosi 3,
f) w obu rzutach jest ta sama nieparzysta liczba oczek.
Zad.48 (PP)
Rzucamy pięć razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego
na otrzymaniu:
a) za każdym razem innej liczby oczek,
b) co najmniej raz czwórki.
Zad.49 (P)
Rzucamy trzy razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na otrzymaniu:
a) samych orłów,
b) dokładnie dwóch orłów,
c) co najmniej jednego orła.
Zad.50 (PP)
Rzucamy pięć razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na otrzymaniu:
a) co najmniej jednego orła,
b) co najwyżej jednego orła.
Zad.51 (P)
Ze zbioru liczb {1, 2, ..., 7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie
a) ze zwracaniem,
b) bez zwracania.
Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A – „otrzymamy dwa razy liczbę nieparzystą”,
B – „pierwsza liczba jest parzysta, a druga nieparzysta”,
C – „druga liczba będzie nieparzysta”,
D – „suma wylosowanych liczb jest mniejsza od 8”.
- 80 -
Zestaw zadań
Opracowanie: Maria Lampert
Zad.52 (PP)
Z pojemnika, w którym znajdują się cztery kule białe oraz pięć kul czarnych, losujemy kolejno trzy
razy po jednej kuli:
a) ze zwracaniem,
b) bez zwracania.
Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A – „w pierwszym losowaniu otrzymamy kulę białą”,
B – „w drugim losowaniu otrzymamy kulę czarną”.
Zad.53 (PP)
Ze zbioru {1, 2, 3,..., 9} losujemy kolejno trzy razy po jednej cyfrze bez zwracania, zapisujemy cyfry
w kolejności losowania otrzymując liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to
liczba:
a) parzysta,
b) większa od 463,
c) podzielna przez 5,
Zad.54 (P)
W urnie są cztery kartki, na których napisane są cyfry 1, 2, 3, 4. Losujemy kolejno po jednej kartce.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że cyfry pojawią się:
a) w kolejności rosnącej,
b) w kolejności rosnącej lub malejącej.
Zad.55 (PP)
Ze zbioru {-3, -2, -1, 1, 2, 3} losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby x i y. Niech A i B oznaczają
zdarzenia:
A – „wylosowane liczby są liczbami przeciwnymi”,
B – „wylosowane liczby spełniają warunek x2 ≤ y +1”.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B, A∪B, A∩B.
Zad.56 (PP)
Ze zbioru {-2, -1, 3, 4, 5} losujemy kolejno ze zwracaniem dwie liczby x i y. Niech A i B oznaczają
zdarzenia:
A – „iloczyn wylosowanych liczb jest ujemny”,
B – „wylosowane liczby spełniają warunek x – y2 ≥ 0”.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B, A∪B, A∩B.
Zad.57 (P)
W klasie jest 15 dziewcząt i 12 chłopców. Wybieramy losowo dwuosobową delegację. Oblicz
prawdopodobieństwo, że w składzie delegacji:
a) będą tylko chłopcy,
b) będą 2 dziewczynki,
c) będzie dokładnie 1 chłopiec,
d) będzie co najmniej 1 chłopiec.
Zad.58 (P)
W pojemniku jest 20 żarówek, w tym 7 wadliwych. Wybieramy w sposób losowy 5 żarówek. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wśród wybranych żarówek:
a) wszystkie są dobre,
b) są 3 wadliwe i 2 dobre,
c) dokładnie 1 jest wadliwa,
d) co najmniej jedna jest dobra,
e) co najwyżej jedna jest dobra.
- 81 -
Zestaw zadań
Opracowanie: Maria Lampert
Zad.59 (P)
Na półce jest 12 książek, w tym 8 o tematyce historycznej. Wybieramy w sposób losowy 6 książek.
Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych:
a) wszystkie są o tematyce historycznej,
b) cztery są o tematyce historycznej,
c) dokładnie jedna jest o tematyce historycznej,
d) co najmniej jedna jest o tematyce historycznej,
e) co najwyżej jedna jest o tematyce historycznej.
Zad.60 (PP)
Na loterii zostało 20 losów, w tym 12 wygrywających. Kupujemy 5 losów. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych losów jest więcej wygrywających niż pustych ?
Zad.61 (P)
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym jest 6 kul białych i 5 czarnych, w drugim 4 białe i 5 czarnych.
Z losowo wybranego pojemnika losujemy jedną kulę. Narysuj drzewko przebiegu tego doświadczenia.
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kuli białej.
Zad.62 (P)
Mamy dwie urny. W pierwszej jest 8 kul białych i 5 czarnych, w drugiej 3 białe i 6 czarnych.
Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie 5 lub 6 oczek, to losujemy kulę z pierwszej urny,
w przeciwnym razie losujemy jedną kulę z urny drugiej. Narysuj drzewko przebiegu tego
doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kuli czarnej.
Zad.63 (P)
Z grupy 7 mężczyzn i 5 kobiet wybrano losowo 2 osoby. Przedstaw przebieg doświadczenia za
pomocą drzewka. Oblicz prawdopodobieństwo wybrania:
a) dwóch kobiet,
b) 1 kobiety i 1 mężczyzny.
Zad.64 (P)
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Przedstaw przebieg doświadczenia za pomocą drzewka.
Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch reszek.
Zad.65 (P)
W fabryce trzech robotników wykonuje te same detale, 30% detali wykonuje robotnik I, 45% robotnik II, a resztę – robotnik III. Wiadomo, że robotnicy wytwarzają odpowiednio 2%, 1%, 3%
braków. Przedstaw przebieg doświadczenia za pomocą drzewka. Oblicz prawdopodobieństwo,
że losowo wybrany detal okaże się wadliwy.
Zad.66 (PP)
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym są 4 kule białe i 3 czarne, w drugim 3 białe i 5 czarnych.
Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie ściana z 1 oczkiem, to losujemy dwie kule z pierwszego
pojemnika, w przeciwnym przypadku losujemy dwie kule z pojemnika drugiego. Narysuj drzewko
przebiegu tego doświadczenia. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kul różnokolorowych.
Zad.67 (PP)
Dane są dwa pojemniki. Z pierwszego, w którym są 4 kule białe i 7 czarnych losujemy jedną kulę
i wrzucamy ją do drugiego pojemnika zawierającego początkowo 3 kule białe i 5 czarnych. Następnie
losujemy jedną kulę z drugiego pojemnika. Narysuj drzewko przebiegu tego doświadczenia. Oblicz
prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pojemnika.
Rozwiąż poza tym zadania z podręcznika na stronie 110, 111 (Matematyka z plusem III – zakres podstawowy)
- 82 -