OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARU 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych zagadnień związanych z opracowaniem wyników pomiaru. 2. WPROWADZENIE 2.1. Wstęp Umiejętność właściwego opracowania wyników pomiaru jest niezbędna w wielu dziedzinach nauki, techniki oraz gospodarki. O wysokiej randze tej problematyki świadczą prace międzynarodowych komisji, których celem jest znalezienie i ujednolicenie metod opracowania wyników pomiaru. Wyniki tych prac są publikowane i z czasem zyskują charakter normatywny, jak np. [1]. W wielu przypadkach surowy wynik pomiaru, bez jego właściwego opracowania, jest uwaŜany za bezuŜyteczny. Pomiary moŜna ogólnie podzielić na bezpośrednie lub pośrednie. Pomiarem bezpośrednim jest na przykład pomiar napięcia stałego za pomocą woltomierza. Przykładem pomiaru pośredniego jest pomiar rezystancji metodą techniczną: prąd płynący przez mierzony rezystor jest mierzony za pomocą amperomierza, a spadek napięcia na rezystorze – za pomocą woltomierza. Rezystancja obliczana jest z prawa Ohma. 2.2. Błąd i poprawka Najczęściej surowy wynik pomiaru x jest jedynie przybliŜeniem wartości rzeczywistej (prawdziwej) x rz wielkości mierzonej X. RóŜnica pomiędzy wynikiem pomiaru x a wartością rzeczywistą nazywana jest rzeczywistym błędem bezwzględnym ∆x rz ∆x rz = x − x rz (1) Wartość rzeczywista wielkości mierzonej jest znana tylko w wyjątkowych przypadkach. Dlatego pojęcie rzeczywistego błędu bezwzględnego ∆x rz ma niewielkie znaczenie praktyczne. W praktyce, w zaleŜności od wymaganej dokładności pomiaru, doświadczenie pomiarowe modyfikuje się tak, aby otrzymać wartość najbliŜszą x rz . Wartość tę nazywa się wartością poprawną xpopr. Wtedy wyraŜenie na błąd bezwzględny przyjmuje postać. ∆x = x − x popr Bezwzględny błąd ze zmienionym znakiem nazywany jest poprawką p( x ) (2) 2 p( x ) = −∆x (3) Poprawka dodana do wyniku pomiaru daje tzw. wynik skorygowany - czyli wartość poprawną. Błąd względny δx jest to stosunek błędu bezwzględnego do wartości poprawnej δx = ∆x x popr (4) Błąd względny jest często wyraŜany w procentach (1 % = 10-2) lub promilach (1 ‰ = 10-3). Spotykane są takŜe mnoŜniki: ppm (ang. part per million; 1 ppm = 10-6) oraz ppb (ang. part per billion; 1 ppb = 10-9), jednak ich stosowanie do wyraŜania błędu wielkości elektrycznych nie jest zalecane. Na przykład względny błąd pomiaru napięcia naleŜy zapisać w postaci δU = 1 µV/V zamiast δU = 1 ppm. Błąd moŜe być spowodowany róŜnymi czynnikami. Z tego powodu do słowa „błąd” dodaje się określenie wskazujące na jego przyczynę lub charakter. Na przykład błąd rozdzielczości jest błędem spowodowanym ograniczoną rozdzielczością, błąd przypadkowy błędem wynikającym z losowej zmienności wyników powtarzanego doświadczenia pomiarowego itp. 2.3. Klasyfikacja błędów Ogólnie błędy dzieli się na: 1) systematyczne, 2) przypadkowe, 3) nadmierne (grube). PowyŜszy podział powstał na podstawie obserwacji zachowania się wyników pomiaru przy powtarzaniu doświadczenia pomiarowego. Ad.1. Błędy systematyczne moŜna podzielić na: a) błędy systematyczne stałe, b) błędy systematyczne zmienne. Błąd systematyczny stały moŜna wykryć po powtórzeniu doświadczenia pomiarowego w celowo zmienionym (zmodyfikowanym) układzie warunków fizycznych. Wykrycie stałego błędu systematycznego przez powtarzanie doświadczenia pomiarowego w niezmiennym układzie warunków fizycznych jest niemoŜliwe. Jeśli wyniki powtarzanego doświadczenia pomiarowego w pozornie niezmiennym układzie warunków fizycznych charakteryzują się systematyczną zmianą (dryfem), to wyniki pomiaru 3 obarczone są błędem systematycznym zmiennym. Ten rodzaj błędów powstaje np. w wyniku zmian jakiejś dominującej wielkości zakłócającej (wpływającej) np. temperatury otoczenia. Występowanie błędu systematycznego zmiennego świadczy o tym, Ŝe podstawowy układ warunków fizycznych doświadczenia pomiarowego nie jest niezmienny. Cechą charakterystyczną tego błędu jest moŜliwość wyznaczenia (zdeterminowania) zaleŜności między tym błędem i wywołującym go czynnikiem. Błąd systematyczny zmienny moŜe być monotoniczny (rosnący albo malejący) lub okresowy. Inny podział błędów systematycznych bierze pod uwagę ogniwo doświadczenia pomiarowego, w którym powstaje błąd. Na rys.1 przedstawiono strukturalny schemat doświadczenia pomiarowego, przydatny do sklasyfikowania błędów systematycznych. Rys.1. Strukturalny schemat doświadczenia pomiarowego Pierwsza składowa błędu systematycznego jest związana z obiektem pomiaru. Dołączenie przyrządu pomiarowego powoduje zmianę równowagi energetycznej w obiekcie badanym. Dochodzi zatem do naruszenia podstawowego układu warunków fizycznych, w jakich odbywa się doświadczenie pomiarowe i - w konsekwencji - do zmiany miary wielkości mierzonej. Błąd spowodowany zmianą równowagi energetycznej jest nazywany czasem błędem metody. Nazwa ta jest zbyt ogólna. Bardziej właściwe jest stosowane określenia „błąd spowodowany zmianą równowagi energetycznej”. Błąd ten zazwyczaj wyznacza się teoretycznie (oblicza). Druga składowa błędu systematycznego jest związana z właściwościami narzędzia pomiarowego. Nazywana jest błędem instrumentalnym. Jeśli błąd systematyczny narzędzia pomiarowego występuje w znamionowych warunkach uŜytkowania, to nazywany jest błędem podstawowym narzędzia pomiarowego. Przez znamionowe warunki uŜytkowania rozumie się podstawowy układ warunków fizycznych, podany w normach lub przez producenta przyrządu, a takŜe układ warunków, w których dokonano wzorcowania przyrządu lub w których przyrząd charakteryzuje się największą dokładnością. Błąd dodatkowy narzędzia pomiarowego powstaje, gdy warunki fizyczne odbiegają od określonych przez znamionowe warunki uŜytkowania. Błąd instrumentalny ma dwie składowe: błąd modelowy oraz błąd wykonania narzędzia pomiarowego. Pierwszy powstaje na skutek rozbieŜności między fizyczną zasadą pomiaru (modelem) a rzeczywistymi zjawiskami zachodzącymi w narzędziu pomiarowym. Drugi jest spowodowany ograniczoną dokładnością z jaką wykonano lub wzorcowano narzędzie pomiarowe. Błąd instrumentalny moŜna wyznaczyć przez wzrorcowanie przyrządów przyrządów pomiarowych uŜytych w doświadczeniu. 4 Trzecia składowa błędu systematycznego jest związana z subiektywizmem (tendencyjnością) pomiarowca. Jest szczególnie istotna w przypadku przyrządów analogowych. Przykład 1 Do pomiaru siły elektromotorycznej E ogniwa o rezystancji wewnętrznej Rw = 0,8 Ω uŜyto woltomierza o rezystancji wewnętrznej RV = 1500 Ω . Woltomierz wskazał napięcie UV = 2,875 V . Obliczyć: a) wartość poprawną siły elektromotorycznej E , b) bezwzględny błąd systematyczny ∆E pomiaru E , c) poprawkę p(E ) pomiaru E , d) względny błąd systematyczny δE pomiaru E . Rozwiązanie: a) na podstawie schematu zastępczego, przedstawionego na rys.2, wartość poprawną E oblicza się ze wzoru R 0,8 E = UV 1 + w = 2,875 ⋅ 1 + ≈ 2,8765 V 1500 RV Rys.2 Schemat zastępczy układu do pomiaru siły elektromotorycznej ogniwa b) bezwzględny błąd systematyczny ∆E = U V − E ≈ 2,875 − 2,8765 ≈ −1,5 mV c) poprawka p (E ) = − ∆E = 1,5 mV d) względny błąd systematyczny δE = ∆E − 1,5 ⋅ 10−3 = ≈ −0,06% E 2,8765 Ad. 2) Błędy przypadkowe występują, gdy powtarzanie doświadczenia pomiarowego w pozornie niezmiennym układzie warunków fizycznych ujawnia losową zmienność wyników. Słowo „pozornie” ma w tym przypadku szczególne znaczenie, gdyŜ błędy przypadkowe są spowodowane oddziaływaniem wielu zmiennych i z reguły niezaleŜnych od siebie czynników. Deterministyczny opis takiego oddziaływania jest z reguły niemoŜliwy gdyŜ przekracza ludzkie moŜliwości poznawcze. Przykładem pomiaru zdominowanego czynnikiem losowym jest np. pomiar wartości chwilowej napięcia szumów rezystora. Do opisu błędów przypadkowych stosuje się modele probabilistyczne. 5 Ad. 3) Błędy nadmierne mogą być spowodowane błędem odczytu, chwilowym silnym zaburzeniem lub innymi czynnikami. Najprostszy sposób postępowania polega na odrzuceniu wyników raŜąco róŜniących się od spodziewanych. Bardziej właściwe jest zastosowanie odpowiedniego testu statystycznego. Końcowy wynik pomiaru powinien być wynikiem skorygowanym, tj. nie powinien zawierać znanych błędów systematycznych oraz nadmiernych. 2.4. Niepewność Graficzną interpretację relacji występujących między parametrami wyniku przedstawiono na rys.3. xpopr - u(x) xpopr xrz xpopr + u(x) x ∆xrz u(x) u(x) Rys.3. Interpretacja relacji występujących między parametrami wyniku pomiaru Na rys.3. punkty x popr − u (x ) i x popr + u (x ) wyznaczają granice przedziału, w którym z określonym prawdopodobieństwem znajduje się wartość rzeczywista x rz . Parametr u (x ) jest nazywany niepewnością bezwzględną. Niepewność ma zawsze znak dodatni, gdyŜ wyraŜa długość jednostronnego przedziału. Często niepewność wyniku pomiaru zapisuje się jako x popr ± u ( x ) , co oznacza iŜ wynik pomiaru, z określonym prawdobodobieństwem, znajduje się w przedziale o szerokości 2u ( x ) , symetrycznym względem wartości poprawnej. Niepewność względną u r ( x ) definiuje się jako stosunek niepewności bezwzględnej do wartości poprawnej: ur (x ) = u (x ) x popr 2.5. Klasyfikacja niepewności Zgodnie z ustaleniami międzynarodowymi [1] wyróŜnia się dwa typy niepewności: 1) niepewność typu A, 2) niepewność typu B. (5) 6 Ad.1) do niepewności typu A zalicza się niepewności, których rozkłady są znane lub mogą być oszacowane na podstawie powtarzalnych pomiarów, wykonanych w nominalnie takich samych warunkach. Ocena niepewności typu A wykorzystuje ustalony algorytm: wyznacza się wartość średnią, niepewność pojedynczego wyniku oraz niepewność wartości średniej. Wyznaczenie niepewności typu A wymaga wykonania serii pomiarów, w celu ujawnienia losowego charakteru ich zmian. Ad.2) jeśli niepewność szacowana jest nie na podstawie powtarzalnych pomiarów, ale innych danych, to nazywa się ją niepewnością typu B. Do niepewności typu B zaliczyć moŜna niepewności przyrządów podane w ich dokumentacji, świadectwach kalibracji, wartości współczynników podane w normach i tablicach. Jeśli niepewność wyniku nie jest określona i nie ma moŜliwości jej oceny, to przedział niepewności określa się na podstawie liczby cyfr znaczących wyniku. 2.6. Szacowanie standardowej niepewności typu A Oszacowanie niepewności typu A jest moŜliwe jedynie wtedy, gdy wykonano serię pomiarów x1, x2, .... xN, gdzie N>1. Przede wszystkim naleŜy w serii wykryć i usunąć wyniki obarczone błędem nadmiernym. Gdy liczba czynników zakłócających pomiar jest duŜa i Ŝaden z nich nie dominuje, to moŜna załoŜyć, iŜ rozkład losowy błędu pomiaru jest rozkładem zbliŜonym do rozkładu normalnego (Gaussa). WyróŜnia się dwa przypadki: 1) seria pomiarów jest długa (N ≥ 10), 2) seria pomiarów jest krótka (N < 10). Ad.1) dla długiej serii pomiarów, korzystając z metody estymacji punktowej oblicza się: - wartość poprawną wyniku, którą jest średnia arytmetyczna: x= - 1 N N ∑x n =1 n , (6) odchylenie standardowe średniej arytmetycznej: sx = sx , N (7) gdzie 2 sx = 1 N ∑ ( xn − x ) N − 1 n=1 jest odchyleniem standardowym pojedynczego wyniku. Standardowa niepewność typu A u A ( x ) jest równa: (8) 7 u A (x ) = s x (9) Ad.2) dla krótkiej serii wyników pomiaru o błędach przypadkowych będących zmienną losową o rozkładzie normalnym obliczone wartości x i s x mogą się znacznie róŜnić od parametrów tego rozkładu. W tym przypadku, w celu zwiększenia wiarygodności wyników, korzysta się z rozkładu t-Studenta [1]. Gdy liczba wyników pomiaru N wzrasta, to rozkład Studenta staje się bliski rozkładowi normalnemu. Dla N ≥ 10 moŜna w większości przypadków korzystać z rozkładu normalnego. W rozkładzie Studenta występuje pojęcie liczby stopni swobody k : k = N −1 (10) gdzie N jest liczbą wyników pomiaru w serii. Standardową niepewność typu A wyznacza się następująco: 1. Dla standardowej niepewności typu A przyjmuje się poziom ufności (prawdopodobieństwo) α =0,6827. Jest to poziom ufności, któremu w rozkładzie normalnym odpowiada kwantyl równy odchyleniu standardowemu pojedynczego wyniku pomiaru. 2. Oblicza się liczbę stopni swobody k ze wzoru (10). 3. Korzystając z tablicy rozkładu Studenta dla obliczonego k i przyjętego α wyznacza się kwantyl t k ,α . 4. Oblicza się standardową niepewność typu A ze wzoru u A ( x ) = t k ,α s x (11) Wartości kwantyli t k ,α dla rozkładu Studenta w zaleŜności od liczby stopni swobody ν zamieszczono w tablicy 1. Tablica 1 Wartości kwantyli t k ,α dla rozkładu Studenta dla poziomu ufności α =0,6827 w zaleŜności od liczby stopni swobody k k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 100 t k ,α 1,84 1,32 1,20 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,05 1,04 1,01 1,005 2.7. Ocena niepewności typu B w pomiarach bezpośrednich W niektórych przypadkach rozrzut wyników jest bardzo mały i dominującą niepewnością jest niepewność związana z niedoskonałością aparatury lub przyjętej metody pomiarowej, zwana niepewnością typu B. Nie moŜna jej scharakteryzować metodami statystycznymi, jak w przypadku niepewności typu A, poniewaŜ nie dysponuje się serią wyników. Z tego powodu 8 do oceny niepewności typu B wykorzystuje się wszelkie dostępne informacje, którymi mogą być: - znajomość zjawisk występujących w pomiarach; - właściwości przyrządów i metod pomiarowych; informacje zawarte w dokumentacji przyrządów; dokumenty i certyfikaty kalibracyjne przyrządów; dane z wcześniej przeprowadzonych pomiarów; - doświadczenie lub intuicja eksperymentatora. Najczęściej przyjmuje się, Ŝe niepewność typu B charakteryzuje się rozkładem jednostajnym i z poziomem ufności α =1 zawiera się w przedziale ±a wokół wartości poprawnej. Wówczas standardowa niepewność typu B jest równa [1] u B (x ) = a . 3 (12) Przykład 2 Obliczyć niepewność typu B woltomierza wskazówkowego klasy 0,5 o zakresie 100 V. Rozwiązanie: MoŜna przyjąć, Ŝe wewnątrz symetrycznego przedziału wokół wartości poprawnej zmierzonego napięcia, o szerokości połówkowej równej ∆U = klasa ⋅ zakres 0,5 ⋅ 100 = = 0,5 V 100 100 prawdopodobieństwo wystąpienia wartości prawdziwej mierzonego napięcia, którą reprezentuje wartość poprawna, jest w kaŜdym punkcie jednakowe (opisuje je rozkład jednostajny). Standardowa niepewność typu B jest równa u B (U ) = ∆U 0,5 = = 0,287 V 3 3 Jedną ze składowych niepewności typu B jest składowa spowodowana ograniczoną rozdzielczością pomiaru. Jeśli producent nie podał sposobu jej obliczania, to dla przyrządów z odczytem cyfrowym, wykorzystujących wbudowany mikroprocesor do przeliczania wyniku przyjmuje się, iŜ maksymalny błąd rozdzielczości jest równy wartości odpowiadającej ± 0,5 najmniej znaczącej cyfry wyświetlacza. Wynika to z załoŜenia, Ŝe wynik pomiaru jest przed wyświetleniem prawidłowo zaokrąglony. W przypadku tanich multimetrów wyposaŜonych w przetwornik analogowo-cyfowy o podwójnym całkowaniu przyjmuje się, iŜ maksymalny błąd rozdzielczości jest równy wartości odpowiadającej ± 1 najmniej znaczącej cyfry wyświetlacza. We wszystkich przypadkach przyjmuje się, iŜ rozkład tego błędu w 9 określonym przedziale jest jednostajny Związaną z tą składową niepewność typu B oblicza się ze wzoru (12). Przykład 3 Obliczyć niepewność typu B woltomierza cyfrowego, który na zakresie U zakr =20 V charakteryzuje się rozdzielczością 4½ cyfr znaczących. W dokumentacji przyrządu zawarta jest informacja, iŜ maksymalny błąd pomiaru jest równy 0,05% U odczyt + 0,005% U zakr , gdzie U odczyt =4,324 V jest wartością napięcia wyświetloną na wyświetlaczu przyrządu. Ponadto z dokumentacji wynika, Ŝe przyrząd zawiera mikroprocesor przeliczający wynik pomiaru przed jego wyświetleniem. Rozwiązanie: Rozdzielczość pomiaru jest równa U rozdz =1 mV. MoŜna przyjąć, iŜ wewnątrz symetrycznego przedziału wokół napięcia U odczyt , o szerokości połówkowej równej 0,05 0,005 1 U odczyt + U zakr + U rozdz = 100 100 2 0,05 0,005 1 = ⋅ 4,324 + ⋅ 20 + ⋅ 0,001 = 3,662 mV 100 100 2 ∆U = prawdopodobieństwo wystąpienia wartości prawdziwej mierzonego napięcia, którą reprezentuje wartość poprawna, jest w kaŜdym punkcie jednakowe (opisuje je rozkład jednostajny). Standardowa niepewność typu B jest równa u B (U ) = ∆U 3,662 = = 2,11 mV 3 3 2.8. Obliczanie standardowej niepewności złoŜonej w pomiarach bezpośrednich Obliczanie standardowej niepewności złoŜonej często występuje w praktyce: występują błędy losowe reprezentowane przez niepewność uA typu A, której przypisać moŜna rozkład normalny, oraz błędy przyrządów pomiarowych, którym moŜna z reguły przypisać rozkład jednostajny, a które są scharakteryzowane przez niepewność u B typu B. Błędy te są z reguły nieskorelowane (niezaleŜne od siebie). Standardową niepewność złoŜoną u c pomiaru, z uwzględnieniem niepewności przyrządu pomiarowego (czyli niepewności typu B), oblicza się wg następującego algorytmu: 1. Oblicza się standardową niepewność u A typu A; 2. Oblicza się standardową niepewność u B typu B; 3. Oblicza się standardową niepewność złoŜoną u c ze wzoru 10 u c = u A2 + u B2 ; 4. (13) Podaje się końcowy wynik w następującej postaci: x = x ± uc , z dodanym następującym komentarzem: „gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest wartością złoŜonej niepewności standardowej uc, a nie jest przedziałem ufności”. Podany wyŜej sposób zapisu wyniku pomiaru jest zalecany przez [1]. Przykład 4 Woltomierzem cyfrowym o rozdzielczości 4½ cyfry dokonano, na zakresie U zakr =750 V, pomiaru napięcia sieci elektroenergetycznej. Średnia z N = 20 pomiarów wynosiła U = 230,4 V z odchyleniem standardowym sU = 1,8 V. W dokumentacji przyrządu zawarta jest informacja, iŜ maksymalny błąd pomiaru jest równy 0,5% U odczyt + 0,05% U zakr . Prawidłowo zapisać wynik pomiaru. Rozwiązanie: Niepewność typu A pomiaru jest równa u A (U ) = sU 1,8 = ≈ 0,402 V N 20 Rozdzielczość pomiaru jest równa U rozdz =0,1 V. MoŜna przyjąć, Ŝe wewnątrz symetrycznego przedziału wokół U odczyt , o szerokości połówkowej równej 0,5 0,05 1 U odczyt + U zakr + U rozdz = 100 100 2 0,5 0,05 1 = ⋅ 230,4 + ⋅ 750 + ⋅ 0,1 = 1,2395 V 100 100 2 ∆U = prawdopodobieństwo wystąpienia wartości prawdziwej mierzonego napięcia, którą reprezentuje wartość poprawna, jest w kaŜdym punkcie jednakowe (opisuje je rozkład jednostajny). Standardowa niepewność typu B jest równa u B (U ) = ∆U 1,2395 = = 0,716 V. 3 3 Standardowa niepewność złoŜona pomiaru jest równa (0,402)2 + (0,716)2 ≈ 0,821 V. = (230,4 ± 0,8) V , gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest u c = u A2 + u B2 = Ostatecznie wynik zapisuje się jako U wartością złoŜonej niepewności standardowej, a nie jest przedziałem ufności. 11 2.9. Obliczanie rozszerzonej niepewności złoŜonej w pomiarach bezpośrednich Opcjonalnie moŜna rozszerzyć (ang. expand) złoŜoną niepewność standardową u c czyli obliczyć połówkową szerokość przedziału, w którym znajdzie się błąd pomiaru ze zwiększonym prawdopodobieństwem w stosunku do prawdopodobieństwa przyjętego dla niepewności standardowej. W tym celu: 1. Rozszerza się złoŜoną niepewność standardową uc do Ŝądanego poziomu ufności α , mnoŜąc uc przez odpowiedni współczynnik (kwantyl) kα . Dokładne wyznaczenie współczynnika kα , zaleŜnego od Ŝądanego poziomu ufności, jest zagadnieniem trudnym [2]. W celu uproszczenia rozwaŜa się dwa przypadki: - u A ≥ u B , czyli dominuje niepewność typu A o rozkładzie normalnym lub niepewność typu A jest bliska niepewności typu B; - u A < u B , czyli dominuje niepewność typu B o rozkładzie jednostajnym. Wartości kα wyznacza się z tablicy 2. dla jednej z trzech wybranych wartości poziomu ufności α: 0,68; 0,95 i 0,99, które są zalecane przez [1]. Tablica 2 Wartości kα w zaleŜności od poziomu ufności α [2] Poziom ufności α u A ≥ uB u A < uB 0,68 0,95 0,99 0,994 1,960 2,576 1,179 1,645 1,715 2. Zapisuje się końcowy wynik pomiaru w postaci x = x ± kα u c dodając komentarz o przyjętym poziomie ufności oraz informację, Ŝe jest to niepewność złoŜona. Sposób ten jest przybliŜony. Dla duŜej serii wyników pomiaru, których rozrzut moŜna scharakteryzować za pomocą rozkładu normalnego, kwantyl kα wyznaczyć moŜna z tablic funkcji Laplace’a [2]. Publikacja [1] zaleca stosowanie tylko kilku wartości poziomów ufności. Odpowiadające im kwantyle kα zestawiono w tablicy 3. Tablica 3 Wartość współczynnika kα określającego dla rozkładu normalnego przedział o poziomie ufności α. % 68,27 90 95 95,45 99 99,73 Poziom ufności α 1 1,645 1,960 2 2,576 3 Współczynnik rozszerzenia kα 12 2.10. Obliczanie niepewności pomiarów pośrednich W przypadku pomiaru pośredniego mierzona wielkość Y jest funkcją M wielkości Xm mierzonych bezpośrednio: y = f ( xm ) gdzie m = 1, 2, ... M. Dla kaŜdej wielkości Xm dokonuje się serii pomiarów, a następnie oblicza się średnią arytmetyczną xm , standardową niepewność złoŜoną u c ,m oraz koryguje się xm przez uwzględnienie odpowiedniej poprawki. Następnie oblicza się: - wartość średnią wielkości Y, która jest wartością poprawną: y = f (xm ) (14) - złoŜoną niepewność standardową dla średniej y : uc ( y ) = M ∑c m =1 m 2 ⋅ uc2, m , (15) gdzie cm = ∂y ∂xm (16) są tzw. współczynnikami wraŜliwości. Niepewność uc ( y ) jest dobrze oszacowana jedynie przy spełnieniu następujących warunków: - liniowość funkcji y = f ( xm ) jest wystarczająca na tyle, aby nie uwzględniać wyrazów wyŜszych rzędów w rozwinięciu w szereg Taylora; - zmienne losowe X m oraz ich wartości średnie xm są wzajemnie niezaleŜne. Przyjęcie załoŜenia liniowości w przypadku silnie nieliniowych funkcji prowadzi do zaniŜenia oceny niepewności. Gdy zmienne losowe X m lub X m są wzajemnie zaleŜne oblicza się tzw. kowariancję [3]. Przy obliczaniu niepewności wielkości mierzonych pośrednio sporządza się tak zwany budŜet niepewności. Ma on postać tablicy, zawierającej w podstawowej postaci wartości poprawne poszczególnych wielkości mierzonych bezpośrednio, ich złoŜone niepewności standardowe, współczynniki wraŜliwości oraz udział standardowej niepewności kaŜdej wielkości mierzonej bezpośrednio w niepewności wielkości mierzonej pośrednio. W tabelach bardziej zaawansowanych budŜetów niepewności podaje się dodatkowe informacje o rozkładzie prawdopodobieństwa błędów losowych, liczbie stopni swobody oraz kowariancji poszczególnych zmiennych [1]. 13 Przykład 5 Moc wydzielaną na pewnym obwodzie prądu stałego zmierzono za pomocą woltomierza i amperomierza. Zmierzona wartość napięcia wyniosła (4,000 ±0,002) V, a zmierzona wartość prądu (1,000 ±0,004) A. W obu wynikach liczba za symbolem ± jest wartością złoŜonej niepewności standardowej. Obliczyć standardową niepewność pomiaru rezystancji i sporządzić jej budŜet przy załoŜeniu, iŜ moŜna zaniedbać wpływ błędu systematycznego, spowodowanego wpływem rezystancji przyrządów. Rozwiązanie: Poprawną wartość mocy oblicza się ze znanego wzoru: P = U ⋅ I = 4,000 ⋅1,000 = 4,000 W PoniewaŜ pomiar napięcia i prądu był realizowany róŜnymi przyrządami, moŜna przyjąć, iŜ wyniki pomiaru obu wielkości są od siebie niezaleŜne. Wówczas standardową niepewność pomiaru mocy oblicza się z zaleŜności u c (P ) = cU2 u c2 (U ) + c I2u c2 (I ) , (18) gdzie współczynniki wraŜliwości cU oraz c I są równe ∂P = I = 1,000 A, ∂U ∂P cI = = U = 4,000 V. ∂I cU = Po podstawieniu do (18) otrzymuje się u c (P ) = (1,000)2 (0,002)2 + (4,000)2 (0,004)2 = 0,000004 + 0,000256 = 0,0161 ≈ 0,02 W. Zatem zmierzona moc jest równa (4,00±0,02) W, gdzie liczba za symbolem ± jest wartością złoŜonej niepewności standardowej, a nie jest przedziałem ufności. BudŜet niepewności pomiaru mocy przedstawiono w tablicy 4. Tablica 4 Przykład budŜetu niepewności dla pomiaru mocy prądu stałego Symbol Oszacowanie Niepewność Współczynnik Niepewność Udział w wielkości wielkości standardowa wraŜliwości składowa niepewności mocy złoŜonej Xi xi u (xi ) ci ui ( y ) ui ( y ) / u ( y ) 4,000 V 2 mV 1,000 A 2 mW 11% U 1,000 A 4 mA 4,000 V 16 mW 89% I P 4,00 W 0,02 W 14 2.11. Reguły zaokrąglania wyniku pomiaru i niepewności Ogólnie zapis końcowego wyniku pomiaru powinien mieć postać następującą: x = x popr ± u (x ) (informacja o poziomie ufności) Końcowy wynik pomiaru powinien składać się z dwóch liczb przybliŜonych, z których pierwsza wyraŜa poprawną wartość wielkości mierzonej, a druga określa jej niepewność. Istotny jest sposób zaokrąglania tych liczb. Obowiązują następujące zasady: 1. Liczbę wyraŜającą niepewność zaokrągla się najczęściej w górę, do liczby o jednej cyfrze znaczącej. Wynika to z faktu, Ŝe wartość niepewności nie jest dokładnie określona. W szczególnych przypadkach pozostawia się dwie cyfry znaczące. Czyni się tak gdy: - liczba będzie uŜywana do dalszych obliczeń; - w przypadku podawania niepewności stałych fizycznych; w przypadku pomiarów dokładnych; jeśli po zaokrągleniu do 1 cyfry znaczącej błąd zaokrąglenia byłby większy od 20%. Na przyklad 0,1111 moŜna zaokrąglić do 0,11 a nie do 0,2. W tym przypadku nie zaokrągla się tej liczby w górę, lecz zgodnie z ogólnymi regułami zaokrąglania. 2. Liczbę wyraŜającą wynik pomiaru zaokrągla się pozostawiając najmniej znaczącą cyfrę na tym miejscu, na którym występuje najmniej znacząca cyfra niepewności. Obowiązują następujące reguły postępowania przy zaokrąglaniu wyników pomiaru: a) Zastępuje się przez 0 zbędne cyfry liczb całkowitych, a zbędne cyfry po przecinku dziesiętnym odrzuca się. b) JeŜeli pierwsza zbędna cyfra (licząc od lewej strony) ma wartość <5, to pozostających cyfr się nie zmienia. JeŜeli ta cyfra jest >5, to najmniej znaczącą pozostającą cyfrę powiększa się o 1. c) JeŜeli pierwszą zbędną cyfrą (licząc od lewej strony) jest 5, a cyfry z prawej strony od 5 nie są zerami, to najmniej znaczącą pozostającą cyfrę powiększa się o 1. d) JeŜeli pierwszą zbędną cyfrą (licząc od lewej strony) jest 5, a cyfry z prawej strony od 5 są zerami, to najmniej znaczącej pozostającej cyfry nie zmienia się, jeŜeli jej wartość jest liczbą parzystą. JeŜeli jej wartość jest liczbą nieparzystą, to powiększa się ją o 1. 2.12. Opracowanie wyników pomiaru prezentowanych w postaci wykresów Często wyniki pomiaru prezentowane są postaci wykresów. TakŜe w tym przypadku wykres powinien zawierać informację o niepewności przedstawionych na nim wyników pomiaru. Na rysunku 4 przedstawiono przykładowy wykres charakterystyki prądowo-napięciowej. Na uwagę zasługują charakterystyczne słupki („wąsy”), które reprezentują złoŜone niepewności 15 pomiaru obu wielkości. Podpis pod rysunkiem powinien informować o sposobie interpretacji słupków niepewności. Rys.4. Przykładowy wykres charakterystyki prądowo-napięciowej. Słupki błędów reprezentują złoŜone niepewności standardowe pomiaru. Podobnie naleŜy sporządzać wykresy błędów lub poprawek. Na rysunku 5 przedstawiono przykładowy wykres błędu. W tym przypadku zazwyczaj na wykresie zamieszcza się jedynie słupki błędów reprezentujące niepewność wyznaczenia błędu lub poprawki. Rys.5. Przykładowy wykres błędu. Słupki błędu reprezentują złoŜone niepewności standardowe wyznaczenia błędu. Na uwagę zasługuje takŜe sposób opisania osi wykresów przedstawionych na rys.4 oraz rys.5. 16 3. PROGRAM ĆWICZENIA 1. Za pomocą cyfrowego woltomierza napięcia przemiennego o rozdzielczości minimum 5 cyfr znaczących wykonać serię a) N=2, b) N=4, c) N=10, d) N=30 pomiarów napięcia na wyjściu autotransformatora regulowanego. Prawidłowo zapisać końcowe wyniki pomiaru. 2. Wykonać pomiar jak w p.1, ale przy wykorzystaniu cyfrowego woltomierza napięcia przemiennego o mniejszej rozdzielczości (np. 3,5 cyfry). Prawidłowo zapisać końcowe wyniki pomiaru. 3. Wykonać pomiar jak w p.1, zastępując autotransformator programowanym generatorem funkcyjnym, wytwarzającym napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zbliŜonej do napięcia na wyjściu autotransformatora i o częstotliwości 50 Hz. Prawidłowo zapisać końcowe wyniki pomiaru. 4. Wykonać pomiar jak w p.2, zastępując autotransformator programowanym generatorem funkcyjnym, wytwarzającym napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zbliŜonej do napięcia na wyjściu autotransformatora i o częstotliwości 50 Hz. Prawidłowo zapisać końcowe wyniki pomiaru. 5. Porównać wyniki uzyskane w p.1, 2, 3 i 4. Wyciągnąć wnioski. 6. Dokonać pomiaru mocy prądu a) stałego b) przemiennego, wydzielanej na odbiorniku wskazanym przez prowadzącego ćwiczenie. Pomiar wykonać w układzie a) poprawnie mierzonego napięcia, b) poprawnie mierzonego prądu. Obliczyć wartość poprawną mocy, bezwzględny błąd systematyczny, poprawkę oraz względny błąd systematyczny. Sporządzić budŜet niepewności i prawidłowo zapisać końcowy wynik pomiaru. 7. Dokonać pomiaru rezystancji metodą techniczną obiektu wskazanego przez prowadzącego ćwiczenie. Pomiar wykonać w układzie a) poprawnie mierzonego napięcia, b) poprawnie mierzonego prądu. Obliczyć wartość poprawną rezystancji, bezwzględny błąd systematyczny, poprawkę oraz względny błąd systematyczny. Sporządzić budŜet niepewności i prawidłowo zapisać końcowy wynik pomiaru. 8. Wyznaczyć charakterystykę napięciowo-prądową Ŝarówki zasilanej napięciem przemiennym uzyskiwanym z autotransformatora. Wynik pomiaru przedstawić w postaci wykresu. 9. Za pomocą cyfrowego woltomierza napięcia przemiennego o rozdzielczości minimum 5 cyfr znaczących wyznaczyć błąd nastawy napięcia przemiennego i stałego programowanego generatora funkcyjnego. Pomiar błędu nastawy napięcia 17 przemiennego wykonać dla kilku wartości częstotliwości z przedziału od 40 Hz do 100 kHz. Wynik pomiaru błędu nastawy przedstawić w postaci wykresu. Uwaga: obliczenia błędów i niepewności powinny być wykonywane w trakcie przeprowadzania ćwiczenia. Zalecane jest przyniesienie na zajęcia kalkulatorów inŜynierskich realizujących proste obliczenia statystyczne. 4. PYTANIA KONTROLNE 1. Podać definicję błędu bezwzględnego, poprawki oraz błędu względnego. 2. Opisać rodzaje błędów i ogólne sposoby ich wyznaczania. 3. Wymienić typy niepewności i scharakteryzować je. 4. Opisać metody wyznaczania standardowej niepewności typu A. 5. Opisać metody wyznaczania standardowej niepewności typu B. 6. Opisać metodę wyznaczania niepewności złoŜonej. 7. Opisać sposób sporządzania budŜetu niepewności. 5. LITERATURA [1] „WyraŜanie niepewności pomiaru“. Przewodnik. Główny Urząd Miar, Warszawa 1999 [2] Turzeniecka D., „Ocena niepewności wyniku pomiaru”, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1997 [3] Skubis T., „Podstawy metrologicznej interpretacji wyników pomiaru”, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2004 Opracował: dr inŜ. Marian Kampik v.1 / 14 XI 2008