See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/250166037
Szacowanie Niepewności Pomiaru
Article in Research Works of Air Force Institute of Technology · January 2007
DOI: 10.2478/v10041-008-0003-5
CITATIONS
READS
2
1,790
2 authors:
Janusz Lisiecki
Sylwester Kłysz
Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych
Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych
73 PUBLICATIONS 263 CITATIONS
328 PUBLICATIONS 873 CITATIONS
SEE PROFILE
All content following this page was uploaded by Sylwester Kłysz on 22 May 2015.
The user has requested enhancement of the downloaded file.
SEE PROFILE
PRACE NAUKOWE ITWL
Zeszyt 22, s. 47 ÷ 79, 2007 r.
Janusz LISIECKI
Sylwester KŁYSZ
Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych
DOI 10.2478/v10041-008-0003-5
SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU
Podano zasady postępowania przy wyznaczaniu niepewności pomiaru. Przedstawiono
podstawowe pojęcia dotyczące tego zagadnienia oraz sposób wyznaczania niepewności
pomiaru dobrze określonej wielkości fizycznej stanowiącej wielkość mierzoną. Przedstawiono sposób szacowania niepewności pomiaru na przykładzie szacowania niepewności
przy sprawdzaniu mikrometru i szacowania niepewności podstawowych parametrów wytrzymałościowych.
Słowa kluczowe: niepewność pomiaru, niepewność typu A, niepewność typu B, błąd
pomiaru, odchylenie standardowe, rozkład normalny, rozkład prostokątny, budżet niepewności, efektywna liczba stopni swobody.
1. Wstęp
Zgodnie z wymaganiami normy PN-EN ISO 10012 [1]:
– niepewność pomiaru powinna być oszacowana dla każdego procesu pomiarowego objętego systemem zarządzania pomiarami;
– oszacowania niepewności powinny być zapisywane, a wszystkie znane
źródła zmienności pomiaru należy udokumentować;
– przy szacowaniu niepewności pomiaru trzeba uwzględnić, oprócz niepewności wzorcowania wyposażenia pomiarowego, wszystkie inne składniki
niepewności, które są istotne w danym procesie pomiarowym, z wykorzystaniem odpowiednich metod analizy;
– jeżeli niektóre składowe niepewności są na tyle małe w porównaniu do innych składowych, że ich określenie jest nieuzasadnione technicznie i ekonomicznie, należy zrezygnować z ich obliczania, a decyzję i uzasadnienie
zapisać;
– wysiłek poświęcony na określenie i zapisanie niepewności pomiaru powinien być współmierny do znaczenia wyników pomiarów dla jakości wyrobu.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
48
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
Zgodnie z wymaganiami normy PN-EN ISO/IEC 17025 [2] w laboratorium
akredytowanym:
– w przypadku przeprowadzania własnych wzorcowań lub sprawdzeń należy
mieć i stosować procedurę (instrukcję) szacowania niepewności pomiaru
dla każdego wzorcowania lub sprawdzenia;
– należy mieć i stosować procedury szacowania niepewności pomiaru;
– w przypadku, gdy charakter metody badawczej uniemożliwia ścisłe, metrologicznie i statystycznie uzasadnione obliczenie niepewności pomiaru, należy starać się zidentyfikować wszystkie składniki niepewności i dokonać
racjonalnego jej oszacowania w oparciu o wiedzę o możliwościach metody
i wcześniejsze doświadczenia; taki sposób szacowania niepewności powinien być opisany;
– w przypadku, gdy wykonywane są badania według dobrze znanej metody,
w której określono graniczne wartości głównych źródeł niepewności pomiarów oraz sposób prezentacji wyników, wyniki te należy przedstawiać
zgodnie z zapisami w procedurze badawczej lub instrukcji;
– źródła niepewności obejmują między innymi stosowane wzorce i materiały
odniesienia, stosowane metody i wyposażenie, warunki środowiskowe,
właściwości i stan obiektów poddawanych badaniu lub wzorcowaniu oraz
wykonawcę badań.
2. Definicje metrologiczne [3÷7]
Błąd pomiaru – jest to różnica między wynikiem pomiaru a wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Ponieważ wartość prawdziwa jest nieznana, to błąd
nie może być w pełni wyznaczony.
Błąd systematyczny – jest to różnica między średnią z nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonywanych w warunkach powtarzalności, a wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Jest to błąd,
który w warunkach powtarzalności jest stały lub zmienia się według znanego
prawa.
Poprawka – jest to wartość dodana algebraicznie do surowego wyniku pomiaru w celu skompensowania błędu systematycznego. Poprawka jest równa
wartości oszacowanego błędu systematycznego ze znakiem przeciwnym.
Błąd przypadkowy – jest to różnica między wynikiem pomiaru a średnią
z nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności. Jest to błąd, który w warunkach powtarzalności zmienia się w sposób losowy.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
Szacowanie niepewności pomiaru
49
Błąd gruby (nadmierny) – wynika z nieprawidłowego wykonania pomiaru,
np. z nieprawidłowego odczytu wskazania, użycia uszkodzonego przyrządu, niewłaściwego zastosowania przyrządu. Jeżeli w serii pomiarów pojawi się wynik
obarczony błędem grubym, należy go odrzucić.
Odchylenie – różnica między daną wartością a wartością odniesienia.
Błędy graniczne dopuszczalne (przyrządu pomiarowego) – są to wartości
skrajne błędu, dopuszczone przez warunki techniczne lub wymagania dotyczące
danego przyrządu pomiarowego.
Wartość prawdziwa – wartość zgodna z definicją wielkości określonej. Wartość, jaką uzyskałoby się jako wynik bezbłędnego pomiaru.
Wartość umownie prawdziwa – wartość przypisana wielkości określonej
i uznana, niekiedy umownie, jako wartość wyznaczona z niepewnością akceptowalną w danym zastosowaniu. Oznacza to, że jeżeli w danych okolicznościach
niepewność wzorca można uznać za znikomo małą, to przypisana mu wartość
jest wartością umownie prawdziwą.
Wynik pomiaru – jest to wartość przypisana wielkości mierzonej, uzyskana
drogą pomiaru.
Wynik surowy – wynik pomiaru przed korekcją błędu systematycznego.
Wynik poprawiony – wynik pomiaru po korekcji błędu systematycznego.
Dokładność pomiaru – stopień zgodności wyniku pomiaru z wartością
prawdziwą wielkości mierzonej. Dokładność pomiaru ma charakter jakościowy
i nie można jej przypisywać wartości liczbowej.
Rozdzielczość (urządzenia wskazującego) – najmniejsza różnica wskazania
urządzenia wskazującego, która może być zauważona w sposób wyraźny. Rozdzielczość jest jednym ze źródeł niepewności przyrządu pomiarowego. Wartość
rozdzielczości należy przyjmować zgodnie z poniższymi zasadami:
– w urządzeniu wskazującym analogowym wyrażona stosunkiem szerokości
wskazówki urządzenia do długości działki elementarnej, pomnożonej przez
wartość działki elementarnej;
– w urządzeniu wskazującym cyfrowym jako połowa zakresu obserwowanych zmian plus jedna działka elementarna dla wskazań niestabilnych lub
jedna działka elementarna, gdy wskazania nie zmieniają się więcej niż
o jedną działkę elementarną.
Dla urządzenia wskazującego analogowego przyjmuje się rozdzielczość:
– 1/2 działki elementarnej – przy długości działki elementarnej mniejszej niż
1,25 mm;
– 1/5 działki elementarnej – przy długości działki elementarnej od 1,25 mm
do 2,5 mm;
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
50
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
– 1/10 działki elementarnej – przy długości działki elementarnej większej niż
2,5 mm.
Wzorcowanie – zbiór operacji ustalających, w określonych warunkach, relacje między wartościami wielkości mierzonej przez przyrząd pomiarowy albo wartościami reprezentowanymi przez wzorzec miary lub przez materiał odniesienia
a odpowiednimi wartościami wielkości realizowanymi przez wzorce jednostki miary. Wynik wzorcowania pozwala na przypisanie wskazaniom przyrządu odpowiednich wartości wielkości mierzonej lub na wyznaczenie poprawek wskazań.
Sprawdzenie – czynności stwierdzające zgodność narzędzia pomiarowego z wymaganiami przepisów legalizacyjnych, zaleceniami norm lub warunkami technicznymi. Najczęściej tymi wymaganiami są błędy graniczne dopuszczalne ±Eg.
Niepewność standardowa (u) – niepewność wyniku pomiaru wyrażona
w formie odchylenia standardowego.
Niepewność typu A (uA) – niepewność obliczana metodą analizy statystycznej serii pojedynczych obserwacji (najczęściej z wykorzystaniem normalnego rozkładu wyników).
Niepewność typu B (uB) – niepewność obliczana innymi metodami niż
w przypadku A (najczęściej z wykorzystaniem rozkładu prostokątnego opisującego błędy systematyczne spowodowane nierozpoznanym oddziaływaniem systematycznym).
Niepewność standardowa złożona (uc) – niepewność określana w przypadku występowania wielu składowych niepewności; dla pomiarów bezpośrednich jest pierwiastkiem sumy kwadratów niepewności składowych, dla pomiarów
pośrednich sumowanie kwadratów niepewności składowych odbywa się z odpowiednimi wagami, zgodnie z prawem propagacji niepewności.
Niepewność rozszerzona (U) – jest iloczynem niepewności standardowej
złożonej i współczynnika rozszerzenia k:
U = k · uc
(1)
Określa ona granice przedziału niepewności, któremu można przypisać określony poziom ufności.
Poziom ufności (p) – jest prawdopodobieństwem tego, że w przedziale niepewności wyniku pomiaru (w przedziale ufności) znajduje się wartość prawdziwa,
co można zapisać:
P = P{x0 ∈ (x-U; x+U)}
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
(2)
Szacowanie niepewności pomiaru
51
3. Wyrażanie niepewności pomiaru
Celem pomiaru jest wyznaczenie wartości wielkości mierzonej, tj. wielkości
określonej stanowiącej przedmiot pomiaru.
Wynik pomiaru jest tylko przybliżeniem lub oszacowaniem (estymatą) wartości wielkości mierzonej i dlatego jest kompletny tylko wtedy, gdy jest podany wraz
z oszacowaną niepewnością.
Według przewodnika Wyrażanie niepewności pomiaru [4]:
„Niepewność (pomiaru) jest to parametr, związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać
wartości mierzonej”.
Wyrażanie niepewności pomiaru dotyczy dobrze określonej wielkości fizycznej
stanowiącej wielkość mierzoną, która może być scharakteryzowana przez pojedynczą wartość wyznaczoną w wyniku pomiaru. Terminem „wielkość” (która jest mierzalna) określona jest cecha zjawiska, ciała lub substancji, którą można wyróżnić
jakościowo i wyznaczyć ilościowo. Niepewność pomiaru jest efektem błędów o charakterze losowym, jakie występują w procesie pomiarowym. Istotne jest rozróżnienie między pojęciem błędu i pojęciem niepewności pomiaru. Błąd jest zmienną
losową, a niepewność jest parametrem rozkładu prawdopodobieństwa błędu.
W ogólnej postaci wynik pomiaru Y składa się z [6]:
– wyniku surowego Ys,
– poprawki sumarycznej PΣ kompensującej wyznaczalne błędy,
– niepewności rozszerzonej U(Y) pomiaru wielkości Y w taki sposób, że:
Y = (Ys + PΣ) ± U(Y)
(3)
Składniki Ys i PΣ są obciążone niepewnościami cząstkowymi U(Ys) i U(PΣ),
które składają się na niepewność U(Y).
Po uwzględnieniu poprawek wynik pomiaru ma postać:
Y = Ypop ± U(Y)
(4)
gdzie: Ypop = Ys + PΣ jest wynikiem poprawionym.
Metody obliczania niepewności dotyczą wyników skorygowanych, tzn. po
skompensowaniu składowej błędu systematycznego spowodowanej rozpoznanym oddziaływaniem systematycznym, przez dodanie do surowego wyniku poprawki lub pomnożenie go przez współczynnik poprawkowy.
Zakłada się, iż skorygowany wynik pomiaru jest zmienną losową, której wartość oczekiwana jest równa wartości prawdziwej.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
52
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
4. Analiza źródeł niepewności
Podstawowe źródła błędów w procesie pomiarowym, składających się na
niepewność pomiaru [4, 6, 8]:
• Nieprecyzyjne określenie wielkości mierzonej i/lub niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej
Istotne jest precyzyjne określenie wielkości mierzonej. Każda nieścisłość
w jej określeniu może być przyczyną błędów. Jeżeli wielkością mierzoną jest np.
prędkość rozchodzenia się dźwięku w suchym powietrzu, to należy sprecyzować
skład powietrza, jego temperaturę i ciśnienie.
• Niedokładność zastosowanej aparatury pomiarowej
Wyposażenie pomiarowe jest podstawowym źródłem błędów. Efektem występowania różnych czynników, np. błędów wzorcowania, wykonania podziałki,
nieliniowości, zmian wymiarów i innych właściwości części zespołów przyrządów
w czasie oraz pod wpływem zewnętrznych warunków otoczenia są: błąd poprawności wskazania, rozrzut wskazań, błąd histerezy itp.
• Kwalifikacje i stan psychofizyczny obserwatora, z uwzględnieniem rozdzielczości przyrządu
Niedoskonałość zmysłów ludzkich, jak również niewłaściwe rozmieszczenie
przyrządów na stanowisku pomiarowym mogą być przyczynami błędów odczytania wskazań przyrządów.
• Błędy metody pomiarowej (np. przybliżenia i założenia upraszczające
tkwiące w metodzie i procedurze pomiarowej)
Pojawiają się wtedy, gdy zastosowana metoda nie umożliwia zmierzenia ściśle tej wartości, która miała być zmierzona, np. w wyniku oddziaływania przyrządu
na wielkość mierzoną. Przykładem może być pomiar długości metodami naciskowymi powodujący odkształcenie sprężyste mierzonego obiektu, a tym samym
zmianę jego wymiarów; termometr stykowy wprowadzony do badanego ośrodka
zmienia jego temperaturę; woltomierz z długimi nieekranowanymi przewodami
mierzy napięcie źródła zakłócone zniekształceniami.
• Niereprezentatywne pobieranie próbek
Jest to składowa błędu spowodowana tym, że mierzona próbka nie jest reprezentatywna dla definiowanej wielkości mierzonej.
• Warunki otoczenia
Warunki środowiskowe, tj. temperatura, ciśnienie, wilgotność, są czynnikami
oddziałującymi na system pomiarowy, a tym samym na wynik pomiaru. Zewnętrzne czynniki, takie jak pola elektryczne i magnetyczne, drgania, zapylenie,
uderzenia, promieniowanie jądrowe, mogą mieć znaczący wpływ na wynik pomia-
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
Szacowanie niepewności pomiaru
53
ru. Czynniki środowiskowe oddziałują zarówno na system pomiarowy, jak i na
wielkość mierzoną.
• Błędy obliczeniowe wynikające np. z zaokrąglania wyników obliczeń obliczeń
• Niedokładnie znane wartości stałych i innych parametrów otrzymanych
ze źródeł zewnętrznych i stosowanych w procedurach przetwarzania
danych
• Rozrzut wartości wielkości mierzonej uzyskanych podczas obserwacji
Jest spowodowany tym, że powtarzanie obserwacji odbywa się w warunkach
pozornie identycznych.
5. Procedura szacowania pełnego wyniku pomiaru
Procedurę szacowania pełnego wyniku pomiaru przedstawiono na rysunku
poniżej.
Rys. 1. Obrazowe przedstawienie procedury szacowania niepewności wyniku pomiaru [9]
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
54
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
6. Równanie pomiaru
Zależność wyniku pomiaru przedstawionego jako zmienna losowa Y od wielu
zmiennych losowych X1, …, Xn, procesu pomiarowego, tzn. wielkości mierzonych
bezpośrednio, poprawek, stałych fizycznych oraz ich błędów opisuje równanie:
Y = f(X1, X2, X3, ..., Xn-1, Xn)
(5)
Funkcja f z tego równania może nie wyrażać żadnego prawa fizycznego,
a opisywać jedynie proces pomiarowy. Powinna ona zawierać wszystkie wielkości
modelujące wynik pomiarowy. Wielkości wejściowe (argumenty funkcji f) powinny
być określone tak precyzyjnie, aby można było wyznaczyć jednoznacznie ich
wartości.
Oszacowaniem wielkości wyjściowej Y przyjętym za wynik pomiaru jest wartość y określona powyższym równaniem, w którym wielkości X1, …, Xn zastąpiono
estymatorami x1, …, xn, mianowicie:
y = f(x1, x2, x3, ..., xn-1, xn)
(6)
7. Wyznaczanie niepewności standardowych
dla wszystkich składowych [4, 6, 9]
Należy oszacować niepewności standardowe u(xi) wielkości wejściowych
i wpływających na badanie. Dla badań (pomiarów), w których wykonuje się serie
obserwacji, stosuje się metodę analizy statystycznej serii obserwacji typu A.
Jeżeli niepewność wielkości wejściowej nie może być wyznaczona na podstawie
serii pomiarów, stosuje się metodę typu B, tzn. wyznacza się niepewność
standardową na podstawie informacji o możliwym zakresie zmienności tej
wielkości.
W metodzie A (dla wartości mierzonej lub błędów jej pomiaru opisywanych
rozkładem normalnym) najlepszym oszacowaniem (estymatorem) wartości oczekiwanej µ, zmiennej losowej x, dla której dokonano n niezależnych obserwacji
w warunkach powtarzalności pomiaru, jest wartość średnia z n otrzymanych wyników:
n
x=
1
xi
n 1
∑
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
(7)
Szacowanie niepewności pomiaru
55
Niepewnością standardową typu A nazywa się standardowe odchylenie eksperymentalne średniej. Wyznacza się je ze wzoru:
()
uA x =
u(x )
(8)
n
gdzie:
n
u( x ) =
∑(
)
2
1
xi − x
n − 1 i =1
(9)
Wzory te są prawdziwe dla na tyle dużej serii obserwacji (przyjmuje się n > 30),
że wartość średnia jest wiarygodnym oszacowaniem wartości oczekiwanej.
1
od długości serii
Na rys. 2 przedstawiono zależność współczynnika
n
pomiarowej.
Rys. 2. Wykres przebiegu współczynnika
1
n
w funkcji liczby niezależnych obserwacji n [10]
Współczynnik poprawy niepewności standardowej eksperymentalnej
1
n
maleje szybko dla małych n (dla n = 4 zmniejsza się 2-krotnie), a dla n dużych
(powyżej kilkunastu) maleje powoli. Stąd nieuzasadnione jest nadmierne zwiększanie liczby pomiarów w serii. Tym bardziej, że zapewnienie warunków powtarzalnych przy długich seriach może być trudne. Liczba ta jednak powinna być na
tyle duża, aby wartość średnia mogła być wiarygodnym oszacowaniem wartości
oczekiwanej.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
56
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
Duże serie pomiarowe (n > 30) należy wykonywać wtedy, gdy chcemy wyznaczyć niepewność standardową połączoną up(x). Niepewność tę wykorzystuje się później przy prowadzeniu podobnych badań w takich samych warunkach.
Wtedy wykonując serię n1 nowych pomiarów, znamy rozkład obserwacji i niepewność wyznaczamy ze wzoru:
uA ( x ) =
up ( x )
(10)
n1
Jeżeli rozkład obserwacji nie jest znany, uzasadniona liczba pomiarów w serii
zależy od wymaganego poziomu ufności niepewności rozszerzonej.
Rys. 3. Zależność poziomu ufności p od współczynnika rozszerzenia k dla rozkładu normalnego [10]
Tabela 1
Współczynniki rozszerzenia k obliczone z rozkładu t-Studenta dla wybranych poziomów ufności p i liczby różnych stopni swobody ν
p
68,27
70
90
95
95,45
99
99,73
1
1,84
1,96
6,31
12,71
13,97
63,66
235,80
2
1,32
1,39
2,92
4,30
4,53
9,92
19,21
3
1,20
1,25
2,35
3,18
3,31
5,84
9,22
4
1,14
1,19
2,13
2,78
2,87
4,60
6,62
5
1,11
1,16
2,02
2,57
2,65
4,03
5,51
6
1,09
1,13
1,94
2,45
2,52
3,71
4,90
7
1,08
1,12
1,89
2,36
2,43
3,50
4,53
8
1,07
1,11
1,86
2,31
2,37
3,36
4,28
ν
9
1,06
1,10
1,83
2,26
2,32
3,25
4,09
10
1,05
1,09
1,81
2,23
2,28
3,17
3,96
∞
1,00
1,03
1,65
1,96
2,00
2,58
3,00
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
Szacowanie niepewności pomiaru
57
Na podstawie przedstawionych danych można wysnuć wnioski co do racjonalnego wyboru liczby pomiarów w serii. Dla ν = ∞ współczynniki rozszerzenia k
obliczone z rozkładu t-Studenta i rozkładu normalnego pokrywają się. Natomiast
różnice są znaczne dla krótkich serii pomiarów. Są one tym większe, im większy
jest postulowany poziom ufności. Przyczyną tych różnic jest duża niepewność
wyznaczania odchylenia standardowego średniej z mało licznej próby.
Dla niezbyt dużych poziomów ufności (p ≤ 70%) różnice między danymi obliczonymi z obu rozkładów są istotne tylko dla krótkich serii pomiarów n ≤ 5, natomiast stają się mało istotne dla serii dłuższych (n > 5). Stąd wniosek, że dla n ≤ 5
współczynnik rozszerzenia należy obliczać z rozkładu t-Studenta, natomiast dla
n > 5 można obliczać z rozkładu normalnego.
Przy dużych poziomach ufności (p ≥ 95%) różnice między danymi obliczonymi z rozkładu normalnego i t-Studenta są znaczne nawet przy dużej liczności
próby (powyżej 10 pomiarów). Stąd wniosek, że przy dużym postulowanym poziomie ufności px (np. 99%) należy wybierać długie serie pomiarów (np. n > 10).
Jak widać, poziom ufności dla niepewności standardowej u( x ) = σ x wynosi
68,2%, a dla dwusigmowej niepewności rozszerzonej U = 2σx jest równy 95,4%.
Dla laboratoryjnych zastosowań takie poziomy ufności są wystarczające. Jednak
w pewnych sytuacjach, zwłaszcza wtedy, gdy chodzi o zdrowie i bezpieczeństwo,
wymaga się większych poziomów ufności. Wtedy zakłada się wymagany poziom
ufności pα i z tablic wyznacza się odpowiedni współczynnik rozszerzenia. Poziom
ufności dla współczynnika rozszerzenia 3 (U = 3σx) wynoszący 99,7% uznaje się
za bardzo wysoki, bliski pewności.
W metodzie B, gdy mamy do czynienia z pojedynczym wynikiem lub liczbą
pozyskaną z dokumentów, literatury, możliwe jest tylko oszacowanie granic a+
i a- dla wielkości wejściowej Xi i wtedy niepewność standardową oblicza się ze
wzoru:
uB ( x i ) =
gdzie: a =
a
k
(11)
a+ + a−
2
Wyznaczone w ten sposób uB(xi) jest nazywane niepewnością standardową
typu B. Jest to metoda analizy warunków występowania źródła błędu, zalecana
do analizy i szacowania błędów instrumentalnych (aparaturowych).
Jeżeli niepewność standardowa cząstkowa u(xi) nie może być wyznaczona
na podstawie powtarzanych obserwacji (serii pomiarów), to wyznacza się nie-
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
58
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
pewność standardową na podstawie informacji o możliwym zakresie zmienności
tej wielkości, biorąc pod uwagę takie przesłanki, jak:
– wcześniej uzyskane dane pomiarowe,
– doświadczenie i wiedzę ogólną o właściwościach stosowanych materiałów
i przyrządów,
– specyfikacje podane przez producenta,
– dane stanowiące wyniki wzorcowania lub pochodzące z innych certyfikatów,
– dane z tablic fizycznych.
Jeżeli w dostępnych dokumentach, tablicach fizycznych lub innych źródłach
jest określony zakres zmienności analizowanej wielkości, np.:
– podana jest niepewność rozszerzona U jako wielokrotność odchylenia
standardowego, to niepewność standardową u oblicza się, dzieląc tę
pierwszą wartość przez odpowiedni współczynnik rozszerzenia k,
– podana jest niepewność rozszerzona U jako przedział o określonym poziomie ufności, wtedy zakłada się rozkład normalny i dla podanego poziomu ufności przyjmuje odpowiedni współczynnik,
– nie jest podane k ani poziom ufności, należy stosować regułę „3σ”, przyjmując k = 3.
Należy rozważyć następujące cechy charakteryzujące dane źródło błędu:
1) czy istnieją informacje o tym, jaki rozkład prawdopodobieństwa ma dana
wielkość (np. normalny, prostokątny, trójkątny),
2) czy istnieją granice przedziału, w jakim dana wielkość jest zmienna, xi należy do (a-, a+),
3) jakie jest prawdopodobieństwo, że dana wartość wielkości xi znajduje się
w danym przedziale.
Przykłady wzorów do szacowania niepewności standardowej typu B podano
w tabeli 2.
Tabela 2
Reguły szacowania typu B niepewności standardowych wybranych wielkości [9]
Charakterystyka wielkości
podlegających szacowaniu typu B
– rozkład możliwych wartości
wielkości Xi jest normalny,
– wartość wielkości Xi leży w oszacowanych granicach od a- do a+,
– najlepsza przybliżona wartość xi
odpowiada środkowi przedziału
Niepewność standardowa
u(xi)
dla k = 3; u(xi) =
a
3
; p = 0,99
Przykład zastosowania
szacowania typu B
– gdy a jest niepewnością podawaną w świadectwie
wzorcowania,
dla k = 2; u(xi) =
; p = 0,95
2
– gdy a jest niepewnością dadla k = 1; u(xi) = a; p = 0,68
nych odniesienia, dla których
(a+ + a- )
znane są wartości współczyn,
2
u(xi) = 1,48a (odnosi się do
ników k
– znana jest wartość współczynnika uwagi)
k odpowiadająca poziomowi
a
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
Szacowanie niepewności pomiaru
59
ufności.
Uwaga: także wtedy, gdy nieznana
(a + a- )
jest wartość współczynnika kp odpo- gdzie a = +
2
wiadająca poziomowi ufności, a
istnieje 50% prawdopodobieństwa,
że wartość wielkości wejściowej Xi
leży w przedziale od a- do a+
– rozkład możliwych wartości wielkości Xi jest prostokątny (równomierny),
– najlepsza przybliżona wartość xi
odpowiada środkowi przedziału
(a+ + a- )
,
2
– istnieje 100% prawdopodobieństwa, że wartość wielkości wejściowej Xi leży w przedziale od ado a+
– rozkład możliwych wartości wielkości Xi jest trójkątny,
– najlepsza przybliżona wartość xi
odpowiada środkowi przedziału
(a+ + a- )
,
2
– istnieje 100% prawdopodobieństwa, że wartość wielkości wejściowej Xi leży w przedziale od ado a+
– rozkład możliwych wartości wielkości Xi jest arcsin,
– najlepsza przybliżona wartość xi
odpowiada środkowi przedziału
(a+ + a- )
,
2
– istnieje 100% prawdopodobieństwa, że wartość wielkości wejściowej Xi leży w przedziale od ado a+
u(xi) =
gdzie a =
a
6
(a+ + a- )
2
u(xi) =
gdzie a =
3
(a+ + a- )
2
u(xi) =
gdzie a =
a
– gdy a jest błędem granicznym
przyrządu pomiarowego,
– gdy a jest błędem granicznym
danej odniesienia, dla której
nieznana jest wartość współczynnika k,
– niepewność rozdzielczości
(r = 2a) urządzenia wskazującego (np. suwmiarki, mikrometru)
– gdy prawdopodobieństwo
wystąpienia błędów w pobliżu
granic przedziału jest mniejsze
niż w pobliżu środka pola błędów,
– gdy rozrzut wskazań przyrządu pomiarowego jest zbyt mały w porównaniu z jego rozdzielczością, a nie ma możliwości pomiaru przyrządem
o większej rozdzielczości
a
2
(a+ + a- )
2
– rozkład możliwych wartości wielkości Xi nie jest dostatecznie znaa − b−
ny,
u(xi) = +
– istnieje 100% prawdopodobień12
stwa, że wartość wielkości weja
− a−
ściowej Xi leży w granicach przeu(xi) = +
działu a- = xi - b- do a+ = xi + b+,
12
który może być niesymetryczny
dla przedziału symetrycznewzględem najlepszej przybliżonej
go
wartości xi,
(a+ - a-) = 2a
– przyjmuje się zastępczo, że roz2
kład możliwych wartości wielkości
a
2
u (xi) =
Xi jest prostokątny i że wartość
3
wielkości Xi leży w granicach przedziału od b- do b+
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
– pomiar średnicy elementu
owalnego w losowym przekroju (odchyłki zarysu od okręgu
średniego mają rozkład arcsin)
– gdy a jest rozdzielczością
urządzenia wskazującego cyfrowego,
– gdy a jest szerokością zakresu
zmian odczytów spowodowanych histerezą (wskazania
różnią się w zależności od
tego, czy odczyty są wykonywane przy rosnącej, czy malejącej wartości wielkości Xi,
– gdy a jest błędem granicznym
wynikającym z zaokrąglania
lub obcinania liczb w trakcie
obliczeń
60
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
Wyniki obliczeń otrzymane w ten sposób niekoniecznie muszą być gorsze od
wyników obliczeń opartych na powtarzanych obserwacjach. W tabeli 3 podano
wartości „niepewności niepewności”, powstającej w sposób statystyczny w zależności od liczby obserwacji.
Tabela 3
Wartości stosunku odchylenia standardowego eksperymentalnego wartości średniej
arytmetycznej n niezależnych obserwacji o rozkładzie normalnym do odchylenia
standardowego średniej [4]
Liczba obserwacji
σ[s (q )] / σ(q )
n
%
2
76
3
52
4
42
5
36
10
24
20
16
30
13
50
10
Z danych zawartych w tabeli wynika, że nawet dla n = 10 obserwacji „niepewność niepewności” wynosi 24%. Na tej podstawie można wnioskować, że
obliczenia niepewności standardowej metodą typu A niekoniecznie są bardziej
wiarygodne niż obliczenia niepewności standardowej metodą typu B i że w wielu
praktycznie spotykanych sytuacjach pomiarowych, gdzie liczba obserwacji jest
ograniczona, składniki otrzymane z obliczeń metodą typu B, mogą być lepiej znane niż składniki otrzymane z obliczeń metodą typu A.
8. Wyznaczenie niepewności standardowej złożonej
8.1. Pomiary bezpośrednie
Dla wielkości mierzonej bezpośrednio, kiedy uwzględnia się niepewność
standardową typu A i typu B, złożona niepewność standardowa uC jest pierwiastkiem sumy kwadratów tych niepewności:
uC = u A2 + uB2
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
(12)
Szacowanie niepewności pomiaru
61
8.2. Pomiary pośrednie
W większości przypadków wielkość poszukiwana y nie jest mierzona bezpośrednio, lecz wyznaczana na podstawie pomiarów innych wielkości xi związanych
z nią określoną zależnością funkcyjną (patrz równanie pomiaru (6)):
y = f(x1, x2, x3, ..., xn-1, xn)
(13)
Na podstawie różniczki zupełnej formułowane jest prawo propagacji niepewności w postaci:
n
uC ( y ) =
2
⎛ ∂f ⎞ 2
⎟ u ( xi )
⎜⎜
∂xi ⎟⎠
1 ⎝
∑
ui ( y ) = c i ⋅ u ( x i )
(14)
(15)
gdzie: u(xi) – niepewności standardowe pomiaru wielkości wejściowych obliczone metodą typu A lub typu B; złożona niepewność standardowa
uC(y) jest estymatą odchylenia standardowego σy i charakteryzuje
rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać
wielkości mierzonej y;
∂f
= ci – pochodne cząstkowe nazywane są współczynnikami wrażliwości.
∂xi
Prawo propagacji niepewności jest słuszne, jeżeli zmienne wejściowe są nieskorelowane, co w praktyce pomiarowej zdarza się najczęściej.
Jeżeli warunek o wzajemnej niezależności wielkości wejściowych nie jest
spełniony, to należy korzystać ze wzoru uwzględniającego kowariancje:
m
2
m −1 m
⎛ ∂f ⎞
⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f ⎞
( ) = ⎜ ⎟ u 2 ( xi ) + 2
⎜
⎟⎜
⎟u (xi , x j )
∂xi ⎠
∂xi ⎠⎝ ∂x j ⎠
i =1 ⎝
i =1 j = i +1 ⎝
uC2 y
∑
∑∑
(16)
Wynik końcowy pomiaru wielkości Y oblicza się z funkcji, przyjmując średnie
arytmetyczne wielkości bezpośrednio mierzonych:
y = f ( x1, x2,....., xn )
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
(17)
62
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
8.3. Budżet niepewności
Jeśli poszczególne wielkości wejściowe są od siebie niezależne, to w celu
zapewnienia przejrzystości analizy niepewności pomiaru można przedstawić dane istotne dla tej analizy w formie tabeli (tabela 4), czyli posłużyć się tzw. budżetem niepewności.
Tabela 4
Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej dla nieskorelowanych wielkości wejściowych [8]
Symbol
wielkości
Xi
Estymata
wielkości
xi
X1
x1
u A (x1) =
X2
x2
uB (x 2 ) =
.
.
.
.
.
.
.
.
.
XN
xN
uB (xN ) =
Y
y
Współczynnik
Niepewność
Rozkład
wrażliwości
standardowa
prawdopodobieństwa
u(xi)
ci
U
2
x2
2 3
xN
Udział w złożonej
niepewności
standardowej
ui(y)
normalny
c1
u1(y) = c1·uA(x1)
prostokątny
c2
u2(y) = c2·uB(x2)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
trójkątny
cN
uN(y) = cN·uB(xN)
2 6
uc(y)
9. Wyznaczanie niepewności rozszerzonej
W pomiarach bezpośrednich niepewność rozszerzona U jest iloczynem
współczynnika rozszerzenia i złożonej niepewności standardowej:
U = k · uC(y)
(18)
gdzie uC(y) oblicza się ze wzoru dla pomiaru bezpośredniego (12).
Współczynnik rozszerzenia dla zadanego poziomu ufności p powinien być
obliczany na podstawie rozkładu standaryzowanej zmiennej losowej o rozkładzie będącym splotem rozkładu normalnego i rozkładu równomiernego, kiedy
próba jest liczna, lub rozkładu t-Studenta i równomiernego, kiedy próba nie
jest liczna.
W pomiarach pośrednich niepewność rozszerzona, oznaczana jako U, jest
otrzymywana przez pomnożenie złożonej niepewności standardowej uC(y) przez
współczynnik rozszerzenia k:
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
Szacowanie niepewności pomiaru
63
U = k · uC(y)
(19)
gdzie uC(y) oblicza się ze wzoru dla pomiaru pośredniego (14), a wynik pomiaru
podawany jest często umownie w postaci:
Y=y±U
(20)
Ścisłe obliczanie współczynnika rozszerzenia dla postulowanego poziomu ufności jest w przypadku pomiarów pośrednich zagadnieniem trudnym, ponieważ wymaga znajomości funkcji rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej modelującej wynik pomiaru y. Jest ona splotem rozkładów składowych zmiennych losowych modelujących wielkości wejściowe. Obliczanie splotów jest trudne, z wyjątkiem
przypadków szczególnych, do których należy splot dowolnej liczby rozkładów normalnych, który jest rozkładem normalnym o łatwych do obliczenia parametrach.
Z tego względu w praktyce stosuje się przybliżone metody wyznaczania
współczynnika rozszerzenia.
9.1. Przybliżone metody wyznaczania niepewności rozszerzonej [10]
Metoda I – narzuconych wartości współczynnika rozszerzenia
Polega na zastosowaniu współczynnika k = 2 dla poziomu ufności p ≈ 95%
i k = 3 dla poziomu ufności p ≈ 99%.
Metodę tę stosuje się w sytuacjach pomiarowych, w których wielkości wejściowe Xi są niezależne i:
1) wszystkie wielkości składowe złożonej niepewności standardowej uC(y)
mają rozkłady normalne,
2) wielkości składowe złożonej niepewności standardowej uC(y) mają rozkłady prostokątne, ale o tej samej szerokości i jest ich co najmniej 3,
3) występuje znaczna liczba wielkości wejściowych Xi (w praktyce nie mniejsza niż 4), złożona niepewność standardowa uC(y) nie jest zdominowana
przez składową niepewności standardowej, obliczoną metodą typu A
z serii niewielu obserwacji, lub składową niepewności standardowej, obliczoną metodą typu B z założonego rozkładu prostokątnego (tzn. niepewności ciuA(xi) i ciuB(xi) dają porównywalne wkłady do uC(y)), i uC(y) jest dużo większa od pojedynczego składnika ciuB(xi).
Metoda II – sumy geometrycznej
Polega na obliczaniu niepewności rozszerzonej Ui dla każdej wielkości wejściowej (dla każdej składowej błędu) osobno i obliczaniu niepewności rozszerzonej wielkości wyjściowej Uy jako pierwiastka sumy kwadratów składowych niepewności ze wzoru:
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
64
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
2
U y = U x21 + U x22 + ... + U xn
(21)
Współczynniki rozszerzenia niepewności składowych należy obliczać dla
tego samego poziomu ufności.
Metoda III – sumy zwykłej (algebraicznej)
Sumowanie w dziedzinie niepewności:
U = UA + UB lub Uy = Ux1 + Ux2 + … + Uxn
(22)
Metoda zakłada najgorszy przypadek sumowania się błędów, tzn. taką sytuację, w której wszystkie błędy składowe mają wartości maksymalne i jednakowe
znaki. Jest to mało prawdopodobne, co oznacza, iż metoda zawyża niepewność
pomiaru, jest najbardziej pesymistyczna.
Jest ona stosowana w pomiarach warsztatowych, z powodu łatwości obliczeń,
a także w szczególnych sytuacjach lub przypadkach, np. wyznaczaniu tolerancji,
w wymiarowaniu detali maszyn wymagających zachowania określonych luzów itp.
Metoda IV – dominującego składnika
Zalecana jest w przypadkach, gdy dominuje jedna ze składowych niepewności typu A lub B.
Jeżeli uA >> uB, to we wzorze (18) należy podstawić k = kA; jeżeli uB >> uA, to
we wzorze (18) należy podstawić k = kB.
Dla normalnego rozkładu prawdopodobieństwa dla poziomu ufności 95,45%
k = 2, dla poziomu ufności 99,73% k = 3.
Dla prostokątnego rozkładu prawdopodobieństwa dla poziomu ufności 95%,
k = 1,65, dla poziomu ufności 99%, k = 1,71.
Metoda V – efektywnych stopni swobody
W tej metodzie niepewność rozszerzoną oznacza się Up i oblicza ze wzoru:
Up = kp · uC(y) = tp(νeff) · uC(y)
(23)
gdzie tp jest współczynnikiem t z rozkładu t-Studenta, odczytywanym z tablic,
dla wybranego poziomu ufności p oraz dla efektywnej liczby stopni
swobody νeff.
Liczbę νeff wyznacza się ze wzoru Welcha-Satterthwaite’a:
ν eff =
uC4 ( y )
4
⎛ ∂f ⎞ ui4 ( xi )
⎜
⎟
∂xi ⎠
νi
i =1 ⎝
N
∑
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
(24)
Szacowanie niepewności pomiaru
65
gdzie: uC(y) – złożona niepewność standardowa wielkości wyjściowej,
u(xi) – niepewności standardowe wielkości wejściowych, i = 1, 2, ..., N,
νi – liczby stopni swobody dla u(xi).
Praktyczne wyznaczenie liczby stopni swobody dla u(xi):
– jeżeli składowa u(xi) ma rozkład normalny, wtedy
νi = n – 1,
– jeżeli składowa u(xi) ma rozkład prostokątny o założonej szerokości a, to
a
przyjmuje się bez niepewności, ponieważ granice tego rozu(xi) =
2 3
kładu są dokładnie znane i wtedy
νi →∞, czyli 1/ νi →0,
– jeżeli źródło błędu jest zakwalifikowane do grupy B i rozpoznanie tego źródła błędu wskazuje, że standardową niepewność u(xi) daje się oszacować
∆u ( x i )
, wtedy
jedynie z określonym błędem względnym δui =
u( xi )
νi ≈
1 1
⋅ 2
2 δui
Na przykład przy założeniu, że u(xi) szacuje się z błędem 25%, liczba stopni
1
1
≈8.
swobody νi ≈ ⋅
2 0,0625
10. Przykłady szacowania niepewności pomiaru
10.1. Szacowanie niepewności przy sprawdzaniu mikrometru [6]
10.1.1. Równanie pomiaru
Błąd wskazania mikrometru opisujemy równaniem:
Ex = (L – W + Pt) ± U(Ex) [mm]
gdzie: L – maksymalne wskazanie mikrometru z trzech pomiarów;
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
(25)
66
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
W – długość nominalna płytki wzorcowej (Wn) z uwzględnieniem poprawki
– odchylenia długości płytki;
Pt – poprawka temperaturowa;
U(Ex) – niepewność rozszerzona na poziomie ufności 1 – α = 0,95.
Wartość poprawki temperaturowej przyjmuje się za równą zeru.
10.1.2. Równanie niepewności
Z uwagi na fakt, że wielkości wejściowe nie są skorelowane, niepewność
standardowa związana z wyznaczonym bezwzględnym błędem wskazania mikrometru opisana jest wzorem:
∑ (c ⋅ u )
uc (E x ) =
i
i
2
(26)
gdzie: ci – współczynniki wrażliwości, tzn. pochodne cząstkowe funkcji pomiaru
względem jej składników.
W tym przypadku ci = 1 lub ci = -1. Niepewność standardową błędu granicznego można zatem przedstawić w postaci wzoru:
uc (E x ) = u 2 (L ) + u 2 (W ) + u 2 (Pt ) [mm]
(27)
10.1.2.1. Wyznaczanie niepewności standardowych składowych
Niepewność standardową wskazania mikrometru wyznacza się na podstawie
rozdzielczości przyrządu r, wynoszącej w tym przypadku 0,002 mm (odczyt za
pomocą lupy), metodą B, przyporządkowując jej rozkład prostokątny:
u (L ) =
r
2 3
= 0,00058
mm
(28)
Niepewność standardową długości wzorca wyznacza się na podstawie niepewności rozszerzonej U wyznaczenia odchylenia długości płytki od długości
nominalnej zawartej w świadectwie wzorcowania, metodą B, przyporządkowując
jej rozkład normalny:
u (W ) =
U
[mm]
2
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
(29)
67
Szacowanie niepewności pomiaru
Niepewność standardową poprawki temperaturowej u(Pt) wyznacza się,
przyjmując, że współczynniki rozszerzalności liniowej wzorca i mikrometru są
jednakowe: αW = αL = αt = 11,5 ·10-6 oC-1 i ∆t = tW - tL (gdzie: tW = 20oC, tL – temperatura w laboratorium 20 ± 10oC); niepewność u(∆t), wyznaczona metodą B (roz∆t
wtedy:
kład prostokątny), wynosi
2 3
u(Pt) = W · αt ·
∆t
2 3
[mm]
(30)
10.1.3. Budżet niepewności
Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 5.
Tabela 5
Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej przy sprawdzaniu mikrometru
Symbol
wielkości
Xi
Estymata
wielkości
xi
Niepewność
standardowa
u(xi)
Udział w złożonej niepewności standardowej u(xi)
dla poszczególnych n płytek wzorcowych
L
wzór (28)
ci u1(L1)
ci u2(L2)
ci u3(L3)
ci un(Ln)
W
wzór (29)
ci u1(W1)
ci u2(W2)
ci u3(W3)
ci un(Wn)
Pt
0
Ex
L-W
wzór (30)
ci u1(Pt1)
ci u2(Pt2)
ci u3(Pt3)
ci un(Ptn)
wzór (27)
wzór (27)
wzór (27)
wzór (27)
10.1.4. Niepewność rozszerzona
Jeżeli wszystkie wartości składowych niepewności u(Ex) są porównywalne,
niepewność rozszerzoną na poziomie ufności 1 – α = 0,95 wyznacza się ze wzoru:
U(Ex) = 2 · uc(Ex) [mm]
(31)
Jeżeli dominującą składową niepewności uc(Ex) jest jedna składowa (np.
u(L)) z przyporządkowanym rozkładem prostokątnym, to rozkład ten można
uznać za rozkład błędów wskazań i wtedy niepewność rozszerzoną na poziomie
ufności 1 – α = 0,95 wyznacza się ze wzoru:
U(Ex) = 1,65 · uc(Ex) [mm]
(32)
Jeżeli dominującą składową niepewności uc(Ex) są dwie składowe (np. u(L)
i u(W)) z przyporządkowanymi rozkładami prostokątnymi o rozstępach R1 = 2a1
i R2 = 2a2, to ich kompozycją jest rozkład trapezowy równoramienny o rozstępie
R = 2a = 2(a1 + a2) i górnej podstawie b = 2aβ, gdzie β = (a2 – a1)/(a2 + a1).
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
68
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
Wtedy niepewność złożona wynosi:
uc(Ex) =
u 2 ( x1) + u 2 ( x2 ) =
a12 + a22
3
(33)
Niepewność rozszerzoną na poziomie ufności P = 1 – α = 0,95 wyznacza się
ze wzoru:
U(Ex) =
1 − (1 − P )(1 − β2 )
1 + β2
6
⋅ uc (E x )
(34)
Ostatecznie błąd wskazania wynosi:
E x = max [d-U(E x ),d + U(E x )] [mm]
(35)
gdzie: d – maksymalna odchyłka od wymiaru W, d = L – W.
Uwaga: składowe niepewności uc(Ex) można uznać za mało istotne i je
pominąć, gdy:
uc(Ex) – uc* (Ex) ≤ 0,05 uc(Ex)
gdzie uc* (Ex) – niepewność złożona po pominięciu jednej lub dwóch składowych), tzn. gdy pominięcie jednej lub dwóch składowych we
wzorze na niepewność złożoną nie spowoduje większej zmiany tej
niepewności niż 5%.
10.2. Szacowanie niepewności pomiarów parametrów wytrzymałościowych uzyskanych w statycznej próbie rozciągania [11]
10.2.1. Szacowanie niepewności określenia wytrzymałości na
rozciąganie Rm
10.2.1.1. Wzór na wynik pomiaru (dla jednej próbki)
Wytrzymałość na rozciąganie:
Rm = f (Fm, d0 ) =
Fm
S0
=
4Fm
πd02
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
(36)
Szacowanie niepewności pomiaru
69
gdzie: Fm – maksymalna siła zarejestrowana w próbie rozciągania próbki;
S0 – pierwotny przekrój poprzeczny próbki;
d0 – średnia średnica początkowa próbki.
10.2.1.2. Równanie niepewności
Z uwagi na fakt, że wielkości wejściowe nie są skorelowane, niepewność
standardowa związana z wyznaczoną wytrzymałością na rozciąganie opisana jest
wzorem:
u (Rm ) =
∑ (c ⋅ u )
i
i
2
(37)
gdzie: ci – współczynniki wrażliwości, tzn. pochodne cząstkowe funkcji względem i-tego składnika,
ui – niepewności standardowe poszczególnych składników.
4
8F
i cdo = − m3 stąd:
W tym przypadku cFm =
πd02
πd 0
2
2
⎛ 4 ⎞ 2
⎛ 8F ⎞
⎟ u (Fm ) + ⎜ − m ⎟ u 2 (d 0 )
u (Rm ) = ⎜⎜
⎜ πd 3 ⎟
2 ⎟
⎝ πd 0 ⎠
⎝
0 ⎠
(38)
Wyznaczanie niepewności standardowych składowych
Niepewność pomiaru średnicy próbki u (d0 ) wyznacza się:
a) na podstawie średniej z serii sześciu pomiarów (metoda A), z przyporządkowanym rozkładem t-Studenta (dla p = 68,27%):
n
u (d0s ) = 1,11 ⋅
∑ (d − d )
2
0k
k =1
0
n(n − 1)
(39)
gdzie: n – liczba pomiarów
lub
b) na podstawie rozdzielczości mikrometru ze wzoru:
u (d0 m ) =
0,01
2 3
(40)
gdzie u(d0m) wynosi 0,00289 mm i przyjmuje do dalszych obliczeń wartość większą.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
70
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
Podstawowe czynniki wpływające na niepewność całkowitą pomiaru siły F to:
1) niepewność pomiaru siły
uw (Fm ) =
UFm ⋅ Fm
(41)
200
gdzie: UFm – niepewność pomiaru siłomierza maszyny (w procentach), odczytana ze świadectwa wzorcowania, dla wartości najbliższej wartości
zmierzonej siły Fm przy rozciąganiu, na wybranym zakresie zastosowanej głowicy pomiarowej;
2) zerowanie kanału siły;
3) osiowość przyłożenia siły;
4) temperatura badania i szybkość obciążania próbki;
5) częstotliwość próbkowania (zapisu).
Błąd wynikający z tych czynników oszacowano na ±1%. Stąd, niepewność
pomiaru siły maksymalnej wyznacza się ze wzoru:
u(Fm ) =
0,01 ⋅ Fm
3
(42)
10.2.1.3. Budżet niepewności
Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 6.
Tabela 6
Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej wytrzymałości na rozciąganie
Symbol
wielkości
Xi
Estymata
wielkości
xi
Niepewność
standardowa
u(xi)
Fm
wzór (42)
d0
wzór
(39) lub (40)
Rm
Współczynnik
wrażliwości
ci
4
2
πd 0
−
8Fm
3
πd 0
4Fm
Udział w złożonej niepewności
standardowej u(xi)
ci · u(Fm)
ci · u( d 0 )
wzór (38)
2
πd 0
10.2.1.4. Wyznaczanie niepewności rozszerzonej
Niepewność rozszerzoną względną przy współczynniku rozszerzenia k = 2
na poziomie ufności 1 – α = 0,95 wyznacza się ze wzoru:
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
Szacowanie niepewności pomiaru
U (Rm ) =
2 ⋅ u (Rm )
⋅ 100%
Rm
71
(43)
10.2.2. Szacowanie niepewności określenia umownej granicy
plastyczności (przy wydłużeniu nieproporcjonalnym) Rp0,2
10.2.2.1. Wzór na wynik pomiaru (dla jednej próbki)
Umowna granica plastyczności:
R p0,2 = f (F0 ,2 , d 0 ) =
F0,2
=
S0
4F0,2
πd 02
(44)
gdzie: F0,2 – siła rozciągająca w próbie rozciągania wywołująca w próbce umowne wydłużenie trwałe wynoszące 0,2% długości pomiarowej odpowiadającej długości bazy ekstensometru;
S0 – pierwotny przekrój poprzeczny próbki;
d0 – średnia średnica początkowa próbki.
10.2.2.2. Równanie niepewności
Z uwagi na fakt, że wielkości wejściowe nie są skorelowane, niepewność
standardowa związana z wyznaczoną umowną granicą plastyczności opisana jest
wzorem:
u (R p0,2 ) =
∑ (c ⋅ u )
i
i
2
(45)
gdzie: ci – współczynniki wrażliwości, tzn. pochodne cząstkowe funkcji względem i-tego składnika;
ui – niepewności standardowe poszczególnych składników.
W tym przypadku cF0,2 =
4
πd 02
i cdo = -
8F0,2
πd 03
, stąd:
2
2
⎛ 4 ⎞ 2
⎛ 8F ⎞
⎟ u (F0,2 ) + ⎜ − 0,2 ⎟ u 2 (d 0 )
u (R p 0,2 ) = ⎜⎜
⎜ πd 3 ⎟
2 ⎟
⎝ πd 0 ⎠
⎝
0 ⎠
(46)
Wyznaczanie niepewności standardowych składowych
Niepewność pomiaru średnicy próbki u (d0 ) – punkt 10.2.1.2., wzory (39÷42).
Niepewność całkowita pomiaru siły F0,2:
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
72
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
u (F0,2 ) = uF2 (F0,2 ) + u 2 (∆F0,2 ) + u 2 (F0,2E )
gdzie poszczególne składowe wynikają z:
– niepewności pomiaru siły (patrz wzór (42)) uF (F0,2 ) =
(47)
0,01 ⋅ F0,2
3
– częstotliwości zapisu w pomiarze automatycznym u (∆F0,2 ) =
F0,2(1) − F0,2(2 )
2 3
gdzie: F0,2(1) – najbliższa większa wartość siły od wartości F0,2;
F0,2(2) – najbliższa mniejsza wartość siły od wartości F0,2;
– nachylenia prostej równoległej do prostoliniowej części krzywej rozciągaσ0,2E = E (ε − 0,002 )
lub
nia
opisanej
równaniem
o
postaci:
F0,2E =
∆F
(ε − 0,002)
∆ε
2
2
2
⎛ ∆F (ε − 0,002) ⎞
⎛ ∆F ⎞
⎛ ε − 0,002 ⎞
2
2
⎟
(
)
⋅ u 2 (ε )
u (F0,2E ) = ⎜
u
⋅
∆
ε
+
⎟
⎟ ⋅ u (∆F ) + ⎜⎜ −
⎜
⎟
∆ε
⎠
⎝ ∆ε ⎠
⎝
( ∆ε )2
⎝
⎠
u (∆F ) = u 2 (Fmax ) + u 2 (Fmin )
gdzie:
gdzie: u (Fmax ) =
0,01 ⋅ Fmax
3
i u (Fmin ) =
0,01 ⋅ Fmin
3
u (∆ε ) = u 2 (εmax ) + u 2 (εmin )
gdzie: u (εmax ) =
K ε ⋅ εmax
3
i u (εmin ) =
K ε ⋅ εmin
u (ε ) =
3
Kε ⋅ ε
3
gdzie: Kε – klasa dokładności ekstensometru.
10.2.2.3. Budżet niepewności
Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 7.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
73
Szacowanie niepewności pomiaru
Tabela 7
Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej umownej granicy plastyczności
Symbol
wielkości
Xi
Estymata
wielkości
xi
Niepewność
standardowa
u(xi)
Udział w złożonej niepewności
standardowej
u(xi)
4
F0,2
wzór (47)
d0
wzór
(39) lub (40)
Rp0,2
Współczynnik
wrażliwości
ci
2
πd 0
−
8F0,2
3
πd 0
4F0,2
ci · u(F0,2)
ci · u( d 0 )
wzór (46)
2
πd 0
10.2.2.4. Wyznaczenie niepewności rozszerzonej
Niepewność rozszerzoną względną przy współczynniku rozszerzenia k = 2
na poziomie ufności 1 – α = 0,95 wyznacza się ze wzoru:
U (Rp 0,2 ) =
2 ⋅ u (Rp 0,2 )
Rp 0,2
⋅ 100%
(48)
10.2.3. Szacowanie niepewności określenia wydłużenia
po rozerwaniu A
10.2.3.1. Wzór na wynik pomiaru (dla jednej próbki)
Dla pomiaru ekstensometrem wydłużenie po rozerwaniu:
A = f (εt, ε0,001) = εt - ε0,001
(49)
gdzie: εt – odkształcenie przy rozerwaniu próbki;
ε0,001 – odkształcenie przy granicy sprężystości Rs.
10.2.3.2. Równanie niepewności
Z uwagi na fakt, że pomiar jest bezpośredni i niepewność złożona u(A) jest
wypadkową dwóch składowych, niepewność standardową złożoną wyznacza się
ze wzoru:
u ( A ) = u 2 (εt ) + uc2 (ε0,001 )
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
(50)
74
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
Wyznaczanie niepewności standardowych składowych
Niepewność pomiaru odkształcenia εt określa się na podstawie klasy dokładności ekstensometru podłużnego Kε metodą B, przyporządkowując jej rozkład
prostokątny:
u (εt ) =
K ε ⋅ εt
3
(51)
Niepewność pomiaru odkształcenia ε0001:
uc (ε0,001 ) = u 2 (ε0,001 ) + u 2 (∆ε0,001 ) + u 2 (ε0,001FE )
(52)
gdzie poszczególne składowe wynikają z:
– klasy dokładności ekstensometru podłużnego u (ε0,001 ) =
K ε ⋅ ε0,001
3
– częstotliwości zapisu w pomiarze automatycznym
ε0,001(1) − ε0,001( 2 )
u (∆ε0,001 ) =
2 3
gdzie: ε0,001(1) – najbliższa większa wartość odkształcenia od wartości ε0,001;
ε0,001(2) – najbliższa mniejsza wartość odkształcenia od wartości ε0,001;
– z nachylenia prostej równoległej do prostoliniowej części krzywej rozciągania opisanej równaniem o postaci: σ0,001E = E (ε0,001 − 0,001) , stąd
ε0,001 =
4F0,001
πd02 ⋅ E
+ 0,001 , stąd:
2
2
2
⎛ 4F0,001 ⎞
⎞
⎛ 8F
⎛ 4 ⎞
⎟ ⋅ u 2 (E )
⎟⎟ ⋅ u 2 (F0,001 ) + ⎜⎜ − 0,001 ⎟⎟ ⋅ u 2 (d0 ) + ⎜⎜ −
u (ε0,001FE ) = ⎜⎜
2
2⎟
3
2
⎝ πd0 ⋅ E ⎠
⎝ πd0 E ⎠
⎝ πd0 ⋅ E ⎠
gdzie: u (F0,001 ) =
0,01⋅ F0,001
3
(patrz wzór 42);
u(d 0 ) – patrz wzór (39) i (40);
u (E ) – patrz wzór (56).
10.2.3.3. Budżet niepewności
Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 8.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
75
Szacowanie niepewności pomiaru
Tabela 8
Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej wydłużenia po rozerwaniu
Symbol
wielkości
Xi
Estymata
wielkości
xi
Niepewność
standardowa
u(xi)
Udział w złożonej
niepewności standardowej
u(xi)
εt
wzór (50)
ci · u(εt)
ε0,001
wzór (51)
ci · uc(ε0,001)
A
εt - ε0,001
wzór (49)
10.2.3.4. Wyznaczenie niepewności rozszerzonej
Niepewność rozszerzoną względną przy współczynniku rozszerzenia k = 2
na poziomie ufności 1 – α = 0,95 wyznacza się ze wzoru:
U (A) =
2 ⋅ u(A)
⋅ 100%
A
(53)
10.2.4. Szacowanie niepewności określenia modułu Younga E
10.2.4.1. Wzór na wynik pomiaru (dla jednej próbki)
Moduł Younga:
E = f (∆F, d0 , ∆ε) =
∆F
=
S 0 ⋅ ∆ε
4 ∆F
πd02 ⋅ ∆ε
(54)
gdzie: ∆F – różnica pomiędzy górnym Fmax i dolnym Fmin poziomem siły dla zakresu odkształcenia sprężystego;
S0 – pierwotny przekrój poprzeczny próbki;
d0 – średnia średnica początkowa próbki;
∆ε – różnica pomiędzy górnym εmax i dolnym εmin poziomem odkształcenia
dla zakresu odkształcenia sprężystego (pomiar ekstensometrem).
10.2.4.2. Równanie niepewności
Z uwagi na fakt, że wielkości wejściowe nie są skorelowane, niepewność
standardowa związana z wyznaczonym modułem Younga opisana jest wzorem:
u (E ) =
∑ (c ⋅ u )
i
i
2
(55)
gdzie: ci – współczynniki wrażliwości, tzn. pochodne cząstkowe funkcji pomiaru
względem i-tego składnika;
ui – niepewności standardowe poszczególnych składników.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
76
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
W tym przypadku c∆F =
4
πd02 ⋅ ∆ε
; cd = 0
8 ⋅ ∆F
πd03 ⋅ ∆ε
2
i c∆ε = −
2
4 ⋅ ∆F
πd02 ⋅ ∆ε2
, stąd:
2
⎛
⎞ 2
⎛ 8 ⋅ ∆F ⎞ 2
⎛ 4 ⋅ ∆F ⎞ 2
4
⎟
⎟ u ( ∆F ) + ⎜ −
⎟ u (d 0 ) + ⎜
u (E ) = ⎜⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ πd 2 ⋅ ∆ε 2 ⎟ u (∆ε ) (56)
2
3
⎝ πd 0 ⋅ ∆ε ⎠
⎝ πd 0 ⋅ ∆ε ⎠
⎝ 0
⎠
Wyznaczanie niepewności standardowych składowych
Niepewność pomiaru średnicy próbki u (d 0 ) – punkt 10.2.1.2, wzory (39÷42).
Niepewność pomiaru siły ∆F:
u (∆F ) = u 2 (Fmax ) + u 2 (Fmin )
(57)
gdzie: niepewność pomiaru górnego Fmax i dolnego Fmin poziomu siły (patrz wzór (42))
u (Fmax ) =
0,01 ⋅ Fmax
3
i u (Fmin ) =
0,01 ⋅ Fmin
3
Niepewność pomiaru górnego εmax i dolnego εmin poziomu odkształcenia
określona na podstawie klasy dokładności ekstensometru podłużnego Kt, metodą
B (rozkład prostokątny):
u (∆ε ) = u 2 (εmax ) + u 2 (εmin )
gdzie: u (εmax ) =
K ε ⋅ εmax
3
i u (ε min ) =
K ε ⋅ ε min
3
(58)
.
10.2.4.3. Budżet niepewności
Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 9.
Tabela 9
Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej modułu Younga
Symbol
wielkości
Xi
Estymata
wielkości
xi
Niepewność
standardowa
u(xi)
∆F
wzór (57)
d0
wzór (39)
lub (40)
Współczynnik
wrażliwości
ci
4
ci · u(∆F)
2
πd 0
−
Udział w złożonej niepewności
standardowej
u(xi)
8F0,2
3
πd 0
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
ci · u( d 0 )
77
Szacowanie niepewności pomiaru
∆ε
E
wzór (58)
−
4 ⋅ ∆F
2
πd 0 ⋅ ∆ε
2
4 ∆F
ci · u(∆ε)
wzór (56)
2
πd 0 ⋅ ∆ε
10.2.4.4. Wyznaczenie niepewności rozszerzonej
Niepewność rozszerzoną względną przy współczynniku rozszerzenia k = 2
na poziomie ufności 1 – α = 0,95 wyznacza się ze wzoru:
U (E ) =
11.
2 ⋅ u (E )
⋅ 100%
E
(59)
Podsumowanie
W oparciu o przedstawioną w niniejszej pracy metodykę wyznaczania błędów
i niepewności pomiaru dokonano analizy wyników sprawdzenia dla mikrometru
oraz wyników badań biegłości, w jakich uczestniczyło akredytowane laboratorium
badawcze ITWL.
Sprawdzono mikrometr analogowy 0÷25 mm nr 102-217-9157246 firmy
MITUTOYO. Przyrządem kontrolnym był komplet płytek wzorcowych nr 714390,
posiadających świadectwo wzorcowania nr: M11-419-578.3/2004.
Sprawdzenie przeprowadzono w temperaturze 20 ± 0,2°C, zgodnie z instrukcją nadzoru metrologicznego IW-31-11-L5, w pełnym zakresie pomiarowym
mikrometru, stosując płytki wzorcowe o wymiarach nominalnych Wn = 1; 1,05;
1,5; 2; 5; 8; 10; 15; 20; 25 mm. Wyniki sprawdzenia przedstawiono w tabeli 10.
Wynik sprawdzenia uznano za pozytywny, ponieważ błąd wskazania Ex wynoszący 2,8 µm nie przekroczył dopuszczalnego błędu granicznego dla przyrządów mikrometrycznych Eg = ±4 µm (PN-82/M-53200).
W 2005 r. Laboratorium Badań Wytrzymałościowych Materiałów (LBWM)
wzięło udział w badaniach biegłości – PT (test wytrzymałościowy stalowych prętów okrągłych w temperaturze pokojowej) zorganizowanych przez Institut für Eignungsprüfung (Niemcy). W badaniach wzięły udział laboratoria z 29 krajów, w tym
78 mających akredytację zgodnie z normą EN ISO/IEC 17025.
Uczestnicy podawali oszacowaną przez siebie niepewność pomiaru każdej
wielkości. Wyniki badań i oszacowaną, wg wyżej przedstawionych zależności,
niepewność przedstawiono w tabeli 11.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
78
Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ
Tabela 10
Wyniki sprawdzenia mikrometru, [mm]
Wartość odczytana/wyznaczona
Długość
płytki
wzorcowej
Wn
odczyt
I
L1
odczyt
II
L2
odczyt
III
L3
maksymalna
odchyłka od
wymiaru W
d
Błąd wskazania
Ex
niepewność
pomiaru
U(Ex)
d-U(Ex)
d+U(Ex)
1
1,000
1,000
1,001
0,001054
0,0009
1,9
0,1
1,05
1,051
1,050
1,051
0,000921
0,0009
1,8
0,0
1,5
1,500
1,500
1,500
0,000008
0,0009
0,9
-0,9
2
2,000
2,001
2,000
0,001060
0,0009
2,0
0,2
5
5,000
5,001
5,001
0,001048
0,0009
1,9
0,1
8
8,000
8,001
8,001
0,001006
0,0009
1,9
0,1
10
10,001
10,001
10,001
0,000948
0,0009
1,8
0,0
15
15,001
15,001
15,001
0,000920
0,0009
1,8
0,0
20
20,002
20,001
20,001
0,001911
0,0009
2,8
1,0
25
25,002
25,002
25,001
0,001798
0,0009
2,7
0,9
Tabela 11
Wyniki pomiarów uzyskanych przez LBWM w badaniach biegłości w 2005 r.
Numer próbki
Rp0,2
[MPa]
U(Rpo,2)
[%]
Rm
[MPa]
U(Rm)
[%]
A
[%]
U(A)
[%]
E
[MPa]
U(E)
[%]
1
719
±3,06
796
±1,24
13,9
±1,18
185 000 ±2,13
2
721
±3,01
795
±1,21
14,3
±1,17
186 400 ±2,13
3
718
±3,03
792
±1,28
13,5
±1,17
187 200 ±2,14
4
714
±3,01
784
±1,18
16,1
±1,17
185 300 ±2,11
5
704
±3,12
781
±1,24
14,8
±1,17
186 200 ±2,18
6
712
±3,01
792
±1,20
14,1
±1,18
188 700 ±2,11
Wartości średnie
(LBWM)
714,7
±3,04
790,0
±1,23
14,6
±1,17
186 500 ±2,13
Wartości podane przez
uczestników PT
(mediana)
712,4
±2,0
790,0
±1,3
16,2
±2,0
186 500 ±4,0
Wartości podane
przez organizatora
691,1
±2,3
786,2
±1,36
15,7
±1,2
nie
nie
podano podano
Na podstawie porównania danych zawartych w raporcie [12] przesłanym
przez Institut für Eignungsprüfung z danymi przedstawionymi w tabeli 11 można
stwierdzić ogólną zbieżność wyników. LBWM uzyskało wyniki spełniające wymagania badania biegłości i otrzymało certyfikat.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
Szacowanie niepewności pomiaru
79
Literatura
1. Analiza błędów i niepewności pomiarów, www.eti.pg.gda.pl/katedry/kose/dydaktyka
2. Arendarski J.: Niepewność pomiarów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej,
Warszawa 2003.
3. CWA 15261-2:2005 Measurement uncertainties in mechanical tests on metallic materials-Part 2: The evaluation of uncertainties in tensile testing.
4. Dokument EA-4/02: Wyrażanie niepewności pomiaru przy wzorcowaniu. 1999.
5. Międzynarodowy słownik podstawowych i ogólnych terminów metrologii. GUM. 1996.
6. Piotrowski J., Kostyrko K.: Wzorcowanie aparatury pomiarowej. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000.
7. PN-EN ISO 10012:2004 Systemy zarządzania pomiarami. Wymagania dotyczące procesów pomiarowych i wyposażenia pomiarowego.
8. PN-EN ISO 9000:2001 Systemy zarządzania jakością. Podstawy i terminologia.
9. PN-EN ISO/IEC 17025:2005 Ogólne wymagania dotyczące kompetencji laboratoriów
badawczych i wzorcujących.
10. Proficiency Test-Tensile Test Steel- Round bar at room temperature (TTSRR 2005) –
Final Raport. Institut für Eignungsprüfung. 2006.
11. Rozporządzenie Ministra Gospodarki, Pracy i Polityki Społecznej w sprawie w sprawie
wymagań metrologicznych, którym powinny odpowiadać maszyny wytrzymałościowe
do prób statycznych. 2004.
12. Wyrażanie niepewności pomiaru, Przewodnik GUM. 1999.
Unauthenticated
Download Date | 5/22/15 7:30 AM
View publication stats
