VIII Powiatowa Olimpiada Matematyczna Poziom

VIII Powiatowa Olimpiada Matematyczna
Poziom gimnazjalny
Czas trwania: 90 minut
27 luty 2012r.
W zadaniach testowych tylko jedna odpowiedź jest poprawna!
Zadanie 1 (1pkt) Liczba przeciwna do podwojonej odwrotności liczby a jest równa:
A. -2a
B.
C.
D.
Zadanie 2 (1pkt) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 6. Objętość tego
walca jest równa:
A.
B.
C.
D.
108π
54π
36π
27π
Zadanie 3 (1pkt) Średnia arytmetyczna liczb: √
,
(
) , x jest równa 3. Zatem x
wynosi:
A. 9
B.
C. 3
D. 8
Zadanie 4 (3pkt) Znajdź liczby p, q, r, tak aby poniższa równość była prawdziwa:
p+
=
Zadanie 5 (7pkt) Wykaż, że różnica czwartych potęg dwóch kolejnych liczb całkowitych
różniących się o 2 jest podzielna przez 8.
Zadanie 6 (5pkt) W trójkącie prostokątnym punkt styczności okręgu wpisanego dzieli jedną z
przyprostokątnych na odcinki długości 5cm i 7 cm. Znajdź długość drugiej przyprostokątnej i
przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Zadanie 7 (4pkt) Wykres funkcji
przecina osie układu współrzędnych w
punktach A i B. Znajdź współrzędne takiego punktu C należącego do osi OY, aby pole
trójkąta ABC wynosiło 30.
Zadanie 8 (4pkt)
Z każdego wierzchołka kwadratu o boku a zakreślono łuk okręgu przechodzącego przez
środek kwadratu. Jakie jest pole powstałej w ten sposób figury.
Zadanie 9 (4pkt) Czy liczba 123123 – 5757 jest podzielna przez 10? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 10 (4pkt) Mianownik pewnego ułamka jest o 3 większy od licznika. Jeśli licznik
zwiększymy o 10, a mianownik powiększymy o 1, to otrzymany ułamek będzie odwrotnością
poszukiwanego ułamka. Jaki to ułamek?
Rozwiązania:
1.
2.
3.
4.
D.
B.
D.
p = 2, q = 1, r = 4
przedstawienie ułamka
w postaci łańcuchowej (2pkt)
odczytanie i zapisanie odpowiedzi (1pkt)
5. zapisanie podanego wyrażenia algebraicznego (a + 2)4 – a4 (1pkt)
zastosowanie działań na potęgach i wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
(2pkt)
wymnożenie sum algebraicznych i uporządkowanie wyrażeń podobnych (2pkt)
wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias- liczby 8 i sformułowanie odpowiedzi
(2pkt)
6. wykonanie pomocniczego rysunku i wprowadzenie oznaczeń (1pkt)
zapisanie równania na podstawie Twierdzenia Pitagorasa (1pkt)
rozwiązanie równania (2pkt) i
podanie odpowiedzi 35- druga przyprostokątna, 37 – przeciwprostokątna (1pkt)
7. wyznaczenie punktów przecięcia z osiami układu współrzędnych (0; 6) (8;0) (1pkt)
zapisanie równania na podstawie pola trójkąta i obliczenie długości podstawy
trójkąta (1pkt)
podanie współrzędnych punktu C: (0; -1,5) (0; 13,5) (2pkt)
8. zapisanie pola kwadratu i promienia koła (1pkt)
obliczenie pola koła (1 pkt)
obliczenie różnicy pól (1 pkt)
obliczenie pola powierzchni zamalowanej figury (1pkt)
odp : a 2 (

 1)  2  a 2 (  2)
2
9. Wyznaczenie cyfry jedności liczby 123123 (1pkt)
Wyznaczenie cyfry jedności liczby 5757 (1 pkt)
Wyznaczenie cyfry jedności liczby 123123 – 5757 (1pkt)
Sformułowanie odpowiedzi: liczba mająca na pozycji jedności cyfrę 0 jest podzielna
przez 10 (1pkt)
10. Zapisanie równania (2pkt)
Rozwiązanie równania (1pkt)
Podanie odpowiedzi
(1pkt)