4. OBLICZANIE REZYSTANCYJNYCH PRZEWODÓW I

4. OBLICZANIE REZYSTANCYJNYCH PRZEWODÓW I ELEMENTÓW GRZEJNYCH
Wybór wymiarów i kształtu rezystancyjnych przewodów czy elementów grzejnych mających
wchodzić w skład urządzenia elektrotermicznego zależny jest, oprócz rodzaju materiału, od:
− technologii ich wytwarzania,
− trwałości,
− właściwości mechanicznych, elektrycznych i cieplnych,
− konstrukcji urządzenia elektrotermicznego,
− sposobu przenoszenia ciepła do środowiska otaczającego element.
Obliczanie parametrów przewodu grzejnego polega na określeniu napięcia, które można doń
przyłożyć, lub wymiarów geometrycznych przewodu przy znanym napięciu zasilającym. W
obydwu przypadkach temperatura przewodu nie może przekroczyć wartości dopuszczalnej w
danych warunkach pracy, a wydzielony w elemencie strumień cieplny (moc cieplna) musi być
równy części (przewody grzejne połączone szeregowo lub równolegle) lub całości (jeden z2d grzejny) żądanej mocy.
Temperatura, jaką osiąga przewód grzejny pracujący w urządzeniu elektrotermicznym, jest
zależna nie tylko od elektrycznej mocy czynnej dostarczonej do niego, lecz także od wartości
pola powierzchni przewodu, kształtu przewodu i jego wymiarów, materiału przewodu i
stanu jego powierzchni, rodzaju i wzajemnego usytuowania powierzchni otaczających
przewód oraz ich temperatur, temperatury i rodzaju ośrodka płynnego otaczającego z2d, czyli od warunków oddawania ciepła do otoczenia.
W związku z dużą ilością zmiennych wpływających na wartość temperatury przewodu grzejnego, a także ze względu na trudności rachunkowe w prawidłowym określeniu jego bilansu
cieplnego, w praktyce obliczeniowej wprowadza się znaczne uproszczenia.
Istnieją dwie zasadnicze metody obliczeniowe, pozwalające określić wartość napięcia z2lającego przewód czy element grzejny, bądź też częściej wymiary przewodu grzejnego
wykonanego z materiału o znanej rezystywności przy zadanej wartości napięcia zasilającego.
Są to: metoda temperatury zastępczej (metoda korektury temperatury) oraz metoda
dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego.
1
4.1. Obliczanie przewodów grzejnych metodą temperatury zastępczej
Metoda ta bywa także nazywana metodą korektury temperatury.
Wartość graniczna temperatury przewodu grzejnego jest zależna przede wszystkim od warunków oddawania ciepła z powierzchni zewnętrznej przewodu. Ponieważ w praktyce występuje
wiele różnych układów, w których rozmaite są warunki oddawania ciepła, zachodzi potrzeba
wprowadzenia układu porównawczego, w którym warunki oddawania ciepła są jednoznacznie
określone. Taki układ w elektrotermii nosi nazwę układu odniesienia.
W układzie odniesienia przewód grzejny o przekroju kołowym jest rozciągnięty poziomo w
spokojnym powietrzu o normalnym ciśnieniu atmosferycznym i temperaturze t ot = 20 oC. z2d zasilany jest prądem o stałym natężeniu, skutkiem czego w stanie cieplnie ustalonym osiąga
określoną temperaturę tp. Wymiana ciepła w warunkach odniesienia odbywa się przez konwekcję swobodną i radiację.
Zakłada się, że powierzchnia przewodu grzejnego ma temperaturę tp jednakową we
wszystkich punktach oraz, że nie odbywa się wymiana ciepła wzdłuż osi przewodu.
Strumień cieplny wytworzony w przewodzie grzejnym w stanie cieplnie ustalonym jest
całkowicie oddawany do otoczenia, co wyraża zależność, zwana prawem Newtona, określająca gęstość strumienia cieplnego
q = α ⋅ ( t p − t ot ) = α ⋅ ∆ t ,
(4.1)
gdzie: q – gęstość strumienia cieplnego,
α – współczynnik przejmowania ciepła, równy sumie współczynnika przejmowania
ciepła przez konwekcję
αk i współczynnika przejmowania ciepła przez
promieniowanie αr: α = αk + αr.
Współczynnik przejmowania ciepła przez promieniowanie αr można wyznaczyć z prawa
Stefana – Boltzmanna
ε ⋅ Co
αr=
∆t
  Tp  4
 −
 
  100 
 Tot 


 100 
4

,

(4.2)
gdzie: ε – emisyjność powierzchni przewodu grzejnego,
Co = 5,67 [W/(m2ּK4)] - stała promieniowania,
Tp, Tot [K] – temperatura bezwzględna odpowiednio przewodu i otoczenia.
2
Przewód grzejny badany w warunkach odniesienia powinien być uprzednio poddany
procesowi starzenia. Pozwala to uzyskać ustalone w czasie wartości emisyjności ε i rezystywności ρt materiału.
W przeciwieństwie do czystych metali, wykazujących selektywną emisyjność, utlenione
powierzchnie stopów grzejnych rezystancyjnych można rozpatrywać jako ciała szare, których
emisyjności są niższe niż ciała czarnego i niezależne od długości fali.
Do obliczenia współczynnika konwekcyjnego przejmowania ciepła αk służą równania kryterialne podawane w postaci
Nu = f(Gr, Pr) ,
(4.3)
gdzie: Nu, Gr, Pr – liczby kryterialne Nusselta, Grashofa, Prandtla. Równania o postaci (4.3)
wyznaczone są metodą analizy wymiarowej i sprawdzane eksperymentalnie [ ].
Liczbę Grashofa określa wyrażenie
g ⋅ β ⋅ d3 ⋅ ∆ t
Gr =
,
ν2
(4.4)
gdzie: g – przyspieszenie ziemskie,
β – współczynnik rozszerzalności cieplnej powietrza,
ν – współczynnik lepkości kinematycznej powietrza.
Liczba Prandtla określona jest zależnością
Pr =
ν
,
a
(4.5)
gdzie: a – dyfuzyjność cieplna materiału przewodu.
Po wyznaczeniu wartości liczby Nusselta z równania (4.3) można określić współczynnik konwekcyjnej wymiany ciepła z zależności
αk =
Nu ⋅ λ
,
d
(4.6)
gdzie: λ – przewodność cieplna otaczającego powietrza,
d – średnica przewodu.
W warunkach odniesienia, przy znanych właściwościach fizycznych powietrza (λ oraz ν), a
także materiału oporowego (ρt oraz ε), współczynnik konwekcyjnego przejmowania ciepła z2-
3
ży tylko od średnicy przewodu d oraz jego temperatury tp. Wobec tego, właściwości przewodu znajdującego się w układzie odniesienia są określone zależnością między trzema wielkościami: prądem I, średnicą d i temperaturą tp
f(d, I, tp) = 0 .
(4.7)
Zestawienia wartości liczbowych związanych równaniem (4.7) dokonuje się eksperymentalnie dla każdego materiału oporowego i podaje w postaci tabelarycznej lub na wykresach.
Funkcję (4.7) obrazuje rodzina krzywych określonych zależnością
d = f(I) dla tp = const.
Na rys. 4.1 pokazana jest przykładowa charakterystyka przewodu grzejnego.
W układzie odniesienia ciepło wytwarzane w przewodzie jest całkowicie oddawane do
otoczenia, więc dla drutu o przekroju kołowym
I2 ⋅ R = α ⋅ ∆ t ⋅ π ⋅ d ⋅ l ,
(4.8)
gdzie: l – długość przewodu.
Rys. 4.1. Charakterystyka d = f(I) przewodu grzejnego w układzie odniesienia
Temperatury przewodu grzejnego t1 < t2 < t3 < t4
4
Uwzględniając, że rezystancja przewodu
R = ρt
l
4⋅ l
= ρt
,
s
π ⋅ d2
(4.9)
gdzie: s – przekrój poprzeczny przewodu grzejnego,
ρt – rezystywność przewodu w temperaturze pracy,
prąd I płynący przez przewód można opisać wzorem
I=
π d3 ⋅ α ⋅ ∆ t
,
2
ρt
(4.10)
różnicę temperatur Δt = tp - tot zależnością
∆t =
4 ⋅ ρ t ⋅ I2
,
π 2 ⋅ α ⋅ d3
(4.11)
4 ⋅ ρ t ⋅ I2
.
π2⋅α ⋅∆t
(4.12)
a średnicę przewodu
d=
3
Poszukiwana jest zwykle wartość średnicy przewodu d, a więc największe znaczenie praktyczne ma zależność (4.12).
W układach roboczych warunki odpływu ciepła z przewodu grzejnego do otoczenia są inne
niż w układzie odniesienia. Przewód o średnicy d, zasilany prądem I, osiąga temperaturę t r
inną niż temperatura tp w warunkach odniesienia.
Obliczenie współczynnika α w warunkach roboczych jest zbyt uciążliwe, co zmusza do
stosowania innych metod obliczania przewodu. Jedną z nich jest korygowanie zależności
(4.7). W praktyce najbardziej odpowiednia jest korekcja temperatury.
Jeżeli w warunkach odniesienia przewód grzejny o średnicy d pod wpływem prądu I z2zewał się do temperatury tp, wówczas w warunkach roboczych przewód ten przy tym samym
prądzie nagrzeje się do temperatury tr. Iloraz
5
kt =
nosi
nazwę
współczynnika
tp
(4.13)
tr
korektury
temperatury
(współczynnika
temperatury
zastępczej).
Na podstawie zależności (4.13) temperatura przewodu w układzie odniesienia jest równa
tp = kt ⋅ tr .
(4.13a)
Szukaną średnicę przewodu grzejnego d wyznacza się z charakterystyk przewodu w układzie
odniesienia przy danej wartości prądu I i temperaturze tp obliczonej z zależności (8.13a).
Wartości współczynnika korekcji temperatury kt dla typowych układów elektrotermicznych
zawiera tablica 4.1.
Obliczanie przewodów grzejnych metodą temperatury zastępczej jest proste, lecz mało
dokładne. Przy obliczeniach dokładniejszych warunki robocze i wartości współczynników
korektury temperatury musiałyby być określone precyzyjniej. Możliwość dokonania nietrafnego wyboru wartości kt jest tym większa, im lepsza jest izolacja cieplna.
Z tego powodu metoda temperatury zastępczej ma zastosowanie do obliczeń wstępnych.
6
Tablica 4.1. Wartości współczynnika korektury temperatury dla różnych układów
roboczych
Lp.
Układ
kt
1. Przewód grzejny nie izolowany, umieszczony w strumieniu z2-
>1
ywającego powietrza
2. Przewód grzejny wyprostowany, zawieszony poziomo w z2-
1
jnym powietrzu o temperaturze tot = 20 oC
3. Skrętka grzejna wsparta lub zawieszona na kształtkach przy 0,9 … 0,8
dużych odstępach zwojów skrętki i dużych odległościach od
ścian komory pieca
4. Skrętka grzejna wsparta lub zawieszona na kształtkach przy z2- 0,7 … 0,6
elkich odstępach zwojów skrętki i małych odległościach od
ścian komory pieca
5. Przewód grzejny umieszczony w żłobkach o dużej szczelinie, 0,6 … 0,5
np. w ścianach bocznych pieca komorowego o dobrej izolacji
cieplnej
6. Przewód
grzejny
umieszczony
między
warstwami
0,5
elektroizolacyjnymi w przyrządach grzejnych
7. Przewód grzejny umieszczony w żłobkach o małej szczelinie, 0,5 … 0,4
np. w stropie pieca komorowego o dobrej izolacji cieplnej
8. Przewód grzejny osłonięty warstwą termoizolacyjną o średniej 0,4 … 0,3
grubości w piecu komorowym o dobrej izolacji cieplnej
9. Przewód grzejny pokryty grubą warstwą izolacji cieplnej, np. 0,3 … 0,2
zaprawą szamotową w piecach muflowych
7