Rozdział 16 MODELOWE POTENCJAŁY EFEKTYWNE

Janusz Adamowski
1
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
Rozdział 16
MODELOWE POTENCJAŁY
EFEKTYWNE
16.1
Wstęp
Dla układów wielu cząstek stosujemy przybliżony (modelowy) opis oddziaływań oparty na użyciu efektywnych oddziaływań par cząstek lub trójek
cząstek.
Mając efektywny potencjał elektrostatyczny Φ jako funkcję położenia
cząstki o ładunku q, efektywną energię potencjalną cząstki wyznaczamy
U = qΦ
(16.1)
(i) W mechanice klasycznej – równanie ruchu dla cząstki o masie m sformułowane, np. w postaci 2. zasady dynamiki Newtona, czyli
F = ma
F = −∇U
(ii) W mechanice kwantowej – jednocząstkowe równanie Schrödingera
ih̄
∂Ψ
= (T + U )Ψ
dt
2
Rozdział 16. Modelowe potencjały efektywne
16.2
Ogólna postać potencjału dla układu N
cząstek
Dla układu N identycznych cząstek jego potencjał można przedstawić
jako funkcję wektorów położeń cząstek r1 , . . . , rN w postaci:
Φ(r1 , . . . , rN ) =
N
X
i=1
ϕ1 (ri ) +
N
X
ϕ2 (ri , rj ) +
i,j=1
i<j
N
X
ϕ3 (ri , rj , rk ) + . . . , (16.2)
i,j,k=1
i<j<k
gdzie
ϕ1 (ri ) – potencjał jednocząstkowy (potencjał pojedynczej cząstki w polu zewnętrznym)
ϕ2 (ri , rj ) – potencjał dwucząstkowym
ϕ3 (ri , rj , rk ) – potencjał trójcząstkowym
Na ogół w szeregu (16.2) można się ograniczyć do uwzględnienia 2–3
pierwszych sum.
16.3
Potencjał Yukawy
W fizyce jądrowej potencjał ten jest używany do opisu oddziaływania
jądrowego (nukleon-nukleon), a w fizyce ciała stałego (nazywany potencjałem
Debye’a - Hűckela), do opisu pola jonu domieszki ekranowanego przez gaz
elektronowy.
Dla pola niezależnego od czasu mamy do rozwiązania równanie
∇2 ϕ − C 2 ϕ = 0
(16.3)
gdzie C jest skalarem (C > 0).
Szukamy sferycznie symetrycznych rozwiązań równania (16.3) (ϕ = ϕ(r))
1 d2
(rϕ)
(16.4)
r dr2
Otrzymujemy rozwiązanie (zgodne z warunkiem znikania pola przy r → ∞),
nazywane potencjałem Yukawy.
∇2 ϕ =
ϕ(r) = A
e−Cr
.
r
(16.5)
gdzie
A – stała sprzężenia (parametrem sprzężenia) (A < 0 dla sił przyciągających,
a A > 0 dla sił odpychających)
C – parametr ekranowania – wyznacza zasięg D sił jądrowych jako D = C −1 ,
przy czym D ≃ 10−15 m = 1 fm.
Janusz Adamowski
16.4
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
3
Potencjał efektywny atomu wodoru
Dla atomu wodoru znajdującego się w stanie podstawowym, gęstość ładunku ujemnego elektronu w stanie 1s) dana jest wzorem
̺− = −e|ψ1s |2 = −
e −2r/a
e
,
πa3
(16.6)
gdzie a = h̄2 /κme e2 jest promieniem Bohra atomu wodoru.
Gęstość ładunku dodatniego wynosi
̺+ = eδ(r) ,
(16.7)
przy czym ładunek elementarny e > 0.
Ładunki te wytwarzają efektywny potencjał, z jakim atom neutralny wodoru działa na inne ładunki. Ma on postać
ϕ(r) =
16.5
κe r
+ 1 e−2r/a .
r a
(16.8)
Potencjał van der Waalsa
Rozważamy dwa atomy w odległościach r, o ładunkach równych zero,
mogące posiadać jedynie chwilowe elektryczne momenty dipolowe.
Rys. 16.1. Pole elektryczne E1 (r) wytworzone przez chwilowy dipol elektryczny p1 atomu 1 indukuje dipol elektryczny p2 na atomie 2, co prowadzi
do przyciągającego oddziaływania dipol-dipol.
4
Rozdział 16. Modelowe potencjały efektywne
Pole elektryczne dipola 1 indukuje elektryczny moment dipolowy atomu
2, który jest proporcjonalny do pola indukującego E1 , czyli
(16.9)
p2 = αε0 E1 ,
gdzie α jest polaryzowalnością atomu o wymiarze [α] = m3 .
Energia potencjalna oddziaływania dwóch dipoli elektrycznych jest równa
U12 (r) = −p2 · E1 = −
A
.
r6
(16.10)
gdzie stała A > 0. Potencjał van der Waalsa wprowadzamy zgodnie z (16.10)
jako
ϕ(r) = −
a
,
r6
(16.11)
gdzie a = A/|q|, gdzie q jest ładunkiem.
16.6
Potencjał Lennarda-Jonesa
Stosowany jako składowa przyciągająca dla modelu oddziaływania atomatom, a po dodaniu potencjału odpychającego do modelu wiązania dwóch
atomów w molekułe lub dwóch mniejszych molekuł w większą cząsteczkę.
Potencjał Lennarda-Jonesa definiujemy jako
ϕ(r) = 4D
" 12
σ
r
−
6 #
σ
r
Wymiary: [σ] = m, [D] = [energia/ładunek] = [potencjał].
(16.12)
Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
5
Rys. 16.2. Potencjał Lennarda-Jonesa.
Własności potencjału:
(1) dla r → 0 : ϕ → ∞,
(2) dla r → ∞ : ϕ → 0,
(3) dla r = σ : ϕ = 0,
(4) dla r = rmin = 21/6 σ ≃ 1.12σ potencjał przyjmuje minimum o wartości
ϕmin = ϕ(rmin ) = −D.
Energia potencjalna oddziaływania dwóch atomów
U (r) = 4ε
" 12
σ
r
−
6 #
σ
r
,
(16.13)
gdzie ε = qD. Po wprowadzeniu tzw. jednostek naturalnych (opartych na
jednostkach masy m, odległości σ i energii ε), mamy
ε = mσ 2 /τ 2 .
Stąd otrzymujemy jednostkę czasu τ , używaną z symulacjach metodami dynamiki molekularnej.
6
Rozdział 16. Modelowe potencjały efektywne
16.7
Superpozycja potencjałów Coulomba i Yukawy
Potencjał ten jest bardziej wolnozmienną funkcją r niż potencjału LennardaJonesa, a jednocześnie posiada podobne własności jakościowe. W jawnej
postaci:
A B
(16.14)
ϕ(r) = + e−Cr ,
r
r
gdzie
A – parametr sprzężenia pola kulombowskiego (A > 0)
B – parametr sprzężenia pola Yukawy
C – parametr ekranowania (D = 1/C).
Rys. 16.3. Superpozycja potencjałów Coulomba i Yukawy.
Własności potencjału dla B > |A|:
(1) dla r −→ 0 : ϕ(r) ; (B − A)/r −→ ∞,
(2) dla r −→ ∞ : ϕ(r) ; −A/r −→ 0 ,
(3) ϕ(r) = 0 dla r0 = D ln(B/A),
(4) potencjał przyjmuje minimum dla r = rm > r0 .
Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
7
Wynika stąd, że dla B > |A| potencjał ten posiada charakter efektywnego
potencjału wiążącego z odpychającym rdzeniem.
16.8
Potencjał Morse’a
Jest to modelowy potencjał wiążący o postaci
h
ϕ(r) = D 1 − e−α(r−r0 )
przy czym D > 0, α > 0 i r0 > 0.
i2
(16.15)
,
Rys. 16.4. Potencjał Morse’a.
Potencjał ten określony względem poziomu odniesienia ϕ = D.
h
i
e
ϕ(r)
= ϕ − D = D e2α(r−r0 ) − 2e−α(r−r0 ) .
(16.16)
y = e−α(r−r0 )
(16.17)
η =y−1
(16.18)
e
ϕ(η)
= D(η 2 − 1) ,
(16.19)
Po wprowadzeniu kolejno zmiennych
oraz
otrzymujemy
8
Rozdział 16. Modelowe potencjały efektywne
czyli potencjał jednowymiarowego oscylatora harmonicznego, dla którego
równanie Schrödingera jest rozwiązywalne analitycznie. Jest to jeden z powodów używania potencjału Morse’a.
16.9
Potencjał Stillingera-Webera
Jest to modelowy potencjał empiryczny do opisu kierunkowych wiązań
walencyjnych. Zawiera składowe dwucząstkową ϕ2 i trójcząstkową ϕ3
ϕ2 (rij ) = ϕ2 (|ri − rj |) = εf2 (rij /σ)
(16.20)
ϕ3 (ri , rj , rk ) = εf3 (ri /σ, rj /σ, rk /σ) ,
(16.21)
gdzie σ jest jednostką długości, a ε ma wymiar [energia/ładunek].
W części dwucząstkowej
f2 (r) =
(
A(Br−p − r−q )e(r−a)
0
−1
dla r < a
dla r ≥ a
(16.22)
przy czym parametry A, b, p, q, a > 0. Parametr a jest parametrem obcięcia
potencjału.
W części trójcząstkowej
f3 (ri , rj , rk ) = h(rij , rik , θjik ) + h(rji , rjk , θijk ) + h(rki , rkj , θikj ) ,
(16.23)
gdzie
rij = |ri − rj |
θjik = 6 (rij , rik ) (jest to kąt o wierzchołku w punkcie i)


h
λ eγ(rij −a)
h(rij , rik , θjik ) = 
0
−1
+ eγ(rik −a)
−1
i
cos θjik +
1
3
2
dla rij , rik < a
(16.24)
dla innych rij , rik