Kwadraty magiczne cz.1

SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1
W LUBARTOWIE
NOWOCZESNE METODY I TECHNIKI KSZTAŁCENIA W SP1
MATEMATYKA
Kwadraty magiczne cz.1
Kwadrat magiczny o 3 wierszach i 3 kolumnach to kwadrat (tablica) podzielony na 9 takich
samych kwadracików, w które wpisano po jednej liczbie w taki sposób, że suma liczb w
każdym wierszu i w każdej kolumnie oraz na dwóch najdłuższych przekątnych jest taka sama.
Kwadraty magiczne znane są ludzkości od niemal 5000 lat. Oto przykład takiego kwadratu.
8 1 6 Ten kwadrat jest szczególny, gdyż rozmieszczono w nim kolejne liczby
3 5 7 naturalne od 1 do 9. Nie jest to jedyny taki kwadrat magiczny. Kolejnym
4 9 2 takim kwadratem może być następujący kwadrat. Spróbujcie samodzielnie
zbudować trzeci taki kwadrat magiczny składający się z licz naturalnych od 1 do 9.
6 1 8 Ciekawe czy Wam się uda. Trzeba jednak trochę pokombinować co zawsze
7 5 3 warto i do czego gorąco zachęcam zanim przeczytacie dalszą część lekcji.
2 9 4 Jak pokombinowaliście  , to zabierzmy się teraz do tego sposobem.
Zauważmy, że:
•
•
•
•
1
sumy liczb stojących w
3
poszczególnych wierszach, kolumnach i na przekątnych.
Liczba 5 jest średnią arytmetyczną liczb stojących na skrajnych pozycjach od niej np.
(8 + 2) : 2 = 5 , (4 + 6) : 2 = 5 i jeszcze na dwóch pozostałych.
Każda z liczb stojących w polu narożnym jest średnią arytmetyczną liczb stojących na
krótszej przekątnej nie sąsiadującej z tym polem, np. 4 = (7 + 1) : 2 i dla pozostałych
liczb narożnych jest tak samo.
Sumy liczb podniesionych do kwadratu w pierwszym i trzecim wierszu są równe oraz
sumy liczb podniesionych do kwadratu w pierwszej i trzeciej kolumnie także są
równe. Zobaczmy, że tak jest:
Liczba 5 stojąca w środkowym polu kwadratu stanowi
82 + 12 + 62 = 42 + 92 + 22 = 101
8 2+ 32 + 42 = 62 + 72 + 22 = 89
Jest wiele jeszcze ciekawych własności kwadratów magicznych, ale o nich może podczas
następnej lekcji. Powyższe własności pozwolą Wam samodzielnie tworzyć kwadraty
magiczne co jest bardzo frapującym i ciekawym zajęciem. A kiedyś może powiemy sobie
o kwadratach 4 x 4 co też jest sporym wyzwaniem.
Przykład:
Poniższą tablicę uzupełnij do kwadratu magicznego
8
16
-3
SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1
W LUBARTOWIE
NOWOCZESNE METODY I TECHNIKI KSZTAŁCENIA W SP1
MATEMATYKA
Suma w kolumnie wynosi: 8 + 16 + (-3) = 21, musi więc wynosić tyle samo w pozostałych
kolumnach, wierszach i po przekątnych a środkową liczbą musi być 21 : 3 = 7. Pozostałe
liczby oznaczę literami dla przejrzystości i tablica teraz wygląda tak:
a
b
8
d
7 16
g
h -3
Obliczenia wyglądają tak: (kto wprawny to może w pamięci)
a = 21 – (7 + (- 3)) = 17
b = 21 – (17 + 8) = - 4
d = 21 – (7 + 16) = - 2
g = 21 – (7 + 8) = 6
h = 21 – (6 + (- 3)) = 18
Ostatecznie otrzymujemy kwadrat magiczny:
17 -4
-2
8
7 16
6 18 -3
Praca domowa:
Poniższe tablice uzupełnij do kwadratu magicznego:
-1
4
9
12 -8
5
4
8
-6
Nie jest trudno pojąć o co tu chodzi, wystarczy trochę cierpliwości no i przypomnienia o
działaniach na liczbach całkowitych. W części drugiej lekcji o kwadratach magicznych
zmienimy trochę układ liczb – ale to w cz.2. Kto nauczy się budować kwadraty magiczne z
cz.1. i cz.2. i zgłosi chęć zbudowania ich przed lekcją i zbuduje poprawnie to szóstka .
Miłej zabawy i pozdrawiam.
Marek Okrasiński