Document

Zadania przygotowawcze do Konkursu matematycznego dla uczniów gimnazjów
województwa małopolskiego w roku szkolnym 2006/2007
1. Na imieniny od koleżanek, Magda dostała bukieciki kwiatów: goździki, róże, stokrotki,
tulipany, groszki. Jakie kwiaty wręczyła Magdzie każda z koleżanek, jeśli wiadomo, że:





Janka nie przyniosła róż, groszków ani stokrotek
Wanda nie dała tulipanów ani róż
Ewa nie kupiła stokrotek ani tulipanów
Maria przyniosła goździki
Natalia nie wręczyła groszków ani stokrotek.
2. Na kolonie przyjechało 100 dzieci. 90 z nich zapomniało wziąć z domu kalosze, 85 nie
wzięło latarki, 75 przyjechało bez żadnego długopisu, a 60 zostawiło w domu legitymację
szkolną. Ile co najmniej dzieci nie miało ani kaloszy, ani latarki, ani długopisu, ani
legitymacji?
3. Weź dowolną liczbę, np. 80. Pomnóż ją przez siebie: 80 80 = 6400.
Do 80 dodaj i odejmij 1. Pomnóż obie liczby: 79 81 = 6399.
Otrzymaliśmy liczbę o 1 mniejszą od 6400.
Do 80 dodaj i odejmij 2. Pomnóż te liczby: 78 82 = 6396.
Wynik jest o 3 mniejszy od ostatniej odpowiedzi.
Sprawdzaj dalej. Jaka tu jest regularność? Przedstaw ją. Sprawdź dla innych liczb.
4. Wybierz trzy różne liczby naturalne, np. 7, 11, 124.
Utwórz wszystkie dodatnie różnice tych liczb: 11 - 7, 124 - 7, 124 - 11,
a następnie ich iloczyn: (124 - 11) × (124 - 7) × (11 - 7).
Zauważ, że ten iloczyn jest podzielny przez 2.
Jeśli dorzucisz jeszcze jedną liczbę, np. 47, to tym razem, iloczyn wszystkich różnic:
(124 - 47) × (124 - 11) × (124 - 7) × (47 - 11) × (47 - 7) × ( 11 - 7)
będzie podzielny przez 3.
Jak myślisz, jest to reguła, czy przypadek? Wybierz inne, najpierw trzy, a potem cztery
liczby. Czy nadal tak jest? Jeśli sądzisz, że to reguła, spróbuj ją najpierw sformułować a
następnie udowodnić.
Ile co najmniej trzeba wziąć liczb, aby iloczyn wszystkich ich różnic dzielił się przez 5?
5. Spróbuj obliczyć, ile trójkątów jest na każdym z rysunków:
1
6. Czy potrafisz podać najmniejszą liczbę pięciopolowych figur (o takim samym kształcie)
jak umieszczone na rysunku, niezbędnych do zbudowania prostokąta? Narysowany
prostokąt nie musi zapełnić całej ramki.
7. Zastanów się, jakie działania zastosowano przy pisaniu liczb w kratkach, a następnie
uzupełnij odpowiednimi liczbami puste kratki.
8. Co jest większe, trzecia część z 357, czy trzecia część z 929. Odpowiedź uzasadnij.
9. Zbadaj, która liczba jest większa:
10. Na dwóch prostopadłych odcinkach zaznaczono punkty, jak na
rysunku Ile różnych trójkątów można uzyskać łącząc punkty A, B, C,
D z punktami E lub F? Przypuśćmy, że na poziomej linii znajduje się
5 punktów -- ile teraz trójkątów można uzyskać? A ile będzie
trójkątów, gdy do punktów E, F dodamy jeszcze punkt G? Rozważ
ten problem dodając punkty na obu osiach. Czy widzisz jakieś
regularności?
11. Z wieży kontrolnej lotniska o wysokości 25 m widać samolot, stojący na pasie startowym
pod kątem depresji 10°. Oblicz odległość samolotu od wieży.
12. Kąty a, b, c, d, e pięcioramiennej gwiazdy są znane. Korzystając z rysunku, oblicz miary
kątów α, α1, β, β1, w zależności od miar znanych kątów.
2
13. Kąt 260° podziel na trzy części tak, aby każdy następny kąt był trzy razy większy od
poprzedniego.
14. Oblicz pole figury, wiedząc, że a = 5 cm.
15. Kolorowe figury są kwadratami. Powierzchnia kwadratu
żółtego wynosi 4 m2. Jakie są pola pozostałych kwadratów?
W jakiej skali wykonano rysunek, jeśli bok niebieskiego
kwadratu wynosi 7,5 cm?
4 m2
16. Każde z poniższych zadań zapisz w postaci równania, a następnie znajdź jego
rozwiązania.
a. „Ta reszta jabłek, która została waży 50 kg podzielone przez połowę ich wagi” –
zastanawiał się kupiec – „To właściwie, ile kilogramów jabłek mi zostało?”
b. Znajdź taką liczbę, której ośmiokrotność dodana do jej kwadratu jest równa 48.
c. Pole kwadratu wynosi 32,49 dm2. Oblicz obwód tego kwadratu.
17. Pewien Eskimos przed ośmiodniową podróżą psim zaprzęgiem zastanawia się, ile psów
powinien zabrać. Obliczenia nie są łatwe. On sam waży 80 kg, jego rzeczy i jedzenie 70
kg. Każdy pies może uciągnąć 25 kg. Trzeba zabrać także jedzenie dla psów -- dzienna
porcja dla jednego psa waży 1 kg. A zatem ile psów powinien zabrać Eskimos?
18. W afrykańskim buszu żyje 13 małp, które codziennie jedzą po 13 bananów, a po ich
zjedzeniu mogą przebyć 13 m. Pewnego dnia małpom zagroziło niebezpieczeństwo i
muszą uciekać z buszu. Oblicz, ile bananów będzie potrzebne małpom do przebycia
1,3 km buszu.
19. Za gry komputerowe "Quake 2" i "Descent: Freespace" zapłacono 290 zł. Gdyby
"Descent: Freespace" był o 10% tańszy a "Quake 2" o 10% droższy, to ich ceny byłyby
równe. Ile kosztowała każda z nich?
20. Podstawową jednostką pamięci jest bajt. 1000 bajtów to kilobajt (kB), 1000 kilobajtów to
megabajt (MB), 1000 magabajtów to gigabajt (GB). Jaką częścią megabajta jest
1800 bajtów, a jaką częścią gigabajta jest 1800 kilobajtów?
21. Dwie liczby różnią się o 3, a różnica ich kwadratów jest o 1 mniejsza od czterokrotności
większej liczby. Jakie to liczby?
22. Określ wagę ryby wiedząc, że ogon jej ważył 1 kg, głowa ważyła tyle, ile ważył ogon i
pół tułowia, a tułów ważył tyle, ile głowa i ogon razem.
3
23. W sali ustawiono krzesła i trzyosobowe ławki do siedzenia. Razem tych sprzętów było
268. Do sali weszło 460 osób. Po zajęciu miejsc okazało się, że stosunek liczby osób
stojących do liczby osób siedzących był równy 1 : 4. Ile było krzeseł, a ile ławek w tej
sali?
24. W liczbie dwucyfrowej cyfra jedności jest równa 2. Jaka to może być liczba, jeśli po
przestawieniu jej cyfr otrzymamy liczbę większą od 27?
25. Pan Kowalski postanowił obsiać 1/3 swojej posesji dwoma gatunkami traw: na tereny
zacienione i nasłonecznione. Nasiona traw pakowane są w paczki po 1 kg, 2 kg, i 5 kg. Ile
kilogramów i w jakich opakowaniach nasion każdego gatunku musi kupić pan Kowalski,
aby zapłacić najtaniej? Posesja ma 0,3ha, a powierzchnia terenów zacienionych to 20%
terenów słonecznych. Na 1 m2 potrzeba 0,04 kg nasion.
Ceny nasion traw:
na tereny zacienione:
opakowanie 1kg kosztuje 60 zł
opakowanie 2 kg kosztuje 95 zł
opakowanie 5 kg kosztuje 150 zł
na tereny słoneczne:
opakowanie 1 kg kosztuje 45 zł
opakowanie 2 kg kosztuje 85 zł
opakowanie 5 kg kosztuje 222 zł.
26. Dwie drużyna A i B ścigają się, jednak każda z nich startuje z innego punktu i w innym
miejscu zmienia zawodnika. Wiedząc, że:
 meta jest w punkcie (4,4),
 zawodnicy poruszają się z taką samą prędkością,
 drużyna A startuje z punktu (-2,-1) i zmienia zawodników w punktach (-3,2) i (-1,8),
 drużyna B startuje z punktu (-2,3) i zmienia zawodników w punktach (1,2) i (3,-4).
Odpowiedz, która drużyna zamelduje się na mecie pierwsza. Pamiętaj! Narysuj układ
współrzędnych i punkty połącz liniami.
27. Zabłądziłeś w labiryncie. Aby znaleźć z niego wyjście musisz odszukać rozwiązanie
literowej przeplatanki. Jeśli rozwiążesz równanie, to otrzymasz podpowiedź. Pierwiastek
równania oznacza ilość liter, które należy za każdym razem przeskakiwać:
(2x - 3)2 - (x + 1)(x - 1) + x = (3x - 1)2 + (1 - 2x)(2x + 1) - 9.
AHJUMZŁKCWPŁKDLAUMCDPO
MROZAÓMPIWPIKNWZMANASŃ
4
28. Wykonaj obliczenia. Otrzymane wyniki odszukaj w tabelce i przyporządkuj im
odpowiednie litery. Odczytaj hasło.
29. Podaj przykład takich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez trzy, a ich cyfra jedności
jest równa a.
5
30. Suma trzech liczb jest rozwiązaniem równania:
Znajdź te liczby wiedząc, że druga z nich jest dwa razy większa od pierwszej, a trzecia jest o
2 mniejsza od pierwszej.
31. Wiedząc, że a jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność:
rozwiąż równanie:
Dla jakich x wartości liczbowe wyrażeń:
oraz
a. są równe
b. wartość pierwszego wyrażenia jest mniejsza od wartości drugiego
c. połowa wartości pierwszego wyrażenia jest większa od wartości drugiego wyrażenia
zmniejszonego o 12x2 .
32. Suma dwóch liczb x i y jest równa
Oblicz wartość wyrażenia
, zaś ich różnica wynosi
.
33. Dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem układu równań:
a. jest para liczb dodatnich
b. jest para liczb ujemnych
34. Opisz za pomocą wzoru następujące przyporządkowanie:
a. Każdej liczbie przyporządkowujemy jej kwadrat pomniejszony o 2.
b. Każdej liczbie przyporządkowujemy podwojony kwadrat tej liczby powiększony o
trzykrotność tej liczby.
c. Każdej liczbie przyporządkowujemy kwadrat różnicy tej liczby i liczby 3.
d. Każdej liczbie przyporządkowujemy jej odwrotność.
35. Sprawdź, które z punktów: (-1; 2), (0; 4), (4; 0), (2; 8), (-1; 5) należą do wykresu funkcji
y = x2 + 4.
6
36. Masz przed sobą prawidłowo wykonane wykresy funkcji kwadratowych – brakuje jedynie
osi układu współrzędnych. Gdzie powinien być początek układu współrzędnych?
37. Opisz za pomocą nierówności zaznaczone zbiory punktów.
38. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami: y = 3, y = x + 4 oraz osiami układu
współrzędnych. Co to za figura?
W zestawie wykorzystano zadania z materiałów
zamieszczonych w serwisach internetowych WSiP-u: Klub
MMM, Klub Matematyka 2001, Obudowa internetowa
podręczników Matematyka wokół nas i Matematyka 2001,
www.wsipnet.pl
7