Zadania przygotowawcze do III Regionalnego Konkursu

Zadania przygotowawcze do VII Regionalnego Konkursu Matematycznego
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych – maj 2011
Zestaw I
n3  n2  2
Zad. 1 Dla jakich całkowitych liczb n, liczba postaci
również należy do zbioru liczb
n 1
całkowitych?
Zad. 2 Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba
n n2 n3
a)  
jest całkowita,
3 2 6
n 4 n 3 11 n 2 n
b)
 
 jest całkowita.
24 4
24 4
Zad. 3 Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba postaci n 5  n jest podzielna przez 30.
Zad. 4 Wykaż, że liczba postaci a  2918  3  2914  4 jest podzielna przez 200.
Zad. 5 Wykaż, że jeżeli m  C, to m 6  2m 4  m 2 jest podzielne przez 36.
Zad. 6 Uzasadnij, że liczba 786  236 jest podzielna przez 5555.
Zad. 7 Uzasadnij, że liczby 273 i 522 nie są względnie pierwsze.
Zad. 8 Dwie liczby całkowite różnią się o 2. Wykaż, że różnica czwartych potęg tych liczb jest podzielna
przez 8.
a
2
b
Zad. 9 Wiedząc, że
.
 oblicz
ab 3
ba
Zad. 10 Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:
a) xy  x  y
b) 3x  xy  4 y  45
c) x 2  y 2 1
d) xy – 2y + x – 5 =0
Zad. 11 Iloczyn dwóch liczb naturalnych, których największy wspólny dzielnik wynosi 8, jest równy
3200. Znajdź te liczby.
Zad. 12 Uzasadnij, że dowolne liczby całkowite a i b przy dzieleniu przez 5 dają reszty odpowiednio 2
lub 3, to reszta z dzielenia podwojonej sumy kwadratów tych liczb przez 10 wynosi 6.
Zad. 13 Znajdź wszystkie liczby naturalne większe od 800 i mniejsze od 1000, z których każda ma
następujące własności: jeśli odejmiemy od niej 56, to otrzymamy liczbę podzielną przez 28, jeśli
odejmiemy od niej 36, to otrzymamy liczbę podzielną przez 12, a jeśli dodamy 42, to otrzymana liczba
będzie podzielna przez 21.
Zad. 14 Wyznacz resztę, jaką daje przy dzieleniu przez 9 różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb
naturalnych niepodzielnych przez 3.
Zad. 15 Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 168, a największy ich wspólny dzielnik równa
się 24. Znajdź te liczby.
Zad. 16 Udowodnij, że jeśli dwie liczby przy dzieleniu przez trzecią liczbę dają tę samą resztę, to ich
różnica jest podzielna przez tę liczbę.
1
Zad. 17 Dane są trzy kolejne liczby naturalne. Wykaż, że suma iloczynu tych liczb i ich średniej
arytmetycznej jest sześcianem liczby naturalnej.
Zad. 18 W zbiorze liczb całkowitych określamy działania: a) x  y  x  y  xy
b) xy  2 x  y
Które z tych działań jest przemienne, a które łączne?
Zad. 19 Zapis liczby n w systemie dziesiętnym składa się wyłącznie z 1995 dziewiątek. Ile dziewiątek
występuje w zapisie dziesiętnym liczby n2 ?
Zad. 20 W rebusie: KAR + KRA = RAK rozszyfruj, jaką liczbą jest RAK.
Zad. 21 Do ponumerowania stron książki zużyto 6837 cyfr. Ile stron liczy ta książka?
Zestaw II
Zad. 1 Wykaż, że wartość wyrażenia:
3
3
3
3
a)
jest mniejsza od 30.


 ... 
2 3
3 4
4 5
127  128
1
1
1
1
1
b)
jest mniejsza od


 ... 

1 2
2 3
3 4
2003  2004
2004  2005
1
1
1
1
c) oblicz:
.


 ... 
0 1
1 2
2 3
n 1  n
Zad. 2 Porównaj liczby: a  4 5  2 6 
Zad. 3 Oblicz:
2005
3  2 oraz b  9  4 5  14  6 5 .
2 3  2 2 3  2 2 2 3  2 2 2 3 .
Zad. 4 Uzasadnij, że
3  8  5  24  7  48  1 .
Zad. 5 Wykaż, że liczba
3
5 2 7 -
3
5 2  7 jest liczbą wymierną.
Zad. 6 Wykaż, bez użycia tablic i kalkulatora, że
3
20  14 2  3 20  14 2 jest liczbą całkowitą.
Zad. 7 Wykaż, że zachodzi równość : 18  8 2

6  4 2
 2.
Zad. 8 Która z liczb jest większa: 3  2 czy 3  2 ? Odpowiedź uzasadnij
1
Zad. 9 Wiedząc, że x   3 oblicz:
x
1
1
a) x 2  2
, b) x 3  3 .
x
x
1
1
Zad. 10 Oblicz wartość wyrażenia x 3  3 , mając dane x 2  2 =14.
x
x
Zad. 11 Wyznacz takie liczby rzeczywiste x, y, dla których wyrażenie 2 x 2  4 y 2  4 xy  6 x  2008
100
150
50
przyjmuje najmniejszą wartość.
2
75
Zestaw III
ab 
Zad. 1 Wykaż, że jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, to
ab
.
2
Zad. 2 Wykaż, że jeśli x  y  z  0, to xy  yz  zx  0.
Zad. 3Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d zachodzi nierówność:
a) a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
b) a 2  b 2  c 2  3  2(a  b  c)
Zad. 4 Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówność:
a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b.
Zad. 5 Udowodnij, że jeżeli x  y  z  xyz , to
x (1 y 2 ) (1 z 2 )  y (1 z 2 ) (1 x 2 )  z (1 x 2 ) (1 y 2 )  4 xyz.
p q
1
,
 
a
b pa qb
Zad. 6 Udowodnij, że jeżeli a, b, p, q są różne od zera oraz
to
.
1
Zad. 7 Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a i b spełniają równość a  b 1 , to a 4  b 4  .
8
Zad. 8 Udowodnij, że jeżeli a, b, c są takimi liczbami rzeczywistymi, że a 2  b 2  c 2 1, to
 a  b 2   b  c 2   c  a 2  3 .
Zad. 9 Udowodnij, że dla dowolnych liczb a, b, c zachodzi nierówność
a² ( 1 + b²) + b²( 1 + c ²) + c²( 1+ a² ) ≥ 6abc
Zestaw IV
Zad. 1 Określ dziedzinę funkcji: f ( x) 
 2x  8

x  3 1
x3
x  2 1
.
x 2  2x
2
x2
a) Dla jakich argumentów funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie?
Zad. 2 Sporządź wykres funkcji: f ( x) 
b) Jakie wartości funkcja ta przyjmuje dwa razy, a jakie tylko raz?
Zad. 3 Dla jakich wartości parametru b jedna z figur ograniczonych osią OX, wykresem funkcji
f ( x)  x  2  b oraz prostą o równaniu x  1, jest czworokątem o polu 7?
Zad. 4 Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji f ( x)  x  1  2  x  2  1 z osią 0X.
Zad. 5 Narysuj wykres funkcji:
x
x  1
x
2 x
 x  2.
b) f ( x) 
x2
a) f ( x) 
3
Zad. 6 Narysuj wykres i wyznacz zbiór wartości funkcji f określonej wzorem:
 2  6x
a) f ( x) 
9x 2  6x  1
b) f x    2 sgn  x  3  2  .
Zad. 7 W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów, których współrzędne spełniają
nierówność: x  y  1  3
Zad. 8 Wyznacz zbiór tych punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają nierówność:
 x  y  2
a) 
 x  4

y  x 2
b) 

x y  x y 6
 yz  6

Zad. 9 Uporządkowana trójka liczb rzeczywistych (x, y, z ) jest rozwiązaniem układu równań:  zx  2 .
 xy  3

Oblicz wartość sumy : x + y + z.
Zad. 10 Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x)  x 2  4 x  4  x  1 .
Jak należy dobrać parametr m, aby funkcja określona wzorem g (x) = f(x) + m nie posiadała miejsc
zerowych?
Zad. 11 Funkcja f każdej liczbie naturalnej mniejszej od 200 przyporządkowuje resztę z jej dzielenia
przez 4. Podaj zbiór wartości tej funkcji. Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
Zestaw V
Zad. 1 Rozwiąż równanie x2  x  x 2  x2  x  x 2  16  2 x2 x2 , gdzie x  oznacza
największą liczbę całkowitą nie większą od x, zaś x x  x  .
 1

Zad. 2 Rozwiąż nierówność  x  1  3 .
 2

a  - oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od a.
Zad. 3 Rozwiąż równanie
2 x  6  2 x  3   x 2  9  15  5x  0
2
Zad. 4 Dla jakich wartości parametru k równanie x  1  k  4 ma dokładnie 5 rozwiązań?
Zad. 5 Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m:
 x  y 1
x  y  2
a) 
b) 
 y  x  m
y  x  m
Zad. 6 Na Ziemi żyje ponad 4 mld ludzi. Wiadomo, że wśród nich co najwyżej 1% ma ponad 100 lat.
Udowodnij, że pewne dwie osoby urodziły się w tej samej sekundzie.
4
Zad. 7 Przyjmijmy cenę komputera 2000 zł, cenę drukarki 1500 zł, cenę oprogramowania 2000 zł. Jeżeli
komputer zdrożał o 10%, drukarka o 15% to o ile procent należy obniżyć cenę oprogramowania, aby cena
zestawu nie zmieniła się?
Zad. 8 Ile brakuje do 1200, jeżeli godzinę temu było 3 razy tyle minut po 1000?
Zad. 9 Średnia wieku drużyny piłkarskiej (11 osób) jest równa 22 lata. Jeden z piłkarzy po otrzymaniu
czerwonej kartki opuścił boisko i wówczas średnia wieku pozostałych zawodników wyniosła 21 lat. Ile
lat miał piłkarz, który zszedł z boiska?
Zad. 10 Bartek i Tomek chodzą do klasy, w której chłopcy stanowią nie mniej niż 93% i nie więcej niż
94% liczby wszystkich uczniów klasy. Ile osób liczy klasa, jeżeli wiadomo, że chłopców jest mniej niż
38, a różnica między liczbą chłopców i dziewcząt jest liczbą pierwszą.
Zad. 11 Spośród 300 uczniów klas drugich i trzecich liceum 100 wzięło udział w olimpiadzie
matematycznej, 80 – w fizycznej, 60 – w informatycznej; w tym 23 – w matematycznej i fizycznej, 16 –
w matematycznej i informatycznej, 14 – w fizycznej i informatycznej, a 5 uczniów wzięło udział we
wszystkich trzech olimpiadach. Ilu uczniów wzięło udział:
a) tylko w olimpiadzie matematycznej,
b) tylko w jednej olimpiadzie,
c) w co najmniej jednej olimpiadzie?
Zad. 12 Na pewnej wyspie mieszka 300 dzikusów, z których każdy jest matematykiem lub filozofem lub
ludożercą. Połowa ludożerców zajmuje się filozofią, połowa filozofów matematyką, a połowa
matematyków to ludożercy. Wiedząc, że żaden z ludożerców nie zajmuje się filozofią i matematyką,
odpowiedz na pytanie, z ilu osób składają się te grupy.
Zad. 13 Bartek ma o 10% więcej pieniędzy niż Adam, ale o 10% mniej niż Czesiek. O ile procent więcej
pieniędzy od Adama ma Czesiek? Ile pieniędzy ma każdy z chłopców, jeśli razem mają mniej niż 300 pln
i każdy ma całkowitą liczbę złotych?
Zad. 14 Pan Kowalski kupił nowy samochód. Z prospektu wynika, że zużywa on 7l/100km paliwa poza
miastem i 10l/100km w mieście. Po przebyciu 1500 km okazało się, że spalił 132 litry benzyny.
Ile kilometrów pan Kowalski przejechał w mieście?
Zestaw VI
Zad. 1 Na bokach n-kąta foremnego zbudowano na zewnątrz kwadraty. Wiadomo, że
2n-kąt, którego wierzchołkami są wierzchołki tych kwadratów nie będące wierzchołkami danego n-kąta
jest foremny. Udowodnij, że n = 6.
Zad. 2 Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny od wierzchołków danego czworokąta
jest większa od połowy obwodu tego czworokąta.
Zad. 3 Wykaż, że połowa sumy długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości środkowej
trzeciego boku.
5
Zad. 4 Wykaż, że:
a) suma odległości dowolnego punktu M trójkąta równobocznego od trzech boków tego trójkąta jest stała
( tzn. nie zależy od położenia punktu M)
b) suma odległości dowolnego punktu M czworościanu foremnego od czterech ścian tego czworościanu
jest stała.
Zad. 5 Udowodnij, że jeżeli w kwadracie o boku długości 1 wybierzemy 51 punktów, to wśród nich są 3
1
takie, które należą do pewnego koła o promieniu
7
Zad. 6 Niech a, b, c będą długościami boków w dowolnym trójkącie. Uzasadnij, że prawdziwa jest
nierówność a 2  b 2  c 2  2ab  bc  ca  .
Zad. 7 Uzasadnij, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość
jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw.
Zad. 8 Wykaż, że suma długości środkowych trójkąta jest większa od połowy obwodu i mniejsza od
obwodu tego trójkąta.
Zad. 9 Uzasadnij, że „Jeśli a i b są długościami boków dowolnego trójkąta, to prawdziwa jest
nierówność: a 2  b 2  4  P
Zad. 10 Udowodnij, że jeśli w trapez równoramienny da się wpisać okrąg, to wysokość trapezu jest
równa średniej geometrycznej długości jego podstaw”.
Zestaw VII
Zad. 1 W trójkącie równoramiennym ABC, AC= BC, środek okręgu wpisanego oznaczono przez
W, a środek okręgu opisanego przez O. Załóżmy, że  ACB= 48 . Oblicz  WAO.
Zad. 2 W trójkącie równobocznym ABC na przedłużeniu wysokości CD poza punkt C odniesiono
odcinek CE równy bokowi trójkąta równobocznego. Oblicz kąty trójkąta ABE.
Zad. 3 Na przedłużeniach boków trójkąta ABC odkładamy odcinki odpowiednio równe tym bokom.
Oblicz pole powstałego w ten sposób sześciokąta, jeżeli pole trójkąta ABC wynosi 1.
Zad. 4 W kwadracie ABCD o boku długości 1 punkt E leży na boku BC, punkt F leży na boku CD.
Miary kątów EAB i EAF wynoszą odpowiednio 20 i 45. Oblicz wysokość trójkąta AEF poprowadzoną
z wierzchołka A.
Zad. 5 W pewnym prostokącie z przeciwległych wierzchołków poprowadzono proste prostopadłe do
przekątnej prostokąta. Prostopadłe te podzieliły przekątną na trzy części o równych długościach. Długość
jednego z boków prostokąta wynosi 2 2 . Oblicz długość drugiego boku.

AD
Zad. 6 Na boku AB trójkąta ABC obrano taki punkt D, że

AB



AC. Wyznacz liczby a i b tak, aby DE  a  AB  b  AC .
6
2
 . Niech E będzie środkiem odcinka
3
Zad. 7 Na jednym z boków trójkąta ABC obrano punkt K. Przez punkt K poprowadzono proste
równoległe do pozostałych boków. Mając dane pola P1 i P2 dwóch powstałych trójkątów, oblicz pole
trójkąta ABC.
Zad. 8 W trójkącie ABC wybrano punkt A1 na boku BC i punkt C1 na boku AB tak, że :
A1C 
1
BC ,
3
C1 B 
1
AB . Proste AA1 i CC1 przecinają się w punkcie Q.
3
a) Przyjmując jako dane pole S trójkąta ABC, oblicz pola figur, na jakie został on podzielony.
b) W tym samym trójkącie na boku AC obrano punkt B1 tak, że B1 A
1
AC . Prosta BB1 przecina
3
proste AA1 i CC1 odpowiednio w punktach P i R. Wykaż, że pole trójkąta PQR jest równe
1
s.
7
Zad. 9 W trójkącie prostokątnym na dłuższej przyprostokątnej jako na średnicy opisano półokrąg.
Wyznacz długość półokręgu, jeśli krótsza przyprostokątna ma długość 30 cm, cięciwa łącząca
wierzchołek kąta prostego z punktem przecięcia przeciwprostokątnej z półokręgiem ma długość 24 cm.
Zad. 10 Pole trójkąta wynosi 1. Ile wynosi pole trójkąta zbudowanego z jego środkowych.
Zad. 11 Stosunek długości przekątnych pewnego rombu wynosi 1:4. Jeżeli długość każdej przekątnej
zwiększymy o 2 cm , to pole rombu powiększy się o 9,5 cm2. Oblicz wysokość tego rombu.
Zad. 12 W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki AD i DB takie, że
AD
1
 .
DB 3
Miara kąta ABC jest równa 30o. Udowodnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.
Literatura
1. K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda „Matematyka zbiór zadań dla liceów i techników” kl.I
2. E. Świda, K. Kłaczkow, A. Winsztal „Zdaj maturę Matematyka”
3. A. Śnieżek, P. Tęcza „Zbiór zadań z algebry dla szkół średnich”
4. H. Pawłowski, „Matematyka zbiór zadań kl.I”
5. M. Bury, A. Kałuża, Trening przed zawodami matematycznymi”
6. Zadania do matexu www.staszic.waw.pl
7. Czasopismo MATEMATYKA 1994 – 2000
8. W. Stachnik „Zbiór zadań maturalnych na ocenę celującą (matura 1992 – 95)”
9. A. Cewe „Matura w nowej formule”
10. A. Kiełbasa „Matura z matematyki 2005 - ...” część I
11. S. Kopański „W poszukiwaniu matematycznych talentów”
12. K. Dworacka, Z. Kochanowski „Konkursy matematyczne”
7