Rachunek Prawdopodobieństwa, W4, 2015/2016 Lista 3

Rachunek Prawdopodobieństwa, W4, 2015/2016
Lista 3
KLASYCZNE ROZKŁADY DYSKRETNE
(zmienne losowe skokowe, zbiór Ω wartości zmiennej X skończony lub przeliczalny)
• Rozkład zero-jedynkowy b(p) (dwupunktowy, 1 próba Bernoulliego)
doświadczenie z 2 możliwymi wynikami: sukces lub porażka = próba Bernoulliego
P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p =: q
• Rozkład dwumianowy B(n, p) ( ilość sukcesów w schemacie Bernoulliego)
schemat Bernoulliego: n niezależnych identycznych prób Bernoulliego "sukces lub porażka"
n k n−k
P(X = k) =
p q
, k ∈ {0, 1, 2, . . . , n}
k
Ważne własności: B(1, p) = b(p);
Pn
Pn
n k n−k
•
= (p + q)n wzór dwumianowy Newtona
k=0 P(X = k) = 1, ponieważ
k=0 k p q
• Jeśli X1 , . . . , Xn niezależne o rozkładzie b(p) to X1 + X2 + . . . + Xn ,→ B(n, p)
• Jeśli X ,→ B(n, p) i Y ,→ B(m, p) niezależne, to X + Y ,→ B(n + m, p)
NIEZALEŻNE ZMIENNE LOSOWE
DEFINICJA.: Zmienne losowe X, Y są niezależne, jeśli
∀A, B
P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)
Zad. 1. Komputer Tomka psuje się przeciętnie raz w tygodniu, nie więcej niż raz dziennie. Tomek radzi
sobie z nim dobrze i naprawia go natychmiast po awarii. Podać rozkłady następujących zm. losowych:
(a) X1 = ilość awarii komputera Tomka w piątek 1.5.2015
(b) Xi = ilość awarii komputera Tomka w i-tym dniu maja i.5.2015
(c) Y = ilość awarii komputera Tomka w ciągu 1-ej połowy miesiąca 1.5.2015 - 15.5.2015
(d) Z= ilość awarii komputera Tomka w ciągu miesiąca 1.5.2015 - 31.5.2015
(e) U = ilość awarii komputera Tomka w ciągu roku, począwszy od 1.5.2015
(f) Podać związek między Y, Z, U i zm. losowymi Xi
Zad. 2. W zbiorniku jest 1000l wody i 1 milion bakterii, krążących chaotycznie po zbiorniku.
(a) Instytut Chemii PWr pobiera próbkę 1 cm3 wody ze zbiornika. Podać rozkład zm.losowej X =
ilość bakterii w próbce.
(b) Spragniony student Chemii PWr wypija 1l wody ze zbiornika. Podać rozkład zm.losowej Y =
ilość bakterii połkniętych przez studenta.
Zad. 3.
(a) Na początku obserwacji pierwiastka radioaktywnego jest N = 109 atomów. Prawdop. że atom
rozpadnie się w czasie 1 sekundy wynosi p = 0.75. Niech X = ilość atomów, które rozpadną się w czasie
1 sekundy. Podać rozkład X.
(b) Prawdop. zaobserwowania rozpadu atomu wynosi a = 0.1. Niech Y = ilość atomów, których
rozpad zaobserwuje się w czasie 1 sekundy. Podać rozkład Y . (Odpowiedź intuicyjna? Ścisły dowód
opiera się na wzorze na prawdop. całkowite).
2
• Rozkład Poissona P(λ), λ > 0.
(ilość sygnałów, rozmów tel., klientów sklepu,... w ciągu ustalonego czasu T ;
Znaczenie parametru λ = średnia ilość sygnałów w ciągu czasu T )
λk
, k = 0, 1, 2, . . . (k ∈ N)
k!
P∞
P∞ k
Ważne własności: k=0 P(X = k) = 1, ponieważ k=0 λk! = eλ szereg wykładniczy
Jeśli X ,→ P(λ1 ) i Y ,→ P(λ2 ) niezależne, to X + Y ,→ P(λ1 + λ2 )
P(X = k) = e−λ
Zad. 4. Sekretariat Dziekanatu W10 otrzymuje średnio w ciągu 1 godz. pracy 5 e-maili od studentów
W10.
(a) Jaki rozkład klasyczny najlepiej modeluje zm. losową X = ilość e-maili otrzymanych w ciągu 2
godz. pracy? Obliczyć P(X = 9) i P(X = 10) .
(b) Jaka ilość e-maili jest najbardziej prawdopodobna w ciągu 2 godz.? Naszkicować histogram, tzn.
wykres funkcji k 7→ P(X = k) z pionowymi kreskami zamiast punktów.
Zad. 5. Pasaż Grunwaldzki otwiera się o 08.00. Do Pasażu wchodzi średnio 10 osób na minutę. Klienci
pozostają tam co najmniej przez 15 min.
1. Jaki rozkład klasyczny najlepiej modelizuje zm. losową X = ilość osób w Pasażu między 08.00 i
08.05 ?
2. Prawdopodobieństwo bycia okradzionym przez kieszonkowca w Pasażu Grunwaldzkim wynosi
a = 0.05. Niech Y = ilość osób okradzionych w Pasażu między 08.00 i 08.05. Podać rozkład Y .
(Odpowiedź intuicyjna? Ścisły dowód opiera się na wzorze na prawdop. całkowite).
Zad. 6. Udowodnić własność sumy 2 niezależnych zm. los. Poissona.Wsk. Wzór dwumianowy Newtona.
Przybliżenie rozkładu dwumianowego przez rozkład Poissona.
Jeśli limn npn = λ > 0, to B(n, pn ) → P(λ). W praktyce:
jeśli X ,→ B(n, p), n ≥ 50, p ≤ 0.1, np ≤ 10, to P(X = k) ≈ P(Y = k), gdzie Y ,→ P(np).
Zad. 7. W zad. 2(a), obliczyć prawdopodobieństwo P(X > 1).
INNE ROZKŁADY KLASYCZNE DYSKRETNE
• Rozkład dyskretny jednostajny(równomierny), por. zad. 6, Lista 2
• Rozkład hipergeometryczny, zad. 11, Lista 1
• Rozkład geometryczny Geom(p): P(X = k) = q k−1 p, k = 1, 2, . . .
(numer pierwszej próby Bernoulliego zakończonej sukcesem, por. zad. 7, Lista 2)
Zad. 8.
(a) Próby Bernoulliego trwają aż do pierwszego sukcesu, w próbie o numerze X. Obliczyć P(X = k).
(b) W zad. 7, Lista
2, obliczyć prawdop. P(X < ∞) że student kiedykolwiek otworzy drzwi. Wsk.
P∞
1
, q ∈ (0, 1).
Szereg geometryczny m=0 q m = 1−q