Untitled

MLR2x str. 327
IELOK ĄT
Y PODOB
NE
A
WIELOKĄTY PODOBNE
Z prawej strony przedstawiony jest spinacz naturalnej wielkości. Poniżej ten sam spinacz (lub
jego fragment) przedstawiono w różnych skalach. Zmierz długości odpowiednich odcinków
i oblicz te skale.
Jeśli daną figurę F powiększymy lub pomniejszymy w pewnej skali, to
otrzymamy figurę podobną do figury F . Figury pozostaną podobne, gdy
jedną z nich przekształcimy przez symetrię, przesunięcie lub inną izometrię. O figurach podobnych możemy powiedzieć, że mają taki sam kształt,
a różnią się wielkością. Na poniższych rysunkach przedstawiono dwie pary
figur podobnych.
W figurach podobnych dla każdej pary odpowiadających sobie odcinków
stosunek ich długości jest taki sam. Liczbę równą temu stosunkowi nazywamy skalą podobieństwa.
Figury F i F na rysunku poniżej są podobne. Odcinkowi AB w figurze F
odpowiada w figurze F odcinek A B . Zatem figura F jest podobna do
figury F w skali k = |A B | .
328
MLR2x str. 328
|AB|
|A B | = |C D | = |E F |
|AB|
|CD|
|EF |
FIGURY PODOBNE
Na ogół nie jest łatwo stwierdzić, czy dwie figury są podobne, zwłaszcza
gdy mają nieregularne kształty. Z kolei aby stwierdzić, czy podobne są
wielokąty, wystarczy skorzystać z następującej własności:
Dwa wielokąty są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:
• Kąty jednego wielokąta mają takie same miary jak odpowiednie kąty
drugiego wielokąta.
• Stosunki długości boków jednego wielokąta do długości odpowiednich boków drugiego wielokąta są takie same.
W wielokątach narysowanych obok odpowiednie kąty mają takie same miary, a stosunki długości odpowiednich boków są
takie same. Wynika stąd, że wielokąty te
są podobne.
Stosunek długości któregokolwiek boku
wielokąta F do odpowiadającego mu boku wielokąta F jest równy skali podobieństwa. Wielokąt F jest zatem podobny do
wielokąta F w skali k = a (oczywiście taka
że k = b , k = c itd.).
b
c
Zauważ, że wielokąt F jest podobny do wielokąta F w skali a , czyli 1 .
a
B
C
k
Narysowane pięciokąty są podobne.
Znajdź miarę kąta α oraz skalę podobieństwa i długość boku a.
Dwa z pięciokątów F1 , F2 , . . . , F6 są podobne do pięciokąta F . Które?
WIELOKĄTY PODOBNE
MLR2x str. 329
329
Wielokąty F i F na rysunku obok są podobne. Łatwo zauważyć, że z równości:
f
e
=
a
b
wynika równość:
a
e
=
b
f
f
g
e
h
= = =
a
b
c
d
Podobnie można wykazać, że zachodzą inne proporcje, na przykład:
a
e
=
c
g
f
b
=
c
g
g
c
=
d
h
Możemy więc powiedzieć, że stosunek długości dwóch boków wielokąta F
jest równy stosunkowi długości odpowiadających im boków wielokąta F .
Taką własność mają dowolne dwa wielokąty podobne.
ZADANIA
1. a) Odcinek A B jest podobny do odcinka AB w skali 5. Jaką długość ma odcinek
A B , jeśli odcinek AB ma długość 2?
b) Kąt α jest podobny do kąta α w skali 3. Kąt α ma miarę 30◦. Jaką miarę ma
kąt α ?
c) Trójkąt K L M jest podobny do trójkąta KLM w skali
kąt KLM, jeśli obwód trójkąta K L M jest równy 60?
1
.
3
Jaki obwód ma trój-
2. Figury przedstawione na rysunku są podobne. W jakiej skali większa z figur jest
podobna do mniejszej?
3. Narysowane wielokąty są podobne. Znajdź brakujące wyrazy proporcji.
f
?
=
a
b
c
a
=
?
e
?
a
=
c
?
330
?
d
=
e
?
x
z
=
s
?
t
p
=
?
y
?
p
=
r
?
?
w
=
y
?
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 330
4. Trójkąty przedstawione na rysunku są podobne. Oblicz długość boku a.
5. Wielokąty przedstawione na rysunku są podobne. Oblicz długość boku a oraz
miary kątów α i β.
6. Uzasadnij, dlaczego figury przedstawione na rysunku nie są podobne.
7. Które z poniższych zdań są prawdziwe?
a) Jeśli stosunki długości dwóch sąsiednich boków dwóch prostokątów są równe,
to prostokąty te są podobne.
b) Dowolne dwa kwadraty są podobne.
c) Dwa trapezy prostokątne o takim samym kącie ostrym są podobne.
d) Jeśli jeden kąt rombu jest równy kątowi innego rombu, to romby te są podobne.
e) Jeśli długości przekątnych jednego równoległoboku są proporcjonalne do długości przekątnych drugiego równoległoboku, to równoległoboki te są podobne.
8. a) Wielokąt F1 jest podobny do wielokąta F2 w skali 2, a wielokąt F2 jest
podobny do wielokąta F3 w skali 7. W jakiej skali wielokąt F1 jest podobny do
wielokąta F3 ?
b) Wielokąt F1 jest podobny do wielokąta F2 w skali 5 i jest podobny do wielokąta
F3 w skali 3. W jakiej skali wielokąt F2 jest podobny
do wielokąta F3 ?
9. Trapez ABCF na rysunku obok jest podobny
do trapezu FCDE. Oblicz długość odcinka ED.
WIELOKĄTY PODOBNE
MLR2x str. 331
331
10. Równoległobok ABCD na rysunku obok ma boki długości 4 i 6. Prosta EF odcina równoległobok
AEFD, podobny do równoległoboku ABCD. Znajdź
długość odcinka AE.
11. a) Z prostokąta odcięto kwadrat (zob. rysunek
obok) i otrzymano prostokąt podobny do tego prostokąta. Oblicz stosunek długości boków prostokąta.
b) Papier produkuje się w prostokątnych arkuszach. Wymiary arkusza dobrane są
tak, że po złożeniu go na pół (równolegle do krótszego boku) otrzymujemy prostokąt podobny do całego arkusza. Jaki jest stosunek długości boków arkusza papieru?
12. Na rysunku obok trójkąty ABC i CBD są podobne. Boki trójkąta CBD mają długości |CD| = 2,
|DB| = 3, |BC| = 4. Znajdź długości boków AB i AC.
13. Na rysunku obok punkt F jest środkiem odcinka BC. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ADE.
Znajdź skalę tego podobieństwa.
TEST
T1. Do prostokąta o wymiarach 3 cm×12 mm jest podobny prostokąt o wymiarach:
A. 6 cm × 6 mm
B. 12 cm × 3 m
C. 12 cm × 3 mm
D. 2 m × 5 m
T2. Pięciokąty przedstawione na
rysunku są podobne. Która z poniższych równości nie jest prawdziwa?
A. |UW | = 4
B. | ABC| = 90◦
C. |XW | = 1
D. |BC| = 9
T3. Trapez ABCD (zob. rysunek) jest podobny
do trapezu EFGH. Obwód trapezu EFGH wynosi 36 cm. Obwód trapezu ABCD jest równy:
A. 42 cm
B. 48 cm
C. 64 cm
D. 72 cm
332
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 332
JEDNOKŁ
ADNOŚĆ
A
JEDNOKŁADNOŚĆ
W jednym z poprzednich działów tego podręcznika omawialiśmy przykłady różnych przekształceń geometrycznych (m.in. symetrie, przesunięcie).
Omówimy teraz kolejne ważne przekształcenie geometryczne — jednokładność.
Na każdym z poniższych rysunków figura F jest obrazem figury F w jednokładności o środku S i skali k.
Gdy skala jednokładności jest dodatnia, obrazem punktu P jest punkt P leżący na półprostej SP . Natomiast gdy skala jest ujemna, obrazem punktu P jest punkt P leżący na prostej P S, ale po przeciwnej stronie punktu S
niż punkt P . Ponadto, niezależnie od tego, czy skala jest dodatnia, czy
ujemna, musi zachodzić równość |SP | = |k| · |SP |. Taki sposób określania jednokładności jest dosyć skomplikowany. Dużo łatwiej opisuje się to
przekształcenie za pomocą wektorów.
Narysuj dowolny trójkąt. Oznacz jego wierzchołki literami A, B, C. Zaznacz
dowolny punkt S na zewnątrz trójkąta ABC, a natępnie znajdź takie punkty
A , B i C , by:
−−−→
−−−−→
−−−−→
−−−→
−−→
−−−→
SB = 2SB
SC = 2SC
SA = 2SA
Niech S będzie dowolnym punktem płaszczyzny i niech k będzie dowolną liczbą
różną od zera. Jednokładność o środku S
i skali k określamy w następujący sposób:
Obrazem dowolnego punktu P jest taki
punkt P , dla którego zachodzi równość:
−−−→
−−→
SP = k · SP
JEDNOKŁADNOŚĆ
MLR2x str. 333
JSk (P ) = P −−→
−−→
⇐
⇒ −SP
= k · SP
333
Jednokładność o środku S i skali k oznaczamy symbolem JSk . Zauważ, że
obrazem punktu S w jednokładności o środku S jest ten sam punkt.
Uwaga. Jeśli jedna z figur jest obrazem drugiej w pewnej jednokładności o skali
różnej od 0, to mówimy, że figury te są jednokładne.
B
Narysuj w zeszycie trójkąt ABC i punkt S,
położone tak jak na rysunku obok, a następnie przekształć trójkąt ABC przez jednokładność o środku S i skali:
1. k = 2
3. k = − 12
1
2
4. k = − 32
2. k =
C
Czworokąt A B C D jest obrazem czworokąta ABCD w jednokładności o środku w jednym z zaznaczonych punktów. Wskaż środek jednokładności i określ
jej skalę. Znajdź na rysunku dowolne odcinki równoległe i oblicz stosunek ich
długości.
D
Narysuj dowolny odcinek AB, a następnie zaznacz dowolny punkt S. Znajdź
obraz odcinka AB w jednokładności o środku S i skali:
1. k = 1
2. k = −1
3. k =
1
2
4. k = −6
Łatwo zauważyć, że gdy skala jednokładności jest równa 1, to obrazem
dowolnego odcinka jest ten sam odcinek. Natomiast gdy skala jednokładności jest równa −1, to obrazem danego odcinka jest odcinek o tej samej
długości równoległy do danego.
JS2 (AB) = A1 B1
JS−1 (AB) = A2 B2
−
3
JS 2 (AB) = A3 B3
W pozostałych przypadkach (gdy k = 1 i k = −1) odcinki jednokładne różnią
się długością, ale zawsze są równoległe.
334
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 334
Uwaga. Możemy powiedzieć, że jednokładność o skali k = 1 jest przekształceniem
tożsamościowym (obrazem każdego punktu jest ten sam punkt). Zauważ też,
że jednokładność o środku S i skali k = −1 to takie samo przekształcenie, jak
symetria środkowa o środku S.
Oto ważna własność jednokładności:
Obrazem odcinka o długości a w jednokładności o skali k jest odcinek do
niego równoległy o długości |k|·|AB|.
Dowód
Niech S, A, A , B i B będą takimi punktami, że JSk (AB) = A B . Pokażemy, że
−−−−−→
−−−→
A B = k· AB .
Z określenia jednokładności wynika, że:
−−−→
−−−−→
−−−→
−−→
SA = k· SA oraz SB = k· SB
Z własności działań na wektorach otrzymujemy:
−−−−→ −−−→
−−−−−→
−−−→
−−→
A B = A S + SB = k· AS + k· SB =
−−−→ −−→
−−−→
= k· (AS + SB ) = k· AB
−−−→
−−−→
−−→
−−→
SA = k · SA , więc A S = k · AS
−−−−−→
−−−→
Z równości A B = k· AB wynika, że odcinki A B i AB są równoległe oraz że
zachodzi równość |A B | = |k|·|AB|.
Z udowodnionej własności wynika, że jednokładność o skali k to takie
przekształcenie, w którym:
obrazem prostej jest prosta do niej równoległa,
obrazem kąta jest kąt o takiej samej mierze,
obrazem danego wielokąta jest wielokąt o takich samych kątach, a boki
tego wielokąta są proporcjonalne do boków danego wielokąta; możemy
powiedzieć, że są |k| razy dłuższe (lub krótsze) od odpowiednich boków
danego wielokąta.
ZADANIA
1. Narysuj dowolny prostokąt, a następnie przekształć go przez jednokładność
o środku leżącym:
a) wewnątrz prostokąta i skali k = 2,
1
b) w punkcie przecięcia przekątnych prostokąta i skali k = − 2 ,
3
c) w jednym z wierzchołków prostokąta i skali k = − 2 .
JEDNOKŁADNOŚĆ
MLR2x str. 335
335
2. Figura na rysunku obok zbudowana została z trójkątów równobocznych. Zastąp
znaki zapytania odpowiednimi symbolami
figur lub liczbami oznaczającymi skalę jednokładności.
3
a) JO
(N) = ? JS−2 (T X) = ?
3
b) JA
(?) = S
1
JR2 (?) = MS
−1
JN 2 (ΔLNB) = ?
JT−2 (?) = ΔHT K
?
c) JM
(L) = O JG? (AF) = XK JI? (ΔQSG) = ΔEDK
3. a) Narysuj dwa odcinki równoległe o różnych długościach i znajdź środek jednokładności przekształcającej jeden z tych odcinków w drugi.
Uwaga. Są dwa takie punkty.
b) Narysuj dwa przecinające się okręgi o różnych średnicach. Wyznacz środek jednokładności przekształcającej jeden z tych okręgów w drugi.
c) Narysuj dowolny okrąg oraz dowolny trójkąt leżący na zewnątrz tego okręgu. Opisz, w jaki sposób można znaleźć trójkąt jednokładny do danego trójkąta
o wierzchołkach leżących na danym okręgu.
4. Czy istnieje figura, której obrazem w jednokładności o skali k = 1 i k = −1 jest
ta sama figura? Czy istnieje taka figura, która jest ograniczona (zawarta w jakimś kole)?
5. Obrazem odcinka MN w jednokładności o środku M i skali −5 jest odci-
nek M N . Jaka jest skala jednokładności, w której obrazem odcinka NM jest
odcinek NN ?
6. Na dwóch rysunkach przedstawiono parę figur, z których jedna jest obrazem
drugiej w pewnej jednokładności. Wskaż te rysunki.
7. Narysowane prostokąty są jednokładne. Oblicz ich obwody.
336
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 336
8. a) Narysuj dowolny trójkąt, a następnie skonstruuj kwadrat, którego wszystkie wierzchołki leżą
na bokach tego trójkąta.
Wskazówka. Zacznij od narysowania dowolnego kwadratu, którego trzy wierzchołki leżą na bokach trójkąta.
b) Narysuj dowolny trójkąt i skonstruuj taki trójkąt równoboczny, którego wierzchołki leżą na bokach danego trójkąta (każdy z wierzchołków na innym boku).
9. Punkt P przekształcono przez jednokładność o środku S i skali k. Znajdź współrzędne otrzymanego punktu, gdy:
1
a) P = (−2, 1), S = (0, 0), k = 3
d) P = (1, 0), S = (−10, 2), k = − 4
2
b) P = (−10, −5), S = (0, 0), k = − 3
e) P = (5, 1), S = (−100, −200), k = −10
c) P = (5, 7), S = (1, 2), k = 2
f) P = (a + 5, b − 1), S = (a, b), k = 3
10. Punkt P jest obrazem punktu P w jednokładności o środku S.
a) Jaka jest skala jednokładności, jeśli P = (2, 5), P = (7, 10) i S = (−2, 1)?
b) Jakie współrzędne ma punkt S, jeśli P = (10, −2), P = (−5, −3) i k = − 3 ?
1
11. Odcinek o końcach w punktach A = (−2, 0), B = (−3, 4) przekształcono
przez
jednokładność i otrzymano odcinek o końcach w punktach (1, 0) i
współrzędne środka oraz skalę tej jednokładności.
7
, −3
4
. Znajdź
Uwaga. Zadanie to ma dwa rozwiązania.
TEST
T1. Obrazami punktów A, B i C w jednokładności o skali −3 są odpowiednio punkty A’, B’ i C’. Które z poniższych zdań jest fałszywe?
A. |A B | = 3 |AB|
B. Odcinek BC jest równoległy do odcinka B C .
C. |AC|
= 1
|A C |
3
D. Obwód trójkąta ABC jest 3 razy dłuższy od obwodu trójkąta A B C .
T2. Obrazem punktu (4, −1) w jednokładności o środku (−2, 1) i skali
1
2
jest punkt
o współrzędnych:
A. (1, 0)
B. (−1, 4)
C. (−8, 3)
D. (6, −3)
T3. W jednokładności o środku (4, −2) obrazem punktu (−4, −6) jest punkt (8, 0).
Skala tej jednokładności jest równa:
A. 2
B. 1
2
JEDNOKŁADNOŚĆ
MLR2x str. 337
C. − 1
2
D. −4
337
EŃSTWA
TRÓJK ĄT
ÓW.
CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW.
TWIERDZENIE TALESA
A
1. Narysuj dwa czworokąty, w których odpowiednie boki są proporcjonalne,
ale które nie są podobne.
2. Narysuj dwa czworokąty, które mają odpowiednie kąty równe, ale które nie
są podobne.
3. Narysuj dowolny trójkąt ABC, a następnie narysuj trójkąt, który ma takie
same kąty jak trójkąt ABC, ale boki – innej długości. Sprawdź, czy boki tych
dwóch trójkątów są proporcjonalne.
4. Narysuj dowolny trójkąt KLM, a następnie skonstruuj trójkąt, który ma
wszystkie boki 2 razy dłuższe od boków trójkąta KLM. Sprawdź, czy oba te
trójkąty mają równe kąty.
Gdy rysujemy czworokąt podobny do danego czworokąta, to musimy zadbać zarówno o to, aby miary odpowiednich kątów były równe, jak i o to,
aby odpowiednie boki były proporcjonalne. Można bowiem podać przykłady czworokątów, których boki są proporcjonalne, a kąty nie są równe,
a także przykłady czworokątów, których kąty są równe, a boki nie są proporcjonalne.
W wypadku trójkątów jest nieco inaczej. Sprawdzenie obu warunków podobieństwa wielokątów nie jest konieczne, gdyż jeśli dwa trójkąty mają
proporcjonalne boki, to na pewno mają takie same kąty, a także gdy kąty
dwóch trójkątów są równe, to na pewno ich boki są proporcjonalne. Mówią
o tym własności zwane cechami podobieństwa trójkątów.
Uwaga. Przy dowodzeniu cech podobieństwa trójkątów będziemy korzystać
z własności trójkątów, zwanych cechami przystawania:
Jeśli dwa trójkąty mają równe boki, to są przystające.
Jeśli dwa trójkąty mają bok o tej samej długości i odpowiednie kąty przylegające do tego boku w tych trójkątach są równe, to trójkąty te są przystające.
Jeśli dwa boki jednego trójkąta mają takie same długości jak odpowiednie
boki drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami mają jednakowe miary, to
trójkąty są przystające.
CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW
Cecha bbb (bok–bok–bok)
Jeśli długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości odpowiednich boków drugiego
trójkąta, to trójkąty te są podobne.
338
MLR2x str. 338
a = b = c a
c
b
FIGURY PODOBNE
Dowód
Załóżmy, że trójkąt ABC ma boki długości a, b i c, trójkąt A B C ma boki
długości a , b i c oraz a = b = c .
a
b
c
Przekształćmy trójkąt ABC
przez jednokładność o skali
k = a (i dowolnie wybraa
nym środku).
Otrzymany w ten sposób trójkąt A1 B1 C1 ma boki długości ka, kb i kc. Ponieważ ka = a , kb = b i kc = c , więc trójkąt A1 B1 C1 ma boki o takich samych
długościach jak trójkąt A B C , zatem jest do niego przystający. Wynika stąd,
że trójkąt A B C jest podobny do trójkąta ABC.
B
Który z narysowanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC?
Cecha kk (kąt–kąt)
Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są
równe odpowiednim kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.
Dowód
Załóżmy, że trójkąty ABC i A B C mają równe kąty: α = | CAB| = | C A B |
i β = | ABC| = | A B C |.
Przekształćmy trójkąt ABC
przez jednokładność o skali
k = |A B | (i dowolnie wybra|AB|
nym środku).
Otrzymany w ten sposób trójkąt A1 B1 C1 ma dwa kąty równe α i β (| C1 A1 B1 | =
= α i | A1 B1 C1 | = β) oraz bok o długości |A B |, gdyż |A1 B1 | = k · |AB| =
= |A B | · |AB| = |A B |. Zatem trójkąty A1 B1 C1 i A B C mają dwa kąty równe
|AB|
i w obu tych trójkątach boki, do których przylegają równe kąty, są tej samej
długości. Są to więc trójkąty przystające. Wynika stąd, że trójkąt A B C jest
podobny do trójkąta ABC.
CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA
MLR2x str. 339
339
Cecha bkb (bok–kąt–bok)
Jeśli długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do długości
odpowiednich boków drugiego trójkąta i kąty między tymi bokami w obu
trójkątach są równe, to trójkąty te są podobne.
Dowód
Załóżmy, że dla trójkątów ABC i A B C zachodzą równości:
| ACB| = | A C B | = γ
|A C |
|AC|
= |B C |
|BC|
Przekształćmy trójkąt ABC
przez jednokładność o skali
k = |A C | (i dowolnie wybra|AC|
nym środku).
Otrzymany trójkąt A1 B1 C1 ma boki o długościach |A1 C1 | = k · |AC| = |A C |
oraz |B1 C1 | = k · |BC| = |B C |, a kąt między tymi bokami jest równy γ
(| A1 C1 B1 | = | ACB| = γ). Dwa boki trójkąta A1 B1 C1 mają więc takie same długości jak odpowiednie boki trójkąta A B C i kąt między tymi bokami
w obu trójkątach jest taki sam. Trójkąty te są zatem przystające. Wynika stąd,
że trójkąt A B C jest podobny do trójkąta ABC.
C
Czy narysowane trójkąty są podobne?
D
Który z narysowanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC?
340
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 340
Aby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, wystarczy skorzystać z jednej
z cech podobieństwa trójkątów. Cechy podobieństwa trójkątów przydają
się przy rozwiązywaniu rozmaitych problemów geometrycznych (dotyczących nie tylko trójkątów).
P
W trapezie ABCD ramiona mają długości |AD| = 5 i |BC | = 3, przekątna BD ma
długość 6, a kąty BAD i CBD są równe. Oblicz obwód tego trapezu.
Sporządzamy rysunek pomocniczy.
| BAD| = | CBD|
Równość wynika z treści zadania.
| ABD| = | BDC |
Kąty ABD i BDC są naprzemianległe.
ΔABD jest podobny do ΔBDC (cecha kk).
|AB|
|AD|
|BD|
|AD|
|BD| = 6, |AD| = 5, |BC | = 3
Zatem: |BD| = |BC | i |DC | = |BC |
Stąd:
|AB|
5
= 3
6
i
6
5
= 3
|DC |
|AB| = 10
i
|DC | = 3,6
Obwód = |AB| + |BC | + |CD| + |DA| = 10 + 3 + 3,6 + 5 = 21,6
Odp. Obwód trapezu wynosi 21,6.
Z cechami podobieństwa trójkątów związane są: twierdzenie Talesa oraz
twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.
Twierdzenie Talesa
Jeżeli dwie proste równoległe przecinają oba ramiona pewnego kąta,
to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są
proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.
Zatem jeśli proste równoległe l i m przecinają ramiona kąta o wierzchołku O w punktach A, B, A i B tak, że punkty A i A leżą
na jednym ramieniu, a punkty B i B — na
drugim ramieniu kąta (zob. rysunek obok),
to zachodzi proporcja:
|OA|
= |OA |
|OB|
|OB |
CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA
MLR2x str. 341
341
Dowód
Przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku.
Zauważmy, że trójkąty ABB i ABA mają wspólny bok AB, a z równoległości prostych AB i A B wynika, że wysokości opuszczone z wierzchołków A i B mają równe
długości. Zatem pola trójkątów ABB i ABA
są równe.
Pole trójkąta OAB jest sumą pól trójkątów OAB i ABB , a pole trójkąta OA B
jest sumą pól trójkątów OAB i ABA . Zatem trójkąty OAB i OA B mają równe
pola.
Trójkąty OAB i OA B mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka B.
Zatem stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości boków OA i OA .
Podobnie stosunek pól trójkątów OAB i OAB jest równy stosunkowi boków
OB i OB .
Z równości
PΔOAB
PΔOA B
|OA|
|OA |
a po jej przekształceniu otrzymamy
=
|OB|
,
|OB |
=
|OA|
|OA | ,
PΔOAB
PΔOAB =
|OB|
|OB |
i PΔOA B = PΔOAB wynika proporcja
|OA|
|OB|
=
|OA |
.
|OB |
Jeśli długości odcinków oznaczymy tak jak
na rysunku obok, to z twierdzenia Talesa
otrzymujemy:
e = e+f
a
a+b
a = b
e
f
Drugą z tych proporcji można otrzymać, przekształcając pierwszą proporcję.
Z podobieństwa odpowiednich trójkątów wynikają też inne proporcje, na
przykład:
d = e+f
c = d
d = a+b
c
a
c
e
a
a+b
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Jeśli na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O wybierzemy punkty A i B, a na drugim
ramieniu punkty C i D w taki sposób, że zachodzi proporcja:
|OA|
= |OB| ,
|OC|
|OD|
to proste AC i BD są równoległe.
342
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 342
Dowód
Załóżmy, że punkty A i B leżą na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O,
a punkty C i D leżą na jego drugim ramieniu oraz
|OA|
|OC|
=
|OB|
.
|OD|
Jeśli przez punkt B poprowadzimy prostą równoległą do prostej AC i przetnie
ona ramię kąta w punkcie B , to
Z tej równości oraz z założenia
|OA|
|OC|
|OA|
|OC|
=
=
|OB|
, co wynika
|OB |
|OB|
wynika, że
|OD|
z twierdzenia Talesa.
|OB | = |OD|, zatem
B = D, czyli prosta BD jest równoległa do prostej AC.
ZADANIA
1. Czy z informacji podanych na rysunku wynika, że trójkąty są podobne?
2. Uzasadnij, że zacieniowany trójkąt jest podobny do trójkąta ABC. Znajdź skalę
podobieństwa.
CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA
MLR2x str. 343
343
3. Uzasadnij, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DAC. Znajdź skalę tego
podobieństwa.
4. Wykaż, że wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty do niego podobne. Znajdź skale tych
podobieństw, gdy trójkąt ma boki długości 3, 4 i 5.
5. Narysuj prostokąt, a następnie podziel go na:
a) trzy trójkąty podobne,
b) pięć trójkątów podobnych.
6. Na rysunku obok punkt P jest punktem przecięcia okręgu o średnicy AB z bokiem DC prostokąta
ABCD. Wykaż, że trójkąt ADP jest podobny do trójkąta BP A i do trójkąta P CB.
7. Wykaż, że trójkąt DCS na rysunku obok jest podobny do trójkąta ABC. Znajdź skalę podobieństwa.
8. Znajdź na rysunku obok trzy trójkąty podobne
do trójkąta ADC.
9. Proste k, l, m są równoległe. Znajdź długość odcinka x.
344
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 344
10. Proste m i n na rysunku obok są
równoległe. Wykaż, że:
|AC|.|OD| = |BD|.|OC|
11. Popatrz na rysunek obok. Znajdź
brakujące wyrazy proporcji.
a
a+c
=
b
?
e
f
b)
=
b
?
a)
d
?
=
b+d
?
a
?
d)
=
c
?
c)
12. W trójkącie ABC dane są |AC| = |BC| = a oraz
|AB| = b. Prosta równoległa do ramienia AC przecina boki trójkąta w punktach D i E w taki sposób, że
|CE| = |BD|. Oblicz obwód trójkąta DBE.
13. Podczas całkowitego zaćmienia Słońca Księżyc niemal całkowicie zasłania tarczę słoneczną. Korzystając z poniższych danych, oblicz średnicę Słońca.
14. Jeśli osoba stanie w odległości 4 m od okna
w mieszkaniu pewnego budynku, zobaczy fragment
budynku naprzeciwko, przedstawiony na rysunku.
Przyjmując, że jedna kondygnacja ma 3 m wysokości, oblicz, jaka jest odległość między budynkami.
15. a) Korzystając z danych na rysunku, oblicz, jak wysoko znajduje się koniec huśtawki, gdy drugi koniec jej belki dotyka ziemi.
b) Jak zmieni się największa wysokość, na którą wznosi się koniec huśtawki, gdy
wydłużymy lub skrócimy belkę huśtawki, a punkt podparcia ciągle będzie w środku
i nie zmieni się jego wysokość?
CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA
MLR2x str. 345
345
ciekawost
ka
Perspektywa w malarstwie to sposób
uzyskiwania wrażenia trójwymiarowości
na płaskim rysunku. Opiera się on na
wrażeniu pozornego zmniejszania się
przedmiotów wraz z oddalaniem się ich
od obserwatora i na złudzeniu zbieżności linii biegnących ku horyzontowi.
Rysunek poniżej przedstawia rząd słupów narysowany zgodnie z regułami
perspektywy. W rzeczywistości słupy te
mają równe wysokości i są rozstawione
w takich samych odstępach. Według zasad perspektywy trapezy ABDC, CDF E,
EF HG itd. są podobne.
Zasady perspektywy znano już w starożytności, ale z różnych przyczyn nie stosowano ich w ciągu wielu wieków. Przywrócił je w malarstwie włoski architekt
i rzeźbiarz Filippo Brunelleschi (czyt.
brunelleski) na początku XV wieku.
16. Przeczytaj ciekawostkę. Rysunek
obok został wykonany zgodnie z regułami perspektywy. Kolumny przedstawione na rysunku w rzeczywistości mają równe wysokości. Liczby na rysunku
oznaczają długości narysowanych odcinków w milimetrach.
a) Uzasadnij, że w rzeczywistości odległość między kolumnami RP i T S jest inna
niż między kolumnami T S i W U.
b) Przypuśćmy, że przed kolumną oznaczoną na rysunku RP w tej samej linii stoi
jeszcze jedna kolumna o tej samej wysokości, ale jej odległość (w rzeczywistości)
od kolumny RP jest taka sama jak odległość między kolumnami RP i T S. Jaką
wysokość powinien mieć odcinek przedstawiający tę kolumnę na rysunku?
17. Na szczeblach drabiny położono
poziomo deski jak na rysunku obok.
a) Wskaż pięć trójkątów podobnych do
trójkąta ABM.
b) Wyjaśnij, dlaczego trapezy
i EFIJ nie są podobne.
FGHI
c) Wskaż dwa trapezy podobne do trapezu BCLM oraz trapez podobny do
trapezu BDKM.
346
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 346
ciekawost
ka
Prototypem aparatu fotograficznego jest
szczelne pudełko z małym otworkiem
w jednej ze ścian. Światło wpadające
przez ten otwór rzuca na przeciwległą
ścianę (ekran) odwrócony obraz przedmiotu stojącego przed otworem.
Takie urządzenie nazwano camera obscura (czyt. kamera obskura), czyli „ciemna komnata”, i rzeczywiście niekiedy miało ono rozmiary pokoju.
18. Przeczytaj ciekawostkę. Załóżmy, że odległość między otworem a ekranem
w camera obscura wynosi 30 cm.
a) W jakiej odległości od budynku o wysokości 15 m należy umieścić to urządzenie,
aby obraz budynku na ekranie miał 10 cm wysokości?
b) Jak wysoki jest pomnik, którego obraz uzyskany za pomocą camera obscura
z odległości 20 m ma wysokość 12 cm?
19. Uderzona bila potoczyła się z punktu A i po odbiciu od dwóch band zatrzymała się w punkcie B. W jakich odległościach od narożnika C bila odbiła się od
band?
20. Wykaż, że trójkąty zaznaczone na rysunku obok
są podobne do trójkąta ABC. Dla każdego z tych
trójkątów oblicz, w jakiej skali jest on podobny do
trójkąta ABC.
CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW. TWIERDZENIE TALESA
MLR2x str. 347
347
21. Na rysunku obok litery oznaczają długości zaznaczonych odcinków. Wykaż, że zachodzi równość:
1 + 1 = 1
a b
c
Uwaga. Liczba 2c nazywana jest średnią harmoniczną
liczb a i b.
22. a) Wykaż, że czworokąty przedstawione na rysunku obok są podobne.
b) Rysunek ten ilustruje pewną cechę
podobieństwa czworokątów. Sformułuj
tę cechę.
TEST
T1. Poniżej podano pewne informacje o trójkątach ABC i KLM. W którym przypadku można stwierdzić, że te trójkąty są podobne?
A. |AB| = 8, |BC| = 6 oraz |KL| = 4, |KM| = 3
B. |AB| = 8, | ABC| = 40◦ oraz |KL| = 4, | KLM| = 40◦
C. | ABC| = 80◦, | ACB| = 40◦ oraz | KLM| = 80◦, | LKM| = 60◦
D. |AB| = 8, |BC| = 6, | ABC| = 40◦ oraz |KL| = 4, |LM| = 3, | LKM| = 40◦
T2. Proste BE, CD i FG są równoległe, |AE| = 12, |ED| = 8, |EB| = 6, |FG| = 2
i |BC| = 6. Która z poniższych długości odcinków jest błędna?
A. |AB| = 9
B. |CD| = 10
C. |AG| = 5
D. |AF| = 3
T3. Które z prostych na rysunku są równoległe?
A. a i b
B. b i d
348
C. a i d
D. b i c
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 348
A FIGUR
PODOBN
YCH
A
B
C
D
POLA FIGUR PODOBNYCH
1. Figury F i F na rysunku obok są podob-
ne. Jaka jest skala podobieństwa figury F do figury F ? Ile kratek mieści się w figurze
F , a ile w figurze F ? Jaki jest stosunek pola
figury F do pola figury F ?
2. Narysuj figurę podobną do figury F w skali k = 3. Ile razy pole figury, którą narysowałeś, jest większe od pola figury F ?
Wiemy już, że stosunek długości odpowiednich boków wielokątów podobnych jest równy skali podobieństwa. Istnieje także ścisła zależność między
polami tych figur.
1. Jakie jest pole kwadratu podobnego w skali k do kwadratu o boku a?
2. Bok trójkąta ma długość a, zaś wysokość poprowadzona do tego boku ma
długość h. Jakie jest pole trójkąta podobnego do tego trójkąta w skali k?
3. Jakie pole ma figura podobna w skali k do sześciokąta foremnego o boku a?
Rozwiązując ćwiczenie B, można zauważyć, że stosunek pól prostokątów
podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Z ćwiczenia wynika
także, że stosunek pól trójkątów podobnych oraz sześciokątów foremnych
podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. Taka równość zachodzi dla dowolnych figur podobnych.
Stosunek pól figur podobnych jest równy
kwadratowi skali podobieństwa.
Inaczej mówiąc, jeżeli figura F jest podobna do figury F w skali k i pole figury F
jest równe PF , to pole figury F jest równe
k2 · PF , czyli:
PF = k 2 · PF
Figury F i F są podobne. Ustal, w jakiej skali figura F jest podobna do
figury F , jeśli:
1. pole figury F jest 9 razy większe od pola figury F ,
2. pole figury F jest 2 razy większe od pola figury F ,
3. pole figury F jest 4 razy mniejsze od pola figury F ?
Figury F1 i F2 są podobne. Pole figury F1 wynosi 7, a pole figury F2 jest
równe 63. Jaki obwód ma figura F1 , jeśli figura F2 ma obwód 100?
POLA FIGUR PODOBNYCH
MLR2x str. 349
349
P
Trójkąt ABC przecięto prostą równoległą do boku AB w ten sposób, że otrzymano mniejszy trójkąt i trapez o podstawach długości 7 i 10. Trójkąt ABC ma pole
równe 100. Jakie jest pole otrzymanego trapezu?
Sporządzamy rysunek pomocniczy.
Trójkąty DEC i ABC są podobne.
|DE |
7
k = |AB| = 10
2
7
P1 = k 2 · P = 10 · 100 = 49
Z równoległości odcinków AB i DE wynika,
że | ABC | = | DEC | i | BAC | = | EDC |,
czyli trójkąty są podobne (cecha kk).
Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta DEC
do trójkąta ABC .
P2 = P − P1 = 100 − 49 = 51
Odp. Trapez ma pole równe 51.
ZADANIA
1. Figury F1 i F2 przedstawione na rysunku są podobne.
a) Pole figury F1 wynosi 8. Oblicz pole
figury F2 .
c) Pole figury F1 jest 5 razy większe od
pola figury F2 . Oblicz długość boku a.
b) Pole figury F1 wynosi 21. Oblicz pole figury F2 .
d) Pole figury F1 wynosi 15, a pole figury F2 jest równe 20. Oblicz długość
boku x.
350
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 350
2. Znajdź skalę podobieństwa narysowanych figur — mniejszej do większej.
3. Poniżej narysowano trójkąt, romb i trapez. W każdym z wielokątów zaznaczono
wielokąt do niego podobny. Oblicz pola zacieniowanych figur.
4. W trójkącie o polu P przez środki dwóch boków poprowadzono prostą. Oblicz
pola figur, na jakie prosta ta podzieliła trójkąt.
5. Poniżej są narysowane trzy jednakowe sześciokąty foremne o polu 16. W każdym z tych sześciokątów zaznaczono mniejszy sześciokąt foremny. (Na pierwszym
rysunku wierzchołki mniejszego sześciokąta są środkami boków większego). Oblicz
pola tych sześciokątów.
6. Czworokąt ABCD na rysunku obok
jest trapezem. Oblicz pola trójkątów
ABE, DEC, AED i BCE.
7. W trapezie ABCD podstawy mają długości: |AB| = a i |CD| = b. Punkt E
jest punktem przecięcia przekątnych trapezu. Oblicz stosunek pól trójkątów ABE
i CDE oraz stosunek pól trójkątów AED i ABE.
POLA FIGUR PODOBNYCH
MLR2x str. 351
351
8. Punkt M jest środkiem boku CD równoległoboku ABCD. Jaką część pola równoległoboku stanowi
pole trójkąta ABN?
9. Przekątna AC prostokąta ABCD jest bokiem podobnego do niego prostokąta ACFE. Pole części
wspólnej tych prostokątów stanowi 40 % pola prostokąta AEFC. Znajdź stosunek długości boków prostokąta ABCD.
10. Trapez podzielono dwiema liniami równoległymi do podstaw na trzy figury, z których każda jest
podobna do dwóch pozostałych. Dane są pola S1
i S3 . Znajdź pole S2 .
11. Punkty B, C i D są współliniowe.
Wykaż, że pole P trójkąta ACE jest równe średniej geometrycznej pólP1 i P2
trójkątów ABC i ECD, tzn. P = P1 · P2 .
ciekawost
ka
Twierdzenie Pitagorasa można sformułować w następujący sposób:
W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu
kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Twierdzenie to można uogólnić, zastępując kwadraty odpowiednimi figurami podobnymi:
Jeśli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy
trzy figury podobne, to suma pól figur zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu figury
zbudowanej na przeciwprostokątnej.
PF1 + PF2 = PF3
12. Uzasadnij uogólnione twierdzenie Pitagorasa podane w ciekawostce.
352
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 352
13. Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne w sposób
przedstawiony na rysunku. Pole największego z tych trójkątów jest równe 60, a najmniejszego 15. Jakie jest pole trzeciego
z tych trójkątów równobocznych?
14. Na bokach trójkąta prostokątnego ABC
zbudowano trójkąty prostokątne podobne
do niego (zob. rysunek). Pole trójkąta
rów√
nobocznego AEF jest równe 9 3. Oblicz
pole trójkąta ABC.
TEST
T1. Wielkość (wysokość) czcionki mierzona jest w punktach. Słowo „figura” napisano poniżej czcionką o wielkości 12 punktów (napis po lewej stronie). Napis po
prawej stronie powstał przez powiększenie poprzedniego do wielkości 16 punktów.
figura
figura
Ile razy więcej tuszu zużyto na wydrukowanie drugiego z tych słów niż na wydrukowanie pierwszego?
A. 4 razy
3
B. 16 razy
9
C. 2 razy
D. 3 razy
T2. Na dwóch planach tego samego terenu, jednym w skali 1 : 100, a drugim w skali 1 : 500, pokolorowano te same obiekty. Na planie w skali 1 : 100 pokolorowane
obiekty zajmują powierzchnię 50 cm2 . Jakie jest pole powierzchni obiektów pokolorowanych na planie w skali 1 : 500?
A. 2 cm2
C. 10 cm2
B. 250 cm2
D. 1250 cm2
T3. Zdjęcie o wymiarach 12 cm × 15 cm przedstawia samochód. Samochód na tym
zdjęciu zajmuje powierzchnię 54 cm2 . Na powiększeniu tego zdjęcia samochód zajmuje powierzchnię 96 cm2 . Jakie są wymiary powiększonego zdjęcia?
A. 15 cm × 18,75 cm
C. 24 cm × 30 cm
B. 16 cm × 20 cm
D. 27 cm × 33,75 cm
POLA FIGUR PODOBNYCH
MLR2x str. 353
353
POWTÓRZENIE
1. Wielokąt F1 jest podobny do wielokąta F2 w skali k.
a) Jaki obwód ma wielokąt F1 , jeśli
wielokąt F2 ma obwód 30?
7. Uzasadnij, że narysowane poniżej
trójkąty są podobne. Oblicz długości
boków a i b.
b) Jakie pole ma wielokąt F2 , jeśli pole
wielokąta F1 jest równe 3?
2. Prostokąt o bokach długości 1 i 3
rozcięto na dwa prostokąty podobne.
W jakiej skali jeden z tych prostokątów
jest podobny do drugiego?
8. Trójkąty narysowane poniżej są po3. a) W jakiej skali wykres funkcji
y = 13 sin 3x jest podobny do wykresu
funkcji y = sin x?
dobne. Oblicz długość boku x oraz
stosunek pól tych trójkątów.
b) Zapisz wzór funkcji, której wykres
jest podobny w skali 5 do wykresu
funkcji y = cos x.
4. Trójkąt A B C otrzymano w wyniku przekształcenia trójkąta ABC przez
jednokładność o skali k = − 12 i środku
w punkcie A. Obrazem trójkąta A B C w jednokładności o skali 3 i środku w punkcie C jest trójkąt A B C .
Jaka jest skala i gdzie leży środek jednokładności, która przekształca trójkąt ABC w trójkąt A B C ?
5. a) Jakie
współrzędne ma obraz
punktu P = (−3, −2) przekształconego
przez jednokładność o środku w punkcie S = (1, −2) i skali 5?
b) Znajdź współrzędne środka jednokładności i jej skalę, jeśli obrazem odcinka o końcach A = (−1, 2) i B = (5, 5)
jest odcinek o końcach A = (2, −1) oraz
B = (0, −2).
9. Ustal, czy na podstawie poniższych
danych można stwierdzić, że trójkąty
ABC i UV W są podobne.
a) |AB| = 9, |BC| = 6, |AC| = 5,
5
|V W | = 3 , |UW | = 2, |UV | = 3
b) |BC| = 10, |AC| = 15, | ACB| = 70◦,
|UW | = 5, |V W | = 3, | V W U| = 70◦
c) | ABC| = 35◦, | BCA| = 70◦,
| W V U| = 35◦, | UW V | = 75◦
10. Oblicz, w jakiej skali trójkąt ACD
jest podobny do trójkąta ABC, a w jakiej — do trójkąta DBC.
6. Wykres funkcji y = sin x przekształcono przez jednokładność o skali k
i środku leżącym w początku układu
współrzędnych. Zapisz wzór funkcji,
której wykres otrzymano, jeśli:
a) k = 5
b) k = 1
3
354
c) k = −2
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 354
11. Jeden z kątów ostrych pewnego
trójkąta prostokątnego ma miarę α.
Wysokość opuszczona z wierzchołka
kąta prostego tego trójkąta dzieli go
na dwa trójkąty do niego podobne. Dla
każdego z tych trójkątów ustal, w jakiej skali jest on podobny do dużego
trójkąta.
12. Proste k, l i m na poniższym rysunku są równoległe. Oblicz długości
odcinków a, b i c.
13. Oblicz wysokość budynku,
wykorzystując informacje
przedstawione na
rysunku.
14. Uzasadnij, że zacieniowany
trójkąt jest podobny do
trójkąta ABC. Znajdź
skalę podobieństwa.
15. W trapezie ABCD, który nie jest
równoległobokiem, boki AB i CD są
równoległe. Przekątna BD dzieli ten
trapez na dwa trójkąty podobne. Wiadomo, że |AB| = 10, |BD| = 8 i |AD| = 5.
Oblicz obwód trapezu.
16. Pewne dwa wielokąty są podobne.
Wiadomo, że jeden z nich ma pole
2 razy większe, a obwód o 10 większy
od drugiego wielokąta. Znajdź obwody
tych wielokątów.
17. Figura F2 jest podobna do figury
F1 w skali k. Figura F3 także jest podobna do figury F1 , a jej obwód jest
równy sumie obwodów figur F1 i F2 .
Ile razy pole figury F3 jest większe od
sumy pól figur F1 i F2 ?
ZAGADKA
Na rysunku przedstawiono
pewne pojęcie matematyczne (można je znaleźć w tym
rozdziale). Jakie to pojęcie?
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 355
355
A
Z
C
W
A
D
A
B
PR AC A
FRAKTALE
Figura przedstawiona na rysunku obok
to tzw. drzewko Pitagorasa. Nazwę swą
zawdzięcza temu, że jej fragmenty ilustrują twierdzenie Pitagorasa.
Na rysunkach obok są przedstawione
trzy etapy powstawania drzewka Pitagorasa. Figura początkowa jest zbudowana z kwadratu i trójkąta prostokątnego. W kolejnych etapach dorysowuje
się figury do niej podobne.
A. Przyjmijmy, że pierwsza figura składa się z kwadratu o boku długości 5 i trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 3 i 4. Znajdź na drugim rysunku dwie figury,
które są podobne do pierwszej figury. Określ dla każdej z nich skalę podobieństwa.
Na drzewku Pitagorasa (u góry strony) zaznaczona jest gałązka. Zauważ, że jest
ona figurą podobną do figury, jaką otrzymano w trzecim etapie. Gdybyśmy kontynuowali rysowanie drzewka, to na pewnym etapie gałązka ta rozrosłaby się tak,
że byłaby figurą podobną do drzewka, które widać u góry strony. Gdybyśmy mogli
kontynuować rysowanie drzewka w nieskończoność, to w rezultacie otrzymalibyśmy „drzewo”, którego „gałązki” są podobne do całego drzewa.
Figury, które powstają w podobny sposób, nazywamy fraktalami. Każdy fraktal ma
tę własność, że pewne jego fragmenty są podobne do całego fraktala. Pojęcie fraktala wprowadził Benoit Mandelbrot (czyt. Benua Mandelbro) — matematyk urodzony
w Warszawie. Zainspirowały go obserwacje natury — płatków śniegu, konturów gór,
wirów wodnych.
Czasami mała zmiana reguły rysowania
fraktala powoduje duże zmiany w jego
wyglądzie. Na rysunku obok przedstawiono inną wersję drzewka Pitagorasa.
B.
a) Porównaj to drzewko z drzewkiem narysowanym u góry strony. Jakie
reguły przyjęto przy jego rysowaniu?
b) Narysuj jeszcze inną wersję drzewka Pitagorasa, zaczynając w pierwszym
etapie od kwadratu i trójkąta prostokątnego równoramiennego.
c) Wzorując się na drzewku Pitagorasa, narysuj kolejny fragment — tym razem
rozpocznij od kwadratu i figury innej niż trójkąt (np. trapezu prostokątnego).
356
FIGURY PODOBNE
MLR2x str. 356
Fraktale można tworzyć na różne sposoby. Jednym z bardzo znanych fraktali jest
figura zwana dywanem Sierpińskiego. Na poniższych rysunkach zostały przedstawione cztery kolejne etapy powstawania dywanu Sierpińskiego oraz dwóch innych
znanych fraktali.
Dywan Sierpińskiego
Płatek Kocha
Smok
C. Narysuj trójkąt równoboczny i podziel go na 4 jednakowe trójkąty równoboczne (łącząc środki boków). Zamaluj środkowy trójkąt. Następnie każdy z pozostałych
trójkątów podziel na 4 jednakowe trójkąty równoboczne i zamaluj środkowy. Powtórz te czynności. Kontynuując te czynności w nieskończoność, otrzymalibyśmy
inny rodzaj dywanu Sierpińskiego.
D. Dla
każdego z powyższych fraktali znajdź w figurach narysowanych w etapach II i III fragment, który jest podobny do figury narysowanej w etapie I. Oblicz
w każdym wypadku skalę podobieństwa.
Co dalej?
1. Wymyśl swój sposób tworzenia fraktala.
2. Podobnie jak fraktale, na płaszczyźnie, można budować fraktale trójwymiarowe. Opisz, jak
mogłyby wyglądać w kolejnych etapach przestrzenne odpowiedniki dywanu Sierpińskiego
i płatka Kocha.
PRACA BADAWCZA
MLR2x str. 357
357