Twierdzenia graniczne

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
TWIERDZENIA GRANICZNE
Twierdzenia graniczne mówią o zbieżności ciągów zmiennych losowych
do pewnych rozkładów, czyli rozpatruje się ciągi zmiennych losowych {Xn},
których rozkłady – przy wzroście wskaźnika n do nieskończoności – mogą być
zbieżne do pewnego rozkładu nazywanego rozkładem granicznym
(asymptotycznym) ciągu zmiennych losowych {Xn}.
Twierdzenie Moivre’a – Laplace’a:
Niech X n będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym.
Wtedy:
m  E X n   n  p
oraz
V X   V X n   n  p  q
gdzie:
n- liczba doświadczeń,
p – prawdopodobieństwo sukcesu,
q – prawdopodobieństwo porażki,
m – wartość oczekiwana (średnia),
V(X) – wariancja.
Jeżeli liczba doświadczeń będzie większa od 30, czyli n>30, wówczas rozkład
dwumianowy można przybliżyć rozkładem normalnym, na mocy twierdzenia
Moivre’a – Laplace’a:

X : N n  p, n  p  q

gdzie:
np=m – wartość oczekiwana,
npq   - odchylenie standardowe.
Przykład:
Ośrodek badania opinii publicznej OBOP ocenia, że połowa rodzin polskich
żyje w ubóstwie. Wybrano losowo 100 rodzin. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że:
(a) liczba rodzin żyjących w ubóstwie przekracza 55,
(b) liczba rodzin żyjących w ubóstwie jest zawarta między 50 a 60,
(c) liczba rodzin żyjących w ubóstwie nie przekracza 70.
1
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
Niech X 100 - to zmienna losowa oznaczająca liczbę rodzin żyjących w ubóstwie
Mamy ciąg zmiennych losowych:
X 1, X 2, X 3,..., X n
Dane:
n = 100, p = 0,5, q = 0,5 (bo p+q=1)
Wtedy:

X 100: N n  p, n  p  q

m  100  0,5  50
  100  0,5  0,5  5
czyli:
X 100: N 50,5
co oznacza, że zmienna losowa X ma w przybliżeniu rozkład normalny o
parametrach m=50 oraz   5 .
(a) liczba rodzin żyjących w ubóstwie przekracza 55:
P X 100 55  ?
Obliczamy tak samo, jak dla rozkładu normalnego, czyli najpierw standaryzacja,
odpowiedni rysunek, a potem odczyt z tablic.
X m
55  50 


P X 100 55  P T 
  P T 
  PT  1  0,5  1  0,5  0,3413  0,1587
  
5 

P X 100 55  0,1587
Aby właściwie wyznaczyć prawdopodobieństwa, można narysować wykres, na
którym zaznaczamy wartość t=1. Następnie kreskujemy pole pod wykresem
większe od tej wartości, zgodnie z zapisem P(T>1):
 (t )
1
t
0
1
2
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
Teraz interesuje nas pole pod tym wykresem zakreskowane – trzeba to obliczyć.
Wiemy, że pole od 0 do +  wynosi 0,5, natomiast w tablicy znajdują się
wartości od zera do jakiejś wartości, np. 1. Dlatego obliczamy różnicę 0,51 =0,1587
Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że liczba rodzin żyjących w ubóstwie
przekracza 55, wynosi 0,1587.
(b) liczba rodzin żyjących w ubóstwie jest zawarta między 50 a 60:
P50 X 100 60  ?
X m
60  50 
 X m
 50  50
P50  X 100 60   P
T 
T 
  P
  P0  T  2  
   5
5 
 
 2   0,4773
P50  X 100 60   0,4773
 (t )
2
t
0
2
Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że liczba rodzin żyjących w ubóstwie jest
zawarta między 50 a 60, wynosi 0,4773.
(c) liczba rodzin żyjących w ubóstwie nie przekracza 70:
P X 100 70  ?
X m
70  50 


P X 100 70  P T 
  P T 
  PT  4  0,5  4  0,5  0,5  1
  
5 

P X 100 70  1
3
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
 (t )
4
t
0
4
4  0,5 , gdyż działa tutaj reguła 3.
Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że liczba rodzin żyjących w ubóstwie nie
przekracza 70, wynosi 1.
Twierdzenie Lindeberga – Levy’ego (centralne twierdzenie graniczne):
Mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach:
X 1, X 2, X 3,... X n
Każda zmienna ma parametry m i , czyli wartość oczekiwaną (średnią) oraz
odchylenie standardowe.
Wobec tego:
m1 m 2 m 3  ... m n
oraz
 1 2 3 ...  n
Określamy nową zmienną losową równą sumie powyższych zmiennych:
Z n  X 1 X 2 X 3...  X n
Wobec tego:
Wartość oczekiwana: E Z n   n  m
Wariancja: V Z n   n  
Odchylenie standardowe:
2
V Z n   n   2    n
4
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
Nowa zmienna losowa ma w przybliżeniu rozkład normalny o parametrach:


Z n~ N n  m;  n
Twierdzenie to mówi, że jeśli n jest duże, to rozkład zmiennej losowej Zn
można przybliżać rozkładem normalnym z wartością oczekiwaną n m i
odchyleniem standardowym   n .
Przykład (zad. 2 lista nr 7):
Wiadomo, że średnia waga dorosłego człowieka wynosi 75 kg i odchylenie
standardowe tej wagi 5 kg. Samolot zabiera 81 pasażerów. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że łączna waga pasażerów przekroczy 6 ton.
X – waga dorosłego człowieka
m=75 kg, =5 kg, n=81
Nowa zmienna równa sumie pasażerów:

Z n ~ N n  m; 
wobec tego:

Z n~ N 81  75;5 
Z n~ N 6075;45
n
81


Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że łączna waga pasażerów przekroczy 6
ton.
PZ n  6000  ?
6000  6075 

PZ n  6000  P T 
  PT  1,67   0,5  1,67   0,9505
45


PZ n  6000  0,9505
5
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
 (t )
1,67
t
-1,67
0
0,5
Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 6 ton,
wynosi 0,9505.
Wniosek z centralnego twierdzenia granicznego:
Mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie:
X 1, X 2, X 3,... X n
Obliczamy nową zmienną losową równą średniej arytmetycznej tych
zmiennych:
1
X   X 1 X 2 X 3... X n 
n
Wobec tego:
E X  
1
mn  m
n
1
2
V X   2  n   2 
n
n
V X  
2
n


n
czyli: wartość oczekiwana wynosi m, a odchylenie standardowe wynosi

n
.
6
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
Nowa zmienna losowa równa średniej arytmetycznej wszystkich zmiennych
ma w przybliżeniu rozkład normalny z wartością oczekiwaną m i
odchyleniem standardowym

n
:
 

X ~ N  m;

n

Przykład:
Z magazynu wybrano losowo 100 pudełek proszku do prania. Waga każdego
pudełka jest zmienną losową o wartości oczekiwanej 1 kg i odchyleniu
standardowym 0,05 kg. Należy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnia
waga proszku w wybranych pudełkach jest większa od 1,05 kg.
X – waga pudełka proszku do prania
m=1 kg, =0,05 kg, n=100
Nowa zmienna równa średniej wadze proszku w tych pudełkach jest równa:
 

X ~ N  m;

n

czyli:
 0,05 
X ~ N 1;

100 

X ~ N 1;0,005
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnia waga proszku w wybranych
pudełkach jest większa od 1,05 kg.
PX  1,05  ?
1,05  1 

PX  1,05  P T 
  PT  10  0,5  10  0,5  0,5  0
0,005 

PX  1,05  0
7
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
 (t )
10
t
0
10
0,5
10  0,5 , ponieważ działa tutaj reguła 3.
Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że średnia waga proszku w wybranych
pudełkach jest większa od 1,05 kg, wynosi 0.
8
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
STATYSTYKA - ĆWICZENIA
LISTA ZADAŃ NR 7 – TWIERDZENIA GRANICZNE
Zad. 1 Producent twierdzi, że jego wyroby mają wadliwość 10%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wśród 300 wyrobów zakupionych do hurtowni będzie:
(a) więcej niż 30 wyrobów wadliwych,
(b) mniej niż 20 wyrobów wadliwych,
(c) od 20 do 30 wyrobów wadliwych.
Zad. 2 Wiadomo, że średnia waga dorosłego człowieka wynosi 75 kg i odchylenie standardowe wagi
wynosi 5 kg. Samolot zabiera 81 pasażerów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna waga
pasażerów przekroczy 6 ton.
Zad. 3 Ciężar jaj kurzych zniesionych w okresie zimowym w pewnym gospodarstwie ma rozkład
N(0,05kg, 0,005 kg). Jakie jest prawdopodobieństwo, że 20 sztuk losowo wybranych jajek przekroczy
1,02 kg?
Zad. 4 Z badań wynika, że żywotność opony radialnej ma rozkład N(90 000 km, 10 000 km).
(a) Znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo kupiona opona będzie miała żywotność 95 000 km
lub więcej.
(b) Zakupiono 5 opon. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich łączna żywotność wyniesie 400 000
km lub więcej?
Zad. 5 W windach osobowych znajduje się instrukcja następującej treści: „maksymalne obciążenie 7
osób lub 500 kg”. Zakładając, że waga pasażera ma rozkład N(70,3), policzyć prawdopodobieństwo,
że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg.
Zad. 6 Wiadomo, że 40% społeczeństwa głosowało. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 100
losowo wybranych dorosłych więcej niż 50 osób głosowało.
Zad. 7 W wyniku badań ustalono, że rozkład płac pracowników fizycznych w przedsiębiorstwie X
jest normalny z wartością oczekiwaną 3 tys. zł i odchyleniem standardowym 0,5 tys. zł. Wybrano
próbkę 16 pracowników. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia płaca wylosowanych
pracowników fizycznych jest większa od 2,9 tys. zł?
Zad. 8 Z magazynu wybieramy losowo 100 worków. Średnia waga worka równa jest 50 kg, a
odchylenie standardowe wagi worków wynosi 5 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łączna waga
wybranych worków przekroczy 4,8 tony?
Zad. 9 Prawdopodobieństwo uzyskania wygranej w pewnej grze liczbowej wynosi 0,1. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że spośród 500 grających osób wygra więcej niż 60 osób.
Zad. 10 Wiadomo, że wzrost dorosłych kobiet w Polsce ma rozkład N(165,5). Jakie jest
prawdopodobieństwo, że średni wzrost 25 losowo wybranych kobiet nie przekracza 163 cm?
Zad. 11 Zmienna losowa X : N 70;30. Obliczyć:


(a) P X 100 75 ,
(b) P X  20 .
9
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: [email protected]
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
Zad. 1 Z magazynu w sposób losowy wybrano 100 pudełek proszku do prania. Waga każdego
pudełka jest zmienną losową o wartości oczekiwanej równej 1 kg i odchyleniu standardowym równym
0,05 kg. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
(a) łączna waga wybranych pudełek jest:
- większa od 101 kg,
- mniejsza od 98 kg,
- zawarta między 99 kg i 101 kg,
(b) średnia waga proszku w wybranych pudełkach jest:
- większa od 1,05 kg,
- mniejsza od 1 kg,
- zawarta między 1 kg i 1,002 kg.
Zad. 2 Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca jest równe 0,515. Jakie jest prawdopodobieństwo
tego, że wśród 1000 noworodków będzie co najwyżej 480 dziewczynek?
Zad. 3 Żywotność żarówek produkowanych przez firmę Polamp ma rozkład normalny. Średnia
żywotność żarówki wynosi 1000 h, a odchylenie standardowe czasu świecenia żarówki wynosi 200 h.
Pewna firma zakupiła 25 żarówek. Policzyć prawdopodobieństwo, że:
(a) średni czas świecenia kupionych żarówek jest dłuższy od 1100 h?
(b) średni czas świecenia żarówek jest krótszy od 950 h?
(c) średni czas świecenia żarówek jest zawarty między 900 h i 1100 h?
Zad. 4 Delikatesy w Krakowie mają własny samochód dostawczy – żuka o ładowności 900 kg.
Kierowca pojechał do hurtowni po cukier w torebkach kilogramowych. Zmienna losowa oznaczająca
wagę torebki cukru ma rozkład normalny N(1 kg; 0,015 kg). Kierowca załadował do samochodu 901
torebek cukru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga towaru przekroczy ładowność żuka?
Zad. 5 Stosując twierdzenie Moivre’a – Laplace’a obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w 800
niezależnych próbach ilość sukcesów będzie większa niż 150, a mniejsza niż 250, jeśli
prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest równe 0,25.
Zad. 6 W populacji wzrost mężczyzn jest zmienną losową X o rozkładzie N(175 cm; 5 cm).
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany mężczyzna będzie miał wzrost powyżej
180 cm?
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna wzrostu losowo wybranych pięciu
mężczyzn będzie większa niż 180 cm?
(c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni wzrost 100 mężczyzn będzie większy niż 180 cm?
Zad. 7 Worek cementu jest zmienną losową o wartości oczekiwanej 100 kg oraz odchyleniu
standardowym 1 kg.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że 100 losowo wybranych worków będzie ważyło mniej niż
9800 kg?
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 50 losowo wybranych worków
cementu będzie ważyła mniej niż 98 kg?
Zad. 8 W populacji zmienna losowa X ma rozkład N(80;20). Z populacji tej wylosowano próbę o
liczebności 36. Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna z 36 elementowej próby
będzie:
(a) mniejsza od 75,
(b) większa niż 60, ale mniejsza niż 80.
10