Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną

Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Procesy Cieplne.
Wymiana Ciepła – Pojęcia
podstawowe c. d.
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną:
d2
Tf1
Tw1
Tw1
Tf2
q
α1
Rozpatrzmy jednorodną ściankę cylindryczną
zbudowaną z materiału o stałej wartości
współczynnika przewodzenia ciepła λ.
Dane są temperatury przepływających
czynników Tf1 i Tf2 oraz współczynniki
wnikania ciepła po obu stronach ścianki
α1 α2
q
α1
d1
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
W warunkach ustalonego ruchu ciepła:
d2
Tf1
1) wnikanie ciepła wewnątrz przewodu:
Qh  1    d1  L  T f 1  Tw1 
Tw1
Tw1
powierzchnia wymiany ciepła
Tf2
q
α1
1
q
2
3
2) przewodzenie ciepła w ściance:
Qh    2    L 
Tw1  Tw 2
d2
ln
d1
wnikanie ciepła na zewnątrz przewodu:
d1
α2
Qh   2    d 2  L  Tw 2  T f 2 
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przekształcając:
Qh
 T f 1  Tw1 
1    d1  L
Qh
L
sumując stronami:
 1
d2 
 
 ln   Tw1  Tw2 
d1 
 2   
Qh
 Tw 2  T f 2 
 2   d2  L
Qh 1  1
1
d2
1 
  T f 1  T f 2 
  

 ln

L   1  d1 2  
d1  2  d 2 
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
  T f 1  T f 2 
Qh

L  1
1
d2
1 



 ln

d1  2  d 2 
 1  d1 2  
kL 
1
 1
1
d2
1 



 ln

d1  2  d 2 
 1  d1 2  
Qh
 k L    T f 1  T f 2 
L
[W/m]
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
kL 
1
 1
1
d2
1 



 ln

d1  2  d 2 
 1  d1 2  
[W/m*K]
liniowy współczynnik przenikania ciepła
Charakteryzuje on intensywność ruchu ciepła od jednego ośrodka do drugiego przez
rozdzielającą te ośrodki ściankę cylindryczną. Liczbowo jest on równy ilości ciepła
przechodzącego przez ściankę o grubości 1 m w jednostce czasu i przy jednostkowej
różnicy temperatur.
Wielkość odwrotną do liniowego współczynnika przenikania ciepła nazywamy
liniowym oporem cieplnym
1  1
1
d2
1 

RL 
 

 ln

k L  1  d1 2  
d1  2  d 2 
[m*K/W]
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
1  1
1
d2
1 

RL 
 

 ln

k L  1  d1 2  
d1  2  d 2 
1
1
 RL1
 RL  2
1  d1
 2  d2
1
d2
 ln
 RL
2
d1
RL  RL1  RL 2  RL
opory cieplne wnikania ciepła
opór cieplny przewodzenia ciepła w ściance
Z równań wynika, że liniowe opory cieplne
dla rury zależą od wartości współczynników
wnikania α1 α2, materiału z którego zbudowana
jest rura (λ) i od średnic d1 i d2
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przy odniesieniu strumienia cieplnego do wewnętrznej lub zewnętrznej powierzchni
ścianki cylindrycznej otrzymamy obciążenie cieplne
Qh
kL
q1 
  T f 1  T f 2 
  d1  L d1
[ W / m2 ]
Qh
kL
q2 
  T f 1  T f 2 
  d2  L d2
można to również zapisać:
q1  k1  T f 1  T f 2 
q2  k 2  T f 1  T f 2 
gdzie:
kL
k1 
d1
kL
k2 
d2
[ W / m2 * K ]
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Powyższy zapis pozwala sformułować zależności między współczynnikami
przenikania ciepła przy odniesieniu strumienia cieplnego do jednostki długości
rury i do jednostki powierzchni:
kL  k1  d1  k2  d2
przy czym:
k1 
1
1
d1
d2
d1

 ln

1 2  
d1  2  d 2
[ W / m2 * K ]
k2 
1
d2
d2
d2 1

 ln

1  d1 2  
d1  2
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
W wielu praktycznych przypadkach grubość ścianki cylindrycznej jest mała w
porównaniu ze średnicą. Wykorzystujemy wówczas do obliczeń równania uproszczone:
Wielkość ln ( d2 / d1 ) można rozłożyć w szereg:
2
d2  d2  1  d2 
ln
   1     1  ...
d1  d1  2  d1 
Szereg taki dla wartości stosunku d2 /d1  1 jest szybko zbieżny i z dostatecznym
przybliżeniem można się wówczas ograniczyć do pierwszego wyrazu szeregu:
d 2  d 2  d 2  d1 2  
ln
   1 

d1  d1 
d1
d1
grubość ścianki, m
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Podstawiając to do równania na k1 :
k 
`
1

1
 
1   2
[ W / m2 * K ]
1
równanie to jest identyczne jak na współczynnik przenikania ciepła k dla ścianki
płaskiej.
Dla rur o cienkich ściankach do obliczeń praktycznych można stosować równanie:
Qh  k `    d x  L  T f 1  T f 2 
dla
1   2
d x  d2
 2  1
d x  d1   
1
2
d1  d 2
dx 
2
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Cylindryczna ścianka wielowarstwowa
Rura pokryta izolacją jest przykładem ścianki
λ1
λ2 λ3
wielowarstwowej.
Tw1
Stosując równanie dla pojedynczej ścianki
cylindrycznej
Tw2
Tw3
r1
r2
r2
r4
Tw4
Qh
Tw1  Tw 2
   2  
r2
L
ln
r1
w stanie ustalonym możemy zapisać
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Qh
Tw1  Tw 2
Tw 2  Tw3
Tw3  Tw 4
 1  2   
 2  2   
 3  2   
r2
r3
r4
L
ln
ln
ln
r1
r3
r2
Wykorzystując koncepcję oporów cieplnych i eliminując temperatury Tw2 i Tw3
Qh

L
  Tw1  Tw 4 
 r4 
 r2 
 r3 
ln   ln   ln  
 r1    r2    r3 
2  1
2  2
2  3
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
A dla ścianki zawierającej n warstw:
Qh   Tw1  Twn 1 

L
  ri 1  
 ln 
 

n
  ri  

 2 
i 1
i






W przypadku gdy znany jest strumień cieplny Qh / L wówczas z równań na
przewodzenie ciepła przez poszczególne warstwy można wyznaczyć temperatury
pomiędzy warstwami Tw2, Tw3, …, Tw(k+1)
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
1
d2
 Qh 
Tw2  Tw1    
 ln
d1
 L  2    1
d3 
d2
1
 Qh  1  1
Tw3  Tw1      
 ln

 ln 
d1 2  2
d2 
 L    2  1
n
Q
di 1
1
1
 h
Twk 1  Tw1      
 ln
di
 L   i 1 2  i
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przenikanie przez ściankę cylindryczną wielowarstwową opisuje równanie:
Qh

L
  T f 1  T f 2 
n
d i 1
1
1
1

 ln

1  d1 i 1 2  i
d i  2  d n 1
W zastosowaniach praktycznych często zależy nam na zwiększeniu oporu przenikania
ciepła przez ściankę rury. Dlatego rurociągi pokrywa się warstwą materiału o małej
wartości współczynnika przewodzenia ciepła. Mówimy wówczas o izolacji przewodu.
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Rozpatrzmy przypadek rury z izolacją λ. Straty cieplne od rury izolowanej do
otoczenia można obliczyć z równania:
Tf
q
λ
d1
Tw
α2
dz
  Tw  T f 
Qh

L
 dz 
1
1
 ln   
2    d1   2  d z
Qh Tw  T f 

L
ReL
opór cieplny
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Strumień cieplny będzie maksymalny wówczas, gdy mianownik równania będzie
minimalny. To znaczy gdy opór cieplny osiągnie wartość minimalną. Tę wartość
można wyznaczyć obliczając pochodną oporu cieplnego względem średnicy dz i
przyrównując otrzymany wynik do 0:

dR eL
d  1
dz
1
1
1

 

 ln 

dd z dd z  2    
d1    2  d z  2      d z    2  d z2
dR eL
1
1


0
2
dd z
2      d z   2  d z
dz 
2
2
 d zkr
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Druga pochodna
d 2 R eL
0
2
dd z
dla dz równego dzkr a więc krytyczna średnica
jest średnicą dla której straty cieplne są
maksymalne.
Stąd nasuwa się wniosek że straty cieplne od rury do otoczenia mogą być zwiększone
przez zwiększenie warstwy izolacyjnej , jeżeli średnica krytyczna jest większa niż
średnica rury bez izolacji.
Qh/L
sytuacja ta występuje tylko dla małych rur lub drutów
o małe średnicy
dopiero izolacja o grubości większej niż (d* - d) / 2
powoduje spadek strat ciepła.
d
dkr
d*
dz
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Podstawy ruchu ciepła przez wnikanie
Dotychczas nasz uwaga skupiona była na procesie przewodzenia ciepła w ciałach
stałych. Wnikanie ciepła było głownie rozpatrywane jako pewien rodzaj warunków
brzegowych w zastosowaniu do powierzchni ciała przewodzącego ciepło.
Współczynnik wnikania ciepła α definiowany był prawem Newtona i przyjmowany
jako wielkość znana.
Rozpatrzymy teraz szczegółowo proces wnikania ciepła w płynach i metody
wyznaczania wartości współczynników wnikania ciepła.
Wnikanie ciepła obejmuje przewodzenie ciepła w warstewce płynu przylegającej do
powierzchni wymiany oraz konwekcję w głównej masie płynu.
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przez konwekcję rozumiemy transport energii w płynie głównie w wyniku ruchu
samego płynu. Proces przewodzenia energii przez wymianę cząsteczkową występuje
nadal, ale główny ruch energii zachodzi na skutek kontaktu elementów płynu o
większej energii z obszarem o mniejszej energii, kontakt ten następuje w wyniku
ruchu pakietów płynu ( mieszanie)
W przypadku gdy ruch elementów płynu spowodowany jest przez siły zewnętrzne
mechanizm taki nazywamy konwekcją wymuszoną
Kiedy nie występują siły zewnętrzne w płynie, jego ruch zachodzi wówczas w wyniku
różnic gęstości. Występujący w takich warunkach ruch ciepła nazywamy
konwekcją swobodną
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wyznaczenie wartości współczynników wnikania może być przeprowadzone
metodą analityczną. Obejmuje ona poszukiwanie rozkładu temperatur w płynie
otaczającym ciało. Ruch płynu w bezpośrednim sąsiedztwie powierzchni jest
laminarny i wówczas strumień cieplny od powierzchni musi być szacowany
na podstawie gradientu temperatury płynu na powierzchni.
Współczynnik wnikania może być definiowany
jako stosunek gęstości strumienia cieplnego
Tf do różnicy między temperaturą powierzchni
a temperaturą płynu:
przepływ płynu
Tw
powierzchnia
ciała
 T 
 
 n  w
 dT 
  

dn  w


T f  Tw
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wyznaczenie wartości α metodą analityczną opisaną powyżej jest bardzo złożone
Ponieważ proces wnikania ciepła obejmuje również przewodzenie ciepła w cienkiej
warstwie przy powierzchni ciała, można tu zastosować równanie Fouriera:
 T 
q     
 n  n0
normalna do powierzchni ciała
Poza wymienioną warstewką ruch ciepła można opisać równaniem Newtona:
q    Tw  T f 
porównując:

 T 
 


Tw  T f  n  n 0
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wprowadzając oznaczenie:
  T  Tf
  d 
     
w  dy  y 0
dla układu dwuwymiarowego
x, y
Równanie tego typu opisuje ruch ciepła na granicy ciała dla y = 0. W przypadku gdy
interesuje nas tylko hydrodynamika układu, do pełnego opisu przepływu płynu,
należy dysponować składowymi prędkości Ux i Uy oraz ciśnieniem p dla każdego
punktu. Równanie ciągłości oraz równanie Naviera – Stokesa wystarczają do
znalezienia wymienionych niewiadomych. Podczas rozpatrywania zagadnień ruchu
ciepła przez wnikanie należy również wyznaczyć temperaturę T w każdym punkcie
pola przepływu. Potrzebne jest zatem dodatkowe równanie podstawowe.
Równaniem tym jest równanie różniczkowe wnikania ciepła zwane równaniem energii
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przyjmijmy następujące założenia: płyn jest nieściśliwy i jednorodny, nie występują
wewnętrzne źródła ciepła, ciepło wydzielane w płynie w wyniku tarcia może być
zaniedbane oraz ciepło dostarczane do elementu płynu zużywane jest jedynie na
zmianę entalpii.
dQy+dy
X3
y
dQz
Rozpatrzmy elementarny prostopadłościan
o wymiarach dx, dy, dz przyjmując, że płyn
ma stałe parametry λ, cp, ρ.
dQx+dx
dQx
BILANS CIEPLNY ELEMNTU PŁYNU
X1
x
X2z
dQz+dz
dQy
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Ilość ciepła dostarczona do prostopadłościanu wzdłuż osi x w jednostkowym czasie dt
wynosi:
dQx  qx  dy  dz  dt
dQy+dy
Ilość ciepła opuszczająca element w kierunku x:
X3
y
dQz
dQx dx  qx dx  dy  dz  dt
dQx+dx
dQx
X1
x
dQx  dx
X2z
dQz+dz
dQy
q x


  q x  dx 
 dx   dy  dz  dt
x


Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Różnica pomiędzy ciepłem dopływającym a odpływającym w kierunku x :
dQx  dQx  dx
q x
q x

 dx  dy  dz  dt  
 dV  dt
x
x
podobnie dla pozostałych kierunków:
dQy  dQy  dy  
dQz  dQz  dz
q y
y
 dx  dy  dz  dt  
q y
y
 dV  dt
q z
q z

 dx  dy  dz  dt  
 dV  dt
z
z
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Stąd całkowita ilość ciepła dostarczona do elementu wyniesie:
 qx q y qz 
  dV  dt
dQ  


y
z 
 x
Zgodnie z założeniem całe to ciepło zużywane jest na zmianę entalpii:
przyjmując:
i  c p  T
i
T
dQ     dV  dt    c p 
 dV  dt
t
t
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Przyrównując oba równania:
 qx q y qz 
T

  cp 
 


t
y
z 
 x
lub:
T
  cp 
 div q
t
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Wyznaczmy wartość gęstości strumienia cieplnego qx. Ciepło przenoszone jest w
płynie zarówno przez konwekcję jak i przewodzenie:
q x  q xkonwekcja  q xprzewodzenie
T
q xprzewodzenie   
x
[ J / m2 * s ]
jeżeli przyjmiemy ux jako składową wektora prędkości na kierunku x i iloczyn
ρux [ kg/m2*s ] jako gęstość strumienia masy ( na jednostkę powierzchni normalnej
do kierunku przepływu ) wówczas:
q xkonwekcja    c p  u x  T
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Sumując:
T
qx    c p  u x  T   
x
Podobnie dla osi y i z:
T
qy    cp  uy T   
y
T
qz    c p  u z  T   
z
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
różniczkując otrzymujemy:
qx
u x 
T
 2T

   c p   ux 
T 
 2
x
x
x 
x

q y
u y 

T
 2T
    2
   c p   u y 
T 
y
y
y 
y

2
qz

T

u

T

z 
   c p   uz 
T 
 2
z
z
z 
z

sumując:
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
  2T  2T  2T 
 u u u 

T
T
T
T 
    c p  T   x  y  z 
  cp 
    2  2  2     c p   u x 
 uy 
 uz 
t
y
z 
x
y
z 
y
z 

 x
 x
dla cieczy nieściśliwych:
u x u y u z


0
x
y
z
T
T
T
T
   2T  2T  2T 
 ux 
 uy 
 uz 

  2  2  2 
t
x
y
z c p    x
y
z 
Jest to równanie energii opisujące rozkład temperatury w poruszającym
się płynie.
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Korzystając z definicji pochodnej wędrownej:
DT T
T
T
T

 ux 
 uy 
 uz 
Dt
t
x
y
z
dyfuzyjności cieplnej:
a

cp  
i wprowadzając operator Laplacea równanie energii przyjmuje postać:
DT
 a   2T
Dt
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
W przypadku gdy nie ma przepływu płynu u = 0 to równanie sprowadza się do
różniczkowego równania przewodzenia ciepła:
T
 a   2T
t
Uwzględniając w wyprowadzeniu szybkość z którą energia mechaniczna jest
rozpraszana w energią cieplną pod działaniem sił lepkości ( dyssypacja energii)
równanie przyjmuje postać dla układu dwuwymiarowego x, y:
2
2
2
 u y   u x u y  
T
T
T
   2T  2T 
   u x 

  
 
 ux 
 uy 



 2  

  2  
t
x
y c p    x 2 y 2  c p     x 

y

y

x

 
 

Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Parametry podobieństwa w ruchu ciepła:
W odniesieniu do ruchu ciepła parametry podobieństwa procesu mogą być utworzone
na podstawie dyskusji równań różniczkowych : ciągłości , ruchu i energii.
Rozważmy przypadek ustalonego ruchu ciepła podczas przepływu płynu o
temperaturze Tf nad powierzchnią ciała o temperaturze Tw.
W takim przypadku w układzie pojawią się siły masowe będące wynikiem unoszenia.
Jeżeli obierzemy sobie kierunek x zgodnie z kierunkiem wektora ciążenia, w równaniu
Naviera – Stokesa siły masowe w kierunku y będą równe 0 a w kierunku x :
Fx  g    T  T f 
współczynnik rozszerzalności objętościowej
w tych warunkach równania podstawowe przyjmują postać:
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
u x u y

0
x
y
2
2

u x
u x
 ux  ux 
1 p
  g    T  T f 
ux 
 uy 
      2 
x
y
 x
y 
 x
2
2


u

uy 
1 p
y
  g    T  T f 
ux 
 uy 
      2 

x
y
 y

x

y


u y
u y
2
2
  u  2


u

u





u
T
T
   2T  2T 
y
y
x
x
  
 
ux 
 uy 

  2  2    2  

  2  
x
y c p    x
y 
x  
  x 
 y   y

Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Równania te mogą być przekształcone do postaci bezwymiarowych przez wybór
pewnych wielkości charakterystycznych, takich jak długość l, prędkość u0 i różnica
temperatur ΔT = Tw – Tf oraz zdefiniowanie następujących
zmiennych bezwymiarowych:
x
X
l

y
Y
l
T  Tf
Tw  T f

ux
uX 
u0
uY 
uy
u0
p
1
   u02
2
Wprowadzając do równań otrzymujemy:
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
u X uY

0
X
Y
u X
u X
1     2u X  2u X
uX 
 uY 
 

 

2
X
Y
2 X u0  l  X
Y
 g    l  Tw  T f 
 

2
u0

uY
uY
1     2uY  2uY
uX 
 uY 
 

 

2
X
Y
2 Y u0  l  X
Y 2



2
2
  u X  2
  c p  u0  l 
  u02

    2   2  
 uY   u X uY  

 uX 
 uY 

 2  


  2
 
 

X
Y   X 2 Y 2    Tw  T f    X 
X  

 Y   Y
Pojawiają się cztery grupy bezwymiarowe
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Rozwiązanie powyższych równań względem temperatury bezwymiarowej może
być przedstawione za pomocą zależności funkcyjnej:

 g    T   u02   c p  u0  l 

  f  X , Y ,
,
,
,
2
u0  l
u0
  T



te cztery grupy bezwymiarowe mogą być wykorzystywane jako parametry
podobieństwa procesów. Zależność funkcyjna przedstawiana jest często
w postaci:
2
3

  cp 
u

l
u
g

l




T
0
0

  f  X ,Y ,
,
,
,
2




c


T

p


Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Tak więc otrzymane grupy bezwymiarowe są parametrami podobieństwa dla ogólnego
przypadku opływu powierzchni ogrzewanej przez ciecz lepką przy czym:
Gr 
g  l 3    T
2
u02
Ec 
c p  T
  cp
Pr 

Re 
u0  l

liczba Grashofa
liczba Eckerta
liczba Prandtla
liczba Reynoldsa
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
Tak więc bezwymiarowa temperatura :
  f  X , Y , Re, Gr, Ec, Pr 
Do otrzymania wartości współczynnika wnikania ciepła wykorzystuje się zależność:

 T 
 


Tw  T f  n  n 0
wprowadzając zmienne bezwymiarowe:
   

T  Tf
Tw  T f
Nn
l
   

l  N  w
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
lub po przekształceniu :
 l
  
 


 N  w
pojawia się jeszcze jedna grupa bezwymiarowa
 l
Nu 

liczba Nusselta
jest to liczba bezwymiarowa o istotnym znaczeniu w ruchu ciepła.
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
biorąc pod uwagę :
 l
  
Nu 
 


 N  w
oraz
  f  X , Y , Re, Gr, Ec, Pr 
możemy zapisać zależność funkcyjną postaci:
Nu  f  X , Y , Re, Gr, Ec, Pr 
zależność ta pozwala nam wyznaczyć współczynniki wnikania ciepła w układzie.
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
Inżynieria Chemiczna i Procesowa
W szczególnych przypadkach równanie to może być wykorzystywane w uproszczonej
postaci:
W zastosowaniu do konwekcji wymuszonej zaniedbuje się często wpływ sił
unoszenia:
Nu  f Re, Ec, Pr 
lub zaniedbując efekty lepkiej dyssypacji energii:
Nu  f Re, Pr 
W zastosowaniu do konwekcji swobodnej pomija się liczbę Reynoldsa:
Nu  f Gr, Pr 
Wykład nr 10 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe