Procesy Cieplne. Wymiana Ciepła
advertisement
Inżynieria Chemiczna i Procesowa Procesy Cieplne. Wymiana Ciepła – Pojęcia podstawowe Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Ruch ciepła (wymiana ciepła) jest to pojęcie obejmujące cały kompleks zagadnień przenoszenia ciepła miedzy ciałami – względnie między częściami tego samego ciała - uwarunkowany występowaniem różnicy temperatur. różnica temperatur wymiana ciepła Głównym celem, przy rozwiązywaniu zagadnień ruchu ciepła, jest obliczanie ilości ciepła (energii) Q [ J ] przenoszonego w rozpatrywanym układzie, a także obliczanie powierzchni wymiany ciepła A [m2]. Poza pojęciem ilości ciepła Q często stosuje się pojęcie strumienia cieplnego Qh [ J/s] oraz gęstość strumienia cieplnego q [ W/m2 ] Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa strumień cieplny [ J/s ] = [ W ]: dQ Qh dt gęstość strumienia cieplnego (obciążenie cieplne) [ W / m2 ]: Qh q lim A 0 A W przypadku gdy gęstość strumienia cieplnego jest stała na całej rozpatrywanej powierzchni (ustalony ruch ciepła) wówczas równanie to można zapisać w postaci: Qh q A Gęstość strumienia cieplnego q jest więc równa ilości ciepła wymienionego w warunkach ustalonych w jednostkowym czasie, przez jednostkową powierzchnię i przy równomiernym przenoszeniu ciepła przez całą powierzchnię biorącą udział w wymianie ciepła [W/m2] Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Całkowita ilość ciepła wymieniona przez powierzchnie A w czasie t może być obliczona z równania: Q q At W przypadku gdy wartość strumienia cieplnego na rozpatrywanej powierzchni jest zmienna, wówczas ilość ciepła należy obliczać z równania: Q q t dA A Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Rozróżniamy trzy podstawowe mechanizmy ruchu ciepła : PRZEWODZENIE KONWEKCJA I WNIKANIE PROMIENIOWANIE PRZENIKANIE CIEPŁA Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa PRZEWODZENIE CIEPŁA Przewodzenie ciepła jest to wymiana ciepła pomiędzy bezpośrednio stykającymi się częściami jednego lub różnych ciał, polegająca na przekazywaniu energii kinetycznej przez cząsteczki wykonujące mikroskopowy ruch. Główną przyczyną przewodzenia ciepła przez ciało jest występowanie różnicy temperatur między jego częściami. Wyłącznie przez przewodzenie odbywa się wymiana ciepła w ciałach stałych nieprzenikliwych dla promieniowania termicznego oraz w płynach, gdy nie występują ruchy makroskopowe części płynu względem sienie. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przy przewodzeniu gęstość strumienia cieplnego jest proporcjonalna do gradientu temperatury mierzonego wzdłuż kierunku przepływu ciepła. Jest to sformułowanie prawa Fouriera, dla najprostszego przypadku, jakim jest przewodzenie jednokierunkowe można wyrazić je równaniem: dT q dx współczynnik przewodzenia ciepła Współczynnik przewodzenia ciepła wskazuje ile ciepła przepływa przez jednostkę przekroju w ciągu jednostki czasu przy spadku temperatury równym jedności na drodze jednostki grubości warstwy, λ [ W/ m * K ] Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Dla ustalonego przewodzenia ciepła przez ściankę płaską o grubości δ zbudowaną z materiału mającego współczynnik przewodzenia ciepła λ, niezależny od temperatury oraz gdy wartości temperatur na powierzchniach zewnętrznych są stałe i wynoszą T1 i T2 równanie Fouriera można scałkować: dT q dx dT q dx T2 0 T1 q dx dT q T1 T2 T1 q q δ 0 T2 q T1 T2 Qh A T1 T2 Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa KONWEKCJA I WNIKANIE W wielu praktycznych przypadkach występuje ruch ciepła między ścianką stałą (czy powierzchnią cieczy) a przepływającym koło niej płynem. Ruch ciepła w płynie odbywa się przez konwekcję, jednak w bezpośrednim sąsiedztwie ścianki istnieje pewna warstwa, w której ruch ciepła odbywa się przez przewodzenie. konwekcja jest to sposób przenoszenia ciepła prądami występującymi w płynie powodującymi przemieszczanie się całych pakietów płynu. płyn Ruch ciepła uwzględniający zarówno konwekcję w głównej masie płynu jak i przewodzenie w warstwie przyściennej nazywa się wnikaniem ciepła Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Ten rodzaj ruchu ciepła opisuje równanie Newtona: temperatura powierzchni q Tw T f lub: temperatura płynu Qh A Tw T f współczynnik proporcjonalności α określa intensywność ruchu ciepła i nosi nazwę współczynnika wnikania ciepła [ W / (m2 * K ) ] Współczynnik ten wskazuje ile ciepła wnika od płynu do jednostki powierzchni ścianki (lub odwrotnie) w jednostkowym czasie przy różnicy temperatur między płynem a ścianką równej jedności. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa PROMIENIOWANIE Promieniowanie termiczne polega na wysyłaniu przez ciała o temperaturze wyższej od zera bezwzględnego fal elektromagnetycznych. W wyniku promieniowania termicznego energia wewnętrzna ciała przekształca się w energię fal elektromagnetycznych , które po napotkaniu innych ciał lub części tego samego ciała częściowo lub całkowicie są pochłaniane lub przekształcane w energię wewnętrzną. Jeżeli ilość energii wypromieniowanej przez powierzchnię jest różna od ilości pochłoniętej to powstaje wymiana ciepła przez promieniowanie. Ten rodzaj ruchu ciepła charakteryzuje się tym, że odbywa się między ciałami nie stykającymi się, oddzielonymi ośrodkiem przenikalnym dla promieniowania termicznego lub nawet próżnią. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Promieniowanie cieplne podlega podstawowym prawom rozchodzenia się światła: prawu odbicia, załamania i pochłaniania. powierzchnia temperatury bezwzględne T1 4 T2 4 Qh 1 2 C0 A1 1 2 100 100 stała promieniowania ciała doskonale czarnego współczynnik uwzględniający odchylenie własności ciał od własności ciała doskonale czarnego Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa PRZENIKANIE CIEPŁA W zagadnieniach praktycznych spotykamy się najczęściej ze złożonym ruchem ciepła Rozpatrzmy następujący przypadek: ciepło wnika od płynu A do ścianki płaskiej Płyn A Płyn B Tf1 Q α1 Tw1 Następnie jest przewodzone przez ściankę, po czym wnika do płynu B. W układzie ustali się następujący rozkład temperatury (jak na rys.) α2 W przypadku ustalonym na wszystkich odcinkach rozpatrywanej drogi przepływa ta sama ilość ciepła Tw2 λ A Tf2 Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Można to zapisać następująco: Q 1 A T f 1 Tw1 t A Tw1 Tw 2 2 A Tw 2 T f 2 t wnikanie przekształcając: Q T f 1 Tw1 A t 1 wnikanie przewodzenie Q Tw1 Tw2 At Q Tw2 T f 2 A t 2 Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Dodając stronami: Q Q 1 1 T f 1 T f 2 A t 2 1 1 1 1 1 2 A T f 1 T f 2 t k A T t Qh k A T przy czym: współczynnik przenikania ciepła k 1 1 1 1 2 [ W / ( m2 * K) ] Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Należy tu nadmienić, że ruch ciepła między ścianka a otoczeniem może się odbywać na zasadzie wnikania względnie wnikania i promieniowania. W tym drugim przypadku wprowadza się zastępczy współczynnik ruchu ciepła przez promieniowanie αr który można zdefiniować za pomocą równania: Qh (1 2) r A1 T1 T f r Qh 12 A1 T1 T f T 4 T f 4 C0 12 1 100 100 r T1 T f Czyli równoczesny ruch ciepła przez wnikanie i promieniowanie można opisać zależnością: q r T Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa W niektórych zagadnieniach ruchu ciepła dogodnie jest posługiwać się pojęciem oporu cieplnego. (Analogia do filtracji i prawa Ohma) T Qh Rh T T Rh Qh q A Odnosząc powyższe równanie do poszczególnych przypadków ruchu ciepła, możemy sformułować odpowiednie zależności na opory cieplne. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa a) Opór cieplny przewodzenia dla ścianki płaskiej: T R Qh A b) Opór cieplny wnikania: 1 R A c) Opór cieplny promieniowania: 1 Rr r A1 Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa d) Opór cieplny złożonego ruchu ciepła przez wnikanie i promieniowanie: R r 1 r A1 d) Opór cieplny przenikania: 1 Rk kA Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa PRZEWODZENIE Przewodzenie ciepła może występować tylko wtedy, gdy w różnych punktach ciała temperatura nie jest jednakowa. W przypadku ogólnym ruchowi ciepła przez przewodzenie w ciele stałym towarzyszy zmiana temperatury w czasie i przestrzeni. Zbiór wartości pewnej wielkości w danym obszarze w określonym momencie czasu nosi nazwę pola tej wielkości. Znajomość rozkładu temperatury w danym ośrodku oznacza więc znajomość pola temperatury w tym ośrodku. Pole temperatury jest polem skalarnym bo temperatura to skalar. Analityczne badanie przewodzenia ciepła sprowadza się do poznania zmiany temperatury w czasie i przestrzeni, tj. do znalezienia konkretnej postaci równania: T f x, y, z, t pole temperatury Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Rozróżniamy pole temperatury ustalone i nieustalone. Nieustalone pole temperatury występuje wtedy gdy temperatura zmienia się z upływem czasu oraz z punktu do punktu rozpatrywanej przestrzeni. T f x, y, z, t W przypadku gdy temperatura w każdym punkcie pola z upływem czasu nie ulega zmianie, pole takie nazywamy ustalonym T f x, y, z T 0 t Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Równanie różniczkowe przewodzenia ciepła: W celu wyprowadzenia równania różniczkowego przewodzenia ciepła przyjmujemy następujące założenia: a) ciało jest homogeniczne i izotropowe b) parametry fizyczne ciała są stałe c) odkształcenia rozpatrywanej objętości są małe d) makroskopowe cząstki ciała są w stosunku do siebie nieruchome e) wewnętrzne źródła ciepła są rozmieszczone w ciele równomiernie Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Rozpatrzymy elementarny prostopadłościan o ścianach dx, dy , dz: X3 y Temperatura rozpatrywanego prostopadłościanu w danej chwili wynosi T i może ulegać zmianie w czasie. dy X1 x dz z X2 dx Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Aby otrzymać równanie przewodzenia ciepła, należy ułożyć bilans energetyczny dla rozpatrywanego prostopadłościanu: X3 y Oznaczmy odpowiednio: dQy dy dQz dy dQx dQx dx dQz dz z X2 dz dx dQy dQx dQy dQz ilości ciepła dostarczone do płaszczyzn prostopadłościanu w czasie dt w X1 x kierunku Ox, Oy i Oz. dQx dx dQy dy dQz dz ilości ciepła odprowadzona z przeciwległych płaszczyzn prostopadłościanu w czasie dt w kierunku Ox, Oy i Oz. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Ilość ciepła jaka dopływa do powierzchni dy dz w kierunku osi x w czasie dt : X3 y dQy dy dQx qx dy dz dt dQz dy dQx dQx dx dQz dz z X2 dz dx dQy Przez powierzchnię przeciwległą odpływa w tym samym kierunku X1 x w czasie dt ilość ciepła: dQx dx q x qx dx dy dz dt x Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Różnica między ciepłem dopływającym a odpływającym z prostopadłościanu w kierunku osi x i czasie dt wynosi: dQx1 dQx dQx dx q x q x dy dz dt q x dx dy dz dt x q x dQx1 dx dy dz dt x Podobnie można wyznaczyć różnicę między ciepłem doprowadzonym a odprowadzonym z prostopadłościanu dla pozostałych kierunków Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa dQ1 dQx1 dQy1 dQz1 Ilość ciepła dostarczona do rozpatrywanej objętości przez przewodzenie qx q y qz dx dy dz dt dQ1 y z x Przez dQ2 oznaczmy ilość ciepła wytworzonego wewnątrz elementu w czasie dt przez wewnętrzne źródła ciepła. Przyjmijmy że pojemność wewnętrznego źródła ciepła wynosi qv [ W / m3 ]. Wówczas: dQ2 qv dV dt Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przez dQ oznaczmy zmianę energii wewnętrznej ciała o objętości dV w czasie dt: T dQ c p dt dV t przyrost entalpii prostopadłościanu w czasie dt przy zmianie temperatury . Prawo zachowania energii ( bilans energii ) mówi nam że: ilość ciepła dostarczona do prostopadłościanu przez przewodzenie z zewnątrz w czasie dt ilość ciepła wytworzona przez wewnętrzne źródła ciepła w czasie dt zmiana energii wewnętrznej materiału zawartego w objętości kontrolnej. ( I zasada termodynamiki ) Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Prawo to można zapisać w postaci: dQ dQ1 dQ2 Podstawiając wyrażenia na odpowiednie człony : dV dt qx q y qz T dx dy dz dt cp dt dV qv dV dt t y z x qv T 1 qx q y qz t c p x y z c p Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa lub w innej notacji: T c p div q qv t podstawiając wyrażenie na pierwsze prawo Fouriera: dT q x dx T T T T cp qv t x x y y z z Jest to ogólne równanie przewodzenia ciepła w ciele izotropowym z uwzględnieniem wewnętrznych źródeł ciepła. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa W ogólnym przypadku współczynnik przewodzenia ciepła λ jest funkcją temperatury równanie to jest nieliniowe i bardzo trudne do rozwiązania. Jeżeli założymy że λ jest stałe to otrzymamy: qv T 2 T t c p cp operator Laplace`a We współrzędnych kartezjańskich operator ten przyjmuje postać: 2 2 2 T T T 2 T 2 2 2 x y z Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Jeżeli w układzie pominiemy występowanie wewnętrznych źródeł ciepła : T a 2T t równanie Fouriera w warunkach ustalonych: T 2 qv 0 równanie Poissona w warunkach ustalonych bez wewnętrznych źródeł ciepła: 2T 0 równanie Laplace`a Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Pojawił się współczynnik a [m/s] : a cp dyfuzyjność cieplna Parametr ten zwany jest również współczynnikiem wyrównania temperatur lub współczynnikiem przewodzenia temperatury Szybkość zmiany temperatury jest tym większa im większe jest a Wartość tego parametru zależy od rodzaju materiału . Ciecze i gazy mają małą dyfuzyjność cieplną w przeciwieństwie do metali. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Czyli ogólne równanie różniczkowe przewodzenia ciepła może być zapisane następująco: qv T 2 a T t cp Równanie to ustala związek między czasowymi i przestrzennymi zmianami temperetury w dowolnym punkcie ciała przewodzącego ciepło. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa W celu podania pełnego matematycznego opisu zagadnienia konieczne jest sprecyzowanie dodatkowych warunków charakteryzujących konkretny proces. Są to tzw. warunki jednoznaczności 1) Warunki geometryczne, charakteryzujące kształt i wymiary ciała w którym zachodzi proces przewodzenia ciepła. 2) Warunki fizyczne, tj. własności fizyczne ciała, takie jak przewodnictwo cieplne, ciepło właściwe, gęstość. 3) Warunki czasowe, które opisują rozkład temperatury w ciele w początkowym momencie. W ogólnym przypadku dla t = 0 mamy: T f x, y, z lub gdy rozkład jest równomierny: T T0 const Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa 3) Warunki brzegowe, opisujące współdziałanie rozpatrywanego ciała z otoczeniem mogą to być: a) warunki brzegowe pierwszego rodzaju – rozkład temperatury na powierzchni ciała dla każdego momentu czasu: T w f x, y, z, t temperatura powierzchni gdy temperatura powierzchni pozostaje stała podczas całego procesu ruchu ciepła T w const Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa b) warunki brzegowe drugiego rodzaju – jest znana gęstość strumienia cieplnego qw w każdym punkcie powierzchni ciała i dla dowolnego czasu: q w f x, y, z, t w szczególnych przypadkach przyjmujemy stałość gęstości strumienia cieplnego q w const c) warunki brzegowe trzeciego rodzaju – znana jest temperatura otaczającego ośrodka oraz zależność, która opisuje wymianę ciepła między ciałem a tym ośrodkiem. (wnikanie, promieniowanie lub oba procesy naraz) równanie Newtona q Tw T f Tw > Tf Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Ta sam ilość ciepła jest przekazywana przez przewodzenie na granicy ciała : T q Tw T f n w normalna do powierzchni ciała Ostatecznie warunek brzegowy trzeciego rodzaju można opisać następująco: T Tw T f n w Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa c) warunki brzegowe czwartego rodzaju – warunek ten stanowi przypadek wymiany ciepła z otoczeniem przez przewodzenie. Przyjmuje się przy tym, że dwa ciała znajdują się w doskonałym kontakcie (powierzchnie kontaktujące się maja te same temperatury). Wartości strumieni cieplnych na powierzchni rozgraniczającej ciało i otoczenie muszą być takie same: T1 T2 1 2 n w n w Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Ogólne równanie różniczkowe qv T 2 a T t cp po uwzględnieniu warunków jednorodności daje pełen opis matematyczny konkretnego zagadnienia przewodzenia ciepła . Zagadnienie to może być rozwiązane analitycznie lub numerycznie. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Przykład Ścianka jednowarstwowa cylindryczna Rozpatrzmy ustalone przewodzenie ciepła przez ściankę cylindryczną: Tw1 Tw1 Tw2 Tw2 r dr W przypadku gdy powierzchnia wewnętrzna o promieniu r1 oraz zewnętrzna o promieniu r2 są w stałych temperaturach. Dla długiego cylindra zaniedbujemy efekty końcowe. Pomijamy więc zależność temperatury od z , oraz od kąta biegunowego φ. T 0 z r1 r2 T 0 temperatura zmienia się tylko wzdłuż promienia. Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Ogólne równanie różniczkowe przewodzenia ciepła, zapisane dla współrzędnych cylindrycznych, przyjmuje wówczas postać: d dT r 0 dr dr z warunkami brzegowymi : lub T Tw1 T Tw 2 d 2T 1 dT 0 2 dr r dr dla dla r r1 r r2 Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa całkując równanie: d dT dr r dr d dT r 0 dr dr dT r C1 dR otrzymujemy rozwiązanie postaci: 1 dT C1 r dr T C1 ln r C2 Uwzględniając warunki brzegowe wyznaczamy wartości stałych równania: Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Tw1 Tw 2 C1 r1 ln r2 ln r1 C2 Tw1 Tw1 Tw 2 r1 ln r2 po podstawieniu stałych otrzymujemy zależność na rozkład temperatury w ściance cylindrycznej: ln r T r Tw1 Tw1 Tw 2 r2 ln r1 Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa Z równania Fouriera można obliczyć ilość ciepła przewodzonego przez ściankę: dT Qh Ar dr gdzie Ar 2 r L długość przewodu Ponieważ przyj eto w rozważaniach przewód o nieskończonej długości , dogodniej jest wyrazić strumień cieplny na jednostkę długości: Qh dT 2 r L dr Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe Inżynieria Chemiczna i Procesowa pochodna dT/dr wynosi dla tego przypadku: dT C1 1 Tw1 Tw 2 dr r r ln r1 r2 stąd strumień: Qh Tw1 Tw 2 2 r2 L ln r1 Wykład nr 9 : Procesy cieplne. Wymiana Ciepła – pojęcia podstawowe
