Zmienne losowe dyskretne Zmienne losowe ciągłe

Zmienne losowe dyskretne
Zad. 1. Z talii 52 kart ciągniemy 6. Każdemu losowaniu przypisujemy liczbę pików. Znaleźć
rozkład określonej w ten sposób zmiennej losowej.
Zad. 2. Niech X będzie wynikiem pojedynczego rzutu kostką. Wyznaczyć dystrybuantę X
oraz P (X ∈ (3, 5)), P (X ∈ [3, 5)).
Zad. 3. Wybieramy jedną kartę z 32 (od siódemki do asa). Niech X będzie zmienną losową
przyjmującą wartość karty zgodnie z zasadami w brydżu (A = 4, K = 3, D = 2,
V = 1, pozostałe = 0).
a) Wyznacz rozkład zmiennej X.
b) Wyznacz i narysyj dystrybuantę zmiennej X.
c) Oblicz P (X ¬ 2).
d) Wyznacz EX i V arX.
Zad. 4. Gra polega na rzucie kostką i monetą. W przypadku otrzymania dwójki i orła grający
otrzymuje 100 zł, orła i nieparzystej liczby oczek 50 zł, a w pozostałych przypadkach
płaci 30 zł. Obliczyć wartość oczekiwaną wygranej gracza. Ile powinien płacić, aby gra
była sprawiedliwa?
Zad. 5. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 8. Oblicz
EX, V arX oraz P (8 ¬ X ¬ 10).
Zad. 6. Z urny zawierającej b kul białych i c czarnych wyciągamy kule do momentu, gdy
pojawi się kula biała. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję ilości wyciągniętych kul
czarnych, jeśli każdą kulę po wyciągnięciu zwracamy z powrotem do urny.
Zad. 7. Załóżmy, że w jeziorze było 15000 ryb, z których 1000 było znaczonych. Wędkarz
wyławiał 15 ryb, przy czym każdą złapaną rybę wrzucał z powrotem do jeziora i dopiero
potem łowił nastepną. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję ilości ryb znaczonych
wśród połowu.
Zad. 8. Prawdopodobieństwo, że produkt poddawany próbie nie wytrzyma tej próby wynosi
p = 0, 01. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 200 takich produktów co najwyżej 2
nie wytrzyma próby.
Zad. 9. Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 2X +1, jeśli EX = 2
i V arX = 1.
Zad. 10. Oblicz EX, gdzie X jest sumą wyrzuconych oczek przy 500-krotnym rzucie kostką.
Zmienne losowe ciągłe
Zad. 1. Dla jakich a funkcja f (x) = ax2 1[0,2] (x) jest gęstością?
1
Zad. 2. Niech X ma rozkład o gęstości
f (x) =

1

 2 , x ∈ [−1, 0)
x, x ∈ [0, 1]
x∈
/ [−1, 1].

 0,
Obliczyć prawdopodobieństwo, że |X − 18 | <
5
8
lub |X − 1| < 12 .
Zad. 3. Funkcja gęstości stażu pracy osób zatrudnionych na odpowiedzialnych stanowiskach
kierowniczych określona jest następująco:


 0
f (x) =
dla x < 0
cx2 dla 0 ¬ x ¬ 6 lat

 0
dla x > 6.
a) Oblicz stałą c i wyznacz dystrybuantę tego rozkładu.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że staż pracy osoby zatrudnionej na odpowiedzialnym
stanowisku jest mniejszy niż 2 lata.
c) Oblicz następujące parametry rozkładu stażu pracy: wartość oczekiwaną, wariancję
i odchylenia standardowe.
Zad. 4. Niech X będzie zmienną losową o gęstości
(
f (t) =
0,
t∈
/ [−1, 1]
λ(1 − t2 ), t ∈ [−1, 1].
a) Wyznacz λ i narysuj wykres f .
b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Wyznacz P (X > 0, 5 ∨ X < −0, 5).
d) Oblicz EX, V arX.
Zad. 5. Czy dystrybuanta


 0,
FX (t) =
t2 ,

 1
t<0
0¬t<1
1¬t
jest dystrybuantą zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym?
Zad. 6. Czas (w minutach) pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami abonentów pewnej centrali
telefonicznej jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 2.
Oblicz średni czas pomiędzy kolejnymi zgłoszeniami oraz prawdopodobieństwo, że przed
upływem 3 minut nastąpi zgłoszenie.
Zad. 7. Kij o długości 5 złamano w punkcie wybranym z rozkładem jednostajnym. Znaleźć
wartość oczekiwaną i wariancję pola prostokąta o długościach boków równych dwóm
otrzymanym kawałkom kija.
Zad. 8. Niech Z ma rozkład wykładniczy z parametrem 3. Znaleźć wartość oczekiwaną sumy
oraz iloczynu pierwiastków równania x2 + (6Z + 3)x − 1 = 0.
2
Rozkład normalny
Zad. 1. Błąd losowy X pomiaru odległości od drogowskazu jest zmienną losową o gęstości
(x−10)2
1
f (x) = √ e− 50 .
5 2π
Oblicz EX, V ar X, DX.
Zad. 2. Korzystając z tablic standardowego rozkładu normalnego, wyznacz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie N (50, 25) przyjmuje wartości z przedziału:
a) [40, 60];
b) (55, +∞).
Zad. 3. Niech zmienna X ma rozkład N ( 32 , 4). Oblicz P (|2X − 1| < 1) oraz P (|X| > 0, 5).
Zad. 4. Czas świecenia żarówki podlega rozkładowi normalnemu, a średni czas wynosi 1 rok
z odchyleniem standardowym 3 miesiące. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana
losowo żarówka będzie mogła służyć 18 miesięcy?
Zad. 5. Pewien automat produkuje części, których długość jest zmienną losową o rozkładzie
N (2; 0, 04) (w cm). Wyznaczyć prawdopodobieństwo otrzymania braku, jeśli dopuszczalne długości części powinny zawierać się w przedziale (1, 7; 2, 3).
Zad. 6. Pewien przyrząd pomiarowy robi błąd systematyczny 1 m w stronę zawyżenia pomiaru i błąd losowy o rozkładzie N (0; 0, 25).
a) Oblicz wartość przeciętną błędu pomiaru.
b) Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że błąd z jakim są mierzone badane przedmioty nie przekracza 2 m.
Zad. 7. Worki z ziarnem pakowane automatycznie mają średnią wagę 114 kg. Wykazano,
że 10% worków ma 116 kg lub więcej. Przyjmując rozkład normalny dla wag worków,
znajdź odchylenie standardowe.
Zad. 8. W rozkładzie normalnym danych o odchyleniu standardowym 2 prawdopodobieństwo znalezienia w losowy sposób danej o wielkości większej niż 26 wynosi 0, 05. Znajdź
średnią tego rozkładu.
Zad. 9. Wytrzymałość stalowych lin pochodzących z produkcji masowej jest zmienną losową
o rozkładzie N (1000 kg/cm2 , 2500 kg/cm2 ). Oblicz, jaki procent lin ma wytrzymałość
mniejszą od 900 kg/cm2 .
Zad. 10. Średni roczny opad deszczu w pewnym mieście wynosi 75 cm z odchyleniem standardowym 25 cm. Przyjmując, że dane te podlegają rozkładowi normalnemu, oszacuj, w
ciągu ilu lat w stuleciu opad roczny deszczu będzie mniejszy niż 37, 5 cm?
Zad. 11. Nauczyciel wychowania-fizycznego stawia oceny w zależności od wyników
w skoku wzwyż, które podlegają rozkładowi normalnemu. Jeżeli z doświadczenia wiadomo, że średni skok to 178 cm, a odchylenie standardowe wynosi 10 cm oraz, że nauczyciel
daje 20% stopni bdb, to ile centymetrów trzeba skoczyć wzwyż, aby uzyskać ocenę bdb?
3
Zad. 12. Podczas sortowania pewnego rodzaju śliw okazało się, że 20% to owoce małe, 55% to
średnie, 15% to duże, a 10% to bardzo duże. Jeżeli waga tych owoców podlega rozkładowi
normalnemu, a średnia waga wynosi 138 g z odchyleniem standardowym 33, 5 g, to jaka
jest górna i dolna granica dla wagi owocu średniej wielkości?
Zad. 13. Robotnik wykonuje w czasie zmiany 100 detali, wśród których średnio 5 sztuk
jest wadliwie wykonanych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 1 000 sztuk jest co
najmniej 60 sztuk wadliwych?
Zad. 14. Rzucamy 10 000 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba sukcesów
polegających na tym, że wypadnie orzeł, będzie różna od 5 000 o wiecej niż 150?
Zad. 15. Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0, 517. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród n = 10 000 noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby
dziewcząt?
Zad. 16. Wydział Matematyki pragnąłby przyjąć nie więcej niż 130 kandydatów. Zdających jest 400, a szansa zaliczenia testu wynosi 0, 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
Wydział będzie miał kłopot z nadmiarem kandydatów?
4