VII Krapkowicki Konkurs Matematyczny im. T. KNYSZA ZADANIA

VII KRAPKOWICKI KONKURS MATEMATYCZNY
im. dr Tadeusza Knysza dla uczniów gimnazjum
08.05.2014
Część I – kategoria indywidualna – klasa I
Zad.1. (10 pkt.)
Rolnik sprzedał ziemniaki trzem kupcom. Pierwszemu sprzedał wszystkich ziemniaków
i jeszcze 10 kg, drugiemu
reszty i jeszcze 10 kg, a trzeciemu ostatnie 50 kg.
Ile ziemniaków sprzedał rolnik? Ile kilogramów ziemniaków kupił pierwszy a ile drugi kupiec?
Rozwiąż zadanie za pomocą równania.
Zad.2. (10 pkt.)
Aby skosił łan zboża: pierwszy kosiarz potrzebuje 6 godzin, drugi 5 godzin, trzeci 4 godzin,
czwarty 3 godzin, piąty 2 godziny. Ile godzin zajmie im skoszenie łanu zboża jeżeli będą
pracować razem, każdy ze swoją wydajnością.
Zad.3. (5 pkt.)
Boki prostokąta ABCD o polu 1 przedłużono, podwajając ich długości (rysunek).
Ile wynosi pole prostokąta EFGH? Odpowiedź uzasadnij.
Zad.4. (5 pkt.)
Znajdź najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą:
a) Która jest większa od 2014 i ma taką samą sumę cyfr co 2014.
b) Która jest podzielna przez 2, 3, 4, 5 i 6.
Zad.5.(10 pkt.)
Rozwiąż równania:
a)
b)
Czas pracy: 60 min. POWODZENIA!
VII KRAPKOWICKI KONKURS MATEMATYCZNY
im. dr Tadeusza Knysza dla uczniów gimnazjum
08.05.2014
Część I – kategoria indywidualna – klasa II
Zad.1. (5 pkt.)
Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, w którym jedna z
przyprostokątnych ma długość 5cm, a promień okręgu wpisanego ma długość 1 cm.
Zad.2. (10 pkt.)
Sprawdź, która z liczb jest liczbą całkowitą:
A=
B=
C=
D=
Zad.3. (10 pkt.)
Dla jakich a rozwiązaniem równania 2a – x = 4x + 1 jest:
a) liczba 5
b) liczba większa od -7
c) liczby należące do zbioru liczb większych od -1 i nie większych niż 4?
Zad.4. (10 pkt.)
Dany jest kwadrat o boku równym 52% liczby 3,125. Przekątna tego kwadratu jest bokiem
drugiego kwadratu. Jaka jest długość przekątnej drugiego kwadratu? Oblicz pole i obwód
drugiego kwadratu oraz długość okręgu opisanego na tym kwadracie.
Zad.5. (5 pkt.)
Chłopiec ma dwa razy więcej braci niż sióstr, jego siostra ma pięć razy więcej braci niż sióstr.
Ile synów i córek mają ich rodzice?
Czas pracy: 60 min. POWODZENIA!
VII KRAPKOWICKI KONKURS MATEMATYCZNY
im. dr Tadeusza Knysza dla uczniów gimnazjum
08.05.2014
Część I – kategoria indywidualna – klasa III
Zad.1. (5 pkt.)
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n:
a) Liczba
jest podzielna przez 14
b) Liczba
jest podzielna przez 155
Zad.2. (10 pkt.)
Uzasadnij, że
a) dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c spełniona jest nierówność
2
b) dla a>0 spełniona jest nierówność
Zad.3. (10 pkt.)
a) Liczba a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Wykaż, że kwadrat liczby a powiększony o 1
jest podzielny przez 5.
b) Przy dzieleniu przez 5 liczb a, b, c otrzymujemy odpowiednio reszty 1, 2 i 3. Znajdź resztę z
dzielenia sumy kwadratów liczb a, b, i c przez 5.
Zad.4 (10 pkt.)
Funkcja f przyporządkowuje każdej dodatniej liczbie naturalnej nie większej od 13 liczbę jej
dzielników pierwszych. Sporządź tabelkę. Narysuj wykres tej funkcji i podaj zbiór wartości.
Zad.5. (5 pkt.)
W trójkącie prostokątnym punkt styczności okręgu wpisanego dzieli przeciwprostokątną
na odcinki długości 12cm i 5cm. Znajdź długości przyprostokątnych tego trójkąta.
Czas pracy: 60 min. POWODZENIA!
VII KRAPKOWICKI KONKURS MATEMATYCZNY
im. dr Tadeusza Knysza dla uczniów gimnazjum
08.05.2014
Część II – kategoria drużynowa – klasa I
Zad.1. (10 pkt.)
Suma nieskracalnych ułamków
jest równa .
W pierwszym ułamku suma licznika i mianownika jest równa 9, a w drugim 17.
Znajdź te ułamki, wiedząc, że a, b, c i d są dodatnimi liczbami naturalnymi.
Zad.2. (5 pkt.)
Na bokach AB i AD kwadratu ABCD zbudowano trójkąty równoboczne ABE i ADF. Punkty E i F
leżą wewnątrz kwadratu. Oblicz miary katów trójkąta CEF.
Zad.3.(8 pkt.)
a) Jak z kawałka sznurka o długości
m odciąć 1m nie mając do dyspozycji miary?
b) Iloma i jakimi sposobami można zważyć 39kg mając do dyspozycji odważniki 5kg i 2kg?
Zad.4.(10 pkt.)
W puste miejsce wstaw po jednej cyfrze rzymskiej tak, aby otrzymać poprawny zapis liczby
w systemie rzymskim. Następnie liczby zapisz w systemie dziesiętnym i oblicz.
Wynik podaj w systemie rzymskim.
CCCXXXIII + MLXXXV + XXVII
Zad. 5 (5 pkt.)
a) Skróć ułamek:
b) Podaj ostatnią cyfrę liczby
Czas pracy: 60 min. POWODZENIA!
VII KRAPKOWICKI KONKURS MATEMATYCZNY
im. Dr Tadeusza Knysza dla uczniów gimnazjum
08.05.2014
Część II – kategoria drużynowa – klasa II
Zad.1. (10 pkt.)
a) Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które spełniają równanie xy = x + y
b) Czy liczba
może być całkowita? Jeśli tak, to dla jakich wartości liczby x?
Zad.2. (5 pkt.)
Średni wiek babci, dziadka i siedmiu wnucząt jest równy 28 lat, natomiast średni wiek
siedmiu wnucząt jest równy 15 lat. Ile lat ma dziadek, jeżeli jest starszy od babci o 3 lata?
Zad.3. (5 pkt.)
Udowodnij, że
jest liczbą parzystą.
Zad.4. (8 pkt.)
W trapezie równoramiennym przekątne są prostopadłe i dzielą się w stosunku 3:4.
Wysokość trapezu jest równa 10. Oblicz obwód i pole tego trapezu.
Zad.5. (10 pkt.)
Do prostopadłościennego zbiornika o wymiarach 20dm, 10dm, 10m wlano 5000 litrów mleka
o zawartości 3,4% tłuszczu. Resztę dopełniono mlekiem o zawartości 4,2% tłuszczu.
Ile procent tłuszczu zawiera obecnie mleko w zbiorniku?
Czas pracy: 60 min. POWODZENIA!
VII KRAPKOWICKI KONKURS MATEMATYCZNY
im. dr Tadeusza Knysza dla uczniów gimnazjum
08.05.2014
Część II – kategoria drużynowa – klasa III
Zad.1. (10 pkt.)
Suma dwóch liczb wynosi
a ich różnica
. Jaki jest iloczyn tych liczb?
Zad.2. (10 pkt.)
dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości 8 cm
i kącie nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy 600.
Oblicz objętość i pole powierzchni tego ostrosłupa.
Zad.3. (8 pkt.)
W układzie równań
Tak dobierz wartości liczby a, aby rozwiązaniem układu była para liczb przeciwnych.
Zad.4. (5 pkt.)
Na dużym pastwisku znajduje się chata w kształcie trójkąta równobocznego o boku długości
4m. w jednym z jej rogów wbity jest pal, do którego uwiązana jest koza na postronku.
Postronek ma długość 6m. Jaka jest maksymalnie dostępna kozie powierzchnia pastwiska?
Zad.5. (5 pkt.)
Znajdź wszystkie liczby naturalne x spełniające warunek:
Czas pracy: 60 min. POWODZENIA!