Pole grawitacyjne Plan wykładu Definicje Rodzaje pól

Plan wykładu
Pole grawitacyjne
1
Grawitacja
Wielkości charakteryzujace
˛ pole
Pole fizyczne
Prawo Gaussa
Grawitacja wewnatrz
˛ Ziemi
2
Satelity
Predkości
˛
w astrofizyce
Energia układu ciał
3
Ruch w polu sił centralnych
Tory ruchu ciał niebieskich
Planety i satelity
dr inż. Ireneusz Owczarek
CMF PŁ
[email protected]
http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek
2013/14
1
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
2
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole fizyczne
Grawitacja
Definicje
Pole grawitacyjne
Pole fizyczne
Rodzaje pól
Ze wzgledu
˛
na rozkład przestrzenny wielkości charakteryzujacych
˛
pole
wyróżnia sie:
˛
Pole fizyczne
to przestrzenny rozkład wielkości fizycznej.
Pole fizyczne jest polem realnie istniejacej
˛ wielkości fizycznej.
1
pole jednorodne,
2
pole centralne,
3
pole źródłowe (lub bezźródłowe),
4
pole wirowe (lub bezwirowe).
W zależności od charakteru tej wielkości rozróżnia sie:
˛
pole skalarne, np. pole temperatury lub ciśnienia,
pole wektorowe – gdy każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest
pewien wektor. Przykładem jest pole cieżkości
˛
lub pole magnetyczne,
Ze wzgledu
˛
na czasowa˛ zmienność tych wielkości, można podzielić na
pole tensorowe, np. pole tensora napreżenia–energii
˛
w ogólnej teorii
wzgledności.
˛
1
stacjonarne (wielkość charakteryzujaca
˛ pole w dowolnym punkcie nie
zmienia sie˛ w czasie),
2
niestacjonarne (zmienne w czasie).
Linie pola
Analiza pola sprowadza sie˛ do badania rozkładu pola, wprowadzania
wielkości charakteryzujacych
˛
pola skalarne i wektorowe oraz formułowania
ogólnych zwiazków
˛
miedzy nimi.
3
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
to linie, do których styczne w każdym punkcie maja˛ kierunek zgodny
z kierunkami sił działajacych
˛
w tym polu.
4
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Grawitacja
Pole fizyczne
Grawitacja
Rodzaje pól . . .
Pole fizyczne
Rodzaje pól . . .
Pole potencjalne
Pole centralne
to pole sił, w którym istnieje potencjał V (þr, t) taki, że
to pole fizyczne, dla którego linie pola maja˛ przebieg radialny - sa˛ wsz˛edzie
prostopadłe do sferycznych izopowierzchni.
þ = − dV .
F
dþr
Linie przechodza˛ przez jeden punkt, zwany centrum sił lub centrum pola.
5
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Jeżeli potencjał V (þr) nie zależy od czasu, to siła i odpowiednio jej pole sa˛
zachowawcze.
W polu siły zachowawczej praca wykonana na drodze miedzy
˛
dwoma
punktami przestrzeni nie zależy od kształtu drogi (przejścia) miedzy
˛
nimi.
6
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole fizyczne
Grawitacja
Ciażenie
˛
powszechne
Pole grawitacyjne
Pole fizyczne
Źródła pola
Prawo powszechnego ciażenia
˛
Pole grawitacyjne jest to przestrzeń, w której na umieszczone w niej ciała
obdarzone masa˛ działa siła grawitacyjna.
Pole to opisane jest przez:
Miedzy
˛
dowolnymi dwoma punktami materialnymi działa siła wzajemnego
przyciagania
˛
wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów
i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości miedzy nimi
1
þ = −G m1 m2 · þr
F
r2
r
lub
2
nateżenie,
˛
potencjał,
energie.
˛
m 1 m2
.
F = −G
r2
Wielkość
G = 6, 67 · 10−11
jest stała˛ grawitacji.
m3
.
kg · s2
Źródłami i obiektami oddziaływania pola grawitacyjnego sa˛ ciała ważkie.
Charakteryzuja˛ je ich: masy i rozmieszczenie.
ρ=
Jest to stała uniwersalna równa
liczbowo sile grawitacyjnej, jaka˛
wywieraja˛ na siebie dwa ciała o masie
1kg każde z odległości 1m.
7
dr inż. Ireneusz Owczarek
źródła,
przestrzenny rozkład wielkości charakteryzujacych
˛
pole:
Pole grawitacyjne
8
dr inż. Ireneusz Owczarek
dm
.
dV
Pole grawitacyjne
Grawitacja
Pole fizyczne
Grawitacja
Nateżenie
˛
pola
Potencjał pola
Wielkościa˛ skalarna˛ charakteryzujac
˛ a˛ pole grawitacyjne jest potencjał V .
þ
Miara˛ ilościowa˛ pola grawitacyjnego jest jego nateżenie
˛
E.
Potencjał grawitacyjny
Wartość nateżenia
˛
pola grawitacyjnego
jest to praca wykonana przez siły grawitacji przy przemieszczeniu punktu
materialnego o jednostkowej masie z danego punktu pola do
nieskończoności
jest równa liczbowo sile, z jaka˛ to pole działa na punkt materialny o masie
jednostkowej
þ
þ = F = −G M þr = þg
E
m
r3
1
Wr→∞
=
V =
m
m
þ jest równoległy do siły grawitacyjnej i jest tak samo
Wektor nateżenia
˛
E
zwrócony.
Nateżenie
˛
pola grawitacyjnego i przyspieszenie grawitacyjne sa˛ określone
tymi samymi wzorami.
Ú∞
þ · dþr = −GM
F
r
Powierzchnie ekwipotencjalne to
powierzchnie, których wszystkie
punkty maja˛ taki sam potencjał
grawitacyjny.
Powierzchnie ekwipotencjalne i linie sił
przecinaja˛ sie˛ w każdym punkcie pola
pod katem
˛
prostym.
Nateżenie
˛
pola grawitacyjnego jest zwrócone ku masie, która to pole
wytwarza,
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
m
.
s2
Pole grawitacyjne
10
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Prawo Gaussa
Strumień pola
Gdy dwa ciała o masach odpowiednio równych M i m znajduja˛ sie˛
w odległości r od siebie, wówczas ich energia potencjalna zwiazana
˛
z oddziaływaniami grawitacyjnymi jest równa pracy, jaka˛ musi wykonać siła
grawitacyjna, aby rozsunać
˛ te ciała na odległość nieskończenie wielka˛
Ep = Wr→∞ =
Ú∞
þ · dþr = −GM m
F
r
Ú∞
Mm
dr
= −G
.
r2
r
Jeżeli w przestrzeni, w której każdemu jej
punktowi o współrz˛ednych x, y, z
przyporzadkowany
˛
jest wektor nateżenia
˛
pola,
þ
np. E(x,
y, z) przechodzacy
˛ przez element
þ to dΦ = E
þ · dS.
þ
powierzchni dS
r
Strumień pola
Energia potencjalna jest najwieksza
˛
w nieskończoności i ma wartość równo
zeru.
Gdy ciało zbliża sie˛ do źródła pola, to jego energia potencjalna maleje
rA > rB
WAB =
⇒
ÚrB
1
1
<
rA
rB
þ · dþr =
F
rA
WAB = G
11
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole fizyczne
Energia
1
M
dr = −G
r2
r
Znak „–" oznacza, że pole grawitacyjne jest polem sił przyciagaj
˛ acych.
˛
Źródłem pola grawitacyjnego jest ciało o określonej masie,
Nateżenie
˛
pola grawitacyjnego ma wymiar przyspieszenia, tj.
Ú∞
r
Wnioski
9
Pole fizyczne
ÚrB 1
Φ=
þ · dS
þ
E
jest wielkościa˛ skalarna˛ opisujac
˛ a˛ pole wektorowe oraz jego źródłowość.
⇒ ∆Ep < 0.
Jako suma strumieni czastkowych
˛
2
Mm
− G 2 dr.
r
rA
þ i · ∆S
þi
∆Φi = E
ΦS =
Mm
Mm
−G
= Ep A − EpB .
rB
rA
dr inż. Ireneusz Owczarek
Ú
Pole grawitacyjne
n
Ø
i=1
12
dr inż. Ireneusz Owczarek
þi .
þ i · ∆S
E
Pole grawitacyjne
Grawitacja
Prawo Gaussa
Grawitacja
Strumień pola . . .
Grawitacja wewnatrz
˛ Ziemi
Spadek w tunelu
Przykład:
Znaleźć przyspieszenie pojazdu o masie m w zależności od jego odległości r
od środka Ziemi.
Szczególnie ważnym przypadkiem jest strumień przechodzacy
˛ przez
powierzchnie˛ zamkniet
˛ a˛
j
Φ=
þ · dS.
þ
E
Jeżeli gestość
˛
kuli jest stała to
Jeżeli jego wartość jest różna od zera, to pole jest polem źródłowym
(posiada wewnatrz
˛ tej powierzchni źródło).
ρ=
Mwewn
=
V (r)
W przypadku centralnego pola
grawitacyjnego prawo Gaussa
przyjmuje postać
j
to
Mwewn =
þ · dS
þ = −4πGM.
E
þ wewnatrz
Strumień wektora E
˛ kuli o promieniu r
Φ = −4πGMwewn
E · 4πr2 = −4πGMwewn .
13
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
14
Grawitacja wewnatrz
˛ Ziemi
Spadek w tunelu . . .
dr inż. Ireneusz Owczarek
Satelity
Pole grawitacyjne
Predko
˛
ści w astrofizyce
Układ słoneczny
E · 4πr2 = −4πGMwewn
M
E · r2 = −G 3 r3
R
M
E = −G 3 r.
R
Zależność przyspieszenia grawitacyjnego od odległości od środka Ziemi.
15
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
M
V
16
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
M
4
πR3
3
M 3
r .
R3
Satelity
Predko
˛
ści w astrofizyce
Predkość
˛
kosmiczna
Satelity
Predko
˛
ści w astrofizyce
Predkość
˛
kosmiczna . . .
Z równowagi sił grawitacji i odśrodkowej na orbicie o promieniu r
G
v2
Mm
=m
2
r
r
Energia mechaniczna w nieskończoności równa jest 0, zatem na powierzchni
ciała niebieskiego
mv 2
GM m
E=
−
=0
2
r
Pierwsza predkość
˛
kosmiczna
to najmniejsza pozioma predkość,
˛
jaka˛ należy nadać ciału wzgledem
˛
przyciagaj
˛ acego
˛
je ciała niebieskiego, aby ciało to poruszało sie˛ po
zamknietej
˛ orbicie
ò
M
vI = G .
r
Druga predkość
˛
kosmiczna
to predkość,
˛
jaka˛ należy nadać obiektowi, aby opuścił na zawsze dane ciało
niebieskie poruszajac
˛ sie˛ dalej ruchem swobodnym
Ciało staje sie˛ wtedy satelita˛ ciała niebieskiego.
vII =
2G
M
.
r
Czyli jest to predkość
˛
(ucieczki), jaka˛ trzeba nadać obiektowi na powierzchni
tego ciała niebieskiego, aby tor jego ruchu stał sie˛ parabola˛ lub hiperbola.
˛
Przykładowe predkości
˛
dla:
Ziemi (r = RZ ): 7, 91 km
,
s
km
Ksieżyca:
˛
1, 68 s ,
Słońca: 436, 74 km
.
s
17
ò
.
W przypadku Ziemi predkości
˛
ta ma wartość 11, 9 km
s
dr inż. Ireneusz Owczarek
Satelity
Pole grawitacyjne
18
dr inż. Ireneusz Owczarek
Predko
˛
ści w astrofizyce
Predkość
˛
kosmiczna . . .
Satelity
Pole grawitacyjne
Energia układu ciał
Energia mechaniczna
Energia potencjalna układu
Trzecia predkość
˛
kosmiczna
Mm
.
Ep (r) = −G
r
to predkość
˛
poczatkowa
˛
potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego.
W celu wyznaczenia energii
kinetycznej np. satelity na orbicie
kołowej
.
vIII = 16, 7 km
s
G
v2
Mm
=
m
r2
r
wówczas
Czwarta predkość
˛
kosmiczna
M
= v2
r
i energia kinetyczna
G
to predkość
˛
poczatkowa
˛
potrzebna do opuszczenia Drogi Mlecznej.
vIV = 130 km
.
s
Ek (r) =
1
GM m
mv 2 =
.
2
2r
Całkowita energia układu ciał
R
384000
=
= 60
r
6400
E(r) = Ek (r)+Ep (r) =
T = 27, 3dnia = 2, 36 · 106 s
19
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
E(r) = −
20
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
GM m GM m
−
2r
r
GM m
.
2r
Ruch w polu sił centralnych
Tory ruchu ciał niebieskich
Ruch w polu sił centralnych
Rodzaje orbit
Tory ruchu ciał niebieskich
Siła centralna
Ogólny przypadek ruchu punktu materialnego o masie m w polu centralnej
þ we współrz˛ednych biegunowych:
siły zachowawczej F
Orbita
to tor ciała niebieskiego lub sztucznego satelity kraż
˛ acego
˛
wokół innego ciała
niebieskiego.
x = r cos ϕ,
r=
Ciała poruszaja˛ sie˛ wokół wspólnego środka masy.
Pod wpływem siły centralnej ciała poruszaja˛ sie˛ po tzw. krzywych
stożkowych.
Orbita może być otwarta (wtedy ciało nie powraca) lub zamknieta
˛ (ciało
powraca), co zależy od całkowitej energii układu.
Otwarte orbity maja˛ kształt hiperboli (czasem bardzo bliskiej paraboli),
a zamkniete
˛ orbity maja˛ kształt elipsy (okregu).
˛
ð
x2
+
y2 ,
dr 2
dϕ
+ r
dt
dt
1 22
dr
+ r2 ω2 .
v2 =
dt
22
,
y = r sin ϕ,
y
ϕ = arc tg .
x
2
v 2 = vr2 + vϕ
,
v2 =
1
2
1
Z zasady zachowania momentu pedu,
˛
wynika, że jest to ruch w płaszczyźnie
þr i þv
dϕ
L = rmvϕ = mr2
= mr2 ω,
dt
1 22 1 22
dr
L
v2 =
+
.
dt
mr
21
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
22
Tory ruchu ciał niebieskich
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
Siła centralna . . .
Tory ruchu ciał niebieskich
Ruch radialny
Jednowymiarowe zagadnienie ruchu radialnego
Korzystajac
˛ z zasady zachowania energii
1
dr
1
E = Ek + Ep = m
2
dt
22
1
dr
L2
1
+
+ Ep (r) = m
2mr2
2
dt
22
E=
+ Uef (r).
L2
2
ü2mr
ûú ý
Uef (r) =
dr
=
dt
+Ep (r),
energia odsrodkowa
dlatego istnieje siła odśrodkowa
1
1
dr
1
m
2
dt
22
+ Uef (r),
można przekształcić do postaci:
Efektywna energia potencjalna
2
L
d
F =−
dr 2mr2
2
dr inż. Ireneusz Owczarek
t=
2
L
=
= mrω 2 .
mr3
Pole grawitacyjne
ò
2
(E − Uef (r)).
m
Pozwala to na rozdzielenie zmiennych i całkowanie zależności:
Úr
r0
Jeśli L Ó= 0 to zasada zachowania momentu pedu
˛
“zapobiega” zbliżeniu sie˛
ciała do źródła siły (þr Ó= 0).
23
dr inż. Ireneusz Owczarek
dr
ð2
m
(E − Uef (r))
.
Bez dalszych rachunków widać, że ruch może sie˛ odbywać tylko w obszarze
E − Uef (r) ÿ 0.
24
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
Tory ruchu ciał niebieskich
Ruch w polu sił centralnych
Ruch radialny . . .
Ruch katowy
˛
W ruchu w polu sił centralnych moment pedu,
˛
jest zachowany, a predkość
˛
katow
˛ a˛ można wyrazić
dϕ
L
ω=
=
.
dt
mr2
Można wyprowadzić równanie na tor ciała we współrz˛ednych biegunowych
Jeśli moment pedu
˛
jest różny od zera,
L Ó= 0, istnieje ograniczenie na
odległość najmniejszego zbliżenia
ciała do centrum siły:
r ÿ rmin .
rmax
Jeśli całkowita energia ciała jest
mniejsza niż graniczna wartość
energii potencjalnej dla dużych
odległości, E < Uef (∞), to ciało nie
może dowolnie oddalić sie˛ od centrum
siły i ruch odbywa sie˛ w ograniczonym
obszarze
r þ rmax .
Charakter ruch ciała w tym polu zależy od jego energii całkowitej
θ=ϕ=
Ú
Ldr
mr2
rmin
p=
L2
GM m2
r(θ) =
,
ò
1+E
2L2
G2 M 2 m3
,
p
.
1 + e cos θ
Jest to ogólne równanie dla krzywej stożkowej (we współrz˛ednych
biegunowych).
Pole grawitacyjne
26
dr inż. Ireneusz Owczarek
Tory ruchu ciał niebieskich
Ruch w polu sił centralnych
Ruch katowy
˛
...
Pole grawitacyjne
Planety i satelity
Prawa Keplera
Tor planety zależy od energii układu. Jeśli
E > 0, to e > 1, co oznacza, że tor jest hiperbola,
˛
E = 0, to e = 1, co oznacza, że tor jest parabola,
˛
E < 0, to e < 1, co oznacza, że tor jest elipsa.
˛
Jedyna˛ możliwościa˛ odpowiadajac
˛ a˛ ograniczonemu ruchowi planety wokół
gwiazdy jest elipsa, co tym samym dowodzi pierwszego prawa Keplera.
Pierwsze prawo Keplera
Każda planeta porusza sie˛ po orbicie eliptycznej, w której ognisku znajduje
sie˛ Słońce.
Równanie toru planety we
współrz˛ednych biegunowych
W przypadku orbity eliptycznej energia
mechaniczna satelity na orbicie
eliptycznej o półosi wielkiej a
E=−
27
(E − Uef (r))
otrzymuje sie˛ rozwiazanie
˛
E = Emin – ruch po okregu
˛
Ruch w polu sił centralnych
m
e=
oraz
E < 0 – tor zamkniety,
˛
dr inż. Ireneusz Owczarek
ð2
podstawiajac
˛
E > 0 – tor otwarty,
25
Tory ruchu ciał niebieskich
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
r=
p
1 + e cos θ
gdzie
r jest promieniem wodzacym,
˛
e – mimośrodem,
p – parametrem elipsy.
GM m
.
2a
28
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
Planety i satelity
Ruch w polu sił centralnych
Prawa Keplera . . .
Prawa Keplera . . .
Drugie prawo Keplera
Trzecie prawo Keplera
Promień wodzacy
˛ planety zakreśla w równych odstepach
˛
czasu równe pola.
Kwadraty okresów obiegu planet dookoła Słońca sa˛ wprost proporcjonalne
do sześcianów wiekszych
˛
półosi ich orbit
T2
= const.
a3
Szybkość zmian pola
dS
1 dθ
1
= r2
= r2 ω,
dt
2 dt
2
Gdy tor jest elipsa,
˛ półosie elipsy można zapisać w postaci
co oznacza, że predkość
˛
polowa planety
a=
dS
L
=
dt
2m
b= √
p
.
1 − e2
S = πab.
1 2 dθ
L
r
=
= const.
2 dt
2m
29
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
30
dr inż. Ireneusz Owczarek
Planety i satelity
Ruch w polu sił centralnych
Prawa Keplera . . .
Pole grawitacyjne
Planety i satelity
Literatura
Halliday D., Resnick R, Walker J.
Podstawy Fizyki t. 1-5.
PWN, 2005.
Ponieważ predkość
˛
polowa planety w jej ruchu wokół gwiazdy jest stała, to
okres obiegu planety można obliczyć ze wzoru
T
1
T
dS
= πab,
dt
L
2m
22
= π 2 a2
1
2
L
GM m2
22
2
2
Praca zbiorowa pod red. A. Justa
Wstep
˛ do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki.
Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.
3
G M m
.
2L2 E
Jaworski B., Dietłaf A.
Kurs Fizyki t. 1-3.
PWN, 1984.
Przekształcajac
˛ otrzymuje sie˛ okres obiegu planty wokół gwiazdy
T =
ò
4π 2 a3
,
GM
Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ
http://cmf.p.lodz.pl/efizyka
e-Fizyka. Podstawy fizyki.
lub w postaci
4π 2
T2
= 3 = const.
GM
a
31
p
,
1 − e2
Pole elipsy o półosiach a i b wynosi
jest wielkościa˛ stała˛
σ=
Planety i satelity
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Kakol
˛ Z. Żukrowski J.
http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm
Wykłady z fizyki.
32
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne