Pole grawitacyjne

Notatki
Pole grawitacyjne
dr inż. Ireneusz Owczarek
CNMiF PŁ
[email protected]
http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek
1
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Pole fizyczne
Definicje
Notatki
Pole fizyczne
to przestrzenny rozkład wielkości fizycznej.
Pole fizyczne jest polem realnie istniejacej
˛ wielkości fizycznej.
W zależności od charakteru tej wielkości rozróżnia sie:
˛
pole skalarne, np. pole temperatury lub ciśnienia,
pole wektorowe – gdy każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest
pewien wektor. Przykładem jest pole cieżkości
˛
lub pole magnetyczne,
pole tensorowe, np. pole tensora napreżenia–energii
˛
w ogólnej teorii
wzgledności.
˛
Analiza pola sprowadza sie˛ do badania rozkładu pola, wprowadzania
wielkości charakteryzujacych
˛
pola skalarne i wektorowe oraz formułowania
ogólnych zwiazków
˛
miedzy nimi.
2
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Pole fizyczne
Rodzaje pól
Notatki
Ze wzgledu
˛
na rozkład przestrzenny wielkości charakteryzujacych
˛
pole
wyróżnia sie:
˛
1
pole jednorodne,
2
pole centralne,
3
pole źródłowe (lub bezźródłowe),
4
pole wirowe (lub bezwirowe).
Ze wzgledu
˛
na czasowa˛ zmienność tych wielkości, można podzielić na
1
stacjonarne (wielkość charakteryzujaca
˛ pole w dowolnym punkcie nie
zmienia sie˛ w czasie),
2
niestacjonarne (zmienne w czasie).
Linie pola
to linie, do których styczne w każdym punkcie maja˛ kierunek zgodny
z kierunkami sił działajacych
˛
w tym polu.
3
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Pole fizyczne
Rodzaje pól . . .
Notatki
Pole centralne
to pole fizyczne, dla którego linie pola maja˛ przebieg radialny – sa˛ wsz˛edzie
prostopadłe do sferycznych izopowierzchni.
Linie przechodza˛ przez jeden punkt, zwany centrum sił lub centrum pola.
4
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Grawitacja
Pole fizyczne
Rodzaje pól . . .
Notatki
Pole potencjalne
to pole sił, w którym istnieje potencjał V (~r, t) taki, że
~ = − dV .
F
d~r
Jeżeli potencjał V (~r) nie zależy od czasu, to siła i odpowiednio jej pole sa˛
zachowawcze.
W polu siły zachowawczej praca wykonana na drodze miedzy
˛
dwoma
punktami przestrzeni nie zależy od kształtu drogi (przejścia) miedzy
˛
nimi.
5
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Grawitacja
Pole fizyczne
Ciażenie
˛
powszechne
Notatki
Prawo powszechnego ciażenia
˛
Miedzy
˛
dowolnymi dwoma punktami materialnymi działa siła wzajemnego
przyciagania
˛
wprost proporcjonalna do iloczynu mas tych punktów
i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości miedzy nimi
~ = −G m1 m2 · ~r
F
r2
r
lub
F = −G
m1 m2
.
r2
Wielkość
G = 6, 67 · 10−11
m3
.
kg · s2
jest stała˛ grawitacji.
Jest to stała uniwersalna równa
liczbowo sile grawitacyjnej, jaka˛
wywieraja˛ na siebie dwa ciała o masie
1 kg każde z odległości 1 m.
6
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Grawitacja
Pole fizyczne
Źródła pola
Notatki
Pole grawitacyjne jest to przestrzeń, w której na umieszczone w niej ciała
obdarzone masa˛ działa siła grawitacyjna.
Pole to opisane jest przez:
1
2
źródła,
przestrzenny rozkład wielkości charakteryzujacych
˛
pole:
nateżenie,
˛
potencjał,
energie.
˛
Źródłami i obiektami oddziaływania pola grawitacyjnego sa˛ ciała ważkie.
Charakteryzuja˛ je ich: masy i rozmieszczenie.
ρ=
7
dm
.
dV
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Pole fizyczne
Nateżenie
˛
pola
Notatki
~
Miara˛ ilościowa˛ pola grawitacyjnego jest jego nateżenie
˛
E.
Wartość nateżenia
˛
pola grawitacyjnego
jest równa liczbowo sile, z jaka˛ to pole działa na punkt materialny o masie
jednostkowej
~
~ = F = −G M ~r = ~g
E
m
r3
~ jest równoległy do siły grawitacyjnej i jest tak samo
Wektor nateżenia
˛
E
zwrócony.
Nateżenie
˛
pola grawitacyjnego i przyspieszenie grawitacyjne sa˛ określone
tymi samymi wzorami.
Wnioski
Źródłem pola grawitacyjnego jest ciało o określonej masie,
Nateżenie
˛
pola grawitacyjnego jest zwrócone ku masie, która to pole
wytwarza,
Nateżenie
˛
pola grawitacyjnego ma wymiar przyspieszenia, tj.
8
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
m
.
s2
Grawitacja
Pole fizyczne
Potencjał pola
Notatki
Wielkościa˛ skalarna˛ charakteryzujac
˛ a˛ pole grawitacyjne jest potencjał V .
Potencjał grawitacyjny
jest to praca wykonana przez siły grawitacji przy przemieszczeniu punktu
materialnego o jednostkowej masie z danego punktu pola do
nieskończoności
V =
Wr→∞
1
=
m
m
Z∞
Z∞
~ · d~r = −GM
F
r
M
1
dr = −G
r2
r
r
Znak „–" oznacza, że pole grawitacyjne jest polem sił przyciagaj
˛ acych.
˛
Powierzchnie ekwipotencjalne to
powierzchnie, których wszystkie
punkty maja˛ taki sam potencjał
grawitacyjny.
Powierzchnie ekwipotencjalne i linie sił
przecinaja˛ sie˛ w każdym punkcie pola
pod katem
˛
prostym.
9
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Pole fizyczne
Energia
Notatki
Gdy dwa ciała o masach odpowiednio równych M i m znajduja˛ sie˛
w odległości r od siebie, wówczas ich energia potencjalna zwiazana
˛
z oddziaływaniami grawitacyjnymi jest równa pracy, jaka˛ musi wykonać siła
grawitacyjna, aby rozsunać
˛ te ciała na odległość nieskończenie wielka˛
Z∞
Ep = Wr→∞ =
~ · d~r = −GM m
F
r
Z∞
dr
Mm
= −G
.
r2
r
r
Energia potencjalna jest najwieksza
˛
w nieskończoności i ma wartość równo
zeru.
Gdy ciało zbliża sie˛ do źródła pola, to jego energia potencjalna maleje
⇒
rA > r B
ZrB
WAB =
1
1
<
rA
rB
~ · d~r =
F
rA
WAB
10
ZrB ⇒ ∆Ep < 0.
−G
Mm
dr.
r2
rA
Mm
Mm
=G
−G
= EpA − EpB .
rB
rA
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Prawo Gaussa
Strumień pola
Notatki
Jeżeli w przestrzeni, w której każdemu jej
punktowi o współrz˛ednych x, y, z
przyporzadkowany
˛
jest wektor nateżenia
˛
pola,
~
np. E(x,
y, z) przechodzacy
˛ przez element
~ to dΦ = E
~ · dS.
~
powierzchni dS
Strumień pola
Z
Φ=
~ · dS
~
E
jest wielkościa˛ skalarna˛ opisujac
˛ a˛ pole wektorowe oraz jego źródłowość.
Jako suma strumieni czastkowych
˛
~ i · ∆S
~i
∆Φi = E
ΦS =
n
X
~ i · ∆S
~i .
E
i=1
11
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Prawo Gaussa
Strumień pola . . .
Notatki
Szczególnie ważnym przypadkiem jest strumień przechodzacy
˛ przez
powierzchnie˛ zamkniet
˛ a˛
I
Φ=
~ · dS.
~
E
Jeżeli jego wartość jest różna od zera, to pole jest polem źródłowym (posiada
wewnatrz
˛ tej powierzchni źródło).
W przypadku centralnego pola
grawitacyjnego prawo Gaussa
przyjmuje postać
I
12
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
~ · dS
~ = −4πGM.
E
Grawitacja
Grawitacja wewnatrz
˛ Ziemi
Spadek w tunelu
Notatki
Przykład:
Znaleźć przyspieszenie pojazdu o masie m w zależności od jego odległości r
od środka Ziemi.
Jeżeli gestość
˛
kuli jest stała to
ρ=
M
V
Mwewn
=
V(r)
to
Mwewn =
M
4
πR3
3
M 3
r .
R3
~ wewnatrz
Strumień wektora E
˛ kuli o promieniu r
Φ = −4πGMwewn
E · 4πr2 = −4πGMwewn .
13
dr inż. Ireneusz Owczarek
Grawitacja
Pole grawitacyjne
Grawitacja wewnatrz
˛ Ziemi
Spadek w tunelu . . .
Notatki
E · 4πr2 = −4πGMwewn
M
E · r2 = −G 3 r3
R
M
E = −G 3 r.
R
Zależność przyspieszenia grawitacyjnego od odległości od środka Ziemi.
14
dr inż. Ireneusz Owczarek
Satelity
Pole grawitacyjne
Predko
˛
ści w astrofizyce
Układ słoneczny
Notatki
15
dr inż. Ireneusz Owczarek
Satelity
Pole grawitacyjne
Predko
˛
ści w astrofizyce
Predkość
˛
kosmiczna
Notatki
Z równowagi sił grawitacji i odśrodkowej na orbicie o promieniu r
G
Mm
v2
=m
r2
r
Pierwsza predkość
˛
kosmiczna
to najmniejsza pozioma predkość,
˛
jaka˛ należy nadać ciału wzgledem
˛
przyciagaj
˛ acego
˛
je ciała niebieskiego, aby ciało to poruszało sie˛ po
zamknietej
˛ orbicie
r
M
vI = G .
r
Ciało staje sie˛ wtedy satelita˛ ciała niebieskiego.
Przykładowe predkości
˛
dla:
Ziemi (r = RZ ): 7,91
Ksieżyca:
˛
1,68
Słońca: 436,74
16
km
,
s
km
,
s
km
.
s
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Satelity
Predko
˛
ści w astrofizyce
Predkość
˛
kosmiczna . . .
Notatki
Energia mechaniczna w nieskończoności równa jest 0, zatem na powierzchni
ciała niebieskiego
mv 2
GM m
E=
−
=0
2
r
Druga predkość
˛
kosmiczna
to predkość,
˛
jaka˛ należy nadać obiektowi, aby opuścił na zawsze dane ciało
niebieskie poruszajac
˛ sie˛ dalej ruchem swobodnym
r
vII =
2G
M
.
r
Czyli jest to predkość
˛
(ucieczki), jaka˛ trzeba nadać obiektowi na powierzchni
tego ciała niebieskiego, aby tor jego ruchu stał sie˛ parabola˛ lub hiperbola.
˛
W przypadku Ziemi predkości
˛
ta ma wartość 11,9
17
dr inż. Ireneusz Owczarek
Satelity
km
.
s
Pole grawitacyjne
Predko
˛
ści w astrofizyce
Predkość
˛
kosmiczna . . .
Notatki
Trzecia predkość
˛
kosmiczna
to predkość
˛
poczatkowa
˛
potrzebna do opuszczenia Układu Słonecznego.
vIII = 16,7
km
.
s
Czwarta predkość
˛
kosmiczna
to predkość
˛
poczatkowa
˛
potrzebna do opuszczenia Drogi Mlecznej.
vIV = 130
km
.
s
384 000
R
=
= 60
r
6400
T = 27,3 dnia = 2, 36 · 106 s
18
dr inż. Ireneusz Owczarek
Satelity
Pole grawitacyjne
Energia układu ciał
Energia mechaniczna
Energia potencjalna układu
Ep (r) = −G
Mm
.
r
Notatki
W celu wyznaczenia energii
kinetycznej np. satelity na orbicie
kołowej
G
Mm
v2
=m
r2
r
wówczas
M
= v2
r
i energia kinetyczna
G
Ek (r) =
1
GM m
mv 2 =
.
2
2r
Całkowita energia układu ciał
E(r) = Ek (r)+Ep (r) =
E(r) = −
19
dr inż. Ireneusz Owczarek
Ruch w polu sił centralnych
GM m GM m
−
2r
r
GM m
.
2r
Pole grawitacyjne
Tory ruchu ciał niebieskich
Rodzaje orbit
Notatki
Orbita
to tor ciała niebieskiego lub sztucznego satelity kraż
˛ acego
˛
wokół innego ciała
niebieskiego.
Ciała poruszaja˛ sie˛ wokół wspólnego środka masy.
Pod wpływem siły centralnej ciała poruszaja˛ sie˛ po tzw. krzywych
stożkowych.
Orbita może być otwarta (wtedy ciało nie powraca) lub zamknieta
˛ (ciało
powraca), co zależy od całkowitej energii układu.
Otwarte orbity maja˛ kształt hiperboli (czasem bardzo bliskiej paraboli),
a zamkniete
˛ orbity maja˛ kształt elipsy (okregu).
˛
20
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
Tory ruchu ciał niebieskich
Siła centralna
Notatki
Ogólny przypadek ruchu punktu materialnego o masie m w polu centralnej
~ we współrz˛ednych biegunowych:
siły zachowawczej F
x = r cos ϕ,
r=
y = r sin ϕ,
y
.
x
p
x2 + y 2 ,
ϕ = arc tg
2
v 2 = vr2 + vϕ
,
dϕ
dr 2
+ r
dt
dt
2
dr
v2 =
+ r2 ω2 .
dt
v2 =
2
,
Z zasady zachowania momentu pedu,
˛
wynika, że jest to ruch w płaszczyźnie
~r i ~v
dϕ
L = rmvϕ = mr2
= mr2 ω,
dt
2 2
dr
L
v2 =
+
.
dt
mr
21
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
Tory ruchu ciał niebieskich
Siła centralna . . .
Notatki
Korzystajac
˛ z zasady zachowania energii
E = Ek + Ep =
1
dr
m
2
dt
2
+
L2
1
dr
+ Ep (r) = m
2mr2
2
dt
2
+ Uef (r).
Efektywna energia potencjalna
L2
Uef (r) =
+Ep (r),
2
|2mr
{z }
energia odsrodkowa
dlatego istnieje siła odśrodkowa
F =−
d
L2
dr 2mr2
=
L2
= mrω 2 .
mr3
Jeśli L 6= 0 to zasada zachowania momentu pedu
˛
“zapobiega” zbliżeniu sie˛
ciała do źródła siły (~r 6= 0).
22
dr inż. Ireneusz Owczarek
Ruch w polu sił centralnych
Pole grawitacyjne
Tory ruchu ciał niebieskich
Ruch radialny
Notatki
Jeśli moment pedu
˛
jest różny od zera,
L 6= 0, istnieje ograniczenie na
odległość najmniejszego zbliżenia
ciała do centrum siły:
r ­ rmin .
Jeśli całkowita energia ciała jest
mniejsza niż graniczna wartość
energii potencjalnej dla dużych
odległości, E < Uef (∞), to ciało nie
może dowolnie oddalić sie˛ od centrum
siły i ruch odbywa sie˛ w ograniczonym
obszarze
r ¬ rmax .
Charakter ruch ciała w tym polu zależy od jego energii całkowitej
E > 0 – tor otwarty,
E < 0 – tor zamkniety,
˛
E = Emin – ruch po okregu
˛
23
dr inż. Ireneusz Owczarek
Ruch w polu sił centralnych
Pole grawitacyjne
Tory ruchu ciał niebieskich
Ruch katowy
˛
Notatki
Tor planety zależy od energii układu. Jeśli
E > 0, to e > 1, co oznacza, że tor jest hiperbola,
˛
E = 0, to e = 1, co oznacza, że tor jest parabola,
˛
E < 0, to e < 1, co oznacza, że tor jest elipsa.
˛
Jedyna˛ możliwościa˛ odpowiadajac
˛ a˛ ograniczonemu ruchowi planety wokół
gwiazdy jest elipsa, co tym samym dowodzi pierwszego prawa Keplera.
W przypadku orbity eliptycznej energia
mechaniczna satelity na orbicie
eliptycznej o półosi wielkiej a
E=−
24
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
GM m
.
2a
Ruch w polu sił centralnych
Planety i satelity
Prawa Keplera
Notatki
Pierwsze prawo Keplera
Każda planeta porusza sie˛ po orbicie eliptycznej, w której ognisku znajduje
sie˛ Słońce.
Równanie toru planety we
współrz˛ednych biegunowych
r=
p
1 + e cos θ
gdzie
r jest promieniem wodzacym,
˛
e – mimośrodem,
p – parametrem elipsy.
25
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
Planety i satelity
Prawa Keplera . . .
Notatki
Drugie prawo Keplera
Promień wodzacy
˛ planety zakreśla w równych odstepach
˛
czasu równe pola.
Szybkość zmian pola
dS
1 dθ
1
= r2
= r2 ω,
dt
2 dt
2
co oznacza, że predkość
˛
polowa planety
dS
L
=
dt
2m
jest wielkościa˛ stała˛
σ=
1 2 dθ
L
r
=
= const.
2 dt
2m
26
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
Planety i satelity
Prawa Keplera . . .
Notatki
Trzecie prawo Keplera
Kwadraty okresów obiegu planet dookoła Słońca sa˛ wprost proporcjonalne
do sześcianów wiekszych
˛
półosi ich orbit
T2
= const.
a3
Gdy tor jest elipsa,
˛ półosie elipsy można zapisać w postaci
a=
p
,
1 − e2
b= √
p
.
1 − e2
Pole elipsy o półosiach a i b wynosi
S = πab.
27
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
Planety i satelity
Prawa Keplera . . .
Notatki
Ponieważ predkość
˛
polowa planety w jej ruchu wokół gwiazdy jest stała, to
okres obiegu planety można obliczyć ze wzoru
T
T
dS
= πab,
dt
L
2m
2
= π 2 a2
L2
GM m2
2
G2 M 2 m3
.
2L2 E
Przekształcajac
˛ otrzymuje sie˛ okres obiegu planty wokół gwiazdy
r
T =
4π 2 a3
,
GM
lub w postaci
4π 2
T2
= 3 = const.
GM
a
28
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Ruch w polu sił centralnych
Planety i satelity
Literatura
Notatki
Halliday D., Resnick R, Walker J.
Podstawy Fizyki t. 1-5.
PWN, 2005.
Praca zbiorowa pod red. A. Justa
Wstep
˛ do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki.
Wydawnictwo PŁ, Łódź 2007.
Jaworski B., Dietłaf A.
Kurs Fizyki t. 1-3.
PWN, 1984.
Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ
http://cmf.p.lodz.pl/efizyka
e-Fizyka. Podstawy fizyki.
Kakol
˛ Z. Żukrowski J.
http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm
Wykłady z fizyki.
29
dr inż. Ireneusz Owczarek
Pole grawitacyjne
Notatki
Notatki
Notatki