Elementy fizyki kwantowej

Notatki
Elementy fizyki kwantowej
dr inż. Ireneusz Owczarek
CNMiF PŁ
[email protected]
http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek
1
dr inż. Ireneusz Owczarek
Narodziny mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Rozkład widmowy promieniowania
Ciało doskonale czarne
Notatki
Klasyczny obraz świata, w którym materia składa sie˛ z punktowych czastek,
˛
a promieniowanie składa sie˛ z fal, okazuje sie˛ niewystarczajacy
˛ do opisu
ruchu elektronów i ich oddziaływania.
Szczególnie uwidacznia to sie˛ w wymianie energii pomiedzy
˛
promieniowaniem a materia.
˛
Należało znaleźć inny sposób opisu zjawisk.
Każde ciało stałe, ciecz lub gaz, emituje promieniowanie termiczne w postaci
fal elektromagnetycznych, a także absorbuje je z otoczenia.
Wg fizyki klasycznej
widmo emitowane przez ciała stałe ma charakter ciagły,
˛
charakter tego widma prawie nie zależy od rodzaju substancji,
widmo silnie zależy od temperatury.
Ciało doskonale czarne
to ciało całkowicie pochłaniajace
˛ promieniowanie elektromagnetyczne
padajace
˛ na jego powierzchnie.
˛
2
dr inż. Ireneusz Owczarek
Narodziny mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Zdolność emisyjna – prawa
Zdolność emisyjna
Notatki
Cz˛estotliwość odpowiadajaca
˛
maksimum zdolności emisyjnej
wzrasta liniowo ze wzrostem
temperatury.
Całkowita moc wyemitowana
przez powierzchnie˛ jednostkowa˛
(pole pod krzywa)
˛ rośnie
z temperatura.
˛
Prawo Stefana
Całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego
R(T ) = σ · T 4
gdzie stała Stefana-Boltzmana
σ = 5,67 · 10−8
3
dr inż. Ireneusz Owczarek
Narodziny mechaniki kwantowej
W
.
m2 K4
Elementy fizyki kwantowej
Zdolność emisyjna – prawa
Teoria Wiena
Notatki
Krzywe te zależa˛ tylko od temperatury
i sa˛ całkiem niezależne od materiału
oraz kształtu i wielkości ciała.
Prawo Wiena
Iloczyn temperatury i długości fali odpowiadajacej
˛ maksimum widmowej
zdolności emisyjnej w tej temperaturze jest stały
λmax · T = 2898 µmK.
lub
Prawo Wiena
Ze wzrostem temperatury T cz˛estotliwość νmax ulega przesunieciu
˛
w kierunku wyższych cz˛estotliwości.
4
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Narodziny mechaniki kwantowej
Oscylator harmoniczny
Narodziny kwantów
Notatki
Atomy ścian ciała doskonale czarnego zachowuja˛ sie˛ jak oscylatory
harmoniczne, które emituja˛ (i absorbuja)
˛ energie,
˛ z których każdy ma
charakterystyczna˛ cz˛estotliwość drgań.
Założenia Maxa Plancka
energia oscylatora jest skwantowana i może przyjmować tylko ściśle
określone wartości
gdzie n = 1, 2, ...
E = nhν
promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane lub absorbowane
w postaci osobnych porcji energii (kwantów ) o wartości
∆E = hν.
Oscylatory nie wypromieniowuja˛ (nie pobieraja)
˛ energii w sposób ciagły,
˛
lecz
porcjami, czyli kwantami, podczas przejścia z jednego stanu w drugi.
5
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Narodziny mechaniki kwantowej
Oscylator harmoniczny
Narodziny kwantów . . .
Notatki
Na podstawie swoich hipotez Planck otrzymał nastepuj
˛ ac
˛ a˛ funkcje˛ rozkładu
R(ν, T ) =
8πν 2
hν
.
hν
c3 e kT
−1
Doświadczalna wartość stałej Plancka
h = 6,62 · 10−34 J · s.
6
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Narodziny mechaniki kwantowej
Oscylator harmoniczny
Narodziny kwantów . . .
Notatki
Skwantowany oscylator harmoniczny
Kwantowanie dotyczy wszelkich obiektów fizycznych o jednym stopniu
swobody, które wykonuja˛ proste drgania harmoniczne.
Energia całkowita oscylatora jest wielokrotnościa˛ hν.
Raz wyemitowana energia rozprzestrzenia sie˛ w postaci fali
elektromagnetycznej
Konsekwencje założeń Plancka
jeżeli oscylator nie emituje i nie absorbuje energii, to znajduje sie˛
w stanie stacjonarnym,
poziomy energetyczne (stany stacjonarne) molekuł musza˛ być
dyskretne,
zmiana energii musi być wielokrotnościa˛ hν,
fala elektromagnetyczna jest skwantowana.
7
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Narodziny mechaniki kwantowej
Oscylator harmoniczny
Narodziny kwantów - przykład
Notatki
Czy ta˛ hipotez˛e można wykorzystać do znanych oscylatorów?
N
Np. spreżyna
˛
o masie m = 1 kg i stałej spreżystości
˛
k = 20 m
wykonujaca
˛
drgania o amplitudzie 1 cm.
Posiada cz˛estotliwość drgań własnych:
ν=
1
2π
r
k
= 0,71 Hz.
m
Wartość energii całkowitej:
E=
1 2
kA = 1 · 10−3 J.
2
Jeżeli energia jest skwantowana to jej zmiany dokonuja˛ sie˛ skokowo przy
czym ∆E = hν.
Wzgledna
˛
zmiana energii wynosi wiec:
˛
∆E
= 4,7 · 10−31 .
E
Żaden przyrzad
˛ pomiarowy nie jest wstanie zauważyć tak minimalnych zmian
energii.
8
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Narodziny mechaniki kwantowej
Zjawisko fotoelektryczne
Fotoefekt
Notatki
Polega na emisji elektronów z powierzchni ciała stałego pod wpływem
padajacego
˛
światła.
Cechy, których nie można wyjaśnić na gruncie klasycznej falowej teorii
światła:
1
Energia kinetyczna fotoelektronów powinna wzrosnać,
˛ ze wzrostem
nateżenia
˛
wiazki
˛ światła. Jednakże nie zależy od nateżenia
˛
światła.
2
Zjawisko fotoelektryczne powinno wystepować
˛
dla każdej cz˛estotliwości
światła, gdy nateżenie
˛
światła jest wystarczajaco
˛ duże, aby dostarczona
została energia konieczna do uwolnienia elektronów.
3
Gdy wiazka
˛
światła jest dostatecznie słaba, powinno wystepować
˛
mierzalne opóźnienie czasowe pomiedzy
˛
chwila,
˛ kiedy światło zaczyna
padać na powierzchnie˛ płytki, a momentem uwolnienia z niej elektronu.
9
dr inż. Ireneusz Owczarek
Narodziny mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Zjawisko fotoelektryczne
Długofalowa granica fotoefektu
Notatki
Wyniki eksperymentu
prad
˛ nie popłynie dopóki cz˛estość
padajacego
˛
światła nie osiagnie
˛
pewnej, zależnej od materiału
katody wielkości zwanej
długofalowa˛ granica˛ fotoefektu,
maksymalna wartość energii
kinetycznej emitowanych
elektronów jest tym wieksza
˛
im
wieksza
˛
jest cz˛estotliwość fali, nie
zależy jednak od nateżenia
˛
oświetlenia,
10
dr inż. Ireneusz Owczarek
Narodziny mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Zjawisko fotoelektryczne
Napiecie
˛
hamowania
Notatki
prad
˛ płynie nawet wówczas, gdy
napiecie
˛
miedzy
˛
elektrodami jest
równe zeru,
nateżenie
˛
pradu
˛ rośnie wraz ze
wzrostem napiecia
˛
do wartości,
tzw. prad
˛ nasycenia,
nateżenie
˛
pradu
˛ nasycenia rośnie
ze wzrostem strumienia
padajacej
˛ fali,
przy dostatecznie dużym napieciu
˛
(U0 ) zwanym napieciem
˛
hamowania prad
˛ zanika
Ekin = eU0 ,
dla światła monochromatycznego
napiecie
˛
hamujace
˛ zależy od
cz˛estotliwości padajacego
˛
światła.
11
dr inż. Ireneusz Owczarek
Narodziny mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Zjawisko fotoelektryczne
Doświadczeniu Millikana (1914)
Notatki
U0 zależy od cz˛estotliwości a nie od nateżenia
˛
światła.
12
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Narodziny mechaniki kwantowej
Zjawisko fotoelektryczne
Równanie Einsteina
Notatki
Założenia Einsteina
fala elektromagnetyczna o cz˛estotliwości ν jest strumieniem fotonów
o energii E = hν każdy,
fotony moga˛ być pochłaniane tylko w całości, a maksymalna energia
kinetyczna elektronu po opuszczeniu metalu
Ekin = hν − W.
13
dr inż. Ireneusz Owczarek
Narodziny mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Zjawisko fotoelektryczne
Równanie Einsteina . . .
Notatki
Wnioski
jeżeli pochłonieta
˛ energia jest wieksza
˛
badź
˛ równa pracy wyjścia W
elektronu z metalu, elektron może opuścić powierzchnie˛ katody,
maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów zwiazana
˛
jest tylko
z energia˛ poszczególnych fotonów, a nie z ich ilościa˛ (nateżeniem
˛
oświetlenia),
ze wzrostem oświetlenia powierzchni katody (tzn. wzrostem ilości
fotonów padajacych)
˛
rośnie liczba elektronów emitowanych
z powierzchni,
różnice˛ energii pomiedzy
˛
energia˛ fotonu a praca˛ wyjścia elektron unosi
w postaci jego energii kinetycznej,
energia dostarczana jest w postaci skupionej (kwant, porcja), a nie
rozłożonej (fala), dlatego nie wystepuje
˛
”gromadzenie” energii przez
elektrony, które praktycznie natychmiast pochłaniaja˛ energie˛ fotonu
i ewentualnie opuszczaja˛ fotokatode.
˛
14
dr inż. Ireneusz Owczarek
Narodziny mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Doświadczenie Comptona
Efekt Comptona
Notatki
Doświadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako skończonej porcji energii
zostało dostarczone przez Comptona.
Wiazka
˛
promieni X o dokładnie
określonej długości fali pada na blok
grafitowy. Mierzono nateżenie
˛
wiazki
˛
rozproszonej pod różnymi katami
˛
jako
funkcje˛ λ.
W klasycznym podejściu długość fali
wiazki
˛ rozproszonej powinna być taka
sama jak padajacej.
˛
Rozproszone promienie X maja˛
maksimum dla dwóch długości fali.
Jedna z nich jest identyczna jak λ fali
padajacej,
˛
druga λ0 jest wieksza
˛
o ∆λ.
To tzw. przesuniecie
˛
Comptona
zmienia sie˛ z katem
˛
obserwacji
rozproszonego promieniowania X.
15
dr inż. Ireneusz Owczarek
Narodziny mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Doświadczenie Comptona
Efekt Comptona . . .
Notatki
Jeżeli padajace
˛ promieniowanie potraktujemy jako fale˛ to pojawienie sie˛ fali
rozproszonej o długości λ0 nie da sie˛ wyjaśnić.
Fotony (jak czastki)
˛
ulegaja˛ zderzeniu
z elektronami swobodnymi w bloku
grafitu. Podobnie jak w typowych
zderzeniach spreżystych
˛
zmienia sie˛
kierunek poruszania sie˛ fotonu oraz
jego energia (cz˛eść energii
przekazana elektronowi), to oznacza
zmiane˛ cz˛estotliwości i zarazem
długości fali.
Stosujac
˛ zasade˛ zachowania pedu
˛
oraz zasade˛ zachowania energii
∆λ = λ − λ0 =
h
(1 − cosΘ) = Λc (1 − cosΘ)
m0 c
gdzie Λc = 2,426 · 10−12 m jest comptonowska˛ długościa˛ fali.
16
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Model korpuskularno-falowy
Fale i czastki
˛
Natura światła
Notatki
Czasteczki
˛
w modelu korpuskularnym (czasteczkowym)
˛
sa˛ traktowane jako obiekty punktowe,
znajduja˛ sie˛ w ciagłym
˛
chaotycznym ruchu,
maja˛ w danej chwili ściśle określone położenie, predkość
˛
i ped,
˛
poruszaja˛ sie˛ po ściśle określonym torze,
całkowita energia jest suma˛ energii poszczególnych czasteczek.
˛
Fale
rozpoznawane sa˛ poprzez zmiany w czasie i przestrzeni określonych
wielkości fizycznych,
do ich opisu stosuje sie˛ predkość
˛
i długość (cz˛estotliwość) fali w danym
ośrodku,
przenosza˛ energie,
˛ ale nie przenosza˛ materii. Przenoszona energia jest
proporcjonalna do kwadratu amplitudy.
Fale mechaniczne nie rozchodza˛ sie˛ w próżni (musza˛ mieć ośrodek
spreżysty).
˛
Fale elektromagnetyczne w tym światło, rozchodza˛ sie˛ w próżni.
17
dr inż. Ireneusz Owczarek
Model korpuskularno-falowy
Elementy fizyki kwantowej
Fale i czastki
˛
Hipoteza de Broglie’a
Notatki
Dualizm korpuskularno-falowy jest własnościa˛ charakterystyczna˛ nie tylko dla
fali elektromagnetycznej, ale również dla czastek
˛
o masie spoczynkowej
różnej od zera.
Oznacza to, że czasteczki
˛
takie jak np. elektrony powinny również
wykazywać własności falowe. Fale te nazwa sie˛ falami materii.
Długość fal materii
λ=
h
p
Foton
Elektron
h
p = = ~k
λ
p = mv = ~k
E=
E = pc = hν
2π
k=
- liczba falowa
λ
Foton (kwant światła) ma ped
˛ równy
hν
pf =
.
c
18
dr inż. Ireneusz Owczarek
Model korpuskularno-falowy
p2
= hν
2m
Elementy fizyki kwantowej
Fale i czastki
˛
Fale materii
Notatki
Elektron
Piłka
m = 9,11 · 10−31 kg,
V = 1000 V,
Ek = 1000 eV = 1,6 · 10−16 J.
λ=
h
h
= √
p
2mEk
−34
= p
m = 1 kg,
v = 1 ms .
6, 63 · 10
Js
2 · 9, 1 · 10−31 kg · 1, 6 · 10−16 J
λ=
=
h
6, 63 · 10−34 Js
=
=
mv
1 kg · 1 m
s
= 6,63 · 10−34 m.
= 4 · 10−11 m.
Długość λ jest porównywalna
z odległościa˛ miedzy
˛
atomami w ciele
stałym.
19
dr inż. Ireneusz Owczarek
Model korpuskularno-falowy
Wielkość niemożliwa do zmierzenia.
Brak własności falowych ciał
makroskopowych.
Elementy fizyki kwantowej
Fale i czastki
˛
Doświadczenie Davissona-Germera
Notatki
Wykazało rozkład nateżenia
˛
rozproszonych elektronów z ostrymi maksymami
dla pewnych wartości kata
˛ rozpraszania.
Katy
˛ te zależały od napiecia
˛
przyspieszajacego
˛
elektrony.
Otrzymano zgodność (w granicach błedu
˛
pomiarowego) tak wyliczonych
długości fali:
ze wzoru de Broglie’a
λ=
h
h
= √
= 165 pm,
p
2meVba
z dyfrakcji
λ = d sin θ = 165 pm.
Było to pierwsze eksperymentalne potwierdzenie hipotezy de Broglie’a.
20
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Postulaty mechaniki kwantowej
Stan układu kwantowego
Obraz interferencyjny
Notatki
De Broglie założył, że wiazka
˛
czastek
˛
bedzie
˛
tworzyć obraz interferencyjny
na odpowiedniej podwójnej szczelinie charakterystyczny dla doświadczenia
Younga.
Rysunek: Rozkład intensywności
elektronów zgodnie z teoria˛ kwantowa.
˛
Rysunek: Rozkład charakterystyczny dla
A+B nie ma miejsca!
Jedyny sposób wyjaśnienia to stworzenie nowego formalizmu
matematycznego pozwalajacego
˛
opisać falowe właściwości czastek
˛
materialnych na poziomie mikroświata.
21
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Stan układu kwantowego
Motto
Notatki
W mechanice kwantowej zostały sformułowane prawa
obejmujace
˛
znaczna˛ cz˛
eść fizyki i cała chemi˛
e, a jedna
trudność polega na tym, że prowadza˛ one do równań, które
sa˛ za trudne, żeby można je poprawnie rozwiazać.
˛
Paul Dirac, 1929
Mechanika kwantowa – zajmuje sie˛ opisem obiektów bardzo małych, których
rozmiary sa˛ porównywalne z rozmiarami jego fali de Broglie’a.
W mechanice kwantowej materia może być opisana jako zbiór elektronów
i jader atomowych, traktowanych jako czastki
˛
punktowe obdarzone masa˛
i ładunkiem, bed
˛ acych
˛
w ruchu i oddziałujacych
˛
ze soba˛ siłami
elektrostatycznymi.
22
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Stan układu kwantowego
Funkcja falowa Ψ
Notatki
O stanie układu kwantowego
Stan czastki
˛
określa funkcja falowa Ψ(x, y, z, t) zależna od położenia czastki
˛
i od czasu t.
Zgodnie z hipoteza˛ de Broglie’a, czastki
˛
takie jak elektron czy proton, maja˛
własności falowe. Opisuje je tzw. funkcja falowa, która:
musi być funkcja˛ ciagł
˛ a,
˛ a także musi mieć ciagł
˛ a˛ pochodna,
˛
w ogólnym przypadku jest funkcja˛ zespolona˛ współrz˛ednych
przestrzennych oraz czasu:
Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z) · e−iωt ,
gdzie ψ(x, y, z) jest funkcja˛ falowa˛ niezależna˛ od czasu (“amplituda”
˛
funkcji falowej Ψ), a i2 = −1.
Klasycznie
Stan układu fizycznego w każdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni
fazowej, a wiec
˛ zarówno położenie jak i ped
˛ każdej czastki
˛
xi (t), pi (t).
23
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Stan układu kwantowego
Funkcja falowa Ψ . . .
Notatki
W przypadku jednowymiarowym, dla czastek
˛
poruszajacych
˛
sie˛ w kierunku
osi x
ikx
Ψ = Ae
= A(cos kx + i sin kx).
Zgodnie z zasada˛ superpozycji funkcja falowa wielu zdarzeń:
Ψ = Ψ1 + Ψ2 .
24
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Postulaty mechaniki kwantowej
Stan układu kwantowego
Funkcja falowa Ψ . . .
Notatki
Prawdopodobieństwo znalezienia czastki
˛
w chwili t w elemencie objetości
˛
dxdydz
p(x, y, z, t) = Ψ∗ (x, y, z, t) · Ψ(x, y, z, t)dxdydz ,
∗
gdzie Ψ to funkcja sprz˛eżona do Ψ (różni sie˛ znakiem cz˛eści urojonej).
Suma prawdopodobieństw znalezienia czastki
˛
w poszczególnych elementach
objetości
˛
rozciagni
˛ eta
˛ na cała˛ przestrzeń musi spełniać tzw.
Warunek normalizacji
Z
Ψ∗ (x, y, z, t) · Ψ(x, y, z, t)dV = 1.
V
Gestości
˛
a˛ prawdopodobieństwa zdarzenia nazywa sie˛
Ψ∗ (x, y, z, t) · Ψ(x, y, z, t) = |Ψ(x, y, z, t)|2 .
Formalnie funkcja falowa Ψ = Ψ(x, y, z, t) charakteryzuje sie˛ właściwościami
klasycznych fal, lecz nie reprezentuje takich wielkości jak np. wychylenie
czastki
˛
z położenia równowagi.
25
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Stan układu kwantowego
Funkcja falowa Ψ . . .
Notatki
Ψ∗ · Ψ = Ae−i(kx−ωt) · Aei(kx−ωt) = A2 .
Funkcja falowa musi spełniać nastepuj
˛ ace
˛ warunki:
1
Ψ musi mieć tylko jedna˛ wartość w każdym punkcie. Warunek
zapobiega istnieniu wiecej
˛
niż jednego prawdopodobieństwa znalezienia
czastki
˛
w danym miejscu,
2
Ψ oraz pochodne dΨ
musz
a˛ być ciagłe.
˛
Warunek ten nie dotyczy miejsc,
dx
gdy energia potencjalna daży
˛ do nieskończoności (w pobliżu jadra
˛
atomowego),
∗
3
całka Ψ Ψ po całej przestrzeni musi być równa 1. Wartość funkcji musi
być skończona dla dużych x.
26
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Ewolucja w czasie stanu układu
Hamiltonian
Notatki
O ewolucji w czasie stanu układu
Równanie czasowej ewolucji funkcji falowej Ψ
i~
∂Ψ
= ĤΨ,
∂t
gdzie Ĥ jest hamiltonianem czastki
˛
Ĥ = −
~2
∆ + U (~x).
2m
Jest to równanie Schrödingera zależne od czasu.
Operator Laplace’a (laplasjan) to operator różniczkowy drugiego rz˛edu
∆=
∂2
∂2
∂2
+
+ 2.
∂x2
∂y 2
∂z
Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego
ĤΨ = EΨ.
Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator Ĥ jest
operatorem energii układu.
27
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Ewolucja w czasie stanu układu
Wartości własne energii czastki
˛
Notatki
Wartości własne energii czastki
˛
En można określić
korzystajac
˛ z tego, że energia czastki
˛
E=
p2
~2 k2
=
,
2m
2m
wobec tego
En =
~2 2π
2m λ
2
=
4π 2
~2 =
2m 4L
2
n2
=
~2 π 2 2
n ,
2mL2
dla n = 1, 2, 3, .., stanowia˛ dyskretny szereg wartości
energii, która jest wielkościa˛ skwantowana.
˛
Skwantowane wartości En nazywane sa˛ poziomami
energii, a liczbe˛ n określajac
˛ a˛ poziom energetyczny
czastki
˛
w jamie potencjału – główna˛ liczba˛ kwantowa.
˛
28
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Postulaty mechaniki kwantowej
Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Notatki
O interpretacji wyników pomiarów w mikroświecie
Pomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu
kwantowego.
Postulat ten dotyczy pomiaru idealnego, a wiec
˛ nie obarczonego błedem
˛
wynikajacym
˛
z niedoskonałości przyrzadu
˛ pomiarowego.
Obowiazuje
˛
zasada nieoznaczoności: pewnych wielkości fizycznych nie
można zmierzyć równocześnie z dowolna˛ dokładnościa.
˛
Proces pomiaru zaburza stan układu
Mechanika klasyczna
dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakościa˛ aparatury
pomiarowej,
nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaka˛ moga˛ być
wykonane pomiary.
29
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie
Zasada nieoznaczoności Heisenberga . . .
Notatki
Zasada nieoznaczoności
Iloczyn niepewności jednoczesnego poznania pewnych wielkości (np.
chwilowych wartości pedu
˛
∆p i położenia ∆x, energii ∆E i czasu jej pomiaru
∆t) nie może być mniejszy od stałej Plancka h podzielonej przez 2π
∆x · ∆px ­ ~
∆E · ∆t ­ ~.
Rysunek: Funkcja rozkładu B(p) wzgledem
˛
pedu
˛
i odpowiadajaca
˛ jej paczka falowa
(poniżej). Szerokość paczki falowej na rys. (a) jest wieksza
˛
niż szerokość na rys. (b).
30
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie
Zasada nieoznaczoności Heisenberga . . .
Notatki
Zasada nieoznaczoności określa możliwości pomiarów fizycznych.
Przykład
P˛ed poruszajacego
˛
sie˛ z predkości
˛
a˛
v = 2,05 · 106 ms elektronu zmierzono
z dokładnościa˛ 0,5 %.
Z jaka˛ maksymalna˛ dokładnościa˛
można było wyznaczyć położenie tego
elektronu?
∆x =
(6, 63 · 10−34 Js)
~
=
=
∆px
2π · 0, 005 · 9, 11 · 10−31 · 2, 05 · 106 kgm/s
= 1,13 · 10−8 m ≈ 11 nm.
Jest to wartość 100 średnic atomowych.
Położenie elektronu nie można wyznaczyć dokładniej niż 11 nm.
31
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie
Zasada nieoznaczoności Heisenberga . . .
Notatki
Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i czasu
∆E · ∆t ­ ~
Przykład
Czas przebywania atomu sodu
w stanie wzbudzonym zmierzono
z dokładnościa˛ ∆t = 1,6 · 10−8 s.
Z jaka˛ maksymalna˛ dokładnościa˛
można było wyznaczyć wartość
energii tego stanu?
∆E ­
~
6, 63 · 10−34 Js
=
=
∆t
2 · π · 1, 6 · 10−8 s
= 0,66 · 10−26 J · 6,24 ·1018 eV/J =
= 4,12 · 10−8 eV.
32
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Postulaty mechaniki kwantowej
Spin
Moment pedu
˛
Notatki
O spinie czastki
˛
elementarnej
Czastka
˛
elementarna ma własny wewnetrzny
˛
moment pedu
˛
czastki
˛
w układzie, w którym nie wykonuje ruchu postepowego,
˛
zwany spinowym
momentem pedu
˛
lub spinem
2
~
2
2
2
2
S = Sx + Sy + Sz = s(s + 1)~
przy czym spinowa liczba kwantowa s = 21 .
Wartość własnego moment pedu
˛
elektronu:
p
S=~
s(s + 1).
Rzut własnego momentu pedu
˛
na
wybrana˛ oś
Sz = ms ~.
33
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Symetria funkcji falowej
Fermiony i bozony
Notatki
Klasycznie
Obiekty identyczne sa˛ rozróżnialne. Można śledzić ruch każdej czastki
˛
nawet
jeżeli jest ona identyczna z innymi.
Brak specjalnych konsekwencji identyczności czastek.
˛
O symetrii funkcji falowej
Czastki
˛
identyczne sa˛ nierozróżnialne.
Nierozróżnialność ma poważne konsekwencje. Wynika z niej własność
stanów kwantowych:
Funkcja falowa Ψ opisujaca
˛ układ jednakowego rodzaju bozonów jest
symetryczna wzgledem
˛
zamiany współrz˛ednych, tzn. jeśli:
x1 ↔ x2 , y1 ↔ y2 , z1 ↔ z2 , to
Ψ(1, 2, 3, ...., N ) = Ψ(2, 1, 3, ...., N ).
Jeśli czastki
˛
1 i 2 oznaczaja˛ fermiony jednakowego rodzaju, to funkcja
falowa musi być antysymetryczna, tzn.
Ψ(1, 2, 3, ...., N ) = −Ψ(2, 1, 3, ...., N ).
34
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Symetria funkcji falowej
Fermiony i bozony . . .
Notatki
Stany całkowicie symetryczne opisuja˛ czastki
˛
o spinie całkowitym (bozony),
stany antysymetryczne opisuja˛ czastki
˛
o spinie połówkowym (fermiony).
Zakaz Pauliego
Gestość
˛
prawdopodobieństwa zastania dwóch jednakowych fermionów
w jednym miejscu i z jednakowa˛ współrz˛edna˛ spinowa˛ jest równa 0.
W danym stanie kwantowym może znajdować sie˛ jeden fermion
lub
żadne dwa fermiony nie moga˛ w jednej chwili wystepować
˛
w dokładnie tym
samym stanie kwantowym.
35
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Symetria funkcji falowej
Fermiony i bozony . . .
Notatki
Konsekwencje zakazu Pauliego:
Tworzenie sie˛ struktury orbitalowej poziomów elektronów wszystkich
atomów, z której z kolei wynikaja˛ wszystkie właściwości chemiczne
pierwiastków chemicznych.
Nieprzenikalność materii przez sama˛ siebie. W wielu przypadkach
zasada uniemożliwia wystepowanie
˛
pewnych konfiguracji
przestrzennych orbitali blisko położonych atomów czy czasteczek.
˛
Wzgledna
˛
trwałość obiektów materialnych.
Zakaz nie dotyczy bozonów o dowolnych współrz˛ednych spinowych.
36
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Postulaty mechaniki kwantowej
Zasady
Zasada wzajemnego uzupełniania sie˛
Notatki
Zasada komplementarności
Fotony, elektrony oraz obiekty mikroświata w jednych zjawiskach moga˛
zachowywać sie˛ jak fala, a w innych jak czastka
˛
tzn. wykazuja˛ zarówno
własności falowe jak i korpuskularne.
Obie te cechy uzupełniaja˛ sie˛ wzajemnie, dajac
˛ pełny opis danego obiektu.
W obrazie falowym nateżenie
˛
promieniowania:
I ∝ E02 ,
w obrazie fotonowym — korpuskularnym:
I ∝ N hν.
37
dr inż. Ireneusz Owczarek
Postulaty mechaniki kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Zasady
Zasada korespondencji
Notatki
Zasada odpowiedniości
Dla dostatecznie dużych liczb kwantowych przewidywania fizyki kwantowej
przechodza˛ w sposób ciagły
˛ w przewidywania fizyki klasycznej.
38
dr inż. Ireneusz Owczarek
Model Bohra atomu wodoru
Elementy fizyki kwantowej
Porzadek
˛
wśród atomów
Doświadczenie Rutherforda (1911)
Notatki
Analiza katów
˛
rozproszenia czastek
˛
alfa pozwoliła określić rozmiary ładunku
dodatniego wchodzacego
˛
w skład atomu złota.
Prawie cała masa atomu skupiona jest w bardzo małym obszarze – jadrze
˛
atomowym.
Rozmiar jadra
˛
zależy od pierwiastka, ale może być oszacowany jako ok.
10 × 10−15 m, rozmiary atomu rz˛edu 10 × 10−10 m.
Model atomu wprowadzał bliskie współczesnemu modelowi założenia:
ładunek dodatni zgromadzony jest w niewielkim, a przez to bardzo
gestym
˛
jadrze
˛
gromadzacym
˛
wiekszość
˛
masy atomu,
ładunek jadra
˛
jest równy iloczynowi liczby atomowej i ładunku elektronu,
ujemnie naładowane elektrony okrażaj
˛ a˛ jadro.
˛
39
dr inż. Ireneusz Owczarek
Model Bohra atomu wodoru
Elementy fizyki kwantowej
Porzadek
˛
wśród atomów
Model Bohra atomu wodoru
Notatki
Energia całkowita elektronu poruszajacego
˛
sie˛ po orbitach kołowych
o promieniu r ze środkiem w jadrze,
˛
a środek masy pokrywa sie˛ ze środkiem
jadra
˛
(protonu).
Z równowagi sił
Fc = ma,
1 e2
v2
=m ,
4π0 r2
r
można obliczyć energie˛ kinetyczna˛
Ek =
Energia całkowita
Ec = Ek + Ep =
40
mv 2
e2
=
.
2
8π0 r
e2
e2
e2
−
=−
.
8π0 r
4π0 r
8π0 r
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Model Bohra atomu wodoru
Porzadek
˛
wśród atomów
Model Bohra atomu wodoru . . .
Notatki
Postulaty Bohra
1
Elektron w atomie porusza sie˛ po orbicie kołowej pod wpływem
przyciagania
˛
kulombowskiego pomiedzy
˛
elektronem a jadrem.
˛
2
Elektron może poruszać sie˛ tylko po takich orbitach, dla których moment
pedu
˛
L jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej
przez 2π
h
L=n
= n~ n=1, 2, 3,..
2π
gdzie n oznacza liczbe˛ kwantowa.
˛
3
Elektron poruszajac
˛ sie˛ po orbicie nie wypromieniowuje energii. Jego
całkowita energia pozostaje stała.
4
Przejściu elektronu z orbity o energii En na orbite˛ o energii Em
towarzyszy emisja lub absorpcja fotonu o energii
En − Em = hν.
41
dr inż. Ireneusz Owczarek
Model Bohra atomu wodoru
Elementy fizyki kwantowej
Energia elektronu
Model Bohra atomu wodoru . . .
Notatki
Z postulatu Bohra
n~
v=
,
mr
energia kinetyczna
e2
1
n~
= m
8π0 r
2
mr
2
,
Promień Bohra
rn =
4π0 ~2 2
n = r0 n2 ,
me2
gdzie r0 = 5,29 · 10−11 m.
Energia elektronu
En = −
me4
1
E0
·
=− 2,
32π 2 20 ~2 n2
n
gdzie E0 = 13,59 eV jest energia˛ jonizacji atomu (przejście ze stanu n = 1 do
nieskończoności).
42
dr inż. Ireneusz Owczarek
Model Bohra atomu wodoru
Elementy fizyki kwantowej
Energia elektronu
Model Bohra atomu wodoru . . .
Notatki
Po czasie 10−8 s nastepuje
˛
samorzutne przejście elektronu z poziomu n na
poziom k (n > k). Atom emituje kwant promieniowania o cz˛estotliwości
ν=
En − Ek
me4
1
1
=
− 2 .
h
64π 3 20 ~3 k2
n
Ponieważ
ν=
c
,
λ
Długość fali emitowanego fotonu
1
me4
1
1
=
− 2
λ
64π 3 c20 ~3 k2
n
= R0
1
1
− 2 ,
k2
n
gdzie R0 = 1,097 37 · 107 m−1 jest stała˛ Rydberga.
Grupe˛ linii z jednakowymi wartościami n nazwano seria˛ widmowa.
˛
Dla jonów wodoropodobnych (Z jest liczba˛ porzadkow
˛
a˛ w układzie
okresowym pierwiastków)
1
1
1
= Z 2 R0 2 − 2 .
λ
k
n
43
dr inż. Ireneusz Owczarek
Model Bohra atomu wodoru
Elementy fizyki kwantowej
Energia elektronu
Model Bohra atomu wodoru . . .
44
dr inż. Ireneusz Owczarek
Notatki
Elementy fizyki kwantowej
Atom wodoru w mechanice kwantowej
Równanie Schrödingera
Sprzeczności z prawami fizyki klasycznej
Notatki
Niestety model atomu Bohra jest niewystarczajacy:
˛
zbyt prosty, nie pasuje do atomów wieloelektronowych,
dlaczego moment pedu
˛
elektronu jest skwantowany?
dlaczego elektron nie emituje promieniowania i nie spada na jadro?
˛
Mimo tego wskazuje on, że elektrony w atomie przyjmuja˛ pewne stacjonarne
(trwałe) „stany energetyczne”.
Atom wodoru jest swego rodzaju studnia˛
potencjału (naturalna˛ pułapka)
˛ dla
elektronu.
Energia potencjalna oddziaływania
elektron–jadro
˛
jest postaci
U (r) = −
e2
.
4π0 r
Równanie Schrödingera dla przypadku trójwymiarowego w układzie
kartezjańskim
∂2Ψ
∂2Ψ
2m
∂2Ψ
+
+
= − 2 (E − U )Ψ.
∂x2
∂y 2
∂z 2
~
45
dr inż. Ireneusz Owczarek
Atom wodoru w mechanice kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Równanie Schrödingera
Kwantowanie energii
Notatki
Rozwiazanie
˛
równania Schrödingera istnieje jeśli energia elektronu przyjmuje
ściśle określone wielkości
En = −
me4
Z2
Z2
·
= −13,59 eV 2 ,
32π 2 20 ~2 n2
n
dla wartości r = r0
r0 =
4π0 ~2
= 5,29 · 10−11 m.
me2
wyrażenia dla r0 i En sa˛ identyczne jak w modelu Bohra,
kwantyzacja jest wynikiem rozwiazania
˛
równania Schrödingera, a nie
postulatem,
r0 nie jest promieniem orbity, lecz odległościa˛ od jadra,
˛
przy której
prawdopodobieństwo znalezienia sie˛ elektronu osiagnie
˛
wartość
maksymalna,
˛
przyjecie
˛
klasycznej orbity traci sens,
p
moment pedu
˛
jest skwantowany L = l(l + 1)~, a liczba
l = 0, 1, 2, . . . , n − 1 jest tzw. orbitalna˛ (azymutalna)
˛ liczba˛ kwantowa.
˛
46
dr inż. Ireneusz Owczarek
Atom wodoru w mechanice kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Równanie Schrödingera
Kwantowanie przestrzenne momentu pedu
˛
Notatki
Liczba ml jest tzw. magnetyczna˛ liczba˛ kwantowa˛
ml = 0, ±1, ±2, . . . , ±l.
Wartość rzutu momentu pedu
˛
elektronu na oś określajac
˛ a˛
wyróżniony kierunek w atomie, np.
zewnetrznego
˛
pola elektrycznego lub
magnetycznego
Lz = ml ~.
Jeżeli długość orbity elektronu jest równa całkowitej wielokrotności λ, fale de
Broglie’a nie wygaszaja˛ sie˛ – orbita jest dozwolona˛
2πr = ml λ.
47
dr inż. Ireneusz Owczarek
Atom wodoru w mechanice kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Liczby kwantowe
Liczby kwantowe w modelu Bohra
Notatki
Stan elektronu określony jest przez
główna˛ liczbe˛ kwantowa˛ n i oznacza numer orbity (odpowiada
odległości od jadra).
˛
Przyjmuje wartości całkowitych liczb
dodatnich, n = 1, 2, 3, ....,
orbitalna˛ liczbe˛ kwantowa˛ l i oznacza wartość bezwzgledn
˛ a˛
orbitalnego momentu pedu.
˛
Przyjmuje wartości liczb
naturalnych z zakresu < 0, n − 1 >,
magnetyczna˛ liczbe˛ kwantowa˛ ml i oznacza rzut orbitalnego momentu pedu
˛
na wybrana˛ oś. Przyjmuje wartości liczb całkowitych
z zakresu < −l, 0, +l >,
magnetyczna˛ spinowa˛ liczbe˛ kwantowa˛ ms określajac
˛ a˛ spinowy moment
elektronu. Dla elektronu przyjmuje wartości + 12
1
(prawoskretny)
˛
lub − 2 (lewoskretny).
˛
W swobodnym atomie wodoru i jonie wodoropodobnym wszystkie stany
o danej wartości liczby kwantowej n i różnych wartościach liczb kwantowych l
i m maja˛ te˛ sama˛ energie.
˛
48
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej
Atom wodoru w mechanice kwantowej
Liczby kwantowe
Kolejność obsadzania poziomów elektronowych
Notatki
Reguła Hunga
Poziomy o jednakowej energii sa˛ najpierw obsadzane przez pojedyncze
elektrony o takim samym spinie.
Zakaz Pauliego
W atomie dwa elektrony nie moga˛ mieć identycznych czterech liczb
kwantowych
Z zasady tej wynika,że:
na każdej powłoce znajduje sie˛ maksymalnie Z = 2n2 stanów do
obsadzenia,
Na każdej podpowłoce znajduje sie˛ 2(2l + 1) stanów do obsadzenia.
n
1
2
49
l
0
0
1
1
1
ml
0
0
-1
0
1
dr inż. Ireneusz Owczarek
Atom wodoru w mechanice kwantowej
ms
− 21 , + 12
± 12
± 12
± 12
± 12
Z
2
8
Elementy fizyki kwantowej
Liczby kwantowe
Układ okresowy pierwiastków
Notatki
Założenia:
Liczba porzadkowa
˛
Z pierwiastka chemicznego określa liczbe˛ protonów
znajdujacych
˛
sie˛ w jadrze
˛
atomowym – równa jest także liczbie
elektronów w atomie gdy atom nie jest „zjonizowany”.
Stan elektronu w atomie określony jest przez zestaw liczb kwantowych
n, l, ml i ms .
Obsadzenie stanów energetycznych w atomie przez elektrony powinno
zachodzić zgodnie z zakazem Pauliego.
Tablica Mendelejewa
ułożenie znanych pierwiastków chemicznych według wzrastajacych
˛
liczb
atomowych,
pierwiastki w pionowych kolumnach (grupach układu) maja˛ podobne
właściwości chemiczne,
fizyka kwantowa systematyzuje atomy poprzez podanie ich konfiguracji
elektronowej,
numer porzadkowy
˛
okresu odpowiada głównej liczbie kwantowej n.
50
dr inż. Ireneusz Owczarek
Atom wodoru w mechanice kwantowej
Elementy fizyki kwantowej
Liczby kwantowe
Układ okresowy pierwiastków . . .
51
dr inż. Ireneusz Owczarek
Atom wodoru w mechanice kwantowej
Notatki
Elementy fizyki kwantowej
Liczby kwantowe
Literatura podstawowa
Notatki
Kania S.
Wykłady z fizyki cz. 1 i 2.
Wydawnictwo PŁ, Łódź 2012.
Halliday D., Resnick R, Walker J.
Podstawy Fizyki t. 1-5.
PWN, Warszawa 2005.
Orear J.
Fizyka t. I i II.
WNT, Warszawa 1994.
Sawieliew I. W.
Wykłady z fizyki t. I-III.
PWN, Warszawa 1994.
Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ
http://cmf.p.lodz.pl/efizyka
e-Fizyka. Podstawy fizyki.
Kakol
˛ Z. Żukrowski J.
http://home.agh.edu.pl/˜kakol/wyklady_pl.htm
Wykłady z fizyki.
52
dr inż. Ireneusz Owczarek
Elementy fizyki kwantowej