Zębatka z zapadką

Wykład 9
Wybrane zastosowania zasad termodynamiki cz. 2:
ogniwo elektryczne
równanie Clausiusa-Clapeyrona
silnik Feynmana – Smoluchowskiego
1
Zastosowania zasad termodynamiki; ogniwo elektryczne
U  Q  W
Z I zasady termodynamiki:
a z II: p V  V p  Q 
T
Q  T
p
V
T V
T-ΔT
mamy:
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
U  T
T
T
skąd:
uwzględniając, że:
p
V  pV
T V
 W   p V
czyli:
U
p
T
p
V T
T V
a więc:
 U 
 p 

  T
 p
 V  T
 T  V
2
Jeśli napięcie wytwarzane przez ogniwo to E, a ładunek przepływający przez ogniwo i
obwód zewnętrzny to ΔZ to praca wykonana przez ogniwo w obwodzie zewnętrznym
wyniesie E.ΔZ. Przez analogię z:
mamy zatem:
 U 
 p 

T



 p
 V  T
 T  V
 U 
 E 

  T
 E

Z

T

T

Z
Napięcie E ogniwa maleje ze wzrostem temperatury, czyli pochodna dE/dT i pierwszy
wyraz będą ujemne podobnie jak drugi wyraz, -E. Wielkość ΔU/ΔZ ze znakiem minus
interpretujemy jako siłę elektromotoryczną ogniwa (U maleje dla pracującej baterii,
energia wydatkowana przez baterię na przesunięcie ładunku ΔZ wkoło to SEM·ΔZ).
Napięcie E nie jest równe SEM gdyż w trakcie pracy ogniwo się ogrzewa. Energia
wewnętrzna ogniwa maleje w trakcie pracy gdyż jej kosztem ogniwo wykonuje pracę w
obwodzie zewnętrznym i, dodatkowo, ogrzewa się (interpretujemy to jako efekt oporu
wewnętrznego).
Z termodynamiki wynika, że wpływ efektu ogrzewania, czyli oporu wewnętrznego, na
spadek napięcia ogniwa można oszacować, mierząc spadek napięcia ogniwa rozwartego
(Z = const, nie płynie prąd) ze wzrostem temperatury.
3
Zastosowania; równanie Clausiusa – Clapeyrona
Opis parowania cieczy i kondensowania się pary.
Izotermy układu ciecz – para w zbiorniku o
zmiennej objętości (tłok).
Trzy obszary:
1) faza ciekła (ciecz),
2) para nasycona albo wilgotna (ciecz i para),
3) para sucha.
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
Gwałtowny wzrost ciśnienia dla niewielkich
zmian objętości w obszarze cieczy.
Obszar stałego ciśnienia (izotermy i izobary
pokrywają się) dla obszaru cieczy i pary w
równowadze. Ciśnienie pary nasyconej.
Obszar pary suchej, zachowanie jak dla
zwykłego gazu.
Izoterma dla temperatury T – ΔT; ciśnienie cieczy i pary spada. Przy obniżaniu
temperatury przy stałym ciśnieniu objętość cieczy maleje. Dla niższej temperatury
wrzenie i kondensacja zaczyna się przy większej objętości
4
Wykonamy cykl Carnota wzdłuż izoterm w
obszarze ciecz – para połączonych adiabatami.
Niech L będzie ciepłem potrzebnym do
wyparowania całej cieczy zawartej w zbiorniku.
Wydajność silnika Carnota wynosi:
W T

Q
T
a więc w tym konkretnym przypadku mamy:

p Vg  Vc
L
  T
T
a po przekształceniu:
ppara nas
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
T

V

L
T Vg  Vc

Równanie Clausiusa - Clapeyrona
5
Zastosowania; silnik Feynmana – Smoluchowskiego
Zębatka z zapadką – zapadka brownowska,
zębatka brownowska. Ruch uporządkowany
kosztem bezładnego ruchu cieplnego cząsteczek
gazu. Realizacja demona Maxwella, silnik
molekularny.
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
Gabriel Lippmann w 1900 podał zębatkę z
zapadką jako przykład urządzenia o działaniu
sprzecznym z II zasadą termodynamiki.
Pierwsze jakościowe wyjaśnienie paradoksu
podał Marian Smoluchowski w 1912. Ilościowa
analiza pochodzi od Richarda Feynmana
(Feynmana wykłady z fizyki, 1963).
W związku z możliwą realizacją (silniki molekularne, MEMS, nano…) wzrosło
zainteresowanie teorią działania silnika F – S. Współczesne prace: Abbott, Davis,
Parrondo. Łukasz Machura (doktorat na uniwersytecie w Augsburgu).
Zasada działania; przypadkowe uderzenia cząsteczek gazu w łopatki wiatraczka
napędzają go; obroty w jedną stronę są możliwe, a w drugą blokowane przez
zapadkę. Jeśli urządzenie to działałoby, tzn wykonywało obroty w jedną stronę
wykonując pracę dla T1 = T2 to byłoby to sprzeczne z II zasadą termodynamiki. 6
Działanie zębatki z zapadką F – S (zębatka F-S) bez obciążenia
Przypadkowe uderzenia cząsteczek gazu przekazują energię łopatkom wiatraczka, powodując
jego drgania wokół osi urządzenia. Prawdopodobieństwo przekazania energii E jest
proporcjonalne do exp(-E/kT1). Obroty w obie strony są hamowane przez zapadkę ale dla
jednego kierunku obrotu, o ile wiatraczek otrzyma wystarczającą energię by wykonać pracę
potrzebną do podniesienia zapadki (oznaczymy ją ε), urządzenie wykona obrót o kąt θ
(θ = 2π/N, N liczba zębów zębatki). Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest proporcjonalne do
exp(-ε/kT1).
Podniesiona zapadka opada i, żeby uniknąć nietłumionych oscylacji uniemożliwiających dalsze
jej działanie (czyli blokowanie ruchu w przeciwnym kierunku), musi dość szybko rozproszyć
energię ε do otoczenia zapadki czyli gazu o temperaturze T2. Konstrukcja zapadki (odpowiednio
tłumiona sprężyna) musi to uwzględniać.
Wykonanie obrotu w przeciwnym kierunku wymaga minimalnego pobudzenia w odpowiednią
stronę wiatraczka i, jednocześnie, termicznie pobudzonego podniesienia zapadki, z
prawdopodobieństwem exp(-ε/kT2). Dociskana przez sprężynę zapadka napędza wiatraczek
przekazując mu energię ε, która ostatecznie poprzez łopatki wiatraczka, trafia do otoczenia
wiatraczka (gazu o temperaturze T1).
Silnik F – S bez obciążenia obracając się w jednym kierunku pobiera ciepło od otoczenia
wiatraczka (T1) i oddaje je do otoczenia zębatki (T2), a obracając się w przeciwnym kierunku
przenosi ciepło od otoczenia zębatki (T2) do otoczenia wiatraczka (T1). Dla T1 = T2 urządzenie
nie wyróżnia żadnego kierunku, ale dla różnych temperatur może obracać się w jedną lub w
drugą stronę. Dla małego obciążenia urządzenie może pracować „do przodu” (silnik) ale dla
zbyt dużego może się cofać (chłodziarka).
7
Działanie zębatki F – S z obciążeniem „do przodu” (silnik).
Niech T1 > T2. Bez obciążenia zębatka F – S działałaby „do przodu”, zgodnie z
planem. Jeśli dodatkowe kółko obciążymy ciężarkiem, który wytworzy moment siły
L, to poruszając się „do przodu” zębatka F – S wykona pracę użyteczną Lθ.
wymagana energia
ε + Lθ
pobiera od łopatek
wykonuje pracę
przekazuje zapadce
Lθ + ε
Lθ
ε
(od łopatek), skąd prawdopodobieństwo
= (1/τ)exp[-(Lθ + ε)/kT1]
Działanie zębatki F – S z obciążeniem „do tyłu” (chłodziarka).
T1 > T2. Analizujemy działanie zębatki F – S z obciążeniem „do tyłu”.
wymagana energia
ε
pobiera od zapadki
absorbuje pracę
przekazuje łopatkom
ε
Lθ
ε + Lθ
(od zapadki), skąd prawdopodobieństwo
= (1/τ)exp[-ε/kT2]
Zębatka F – S jest silnikiem gdy (1/τ)exp[-(Lθ + ε)/kT1] > (1/τ)exp[-ε/kT2], a
chłodziarką gdy (1/τ)exp[-(Lθ + ε)/kT1] < (1/τ)exp[-ε/kT2]
8
Jeżeli układ jest odwracalny to:
 L    1
  
1
exp 
  exp 


kT
1  

 kT2 
L  


T

;
 2
kT1
kT2
L   T1
A ponieważ dla pracy „do przodu”
ciepło pobrane z otoczenia wiatraczka (T1) to:
ciepło oddane do otoczenia zapadki (T2) to:
praca wykonana przez silnik to:
Q1 = ε + Lθ
Q2 = ε
W = Lθ
Mamy także:
Q2 T2

Q1 T1
i
Q1 Q2

S
T1 T2
a stosunek pracy wykonanej Lθ do energii
cieplnej pobranej od wiatraczka Lθ + ε:
Silnik F – S pracując odwracalnie wykonuje
kosztem pobieranej energii cieplnej maksymalną
możliwą pracę. Dzieje się tak dla określonej
wartości LC. Dla innej wartości L proces nie
będzie odwracalny i entropia wzrośnie, ΔS > 0.
Q1  L    S  T1
Q 2    S  T2
L
T  T2
 1

L  
T1
LC 
1 
.
 1 
9
Prędkość kątowa zębatki „do przodu”:
Prędkość kątowa zębatki „do tyłu”:
p 
 L   

exp


kT
1 

  

t  exp 


kT
2

Dla L bliskiego LC ale jednak mniejszego, układ F – S będzie pracował jako silnik i
wykonywał pracę, natomiast dla L bliskiego ale większego od LC przeważy kierunek
wsteczny i układ będzie działał jako chłodziarka pompująca ciepło od T2 do T1.
Interesujący przypadek pracy układu F – S zachodzi dla T1 = T2 = T. Układ pracuje
jako chłodziarka (ruch odbywa się dzięki energii potencjalnej ciężarka), ale może
pracować w dwie strony:
1) do przodu, ω = ωp – ωt > 0, gdy L > 0
2) do tyłu, ω = ωp – ωt < 0, gdy L < 0
  p   t 



 L    
  
exp 

exp





kT  

 kT 

   kT  L kT
e
e
1

Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
10