Ćwiczenia 1. Kombinatoryka. Prawdopodobieństwo klasyczne. 1. Ile

Ćwiczenia 1. Kombinatoryka. Prawdopodobieństwo klasyczne.
1. Ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
(b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2. Niech dany będzie zbiór A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ile liczb trzycyfrowych można utworzyć z
cyfr zbioru A, jeśli zakładamy, że:
(a) cyfry nie mogą się powtarzać,
(b) cyfry mogą się powtarzać.
3. Pięć osób, wśród których są skłócone ze sobą panie A i B, zakupiło bilety do kina na pięć
kolejnych miejsc w jednym rzędzie. Na ile sposobów mogą usiąść, tak aby:
(a) panie A i B nie siedziały obok siebie,
(b) pomiędzy paniami A i B siedziała tylko jedna osoba.
4. Sześć osób ma do dyspozycji 5 różnokolorowych kieliszków i 2 różne gatunki wina. Iloma
sposobami mogą się napić?
5. Ile różnych prostych można poprowadzić przez 20 punktów, jeśli dowolne trzy z nich są
niewspółliniowe?
6. Z talii 52 kart losujemy 6 kart. Na ile sposobów możemy wylosować te karty, tak aby
wśród nich były (dokładnie) trzy króle i (dokładnie) jeden as?
7. W pudełku jest 100 losów, w tym 10 wygrywających. Na ile sposobów można wybrać trzy
losy, tak aby wśród nich były przynajmniej dwa wygrywające?
8. Iloma sposobami można położyć 12 książek na trzech półkach tak, aby na pierwszej półce
znajdowało się sześć ksiązek, na drugiej - cztery książki, a na trzeciej reszta?
9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie dwiema sześciennymi kostkami do gry otrzymamy sumę oczek równą 8 ?
10. W urnie jest 5 kul białych i 4 czarne. Z urny wybieramy losowo 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania:
(a) 3 kul białych,
(b) 2 kul białych i 1 czarnej,
(c) co najmniej 1 kuli białej.
Definicja 1. Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony
ze wszystkich elementów tego zbioru (każdy element zbioru występuje dokładnie jeden raz).
Liczbę permutacji zbioru n-elementowego oznaczamy symbolem Pn i obliczamy ze wzoru
Pn = n!
Definicja 2. Wariacją k-elementową zbioru n-elementowego (k ¬ n) nazywamy każdy kwyrazowy ciąg, utworzony z k różnych elementów tego zbioru n-elementowego.
Vnk
Liczbę k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego (k ¬ n) oznaczamy
i obliczamy ze wzoru
n!
Vnk =
(n − k)!
Definicja 3. Wariacją k-elementową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdy
k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elementów tego zbioru n-elementowego.
k
Liczbę k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego oznaczamy V n i
obliczamy ze wzoru
k
V n = nk
Definicja 4. Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego (k ¬ n) nazywamy każdy kelementowy podzbiór tego zbioru n-elementowego.
Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego (k ¬ n) oznaczamy Cnk i obliczamy ze wzoru
!
n
n!
k
Cn =
=
k!(n − k)!
k
Definicja 5 (Klasyczna definicja prawdopodobieństwa). Jeżeli przestrzeń Ω jest skończona i
wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zajścia
dowolnego zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu
i liczby wszystkich zdarzeń elementarnych przestrzeni Ω, czyli
Ā¯
P (A) = ¯
Ω̄
¯ oznacza liczbę elementów zbioru Ω
gdzie symbol Ā¯ oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω̄
(moc, miarę zbioru).