9. Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych

9. Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych—
przypadek znanego odchylenia standardowego (23.04.07)
Przykład X- średnica pewnego detalu stalowego wytwarzanego przez
maszyn˛e tokarska˛ A.;
Zakładamy (na podstawie wczesniejszych doświadczeń): X ∼ N (θ; 0,1);
(jednostka-milimetr);
Maszyna powinna produkować detale o szerokości średniej szerkości
θ0 = 7,5.
Mamy uzasadnione podejrzenia, że maszyna, po wielu miesiacach
˛
użytkowania bez konserwacji, uległa rozregulowaniu i przeci˛etna wartość
średnicy produkowanych detali jest w obecnym czasie wi˛eksza niż 7,5.
1
Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej
Interesuje nas sprawdzenie hipotezy H0 : θ = θ0 , gdzie θ0 = 7,5
(jednostka: milimetr.)
Chcemy sprawdzić, czy zuzycie noża maszyny tokarskiej nie spowodowało
zwi˛ekszenia wartości średnic θ. Stad
˛ hipoteza alternatywna: H1 : θ > θ0 .
2
Statystyka testowa i jej rozkład
Zakładamy, że nasze pomiary stanowia˛ realizacj˛e próby prostej
X1 , X2 , . . . , Xn , gdzie Xi ∼ N (θ; σ); w naszym przykładzie σ = 0,1.
Chcemy „procedur˛e testowa"
˛ oprzeć na zmiennej losowej (tzw. statystyce
testowej)
X̄ − θ0
√ .
Z=
σ/ n
Przy założeniu prawdziwości H0 zmienna Z ma wartość oczekiwana˛ równa˛
0 — wynika to stad,
˛ że wartość oczekiwana średniej próbkowej X̄ jest
równa θ0 . Można pokazać, że przy założeniu prawdziwości H0 odchylenie
standardowe Z jest równe 1.
Czy można precyzyjnie określić rozkład X̄ oraz Z?
3
Rozkład średniej próbkowej
Twierdzenie 1 Jeżeli X1 , X2 , . . . , Xn sa˛ niezależnymi zmiennymi
losowymi o rozkładzie normalnym N (θ; σ) to średnia X̄ ma rozkład
√
N (θ; σ/ n)
Wniosek:zmienna losowa Z określona przez
Z=
X̄ − θ0
√ .
σ/ n
ma rozkład N (0, 1) przy założeniu prawdziwości H0 .
4
Obszar krytyczny
Problem: jakie wartości statystyki Z należy uznać za nietypowe?
Niech z1−α oznacza kwantyl rz˛edu 1 − α rozkładu normalnego, tj.
rozwiazanie
˛
równania:
Φ(x) = 1 − α,
gdzie jest ustalona˛ liczba˛ z przedziału (0, 1) — zazwyczaj przyjmujemy w
zagadnieniach testowania hipotez α = 0,05 lub α = 0,01; α jest tzw.
poziomem istotnosci testowania hipotezy. Określmy zbiór krytyczny dla
zadanego α dla hipotezy alternatywnej H1 : θ = θ0 przez:
C = {z : z ­ z1−α }.
Test dla weryfikacji H0 przy alternatywie 1: przyjmij H0 , gdy Z ∈
/ C,
odrzuć H0 , gdy Z ∈ C, z- wartość statystyki Z dla konkretnych danych.
5
Przykład z detalami metalowymi— obliczenia
z -oznacza realizacj˛e statystyki testowej Z.
x̄ oznacza realizacj˛e statystyki X̄
Dla n = 50 pomiarów x1 , x2 , . . . , x50 otrzymaliśmy x̄ = 7,515; stad
˛
z=
7,515 − 7,5
x̄ − θ0
√ =
√
≈ 1,06.
σ/ n
0,1/ 50
Dla poziomu istotności α = 0,01 zbiór krytyczny C ma postać
[z0,99 , ∞) = [2,33; ∞),
a wi˛ec nie ma podstaw do odrzucenia H0 i przyj˛ecia H1 .
6
0.4
0.3
0.2
0.0
0.1
y
−4
−2
0
2
4
x
Rysunek 1: Wykres g˛estości rozkładu N (0, 1); pole zacieniowanego „trapezu krzywoliniowego” jest równe 0,01
Podstawa „nieskończonego trapezu”: [2,33; ∞)- to obszar krytyczny (w
przykładzie "średnice detali metalowych”)
7
Uwagi nt. obliczania kwantyli r. normalnego
Definicja 1 Kwantylem rz˛edu u, u ∈ (0, 1), rozkładu normalnego N (0, 1)
bedziemy nazywać liczb˛e zu spełniajac
˛ a˛ równość:
Φ(zu ) = u.
Kwantyle rozkładu normalnego N (0, 1) można obliczać „przeszukujac”
˛
tablic˛e wartości funkcji Φ, odczytać z tablicy kwantyli lub obliczyć
korzystajac
˛ z odpowiedniego programu komputerowego— np. wydajac
˛
polecenie qnorm w R-rze. Wartość z0,99 można obliczyć w R-rze w
nast˛epujacy
˛ sposób:
> qnorm(0.99)
[1] 2.326348
8
Testowanie hipotezy o proporcji
Jeśli w naszym przykładzie hipotez˛e H1 zastapić
˛ przez hipotez˛e
0
lewostronna˛ H1 : θ < θ0 , to obszar krytyczny b˛edzie miał postać:
(−∞, zα ],
00
w przypadku hipotezy alternatynej 2-stronnej H1 : θ 6= θ0 , obszar
krytyczny b˛edzie miał postać:
(−∞, zα/2 ] ∪ [z1−α/2 , ∞).
9
Testowanie hipotezy o proporcji
W państwie P w roku 2000 procent ludzi żyjacych
˛
w ubóstwie (poverty
rate- w skrócie PR) wynosił 11,3 a w 2004 roku: 12,7. Dane dotyczace
˛
2000 roku sa˛ dokładne (pochodza˛ ze spisu powszechnego), dane dotyczace
˛
2004 roku oparte sa˛ na rezultatach badań sondażowych, przeprowadzonych
dla reprezentatywnej 10000-elementowej próby respondentów. Czy sa˛
podstawy aby sadzić,
˛
że PR istotnie wzrósł przez ostatnie 4 lata?
10
Testowanie hipotezy o proporcji- formalizacja problemu
Doświadczenie losowe polega na wyborze losowym mieszkańca P; jeśli ten
mieszkaniec żyje w ubóstwie, wtedy wartość X jest równa 1, jeśli nie żyje
w ubóstwie, wtedy wartość X wynosi 0.
Zakładamy, że odpowiedzi (dotyczace
˛ ubóstwa respondentów) otrzymane w
2004 roku stanowia˛ realizacj˛e próby prostej z rozkładu Bin(1, p).
Chcemy zweryfikować
H0 : p = p0 przeciw H1 : p > p0 ;
w naszym przykładzie p0 = 11,3.
11
Testowanie hipotezy o proporcji— c.d.
Niech Y - liczba żyjacych
˛
w ubóstwie— spośród n = 10000 ankietowanych.
Zauważmy, że Y = X1 + X2 + . . . + Xn , gdzie Xi ∼ Bin(1, p)
Z centralnego twierdzenia granicznego: przy założeniu prawdziwości H0
q
p
(1−p
)
0
0
,
Y1 = Yn = X̄ ma w przybliżeniu rozkład N p0 ,
n
a statystyka testowa Z
Y1 − p0
Z=q
p0 (1−p0 )
n
ma w przybliżeniu rozkład normalny N (0, 1).
Obszary krytyczne: lewostronny, prawostronny i dwustronny obliczamy tak
jak w przypadku testowania hipotez w rodzinie rozkładów normalnych (gdy
odchylenie standardowe jest znane).
12
Przykład „Procent ubóstwa w P”— c.d.
Przyjmujemy poziom istotności α = 0,05. Obszar krytyczny— dla hipotezy
prawostronnej H1 : p > p0 = 0,113 ma postać:
[z0.95 , ∞) = [1,644854, ∞).
Wartość statystyki testowej Z dla naszych danych jest równa 4.422084
Można ja˛ obliczyć w R-rze nast˛epujaco:
˛
> (0.127-0.113)/(sqrt((0.113*(1-0.113))/10000))
[1] 4.422084
a wi˛ec sa˛ podstawy, aby odrzucić H0 i przyjać
˛ H1 .
13