1. Problem Zbadano jak ksztaltuje sie, zależność pomiedzy zmiennymi X i Y: , X: czas naprawy [h] auta w pewnym zakladzie, Y: koszt naprawy w setkach zl. X - czas - xi Y - koszt - yi 12 15 16 18 21.5 55 53 51 46 42.5 Wyznaczy równanie regresji liniowej, wspólczynnik korelacji liniowej Pearsona, ile średnio bedzie kosztowala naprawa auta, którego czas naprawy oszacowano na 15 h? , Przy poziomie istotności równym 0.05 zbadać hipoteze, , o istotności wspólczynnika korelacji liniowej Pearsona. Wykonać zadanie poslugujac , sie, tablicami odpowiednich rozkladów (t-studenta trzy miejsca po przecinku, normalny cztery miejsca po przecinku) oraz przyjać , dokladność ostatecznego wyniku do czterech mniejsc po przecinku. (a) Wartość kowariancji w próby? (b) Wartość kowariancji dla populacji? (c) W modelu y(x)=a1x+a0, a1=? (d) W modelu y(x)=a1x+a0, a0=? (e) W modelu y( 15 )=? (f) W modelu y(x) wspólczynnik determinacji? (g) W modelu y(x) wspólczynnik zbieżności? (h) W modelu y(x) Se? (i) W modelu x(y)=b1y+b0, b1=? (j) W modelu y(x)=b1x+b0, b0=? (k) W modelu x(y) wspólczynnik determinacji? (l) W modelu: x( 52 )=? (m) test rxy: Hipoteza H0: wspólczynnik korelacji liniowej Persona jest statystycznie istotny . / test rxy: Hipoteza H0: wspólczynnik korelacji liniowej Persona jest statystycznie nieistotny . (n) test rxy: Hipoteza H1: wspólczynnik korelacji liniowej Pearsona jest statystycznie istotny . / test rxy: Hipoteza H1: wspólczynnik korelacji liniowej Pearsona jest statystycznie nieistotny. (o) test rxy: Wartość statystyki t testu ma wartość? (p) test rxy: Wartość t* ? (q) test rxy: p-value jest równe? (r) test rxy: Decyzja: nie ma podstaw do odrzucenia H0. / test rxy: Decyzja: hipoteze, H0 należy odrzucić i przyjac , H1. (s) test alfai: Hipoteza H0: Parametr strukturalny przy zmiennnej x w modelu jest statystycznie istotny . / test alfai: Hipoteza H0: Parametr strukturalny przy zmiennnej x w modelu jest statystycznie nieistotny . 1 (t) test alfai: Hipoteza H1: Parametr strukturalny przy zmiennnej x w modelu jest statystycznie istotny . / test alfai: Hipoteza H1: Parametr strukturalny przy zmiennnej x w modelu jest statystycznie nieistotny. (u) test alfai: Wartość bezwzgledna statystyki t testu ma wartość? , (v) test alfai: Wartość t* ? (w) test alfai: p-value jest równe? (x) test rxy: Decyzja: nie ma podstaw do odrzucenia H0. / test rxy: Decyzja: hipoteze, H0 należy odrzucić i przyjac , H1. Solution Uwaga dla zadania z tendu bedziemy wykonywać analogiczne obliczenia. , zostanie zastapiona zmienn a t: 1,2,3,. . . , , Zmienna X Wyznaczamy wartości średnie dla zmiennych i uzupelniamy tabele, pomocnicza., Tabela pomocnicza wypelnione wartości - ((wzgledem wykladu pominieta kolumny 3 i 4) , , i xi yi 1 2 3 4 5 — SUMA ŚREDNIA 12 15 16 18 21.5 — 82.5 16.5 55 53 51 46 42.5 — 247.5 49.5 xi x̄ -4.5 -1.5 -0.5 1.5 5 — 0 0 yi ȳ 5.5 3.5 1.5 -3.5 -7 — 0 0 Druga pomocnicza, można wszystko na jednej tabeli i xi yi 1 2 3 4 5 — SUMA ŚREDNIA 12 15 16 18 21.5 — 82.5 16.5 55 53 51 46 42.5 — 247.5 49.5 (xi x̄)2 20.25 2.25 0.25 2.25 25 — 50 10 Otrzymujemy nastepuj ace , ,p wartości: 2 x̄ = 16.5, sx = 10, sx = s2x = 3.16, q ȳ = 49.5, s2y = 21.2, sy = s2y = 4.6, cov(x, y) = 14.2 kowariancja z próby cov(x, y)n 1 = 17.75 Podstawiamy do wzorów: Wspólczynnik korelacji Pearsona 2 (yi ȳ)2 30.25 12.25 2.25 12.25 49 — 106 21.2 (xi x̄)(yi -24.75 -5.25 -0.75 -5.25 -35 — -71 -14.2 ȳ) cov(x,y) sx sy rxy = = 14.2 3.16·4.6 = 0.97526 Wspólczynniki równania regresji ŷ = a1 x + a0 a1 = cov(x,y) s2x a0 = ȳ = 14.2 10 a1 x̄ = 49.5 = 1.42 ( 1.42) · 16.5 = 72.93 Równanie regresji: ŷ = 1.42x + 72.93 Ile średnio bedzie kosztowala naprawa auta, którego czas naprawy oszacowano na 15h? , Podstawiamu do równania regresji: 1.42 · 15 + 72.93 = 51.63 ŷ(15) = Na poziomie istotności 0.05 zbadać czy wspólczynnik korelacji liniowej Pearsona jest statystycznie istotny Hipotezy, sa, formulowane niezależnie od grup. H0: ⇢ = 0 H1: ⇢ 6= 0 Wartość statstyki t wyznaczamy ze wzoru: |r | p t = p xy 2 n 2 = 7.6413324 1 rxy wartość krytyczna: t⇤ = t↵;n 2 = 3.182 p-value: 0.0046539 , czyli decyzja hipoteze, H0 należy odrzucić i przyjac , H1 Na poziomie istotności 0.05 zbadać czy parametr stojacy przy x jest statystycznie istotny , Hipotezy, sa, formulowane niezależnie od grup. H0: ↵1 = 0 H1: ↵1 6= 0 Wartość statstyki t wyznaczamy ze wzoru: t= |a1 | s(a1 ) = 7.6413324 wartość krytyczna: t⇤ = t↵;n 2 p-value: 0.0046539 , czyli decyzja: hipoteze, H0 należy odrzucić i przyjac , H1 (a) 17.74999. (b) 14.19999. (c) 1.41999. (d) 72.93001. (e) 51.63001. (f) 0.951142075471698. (g) 0.048877924528302. (h) 1.31403688962847. (i) 0.66999. (j) 39.93001. (k) 0.951142075471698. 3 (l) 38.0998213207547. (m) False. / True. (n) True. / False. (o) 7.64134243550895. (p) 3.182. (q) 0.00466387848035818. (r) False. / True. (s) False. / True. (t) True. / False. (u) 7.64134243550895. (v) 3.182. (w) 0.00466387848035819. (x) False. / True. 2. Problem Zbadano jak ksztaltuje sie, czas naprawy [h] auta w pewnym zakladzie. czas naprawy xi Liczba aut ni 20 - 50 50 - 80 80 - 110 110 - 140 140 - 170 33 48 75 35 30 Wartości w % prosze, wpisać bez jako liczby, bez znaku %. (a) Ile jest równa średnia? (b) Ile jest równa dominanta? (c) Ile jest równa mediana? (d) Jaki procent obserwacji do 62? (e) Jaki procent obserwacji od 125? (f) Jaki procent obserwacji od 62 do 125? Solution Ile jest równa średnia? wzór x̄ = P Pxi ni ni gdzie xi oznacza środek przedzialu. TABELA pomocnicza xi ni xi x i ni 20 - 50 50 - 80 80 - 110 110 - 140 140 - 170 33 48 75 35 30 35 65 95 125 155 1155 3120 7125 4375 4650 4 Wartości w kolumnie 2: Liczba aut, to suma w kolumnie ni jest równa P ni = 221 4:wartości w kolumnie xi ni sumujemy, otrzymujemy: P xi ni = 20425 x̄ = 20425 221 = 92.42 Ile jest równa dominanta? Który z przedzialów, to przedzial dominanty? Patrz na liczebności Liczba usterek xi Liczba aut ni Dominanta? 20 - 50 50 - 80 80 - 110 110 - 140 140 - 170 33 48 75 35 30 NIE NIE TU JEST NIE NIE Korzystamy ze wzoru D O = x0 + (n0 n ) (n0 n )+(n0 n+ ) h0 DO = 80 + (75 48) (75 48)+(75 35) 30 = 92.0896 Jaki procent obserwacji od 62 do 125? Tabela pomocnicza Liczba usterek xi Liczba aut ni 20 - 50 50 - 80 80 - 110 110 - 140 140 - 170 33 48 75 35 30 P ni 33 81 156 191 221 przedzial kp NIE kp1 NIE kp2 NIE Skorzystamy ze wzoru: kp = x0 + Np P ni h0 n0 Dla kp1 = 62 przedzial 2 62 = 50 + 221kp1 48 33 30 p1 = 0.2362 Dla kp2 = 125 125 = 110 + 221kp2 156 30 35 p2 = 0.78507 Szukany procent jest równy 54.89 %. Mediana wzór p = 0.5 M e = kp = x0 + M e = kp = 80 + END Np P ni n0 110.5 81 · 75 h0 30 = 91.8 3. Problem Zmienna losowa X ma rozklad N (m, ) = N (6.5, 0.6) . Wyznaczyć proawdopodbieństwo, że zmienna losowa X przyjmuje wartości z przedzialu od 5.1 do 7.42. 5 Solution Wyznaczamy prawdopodbieństwo P (a < X < b) = F (b) F (a). P (X < x) = F (x) , w przypadku rozkladu normalnego po standaryzacji: P (X < x) = |U = X m wartość | = P (U < x m )= (x m ) (u) jest odczytywana z tablicy rozkladu normalnego, u podajemy z dok. 0,01. Stad: , P (X < 5.1) = |U = ( 2.33) = 0.0099 P (X < 7.42) = |U = 0.937 X m X m | = |U = | = |U = X 6.5 0.6 | X 6.5 0.6 | = P (U < Pamietaj , (u) = 1 ( u) Ostatecznie P (5.1 < X < 7.42) = 0.937 0.0099 = 0.9271 6 = P (U < 5.1 6.5 0.6 ) 7.42 6.5 ) 0.6 = P (U < 2.33) = = P (U < 1.53) = (1.53) = 1. Problem Dany jest program liniowy: f.c.(x1 , x2 ) = 64x1 + 66x2 ! max ograniczenia: (1) : 11x1 + 28x2 1062.6 (2) : 25x1 + 11x2 967.5 (3) : 17x1 oraz x1 , x2 19x2 0 0 Rozwiaż , program liniowy dowolna, metoda, i odpowiedz na pytania: (a) Dla rozwiazania optymalnego wartość funkcji celu jest równa? (b) Dla rozwiazania optymalnego wartość zmiennej x1 jest równa? (c) Dla rozwiazania optymalnego wartość zmiennej x2 jest równa? (d) Rozwiazanie optymalne wyznacza punkt przeciecia sie, prostych zwiazanych z ograniczeni, , , ami (1) i (2). / Rozwiazanie optymalne wyznacza punkt przeci ecia si e prostych zwiazanych , , , , z ograniczeniami (1) i (3). / Rozwiazanie optymalne wyznacza punkt przeci ecia sie, , , prostych zwiazanych z ograniczeniami (2) i (3). , Solution I metoda graficzna II Odpowiedzi (a) 3517.4. (b) 26.6. (c) 27.5. (d) True. / False. / False. 2. Problem Firma produkuje trzy BARDZO cene substancje A, B, C każda najmniejsza czasteczka , jest bardzo ważana. W tabeli przedstawiono zużycie surowców S1, S2, S3, koszy i ceny jednostkowe [j.p./mg]. Wyrób / S1 / S2 / S3 / koszt / cena / A/ B/ C/ 150 / 90 / 930 / 990 / 510 / 210 / 450 / 810 / 570 / 27 / 48 / 41 / 140 / 229 / 171 / Dodatkowo Podane zużycie surowca S1 przypada na 6 mg, S2 na 10 mg, s3 na 15 mg. Dyponujemy zapasem surowca na poziome 178700, 205700, 148500 odpowiednio dla S1, S2, S3. OG1: na 7 mg substancji A przypada co najmniej 5 mg substancji B, OG2: na 17 mg substancji B przypada co najwyżej 9 mg substancji C. należy wyprodukować co najmniej 200 mg substancji A. należy wyprodukować co najmniej 150 mg substancji C. Przyjmij oznaczenia: x1 - ilość mg substancji A, 1 x2 - ilość mg substancji B, x3 - ilość mg substancji C. Zapisz program liniowy oraz odpowiedz na poszczególne pytania. Na ostatnie 4 pytania odpowiedz, rozwiazuj ac , , program linowy za pomoca, dodatku arkusza kalkulacyjnego SOLVER! (a) f.c.(x1,x2,x3)= 140x1 + 229x2 + 171x3 –> max / f.c.(x1,x2,x3)= 113x1 + 181x2 + 130x3 –> max / f.c.(x1,x2,x3)= 27x1 + 48x2 + 41x3 –> max (b) Surowiec S1: 25x1 + 99x2 + 30x3 <= 178700 / Surowiec S1: 150x1 + 990x2 + 450x3 <= 178700 / Surowiec S1: 25x1 + 15x2 + 155x3 <= 178700 (c) Surowiec S2: 90x1 + 510x2 + 810x3 <= 205700 / Surowiec S2: 15x1 + 51x2 + 54x3 <= 205700 / Surowiec S2: 99x1 + 51x2 + 21x3 <= 205700 (d) Surowiec S3: 155x1 + 54x2 + 38x3 <= 148500 / Surowiec S3: 930x1 + 210x2 + 570x3 <= 148500 / Surowiec S3: 30x1 + 54x2 + 38x3 <= 148500 (e) Og1: -7x1 + 5x2 <= 0 / Og1: 7x1 - 5x2 <= 0 / Og1: -5x1 + 7x2 <= 0 / Og1: 5x1 7x2 <= 0 (f) Og2: -9x2 + 17x3 <= 0 / Og2: -17x2 + 9x3 <= 0 / Og2: 17x2 - 9x3 <= 0 / Og2: 9x2 - 17x3 <= 0 (g) Jak jest minimalna produkcja wyrobu B (h) Jakie jest minimalne wykorzystanie surowca S1 (i) Jakie jest minimalne wykorzystanie surowca S2 (j) Jakie jest minimalne wykorzystanie surowca S3 (k) Wartość funkcji celu (l) Ilość mg substancji A (m) Ilość mg substancji B (n) Ilość mg substancji C Solution (a) False. / True. / False. (b) False. / False. / True. (c) False. / False. / True. (d) False. / False. / True. (e) False. / False. / False. / True. (f) True. / False. / False. / False. (g) 283.333333433333. (h) 32500.0000001. (i) 37400.0000001. (j) 27000.0000001. (k) 513606.558625676. (l) 1099.92879924984. (m) 1558.61069793918. (n) 824.662061736557. 2 3. Problem Dana jest sieć czynności zadana za pomoca, trójek (i, k, tik ). Sieć: A:(1,2,22), B:(1,3,175), C:(2,4,22), D:(2,6,166), E:(3,4,10), F:(3,5,23), G:(3,6,144), H:(4,6,33), I:(5,6,26), J:(6,7,143). Odpowiedz na nastepujace pytania: , (a) Jaki jest czas realizacji przedsiewzi ecia? , , (b) Ścieżka krtytyczna? (c) Najwcześniekszy czas zaistnienia zdarzenia 4? (d) Najpóźnieszy czas zaistnienia zdarzenia 2? (e) Najwcześniejszy czas rozpoczecia czynności C? , (f) Najwcześniejszy czas zakończenia czynności C? (g) Najpóźniejszy dopusczalny czas zakończenia czynności C? (h) Najpóźniejszy dopusczalny czas rozpoczecia czynności C? , Solution Wyznaczamy wartości odpowiednich czsasów dla zdarzeń i czynności [materialy z wykladu!!!]. W tabelach poniżej przedstawiono zestawienie wielkości szukanych dla zdarzeń i czynności. Zdarzenia - tabela Z: Numer i ti Ti Li 1 2 3 4 5 6 7 0 22 175 185 198 319 462 0 153 175 286 293 319 462 0 131 0 101 95 0 0 Czynności - tabela C: Nazwa i k tik ti Tk Zc krytyczna A B C D E F G H I J 1 1 2 2 3 3 3 4 5 6 2 3 4 6 4 5 6 6 6 7 22 175 22 166 10 23 144 33 26 143 0 0 22 22 175 175 175 185 198 319 153 175 286 319 286 293 319 319 319 462 131 0 242 131 101 95 0 101 95 0 FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE TRUE Jaki jest czas realizacji przedsiewzi ecia? , , Czas ten jest odczytywany dla ostatniego zdarzenia i jest równy: 462 Ścieżka krtytyczna? Ścieżka obejmuje czynności krytyczne: 1-3-6-7 Najwcześniekszy czas zaistnienia zdarzenia 4? Odczytujemy z rysunku [tabeli] 185. 3 Najpóźnieszy czas zaistnienia zdarzenia 2? Odczytujemy z rysunku [tabeli Z] 153. Najwcześniejszy czas rozpoczecia czynności C? , Odczytujemy z rysunku [tabeli C] 22. Najwcześniejszy czas zakończenia czynności C? Kiedy najwcześniej sie, zacznie + ile trwa 22+22 = 44. Najpóźniejszy dopusczalny czas zakończenia czynności C? Odczytujemy z rysunku [tabeli] 286. Najpóźniejszy dopusczalny czas rozpoczecia czynności C? , Kiedy najpóźniej może sie, zakończyc - ile trwa 286-22 = 264. 4
