Semiwariancja stopy zwrotu

Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Pomiar ryzyka
Miary obiektywne stosowane w kwantyfikacji ryzyka rynkowego towarzyszącego
zaangażowaniu środków w inwestycjach finansowych obejmują:
Miary zmienności,
Miary zagrożenia,
Miary wrażliwości.
Miary zmienności odwołują się do kategorii oczekiwanej stopy zwrotu, wyznaczanej – na
podstawie szeregów czasowych stóp zwrotu jako wartośd najbardziej prawdopodobna.
Okresowe (dzienne, tygodniowe, miesięczne) stopy zwrotu z inwestycji finansowych
przyjmują z reguły rozkłady bliskie normalnemu, umożliwiając tym samym stosowanie
średniej wartości stopy zwrotu jako wartości oczekiwanej. W szacowaniu oczekiwanej stopy
zwrotu stosuje się średnią wyznaczaną w sposób arytmetyczny, geometryczny i
logarytmiczny.
Inwestycje finansowe obejmują zarówno bezpośrednie zaangażowanie środków w
instrumenty finansowe rynku finansowego jak i pośrednie z wykorzystaniem oferty instytucji
zbiorowego inwestowania. Rozkład normalny pozwala opisad poziom i zmiennośd cen
poszczególnych akcji jak i całych portfeli akcji. Z powodzeniem można stosowad rozkład
normalny także dla zmian wartości tytułów uczestnictwa w funduszach zarządzanych przez
instytucje zbiorowego inwestowania.
Slajd 1
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Miary zmienności pozwalają ocenid w jakim stopniu faktyczna stopa zwrotu może różnid się
od wartości oczekiwanej. Najczęściej stosowane w pomiarze ryzyka rynkowego miary
zmienności to:
Wariancja stopy zwrotu,
Odchylenie stopy zwrotu,
Współczynnik zmienności,
Semiwariancja stopy zwrotu,
Semiodchylenie stopy zwrotu.
Wariancja i odchylenie standardowe stopy zwrotu mierzą przeciętne rozproszenie stóp
zwrotu względem wartości oczekiwanej. Interpretacja wyników otrzymanych za
pośrednictwem wariancji może nastręczad pewnych trudności. Wynik wariancji obliczonej dla
stóp zwrotu z inwestycji finansowej podawany jest w procentach kwadratowych. Dlatego
znacznie częściej wykorzystuje się odchylenie standardowe stopy zwrotu będące
pierwiastkiem kwadratowym wariancji stopy zwrotu.
Z punktu widzenia inwestora ważne jest prawidłowe postrzeganie odchylenia
standardowego. W sytuacji gdy konieczne jest porównanie inwestycji o różnych wartościach
oczekiwanych, można skorzystad z współczynnika zmienności będącego miarą względną.
Współczynnik zmienności informuje jaka częśd ryzyka mierzonego odchyleniem
standardowym przypada na jednostkę stopy zwrotu.
Slajd 2
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
W ocenie zmienności można przyjąd zgodnie z negatywną koncepcją ryzyka, że istotne
znaczenie, dla inwestora, mają wyłącznie ujemne stopy zwrotu. Wariancję i odchylenie
standardowe wyznaczone w oparciu o ujemne stopy zwrotu określa się odpowiednio
semiwariancją i semiodchyleniem standardowym.
Użyteczne wzory:
Wariancja
Odchylenie standardowe
Współczynnik zmienności
Gdzie: ri – i-ta stopa zwrotu, n – liczba stóp zwrotu, E(r) – oczekiwana stopa zwrotu,
Funkcje wbudowane: =średnia() i =odch.standardowe()
Slajd 3
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Porównanie rozkładów normalnych o różnych parametrach (oczekiwanej stopie zwrotu i odch. std.)
Funkcję gęstości dla rozkładu
normalnego można uzyskad
dzięki funkcji:
=rozkład.normalny(x;μ;σ;0)
Funkcję prawdopodobieostwa
dla rozkładu normalnego
można uzyskad dzięki funkcji:
=rozkład.normalny(x;μ;σ;1)
Slajd 4
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Cechą charakterystyczną stóp zwrotu z inwestycji finansowych przyjmujących rozkład
normalny jest występowanie w przybliżeniu (niezależnie od wartości przyjętych parametrów
E(r) i σ):
68,27% stóp zwrotu w przedziale (E(r) - 1σ, E(r) + 1σ>,
95,45% stóp zwrotu w przedziale (E(r) - 2σ, E(r) + 2σ>,
99,73% stóp zwrotu w przedziale (E(r) - 3σ, E(r) + 3σ>.
Przedstawiona reguła określana jest często „regułą trzech sigm”. Powyższe
prawdopodobieostwa można wyznaczyd w arkuszu kalkulacyjnym jako różnicę dystrybuant
wyznaczonych dla E(r) + nσ i E(r) - nσ.
Miary zagrożenia podobnie jak miary zmienności należą do grupy miar ryzyka opartych na
rozkładzie stopy zwrotu. Istotą miar zagrożenia w kontekście inwestycji finansowych jest
określenie prawdopodobieostwa z jakim wystąpi określona stopa zwrotu. Miary zagrożenia
określane są często w literaturze także jako kwantyle rozkładu stopy zwrotu. W grupie miar
zagrożenia najczęściej wymienia się poziom bezpieczeostwa i wartośd zagrożoną.
Slajd 5
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Poziom bezpieczeostwa definiowany jest jako minimalna możliwa do osiągnięcia, z zadanym
prawdopodobieostwem (poziomem istotności) bliskim zeru, stopa zwrotu z inwestycji
finansowej. Poziom bezpieczeostwa zadany jest wzorem:
P(r  r )  
Poziom istotności oznacza prawdopodobieostwo wystąpienia określonego zdarzenia. W
przypadku inwestycji finansowej, zdarzeniem tym będzie wystąpienie określonej wartości
stopy zwrotu. Porównując dwie lub więcej inwestycji finansowych z wykorzystaniem poziomu
bezpieczeostwa, należy stwierdzid, że inwestycja, która przy zadanym poziomie istotności np.
α = 0,05 ma najwyższy poziom bezpieczeostwa, oferuje jednocześnie najmniejsze ryzyko.
Interpretacja poziomu bezpieczeostwa obliczonego dla poziomu istotności α = 0,05,
sprowadza się do stwierdzenia, że istnieje 5% prawdopodobieostwa, że stopa zwrotu z danej
inwestycji finansowej będzie niższa niż stopa zwrotu równa poziomowi bezpieczeostwa lub
do stwierdzenia, że istnieje 95% prawdopodobieostwa, że stopa zwrotu z inwestycji
finansowej przekroczy stopę zwrotu równą poziomowi bezpieczeostwa.
Slajd 6
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Wartośd zagrożona (VaR – Value at Risk), bierze – w sensie statystycznym – rodowód z
poziomu bezpieczeostwa.
Cechą charakterystyczną wartości zagrożonej jest bezpośrednie odwołanie do rozkładu
wartości portfela (jedno- lub wieloskładnikowego) a nie do rozkładu stopy zwrotu. Wartośd
zagrożona bywa także określana jako wartośd narażona na ryzyko lub wartośd ryzykowana.
W sensie ogólnym wartośd zagrożona jest definiowana jako „maksymalna kwota, jaką można
stracid w wyniku inwestycji w portfel o określonym horyzoncie czasowym i przy założonym
poziomie ufności”. Horyzont czasowy stosowany w wyznaczania wartości zagrożonej
pozostaje, w zasadzie, dowolny i jest zdeterminowany częstotliwością dostępnego szeregu
czasowego – obejmującego wartości pozycji lub portfela.
Rozpatrując określoną pozycję lub portfel należy stwierdzid, że wartośd zagrożona w ujęciu
tygodniowym będzie większa niż wartośd zagrożona w ujęciu dziennym. Innymi słowy
maksymalna potencjalna strata z inwestycji w portfel będzie większa w ujęciu tygodniowym
niż w ujęciu dziennym.
Wartośd zagrożona jest także określana jako „strata wartości (instytucji, instrumentu,
inwestycji itp.), jaka może byd zrealizowana, przy czym prawdopodobieostwo przekroczenia
tej straty jest niewielkie”.
Slajd 7
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Wartośd zagrożoną możemy rozpatrywad w ujęciu bezwzględnym przez pryzmat wartości
bieżącej kapitału zaangażowanego w inwestycji finansowej:
P(W  W0  VaRA )  
P(W  W0  VaRA )  1  
VaRA  W0  W
VaRA  W0  W0 (1  r )
VaRA  W0 r
Slajd 8
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Wartośd zagrożoną możemy rozpatrywad w ujęciu względnym przez pryzmat wartości
oczekiwanej kapitału zaangażowanego w inwestycji finansowej:
P(W  E(W )  VaRR )  
P(W  E(W )  VaRR )  1  
VaRR  E (W )  W
VaRR  W0 (1  ( E (r ))  W0 (1  r )
VaR A  W0 E (r )  W0 r 
 W0 ( E (r )  r )  W0 (r  E (r ))
Slajd 9
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Metoda wariancji-kowariancji opiera się na założeniu, że stopy zwrotu przyjmują rozkład
statystyczny o ściśle określonych parametrach. W przypadku inwestycji finansowych wartośd
zagrożona wyznaczana jest przy założeniu, że rozkład stóp zwrotu z inwestycji finansowej ma
charakter normalny. Empiryczny rozkład stóp zwrotu zawsze będzie tylko pewnym
przybliżeniem rozkładu normalnego, zatem przyjęcie założenia o występowaniu rozkładu
normalnego będzie zawsze pewnym tylko uproszczeniem.
140
120
100
80
Rozkład Empiryczny
Rozkład Teoretyczny
60
40
20
0
-30,00%
-25,00%
-20,00%
-15,00%
-10,00%
-5,00%
0,00%
5,00%
Slajd 10
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Rozkład normalny stopy zwrotu (r) zadany jest wartością oczekiwaną stopy zwrotu (E(r)) oraz
odchyleniem standardowym stopy zwrotu (σ). Przy zastosowaniu odpowiedniego algorytmu
matematycznego możliwe jest wyznaczenie poziomu istotności (α) dla zadanej stopy zwrotu
(rα):
Wykorzystując technikę iteracyjną, można zastosowad wzór do oszacowania stopy zwrotu (rα)
jaka wystąpi z zadanym poziomem istotności (α) przy założeniu, że stopy zwrotu przyjmują
rozkład ciągły o ściśle określonych parametrach.
Prawdopodobieostwo
100,0%
α
0,0%
-2,00%
-1,00%
0,00%
rα
1,00%
2,00%
Stopa zwrotu
Slajd 11
3,00%
4,00%
5,00%
6,00%
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Kalkulacja miar zagrożenia wariancji-kowariancji
W arkuszu kalkulacyjnym, wyznaczenie poziomu istotności dla zadanej stopy zwrotu przy założeniu rozkładu
normalnego stóp zwrotu o określonych parametrach umożliwia wspomniana wcześniej funkcja ROZKŁAD.NORMALNY.
Proces iteracyjnego szacowania stopy zwrotu dla zadanego poziomu istotności automatyzuje funkcja
ROZKŁAD.NORMALNY.ODW. Metoda wariancji-kowariancji w sytuacji gdy znamy kluczowe parametry statystyczne
rozkładów opisujących stopy zwrotu z poszczególnych składników portfela lub całego portfela stanowi efektywne
narzędzie w szacowaniu wartości zagrożonej
Slajd 12
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Metoda symulacji historycznej w wyznaczaniu wartości zagrożonej koncentruje się na
analizie statystycznej empirycznego rozkładu stóp zwrotu z inwestycji finansowej. Cechą
charakterystyczną metody symulacji historycznej jest brak konieczności czynienia założeo
odnośnie określenia typu rozkładu opisującego stopy zwrotu. Ponadto dla określenia wartości
zagrożonej metodą symulacji historycznej nie jest konieczne określenie parametrów
opisujących zmiennośd. Uwzględnienie empirycznego rozkładu stóp zwrotu pozwala na lepsze
odwzorowanie zachowania rynku. W sytuacji gdy rozkład stóp zwrotu z inwestycji finansowej
ma „grube ogony”, możliwe jest uzyskanie wartości zagrożonej na wyższym poziomie, niż w
metodzie wariancji-kowariancji.
Metoda symulacji historycznej dla portfela jednoskładnikowego wymaga szeregu czasowego
stóp zwrotu wyznaczonego dla konkretnej inwestycji finansowej (akcji, obligacji, tytułu
uczestnictwa w instytucji zbiorowego inwestowania). Częstotliwośd szeregu czasowego
determinuje, najkrótszy, możliwy do uzyskania w obliczeniach, horyzont czasowy wartości
zagrożonej.
Slajd 13
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Kalkulacja miar zagrożenia metodą symulacji historycznej
Stopa zwrotu (rα) przy zadanym poziomie istotności (α) wyznaczana jest jako percentyl rozkładu historycznych stóp
zwrotu odpowiadający zadanemu poziomowi istotności. Wyznaczenie percentyla rozkładu stóp zwrotu wymaga:
określenia liczebności analizowanego szeregu czasowego stóp zwrotu,
posortowania szeregu czasowego stóp zwrotu w kolejności rosnącej,
określeniu jaka liczba stóp zwrotu odpowiada wymaganemu poziomowi istotności (dla szeregu 500
tygodniowych stóp zwrotu i poziomu istotności α = 0,05 – 25 stóp zwrotu),
określenia stopy zwrotu dla zadanego poziomu istotności (określeniu wartości 25. stopy zwrotu w
posortowanym szeregu czasowym).
W arkuszu kalkulacyjnym wystarczy zastosowad funkcję PERCENTYL podając wymagany poziom istotności.
Slajd 14
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Metoda symulacji Monte Carlo polega na losowym generowaniu stóp zwrotu posiadających
określone parametry statystyczne. Cechą charakterystyczną symulacji Monte Carlo jest
generowanie populacji stóp zwrotu o liczebności znacznie przewyższającej maksymalną
liczebnośd dostępnych danych historycznych. Przyczyną jest założenie, że zestaw dostępnych
danych historycznych może nie obejmowad wszystkich potencjalnych zdarzeo w postaci
zmiany procentowej wartości inwestycji finansowej w przyszłości. Ogromną zaletą metody
Monte Carlo jest możliwośd zastosowania złożonego modelu zmiany ceny inwestycji
finansowej zależnego od wielu parametrów generowanych losowo. Zastosowanie złożonego
modelu zmiany ceny inwestycji finansowej powstaje przykładowo przy konstruowaniu
portfela nieliniowego zawierającego instrumenty pochodne. Powstaje wtedy koniecznośd
losowego generowania zmian ceny instrumentu podstawowego oraz innych parametrów w
postaci zmian stopy wolnej od ryzyka czy zmian branego pod uwagę w wycenie upływu czasu.
Slajd 15
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Miary wrażliwości, badają charakter zależności pomiędzy czynnikami ryzyka a zmienną
ryzyka. W najprostszym przypadku badany jest liniowy związek pomiędzy zmienną ryzyka a
jednym z jego czynników. Przykładem miary wrażliwości, powszechnie stosowanej w analizie
inwestycji na rynkach akcji, jest współczynnik  modelu Sharp’a. Określa on zależnośd
pomiędzy przeciętną stopą zwrotu akcji a przeciętną stopą zwrotu obserwowaną na rynku
(np. stopą zwrotu indeksu giełdowego). Współczynnik ten wskazuje, o ile zmieni się stopa
zwrotu akcji, w przypadku zmiany stopy zwrotu portfela rynkowego (indeksu rynku) o 1 punkt
procentowy.
n
i 
 R
t 1
it
 E Ri RMt  E RM 
n
 R
t 1
 E RM 
2
Mt
Slajd 16
Excel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym – Pomiar ryzyka
Kalkulacja wrażliwości
Współczynnik Beta jest de facto ilorazem kowariancji i wariancji.
i 
cov iM
 M2

 i M iM  i iM

2
M
M
Slajd 17