zadania dla maturzystow

„ZADANIA DLA MATURZYSTÓW”
Zadania
podzielone są na działy zgodne z podstawą programową i wymaganiami egzaminacyjnymi. Umiejętności w nim ujęte będą
sprawdzane podczas egzaminu maturalnego.
Są to przykłady zadań zamkniętych oraz otwartych.
Rozwiąż zadania przyporządkowane poszczególnym umiejętnościom. Jeśli masz problem z rozwiązaniem zadania lub nie jesteś pewny, czy
rozwiązałeś go poprawnie, poszukaj pomocy u swojego nauczyciela.
Rady i wskazówki:
Rozłóż pracę w czasie. Ustal terminy, w których jesteś w stanie nauczyć się rozwiązywać trudne dla Ciebie zadania. Wpisz te terminy do
kolumny „uwagi”.
Stawiaj sobie wymagania. Dotrzymuj terminów. Gromadź notatki. Dbaj o odpowiednie komentarze i uzasadnienia podczas rozwiązywania
zadań. Nie zapominaj o odpowiedziach do zadań.
Umiejętności/treści
Zadania
1) Liczby rzeczywiste
a) planuję i wykonuję obliczenia
na liczbach rzeczywistych; w
szczególności obliczam
pierwiastki, w tym pierwiastki
nieparzystego stopnia z liczb
ujemnych.
1.a.1. Oblicz:
2
3 4
 1
1  2  3   4
2
3
4 5
a) 
;
1 1
17  16 : 2
2 5
Uwagi/terminy
2
3 1
 1
10  2  3   2
2
5
4 5
b) 
1 1
33 : 16 : 2
2 5
1.a.2. Oblicz:
a)




3
2   3
1
:   2 

3 
4
 22  3 8 
1 3
:
2 5

2
3
8 
b)   3  3  3    21 c)   2 2   1 301 d)
8
27 
5
324



 
 

  3 2  :  3  2 1     3  3 3  3  8   2 1

3  
4  
8
27 
e) 
2
2
301

 2   1
5
324

2
2
33
 1  2
1.a.3. Wynik obliczeń 1 : (1,4)  3,2    1    2   3
to:
5
64
 4  3
1
28
1
1
A) 10
B) 15
C) 16
D) 12
3
75
3
3
1.a.4. Wartość podwojonej różnicy kwadratów liczb 13 i 3 wynosi:
A) 8
C) 44  12 3
B) 16
D) 6
5 i 2 ma wartość:
C 14
D 18  8 5
1.a.5. Podwojony kwadrat sumy liczb
A 18  4 5
B 18
1.a.6. Iloraz sumy liczb 7 i 2 2 przez ich różnicę ma wartość:
A.  30  8 14 B. 30  8 14 C.  30  8 14 D. 30  8 14
2
1.a.7. Suma dwóch liczb wynosi 15. Jeżeli pierwszą liczbę zwiększymy dwukrotnie i
weźmiemy drugiej liczby, to suma zwiększy się o 7. Szukane liczby to:
A 6i9 B 9i6 C 8i7
D 7i8
1.a.8. Pan Andrzej jechał samochodem z Poznania do Warszawy przez pierwsze trzy
godziny z prędkością 70 km/h, a następnie przyspieszył i kolejne dwie godziny jechał
z prędkością 90 km/h. Zatem podróż pan Andrzej odbył ze średnią prędkością:
A 78 km/h
B 80 km/h
C 82 km/h
D 76 km/h
1.a.9. Która z poniższych liczb jest większa od ?
A
0,03
B
C
D
1.a.10. Liczbą odwrotną do liczby
A
B
jest:
C
1.a.11. Do jakiej potęgi należy podnieść
A 2
B -2
C 4
D
aby otrzymać
D 0,5
1.a.12. Suma liczby odwrotnej do -3,5 i przeciwnej do
A
b) badam, czy wynik obliczeń jest
liczbą wymierną.
5
B 4,5
C
jest równa:
D
-4
1.b.1. Wskaż liczby niewymierne w zbiorze:

14
2
3
; 0;  ; 3,14;
12; 0, (12); 64 ;  ;
.
17 8
5

1.b.2. Rozstrzygnij, czy liczby a 
2 2
7
2
oraz b  1   2 są wymierne czy
9
2 1
niewymierne.
3
1.b.3. Oblicz wartość wyrażenia:
a)
3
1  3 
3

1  3 
2
b)
3
1.b.4. Porównaj liczby
1.b.5. Liczba
A (1; 2) \ (
c) wyznaczam rozwinięcia
dziesiętne; znajduję przybliżenia
liczb.
6  5 oraz

6 5
jest elementem zbioru:
)
B W\C
C (

1
 
1  3 
2
( 1 3
3
.
)\W
D (1; 2) \ <
)
1.c.1. Liczbę 3,72491 zaokrąglij z dokładnością do:
a) całości
b) części dziesiątych
c) części setnych
1.c.2. O liczbach a i b wiemy, że a  17,5 i jest to przybliżenie z nadmiarem, a błąd
bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,224, oraz że b  8,5 i jest to przybliżenie
z niedomiarem, a błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi 0,116.
a) znajdź liczby a i b.
b) oblicz sumę liczb a i b. Otrzymany wynik zaokrąglij do pierwszego miejsca po
przecinku, a następnie oblicz błąd bezwzględny i błąd względny otrzymanego
przybliżenia.
1.c.3. Ułamek okresowy zamień na nieskracalny ułamek zwykły
a) 0, 6
b) 0,46 
c) 3,3(123).
1.c.4. Dane są liczby x  0, 15 oraz y  0,136 . Znajdź rozwinięcie dziesiętne
liczby x  y .
1.c.5. Liczba 0,(45) po zamianie na ułamek zwykły jest równa:
A
B
C
D
4
d) stosuję pojęcie procentu
i punktu procentowego
w obliczeniach.
1.d.1. Oprocentowanie kredytu mieszkaniowego w BR wynosiło dotychczas 6%.
Zarząd banku podniósł wysokość oprocentowania tego kredytu o 20%. O ile punktów
procentowych wzrosło oprocentowanie kredytu mieszkaniowego?
1.d.2. Jeden bok prostokąta zmniejszono o 25%, a drugi zwiększono o 25%. Pole tak
otrzymanego prostokąta:
A) zmniejszyło się o 6,25% B) zwiększyło się o 6,25%
C) nie zmieniło się
D) stanowi 0,75 pola pierwszego prostokąta
2
1.d.3. Liczba dodatnia b jest mniejsza od liczby a o 16 %. O ile procent liczba a jest
3
większa od liczby b.
1.d.4. Cenę produktu zmniejszono o 10%, a potem podwyższono o 10% i wynosi
ona 49,50 zł. Jaką cenę miał produkt przed tymi zmianami?
1.d.5. Na diagramie przedstawiono wyniki ankiety przeprowadzonej w III SP wśród
120 uczniów na temat „Czym się interesujesz?”. Wyniki przedstawiono na
diagramie. Odpowiedz na pytania:
a) Ile osób interesuje się sportem?
b) Jaki jest procent uczniów lubiących czytać książki?
c) Ile osób lubi TV i komputer?
5
1.d.6. Do 10% roztworu soli kuchennej dolano 2,5 kg wody. Stężenie otrzymanego
roztworu wynosi:
A 6%
B 8%
C 2,5%
D 7,5%
1.d.7. Nektarynki i brzoskwinie kosztują tyle samo. Jeśli nektarynki zdrożeją o 4% a
brzoskwinie o 8%, to koszyk zawierający 2 kg nektarynek i dwa kg brzoskwiń
zdrożeje o:
A 24%
B 12%
C 6%
D 10%
1.d.8. Jakim procentem liczby a jest 100?
A
B
C
D
1.d.9. Cena towaru nie uległa zmianie, jeśli najpierw:
A podniesiono ją o 30% a następnie nową cenę obniżono o 30%
B obniżono ją o 10%, a następnie nową cenę podniesiono o 10%
C obniżono ją o 20%, a następnie nową cenę podniesiono o 25%
D obniżono ją o 20%, a następnie nową cenę podniesiono o 15%
1.d.10. Kontroler jakości akceptuje przeciętnie 15 wyrobów na 20
wyprodukowanych. Jaki procent wyrobów jest przyjmowany do sprzedaży?
A 25%
B 5%
C 75%
D
%
e) posługuję się pojęciem osi
liczbowej i przedziału
liczbowego; zaznaczam
przedziały na osi liczbowej.
1.e.1. Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych, których odległość na osi liczbowej od liczby (-1) jest mniejsza niż 4.
1.e.2. Liczba 6,5 stanowi 175% liczby a. Sprawdź, czy liczba a należy do przedziału
(-6; 3  .
1
1.e.3. Zaznacz na osi liczbowej liczby i 0,25. Podaj dwie liczby, które leżą
3
pomiędzy nimi.
6
1.e.4. Jakim liczbom odpowiadają punkty A, B i C, zaznaczone na osi?
A
11
B
C
13
1.e.5 Elementami zbioru A = [(-3; 8) \ <5; 9)] ∩ N są:
A {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} B {0; 1; 2; 3; 4; 5} C {0; 1; 2; 3; 4} D {1; 2; 3; 4; 5}
f) wykorzystuję pojęcie wartości
bezwzględnej i jej interpretację
geometryczną, zaznaczam na osi
liczbowej zbiory opisane za
pomocą równań i nierówności.
1.e.6. Zbiór X = <-10; 100> ∩ C jest:
A przedziałem obustronnie domkniętym
B podzbiorem zbioru liczb wymiernych
C zbiorem o parzystej liczbie elementów
D zbiorem o skończonej liczbie elementów
1.f.1. Rozwiąż nierówność: x  3  2 . Zaznacz zbiór rozwiązań na osi liczbowej,
a następnie wskaż wśród rozwiązań nierówności
a) liczby naturalne
b) najmniejszą liczbę pierwszą
1.f.2. Rozwiązanie nierówności x  4  1
A) jest takie samo jak suma rozwiązań dwóch nierówności: x  5 lub x  4 .
B) to przedział <3; 5>
C) to zbiór liczb mniejszych od 5
D) to zbiór liczb większych od 3.
1.f.3. Na osi liczbowej zaznaczono zbiór rozwiązań nierówności :
A) x  1
B) x  1  1
C) x  1  1
D) x  1  1
7
1.f.4. Zapisz podane zdanie w postaci równania lub nierówności i rozwiąż to
równanie lub nierówność:
a) Odległość na osi liczbowej między liczbą 3 a liczbą x wynosi 5.
b) Odległość na osi liczbowej między liczbą x a liczbą 5 jest mniejsza lub równa 7.
c) Odległość na osi liczbowej między liczbą x a liczbą o 3 mniejszą od x wynosi 4.
1.f.6. Znajdź liczby spełniające jedną lub drugą nierówność
Nierówności to: x  3  3 i
x  2  1.
1.f.7. Oblicz 5  5  5  5 .
1.f.8. Oblicz:
a)
(8  2 3) 2  (2 3  8) 2
b) Liczbę 10  4 6 można zapisać
64 6 4 
 6
2
 2  2 6  22 

6 2

2
 6  2.
W podobny sposób oblicz 7  2 6 .
1.f.9. Rozwiąż równania i nierówności.
a) x  2  3
b) 5x  3  2
c) x  3  2
e) 3x  3  2
f) x  5
g)  x  1  8
d) 10 x  4  0
h) 3  7 x  10
1.f.10. Jaką najmniejszą wartość może mieć wyrażenie x  3 ?
A. 0
B.
3
C. –3
D. 6.
1.f.11. Korzystając z graficznej interpretacji wartości bezwzględnej zapisz
nierówność, której rozwiązaniem są liczby rzeczywiste należące do danego
przedziału.
A. x  1  3
B.
x  3  2 C. x  5
D. x  3  2
8
1.f.12. Jeżeli
A
, to
B
C
1.f.13. Wartość wyrażenia
A
-4
B -10
C
-2
D
dla x= -5 jest równa:
D -6
1.f.14. Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
A -4
B -3
C -5
D 0
jest liczba:
1.f.15. Który układ równań przedstawia treść zadania:
Obwód prostokąta wynosi 200 cm. Jeden z boków jest 5 razy dłuższy od drugiego.
A
g) obliczam potęgi
o wykładnikach wymiernych oraz
stosuję prawa działań na potęgach
o wykładnikach wymiernych
i rzeczywistych.
B
C
D
1.g.1. Oblicz:
a)
b) 5  5
49  81
2
4
c)
49  81
d) (4  16)
1
3
e) (6 3 : 6) 2
2

 6 

  36 

g)  
1
2





4
h) 210  2 9
14
15
i) 14 : 14
 2 1   3 2
 2    3
3  2
j)
2304 1
1.g.2. Przedstaw w postaci potęgi o podstawie 2 wyrażenie:



56
25 2
3
0,5  166  9  2166
1
 
2
f)
148
.
 2  23
10
k
Przyjmując, że 2  1000 zapisz przybliżenie otrzymanej liczby w postaci a  10 , gdzie
a  1; 10) , a k jest liczbą całkowitą.
9
4
3
1.g.3. Liczba 3 3  9  27 1,5 jest równa
3
1
2
3
A) 3
B)
3
1.g.4. Porównaj liczby
 1
C)   
 3

1
2
D) 
3
3
1
a)
3 4
5 i 6 12
b)
35 i
1.g.5 Liczba x jest równa 49, gdy
( 7 )6
A x=
B x = 7-6∙492∙73
( 7 ) 2
3
94
75  7 2  6  76
C x=
74
D x = - 72
1.g.6. Czwarta część liczby 872 ma wartość:
A 4108
B 2214
C 272
D 2216
h) znam definicję logarytmu
i stosuję w obliczeniach wzory na
logarytm iloczynu, logarytm
potęgi, logarytm ilorazu.
10
 1020 .
b
1.h.2. Stosując własności działań na logarytmach, oblicz:
1
a) 2 log 5 5  log 5 125  log 5 5 5
b) log 3 27  log 3
9
1.h.3. Oblicz x.
a) log x  log 4  log 5  log 6
b) log x  log 40  log 5
2
c) log x  0,5 log 5  0,5 log 2
c) log 8 x  log 8 0,4  log 8 2  log 8 15
3
1.h.4. Wartość wyrażenia log340,5 + log32 jest równa:
A 81
B 42,5
C 38,5 D 4
1.h.1 Oblicz log ab , wiedząc, że log 10a  2010 i log
1.h.5 Wyrażenie x = log3(log224 – log23) jest równe:
A log621
B 1
C 7
D 21
10
1
1.h.6. Jeżeli log3 81 = x, to
A x=2
B x = -2
2) Wyrażenia algebraiczne
a) posługuję się wzorami
skróconego mnożenia: kwadrat
sumy, kwadrat różnicy, sześcian
sumy i sześcian różnicy (dwóch
wyrażeń), różnica kwadratów,
suma i różnica sześcianów
(dwóch wyrażeń).
C
x = -4
D
x=4
2.a.1. Doprowadź wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci:
a)  (4 x  1) 2  10  (4 x  3)(3  4 x)
b) 7  (4 x  1)3  (5x  2)(25x 2  10 x  4)
2.a.2. Zamień sumy na iloczyn
a) (a  2b) 2  (a  2b) 2
b) 121  ( x  12) 2
c) x 2  4 x  4
2.a.3. Przekształć potęgi na sumy algebraiczne
1
a) (2 x  5 y) 2
b) ( ab  4) 2
c) (2a  ab)3
2
2.a.4. Oblicz
d) ( x  2 yz )3
3,5 2 5  2 2

2 2 1 3 2  4
2.a.5. Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, usuń
niewymierność z mianownika liczby:
7
3
1 5
a)
b)
c) 3
1 5
7
42
a) ( 5  3 ) 3
b) (3 3  3 2 )(3 9  3 6  3 4)
c)
2.a.6. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest równość:
A (a + b)2 – (a – b)2 = 2ab
B (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(b2 + 3a)
C (a + b)(a2 – ab + b2) – (a – b)(a2 + ab + b2) = 2b3
D (a + b)2 = a2 + b2
11
b) rozkładam wielomian na
czynniki, stosując wzory
skróconego mnożenia, grupuję
wyrazy, wyłączam wspólny
czynnik poza nawias.
2.b.1. Rozłóż wielomian na czynniki jak najniższego stopnia.
a) 27 x 3  8
b) ( x  3) 2  25
c) 16 x 4  81
d) 2 x 3  3x 2  x
e) 4 x 2  4 x  1
f) 16 x 3  24 x 2  9 x
2.b.2. Wielomian W ( x)  4 x 4  2 x 3  2 x 2 ma postać
1
a) W ( x)  2 x 2 ( x  1)( x  )
b) W ( x)  4 x 2 ( x  1)( x  1)
2
2
c) W ( x)  2 x ( x  1)(2 x  1)
d) W ( x)  2 x 2 ( x  1)(2 x  1)
2.b.3.Stosując wzory skróconego mnożenia, rozłóż na czynniki wyrażenie:
a) x 3  1
b) 125 x 3  1
c) 8 x 3  1 .






12
c) dodaję, odejmuję i mnożę
wielomiany.
2.c.1. Dane są wielomiany W ( x)  6 x  3 , P( x)  x 2  2 x  1 oraz
1
Q( x)  5x 3  x  4. Wielomian W ( x)( P( x)  Q( x)) jest równy
3
4
3
2
A) 10 x  7 x  5 x  13x  5
B) 10 x 4  7 x 3  5 x 2  13x  5
C) 10 x 4  7 x 3  5 x 2  13x  5
D) 10 x 4  7 x 3  5 x 2  13x  5
2.c.2. Wykonaj mnożenie wykorzystując wzory skróconego mnożenia
a) (2 x  1)(2 x  1)(4 x 2  1)(16 x 4  1) b) ( x  2)( x  2)( x 2  2 x  4)( x 2  2 x  4)
2.c.3. Wykonaj działania na wielomianach W ( x)  2 x 3  7 x  4 , P( x)  x 3  8
i V ( x)  x 2  2 x  4
a) W ( x)  2 P( x)
b) 2W ( x)  4 P( x)
c) W ( x)  P( x)
d) ( x  2)V ( x)  P( x)
e) W ( x)  (3x  5)  P( x)
2.c.4. Dane są wielomiany W(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 i Q(x) = x5 + x3 + 1.
Wówczas:
A W(x) + Q(x) jest wielomianem dziewiątego stopnia
B W(x) – Q(x) jest wielomianem piątego stopnia
C W(x) * Q(x) jest wielomianem piątego stopnia
D W(x) + 2Q(x) jest wielomianem czternastego stopnia
d) wyznaczam dziedzinę prostego
wyrażenia wymiernego z jedną
zmienną, w którym
w mianowniku występują tylko
wyrażenia dające się sprowadzić
do iloczynu wielomianów
liniowych i kwadratowych za
pomocą przekształceń opisanych
2.d.1. Wyznacz dziedzinę wyrażeń
2x  5
x2  2x  5
x 1
x2
a)
b) 3
c)
d)
2
3
x  2x  4x  8
(2 x  1)( x  1)( 2 x  3)
16 x  9 x
x 3
x2 1
2.d.2. Dziedziną wyrażenia
jest zbiór
2x2  6x  4
A)  \ {2;  1}
B) (;  2)  (1;  )
C) (2; 1)
D) 
13
w punkcie b).
2.d.3. Podaj dziedzinę i przekształć wyrażenie do najprostszej postaci:
( x 3  1)( x 2  4)
.
( x 2  x  2)( x  2)
e) obliczam wartość liczbową
wyrażenia wymiernego dla danej
wartości zmiennej,
2.d.4. Dziedziną funkcji
może być zbiór:
A
R
B N
C C
D W
2.e.1. Przekształć do najprostszej postaci i oblicz wartość liczbową wyrażenia:
2
( x  4) 2  4(2 x  1)
a)
dla x  
2
2
2
(3x  2)  (2 x  3)
2
 x 2  16  24 x  9 x 2
dla x  1
2
3
x 3
2
1
(4 x  1)  1
c)
dla x  3
2
4x  2
4
x  81
d)
dla x  0,5
2
(2 x  18)( x 2  4 x  3)
x3
e)
dla x  4
x3
2.f.1. Wykonaj działania i doprowadź do najprostszej postaci
5
3
6x
8x  4
x2  2x 2x  4

 2
: (4 x 2  1)

a)
b)
c)
2
2
x2 2 x x 4
7x
36  9 x
x
2
3
x 4
 x 8 1 1
d) 
 x  : 2
:  
 2
 x 4 2 x
b)
f) dodaję, odejmuję, mnożę
i dzielę wyrażenia wymierne;
skracam i rozszerzam wyrażenia
wymierne.
(3x  1) 2  1
otrzymamy
3x  2
C) 3x  1
D) 6x
2.f.2. Po przekształceniu wyrażenia
A) 3x  2
B) 3x
14
2.f.3. Rozszerz wyrażenie tak, aby otrzymać wyrażenie wymierne o wskazanym
mianowniku:
3x  2

.
x  1 x2  2x  1
3) Równania i nierówności
a) rozwiązuję równania
i nierówności kwadratowe,
zapisuję rozwiązania w postaci
sumy przedziałów.
3.a.1. Rozwiąż równania i nierówności:
a) x2 - 25=0
b) x2 - 4x=0
c) x2-2x+3=0;
d) x2-5x+6=0; e) x2+36=0;
f) x(3-x)-(2+x)2 = (x-1)(x+1)
g) x2<25; x2 + x+8 >0
h) -x2+64>0
2
2
2
i) 2x -2x -24  0
j) 4x +2x-1  0
k) -x +2x-1  0.
3.a.2. Funkcja f(x) = 4x – x2 przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy:
A x (0; 4)
B x (- ; 0) (4; )
C x (D
3.a.3. Równanie x2 + 5 = 9
A nie ma pierwiastków B ma dwa dodatnie pierwiastki
C ma dwa ujemne pierwiastki
D ma dwa pierwiastki o różnych znakach
b) rozwiązuję zadania (również
umieszczone w kontekście
praktycznym), prowadzące do
równań i nierówności
kwadratowych.
3.a.4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności x2 > 4 jest
A (2; )
B (-2; 2)
C
D (-2; 0)
(0; 2)
3.b.1. Poniższy wykres przedstawia, jak zmieniała się wysokość (W), na której
znajdowała się piłka od momentu, w którym została odbita przez siatkarkę do
momentu, w którym upadła na ziemię, Wykres ten jest fragmentem paraboli
a) Oblicz, po jakim czasie piłka spadła na ziemię.
b) Jaka jest dziedzina funkcji przedstawionej na wykresie.
15
c) Oblicz, na jaką wysokość W wzniosła się piłka po upływie 0,1 s.
3.b.2. Pole prostokąta wynosi 12 cm2. Jeden z boków jest dwa razy dłuższy od
drugiego boku. Oblicz długości boków.
c) rozwiązuję układy równań
prowadzące do równań
kwadratowych.
3.b.3. Pole prostokąta wynosi 12 m2, jeden z boków jest o 1m dłuższy od drugiego.
Oblicz obwód tego prostokąta.
3.b.4 Sklep zakupił za 8160 zł pewną ilość cukru. Gdy cukier potaniał o 4 gr za
kilogram, to za tę samą kwotę zakupiono o 80 kg cukru więcej. Ile kilogramów i po
jakiej cenie za 1 kg kupiono cukier za pierwszym razem?
y  2x  1

3.c.1. Rozwiąż układ równań: 
2
2
( x  5)  y  16
3.c.2. Znajdź współrzędne punktów przecięcia prostej o równaniu
2x-y-1=0 z parabolą o równaniu (x-5)2+y=16.
3.c.3. Sprawdź, czy prosta o równaniu y=2x-6 jest styczna do okręgu
x2+y2- 4y-15=0.
3.c.4. Układ równań
d) rozwiązuję równania
wielomianowe metodą rozkładu
na czynniki.
A jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy, gdy b1 ≠ b2
B jest układem nieoznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2
C jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy a1 ≠ a2
D jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2
3.d.1. Rozwiąż równania:
a) x3-4x2+2x-8=0
b) 2x5-5x4-3x3=0
c) x3-4x=x-2
3.d.2. Pierwiastkami wielomianu W(x) = (x – 3)(x2 – 25) są liczby:
A -3; 3; 5
B -3; 3; -5
C -5; 3; 5
D -5; -3; 5
16
e) rozwiązuję proste równania
3.e.1. Rozwiąż równania:
wymierne, prowadzące do równań
x4
2x  3
 3 b)
x
a)
liniowych lub kwadratowych.
x2
x 1
e)
c)
x4
 x2
2x  4
3.e.2. Rozwiązaniem równania
A -2
B 1
C -5
D
f) rozwiązuję równania (również
umieszczone w kontekście
praktycznym), prowadzące do
prostych równań wymiernych.
1 x
2
3

 0 d) 3 
0
x x 1
2x  5
jest liczba:
2
3.f.1. Dwaj tynkarze, pracując razem, otynkują ścianę w czasie 8 godzin.
Jeśli każdy z tynkarzy wykonywałby tę pracę sam, to pierwszy tynkarz zakończyłby ją
o 12 godzin wcześniej niż drugi. W ciągu ilu godzin każdy z tynkarzy wykona
samodzielnie tę pracę?
3.f.2. Cena wynajęcia autobusu na wycieczkę wynosi 1200 zł. Gdyby 4 uczestników
zrezygnowało z wycieczki, to każdy z pozostałych płaciłby o 10 zł więcej.
Ilu uczniów liczy klasa?
17
4) Funkcje
a) określam funkcję za pomocą
wzoru, tabelki, wykresu, opisu
słownego.
4. a.1. Przedstaw funkcję f (x) = 2 – 3x, dla liczb całkowitych z przedziału  2;2  .
w postaci tabelki oraz wykresu.
4.a.2. Funkcja f określona jest wykresem (rysunek). Przedstaw tę funkcję za pomocą
grafu oraz tabelki.
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-4
-2
-0,5
0
2
4
-1
-1,5
-2
-2,5
4.a.3. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru X  1,2,3,4,5,6,7,8 resztę
z dzielenia tej liczby przez 3. Uzupełnij tabelkę:
x
y
1
2
3
4
1
5
2
6
7
8
4.a.4. Dana jest funkcja określona tabelką:
x
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
-3
0
-1
2
1
0
1
Które z poniższych zdań jest prawdziwe?
A funkcja ma dwa miejsca zerowe
B funkcja jest malejąca
C wykres funkcji przecina oś OY w punkcie (-1; 0)
D funkcja przyjmuje wartości nieujemne
18
b) odczytuję z wykresu funkcji:
dziedzinę, zbiór wartości, miejsca
zerowe.
4.b.1. Odczytaj z wykresów funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, i miejsca zerowe.
c) sporządzam wykres funkcji
spełniającej podane warunki.
4.c.1. Funkcja f , określona w zbiorze liczb naturalnych, przyporządkowuje liczbie n
resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Narysuj wykres funkcji f(n) dla n  10.
4.c.2. Naszkicuj wykres funkcji
 2 dla x  0
a) f x   
 x  2 dla x  0
d) potrafię na podstawie wykresu
funkcji y = f ( x ) naszkicować
wykres funkcji: y = f ( x + a );
y= f ( x ) +a; y = -f ( x );
y = f ( -x ).
 x dla x   .1

b) f x   1 dla x  1, 3
 x  2 dla x  3,  

4.d.1. Na podstawie wykresu funkcji f(x) sporządź wykres funkcji
a) g(x) = f(x-3),
b) h(x)=-f(x),
c) p(x)=f(-x),
d) s(x)=f(x)-1
3
2
-2,5
2
19
e) sporządzam wykres funkcji
liniowej.
f) wyznaczam wzór funkcji
liniowej.
4.d.2. Wykres funkcji f(x) = (x – 1)2, x R otrzymamy w wyniku przesunięcia
równoległego wykresu funkcji f(x) = x2
A wzdłuż osi OX o 1 w lewo
B wzdłuż osi OX o 1 w prawo
C wzdłuż osi OY o 1 do góry
D wzdłuż osi OY o 1 w dół
4.e.1. Sporządź wykres funkcji:
x y
a) y = 2x – 3 – 5(x – 1)
b) 4x-2y-8=0;
c)   1
3 2
 2 x  2 dla x  3
 3x  1 dla x  2
d) f ( x)  
e) f ( x)  
 x  1 dla x  3
 x  7 dla x  2
4.f.1. Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty:
A(-2;3) i B(4; -5).
4.f.2. Dla kolejnych liczb parzystych 0, 2, i 4 wartości pewnej funkcji liniowej
określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wynoszą odpowiednio: 3, 6 i 9. Oblicz
wartość tej funkcji dla x=-2 i x=123.
g) wykorzystuję interpretację
współczynników we wzorze
funkcji.
4.g.1. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji
f(x) = 0,5 x + 2 i przechodzi przez punkt P ( -4; 2 ).
4.g.2. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji
g(x) = -324x – 3 i przechodzi przez punkt Q(3; -6).
4.g.3. Wskaż funkcję, której wykresem jest prosta prostopadła do wykresu
y = 2x – 1.
A) y = 2x
B) y= - 2 x
C) y = - 0,5 x + 4
D) y = 0,5 x -1
4.g.4 Prosta o równaniu y = ax – 1 przechodzi przez punkt A=(2; 3). Zatem
A a=1
B a=2
C a=3
D a=-2
20
4.g.5. Równania y =
oraz 4x + 6y – 9 = 0 przedstawiają:
A osie układu współrzędnych
B proste przecinające się
C różne proste równoległe
D tę samą prostą
4.g.6. Które zdanie dotyczące prostej l: y = 3x + 6 jest fałszywe?
A prosta l przecina osie układu w punktach (-2; 0), (0; 6)
B prosta l przechodzi przez I, II i III ćwiartkę układu współrzędnych
C prosta l jest równoległa do prostej -3x + y – 2 = 0
D prosta l przecina prostą
4.g.7. Wykres funkcji g(x) =
A
B
C
D
h) sporządzam wykres funkcji
kwadratowej.
przechodzi przez punkt
nie przechodzi przez IV ćwiartkę układu współrzędnych
przecina prostą y = x w punkcie (2; 2)
nie przecina osi OY
4.g.8. Miejscem zerowym funkcji y = 0,5x + 3 jest:
A
3
B
6
C -6
D
4.h.1. Sporządź wykres funkcji
a) f ( x)  2( x  2) 2  3
b) g ( x)  3(2 x  1)(1  x)
c) h( x)  2 x 2  4 x  1
i) wyznaczam wzór funkcji
kwadratowej.
1,5
d) j ( x)  1  3x 2
4.i.1. Napisz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola
o wierzchołku W ( 1; -9 ), przechodząca przez punkt A ( -1; 8 ).
4.i.2. Znając miejsca zerowe funkcji , x1  1; x2  3 napisz wzór funkcji kwadratowej
w postaci ogólnej f(x)=ax2+bx+c,
a) przy założeniu, że współczynnik a ma wartość -2.
21
b) przy założeniu, że współczynnik a ma wartość 3.
4.i.3. Postacią kanoniczną trójmianu kwadratowego f(x) = -2x2 + 5x – 6 jest:
A
B
C
D
4.i.4. Postacią ogólną funkcji kwadratowej f(x) = -2(x + 1)2 – 3 jest
A f(x) = 4x2 + 8x + 1 B f(x) = -2x2 – 5 C f(x) = -2x2 – 2x – 1 D f(x) = -2x2 – 2x – 5
j) wyznaczam miejsca zerowe
funkcji kwadratowej.
k) wyznaczam wartość
największą i najmniejszą funkcji
kwadratowej w przedziale
domkniętym.
l) rozwiązuję zadania prowadzące
do badania funkcji kwadratowej
(również umieszczone
4.i.5. Funkcja kwadratowa, której wykres przechodzi przez punkty (0, -3), (1, -5) oraz
(-2, -11) wyrażona jest wzorem:
A f(x) = 3x2 – 11
B f(x) = -2x2 – 3 C f(x) = x2 – 3x – 3 D f(x) = -x2 + 2x – 3
4.j.1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji:
a) f ( x)  x 2  6 x  9 ;
b) g ( x)  3( x  4) 2  27
c) s( x)   (2 x  4)(   4 x) d) h( x)  3x 2  ( x  3) 2  1
4.j.2. Miejscami zerowymi funkcji f(x) = 4x2 + bx + c są liczby 5 i -3. Zatem:
A b=2 i c=8
B b = -2 i c = -15
C b = -8 i c = -60 D b = -2 i c = -8
4.k.1.Wyznacz największą oraz najmniejszą wartość funkcji f ( x)  3x 2  8 x  4 w
przedziale <-2; 1>.
4.k.2. Wyznacz największą oraz najmniejszą wartość funkcji g ( x)  3x 2  10 x  3 w
przedziale <-2; 2>.
4.k.3. Dla jakiego x funkcja f(x) = x2 + 2x przyjmuje w przedziale <-4; 1> wartość
największą?
A x = -1
B x = -4
C x=1
D x = 1 lub x = -3
4.l.1. Zdjęcie o wymiarach 9cm x 13 cm chcemy oprawić w ramkę o jednakowej
szerokości. Oblicz, jaką szerokość ramki należy dobrać, aby po oprawieniu pole
zdjęcia wraz z ramką wynosiło 221 cm2.
22
w kontekście praktycznym).
4.l.2. Mamy 240m bieżącej siatki ogrodzeniowej. Chcemy ogrodzić prostokątny
ogródek o jak największej powierzchni. Jakie wymiary powinien mieć ogródek?.
4.l.3. Jakie jest równanie osi symetrii paraboli y = 2(x + 5)2 – 4 ?
A
x = -5
B x=5
C y = -5
D y=x
4.l.4. Wykresem funkcji f jest parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku
położonym nad osią OX, gdy
A f(x)=-x2 + x + 1 B f(x)=5x2 + x – 1 C f(x)=2x2 + 3x – 1 D f(x)= -(x – 1)2
4.l.5. Klomb z kwiatkami ma kształt prostokąta o bokach długości 8 m I 12 m. Klomb
otoczony jest alejką o stałej szerokości. Powierzchnia alejki jest równa powierzchni
klombu. Oblicz szerokość alejki.
4.l.6. Zależność między wysokością w metrach osiągniętą przez kamień rzucony z
dachu a czasem jego lotu w sekundach przedstawia wzór:
1
1
h(t )   t 2  t  6
2
2
a) Po jakim czasie kamień osiągnie najwyższą wysokość?
b) Z jakiej wysokości rzucono kamień?
4.l.7. Przy produkcji n rowerów dziennie pewien zakład osiąga dochód wyrażony w
przybliżeniu funkcją f(n) = 200n – 5000 – 0,2n2
a) Czy opłaca się zwiększyć produkcję z 50 na 100 sztuk?
b) Jaka wielkość produkcji daje największy dochód?
4.l.8. Zbiór wartości pewnej funkcji kwadratowej jest równy (-∞, 5>. Oznacza to, że:
A. a>0 i q=5
B a<0 i q=5
C a>0 i p=5
D a<0 i p=5
23
4.l.9. Dana jest funkcja kwadratowa w postaci kanonicznej f(x)=2(x – 3)2 – 2.
Podkreśl zdanie fałszywe:
A. wierzchołek paraboli to punkt (3, -2)
B. wykres tej funkcji powstał przez przesunięcie wykresu funkcji f(x)=2x2 o trzy
jednostki w lewo i dwie jednostki w dół
C. zbiór wartości funkcji to <-2, )
D. miejsca zerowe funkcji to liczby 2 i 4
4.1.10. Wysokość h ciała wyrzuconego pionowo w górę jest funkcją czasu t określoną
wzorem: h(t) = -5t2 + 30t. Przedstaw tę funkcję za pomocą wykresu. Po jakim czasie
wysokość ciała nad ziemią będzie największa?
m) sporządzam wykres, odczytuję
własności i rozwiązuję zadania
umieszczone w kontekście
praktycznym związane
z proporcjonalnością odwrotną.
4.m.1. Każdej liczbie jednocyfrowej przyporządkowujemy jej odwrotność. Który
z punktów nie należy do wykresu funkcji:
1
1
A) A: ( 1, 1 )
B) B: ( 4, )
C) C: ( 1, -1 )
D) D: ( 3, ).
4
3
4.m.2. Samochód poruszał się z prędkością 70 km/h i przejechał 50 km. O ile minut
skróciłaby się podróż tym samochodem, gdyby na przejechanym odcinku 50 km
przyspieszył on o 12 km/h?
4.m.3. Dziedziną funkcji
A R
B R \ {-1}
4.m.4. Zbiorem wartości funkcji
A
R \ {3}
B R
C
jest zbiór
C R\{
R \ {0}
}
D
R\
jest zbiór:
D
R \ {-3}
4.m.5. Dla której z podanych funkcji dziedziną jest zbiór R \ {0}
A
B f(x) = x20
C
D f(x) = x -5
24
n) sporządzam wykres funkcji
wykładniczych dla różnych
podstaw i rozwiązuję zadania
umieszczone w kontekście
praktycznym.
4.n.1. Sporządź wykres funkcji:
x
a) f ( x)  3  2
x
1
b) g ( x)     4
2
4.n.2. Liczebność pewnej kolonii bakterii wynosi 1 mln. Co każde 6 minut kolonia
powiększa swoja liczebność o 10%.
a) Ile bakterii będzie liczyć ta kolonia po upływie 18 minut? Wynik podaj
w zaokrągleniu do 1000.
b) Po jakim czasie kolonia ta będzie liczyć 1,61051∙106 bakterii.
4.n.3. Czas połowicznego rozpadu radonu 219 wynosi 3,92 sekundy. Ile miligramów
radonu pozostanie w próbce zawierającej 1g tego izotopu po upływie 30 sekund?
Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,01 mg.
5) Ciągi liczbowe
a) wyznaczam wyrazy ciągu
określonego wzorem ogólnym.
5.a.1. Oblicz a3 oraz a6 wiedząc, że:
 1n  5
2n 2  1
a) a n 
b) bn 
2n  3
n5
c) cn 
3n
.
n3
5.a.2. Który wyraz ciągu an jest równy zero?
3
a) an  2n 2  3n  1
b) an  n  12
4
2n
 8 są większe od 10?
5.a.3. Które wyrazy ciągu an 
5
25
5.a.4. Ciąg liczbowy określony jest wzorem an  2n 2  9 . Które poniższych zdań są
prawdziwe?
A) Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie
B) Wszystkie wyrazy ciągu są liczbami nieparzystymi
C) Tylko dwa wyrazy ciągu są ujemne
D) Istnieje wyraz ciągu równy 0.
5.a.5 Liczba 6 jest piątym wyrazem ciągu:
A an= (4 – n)3 + 7
B an= (n – 1)2 + 5
C an=
D an=
5.a.6. Liczba 6 jest piątym wyrazem ciągu:
A an = (n – 1)2 + 5
B an =
an = (4 – n)3 + 7
C
5.a.7. Który z podanych ciągów jest ciągiem rosnącym?
A an = 0,6n – 1 B bn = n
C cn = -2n
D
b) badam, czy dany ciąg jest
arytmetyczny lub geometryczny.
D
an = 3n – 7
dn = 7 – 2n
5.b.1. Który z podanych ciągów jest arytmetyczny?
A) 2, 22, 222,…
B) 1,1,2,…
C) 2 , 2  3, 2  6 , … D) 2, 4, 8, …
2n  3
5.b.2. Zbadaj, czy ciąg a n 
jest arytmetyczny.
n
5.b.3. Który z podanych niżej ciągów jest geometryczny?
2
3
4
A) 5,  5 ,  5 ,  5 ,...... B) 1, 3, 5, 7,… C) 5, 52 , 53 , 54 ,... D) 1, -2, 3, -4,…
5.b.4. Zbadaj, czy ciąg a n  3 n jest geometryczny.
5.b.5. Dla jakiego x liczby: 3x,
arytmetycznego?
A x = 0,25
B x=3
C
,
5x + 2 są kolejnymi wyrazami ciągu
x=2
D
x=0
26
5.b.6. Który z podanych ciągów jest ciągiem geometrycznym?
A 2, 4, 6
B 2, 4, -8
C -2, 4, -6
D -2, 4, -8
5.b.7. Jakie wartości powinny przyjąć x i y, aby ciąg x, 3, y, 12 był ciągiem
arytmetycznym?
A x= -1,5 i y= 7
B x= 0 i y= 7
C x = -1,5 i y= 7,5 D x= 1,5 i y= 7
5.b.8. Który z podanych ciągów jest ciągiem geometrycznym?
A an = 3n2
B bn = n –1
C cn = 5n + 3
D dn = 3*5n
c) stosuję wzory na n – ty wyraz
i sumę n – początkowych
wyrazów ciągu arytmetycznego
i geometrycznego.
5.c.1. Liczby 1, 4, 7, … są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę
a100  a85 .
5.c.2. W ciągu arytmetycznym a3  5; a6  20 . Ile wyrazów ciągu jest mniejszych od
100?
5.c.3. Dachówki ułożone są na jednej połaci dachu w 16 rzędach. Najniższy rząd
składa się ze 130 dachówek a w każdym następnym rzędzie leży o 5 dachówek mniej
niż w rzędzie poprzednim. Ile dachówek leży w najwyższym rzędzie? Ile dachówek
leży na całej połaci dachu?
5.c.4. Suma 15 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego którego początkowe trzy
1
wyrazy to: 13; 11 ; 10. wynosi:
2
1
1
A) 28
B) 21
C) 33 D) 37
2
2
27
5.c.5. W ciągu geometrycznym dane są a1  4; a5 
64
. Oblicz iloraz tego ciągu.
81
5.c.6. W ciągu arytmetycznym dane są a3  5 i a5  3 . Oblicz różnicę tego ciągu.
5.c.7 Wyznacz liczby a i b, dla których ciąg (a, b, 1) jest ciągiem arytmetycznym,
natomiast ciąg (1, a, b) jest ciągiem geometrycznym.
5.c.8. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Najkrótszy
bok ma długość 6 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
6) Trygonometria
a) wykorzystuję definicję
i wyznaczam wartości funkcji
trygonometrycznych dla kątów
ostrych.
6.a.1. Zbuduj kąt ostry a wiedząc, że
1
2
a) sin a =
b) cos a =
c) tg a = 3
3
3
6.a.2. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów
 a i  w trójkącie na rysunku.


8
b
10
6.a.3. Oblicz wartości wyrażenia:
a) 2 sin a – tg2 b , gdzie a = 450, b = 600.
b) (sin a – cos a)2 + sin 2a, dla a= 300.
c) (sin a + cos a)(cos a – sin a) – cos 2a, dla a = 300.
6.a.4. Oblicz długość przeciwprostokątnej, wiedząc, że cos a = 0,84. Wynik podaj
z dokładnością do części setnych.
a
a
7
28
6.a.5. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta
prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej
przyprostokątnej.
 1

 cos    tg .
6.a.6. Na podstawie rysunku oblicz wartość wyrażenia 
 tg

13
5


6.a.7. Wiadomo, że sin   cos 27 0 i  jest kątem ostrym. Ile jest równy kąt  ?
A) 270
B) 1530
C) 630
D) 330
6.a.8 Sinus kąta ostrego α jest równy . Wynika stąd, że
A cosα =
B tgα = 0,75
C tgα = 1,25
D cosα =
6.a.9. Między godziną 710 a 850 wskazówka minutowa zegara obróciła się o kąt,
którego miara wynosi:
A -240°
B -180°
C -600°
D 600°
6.a.10. Wartość wyrażenia sin 30° + sin 60° wynosi:
A
b) rozwiązuję równania typu
sin x = a, cos = a,
tg x = a; dla 00<x<900.
B
C
D
6.b.1.Wiedząc, że x jest kątem ostrym, rozwiąż równanie:
a) 2sin x = 1
b) 2 cos x = 1
c) 3 tg a = 3
6.b.2. Kolejka prowadząca na szczyt Gubałówki pokonuje na drodze długości 1340 m
różnicę wzniesień ok. 300m. Zakładając, że kolejka porusza się wzdłuż linii prostej
oblicz, pod jakim kątem wznoszą się tory kolejki.
29
c) stosuję proste związki między
funkcjami trygonometrycznymi
kata ostrego.
6.c.1. Podaj dokładne wartości kąta ostrego a .
3
a)
tg a - sin a = 0 ;
b) 8 sin 2   2 2 cos 2  ;
2
6.c.2. Czy istnieje taki kąt ostry a, dla którego:
2
1
5
a) sina =
i
cos a=
b) sina =
i
3
3
13
c) cos   3 sin  .
tg a =
Podane zadania
dotyczą poziomu
rozszerzonego
5
?
12
6.c.3. Wykaż, że wartość wyrażenia
W = (sina – cos a)2 + (sin a +cos a)2 jest stała dla każdego kąta ostrego a.
6.c.4. Sprawdź, czy podana równość jest tożsamością.
a) (1+cosa)(1-cosa) = sin2a
1
1
2
cos a


b) tg a
+1 = 2 (sin2a +cos2a)
c)
sin a
1  cos  1  cos  sin 2 
6.c.5. Czy istnieje trójkąt prostokątny o kątach ostrych  i  spełniający warunki?
a) sin  
d) znając wartości jednej funkcji
trygonometrycznej wyznaczam
wartości pozostałych funkcji tego
samego kąta.
1
1
i cos  
2
2
6.d.1. Dany jest sin  =
kąta ostrego  .
b) sin  
3
i tg  1
2
3
. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych
7
6.d.2. Dany jest tg  = 4. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych
kąta ostrego  .
Łączę umiejętności
6.1. Obserwator widzi czubek drzewa odległego o 65 m pod kątem a=290 (oczy ma na
wysokości 1,5 m nad ziemią). Jaką wysokość ma drzewo?
30
6.2. Jaki kąt z powierzchnią ziemi tworzy promień słoneczny, jeśli drzewo o wysokości
20m rzuca cień długości 17m?
6.3. Dwaj obserwatorzy stojący w punktach A i B w odległości 200m od siebie widzą
nadlatujący samolot pod kątami a=250 i b=150.
Na jakiej wysokości jest ten samolot?
a
b
A
B
6.4. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych stanowi 40%
przeciwprostokątnej. Wyznacz kąty tego trójkąta z dokładnością do 10.
7.a.1. Wyznacz miarę kąta BAC w trójkącie ABC
7) Planimetria
a) korzystam ze związków
miedzy kątem środkowym, kątem
1300
wpisanym i kątem między styczną
a cięciwą okręgu,
C
O
1100
A
B
7.a.2. Wyznacz miary kątów trójkąta ABC.
C
400
300
A
B
31
7.a.3. Dany jest okrąg o środku S. Miary kątów  i  wynoszą:
B)  = 500,  = 400
D)  = 500,  = 300
A)  =300,  =500
C)  = 400,  = 500
50 0

A
S

B
b) wykorzystuję własności figur
podobnych w zadaniach, w tym
umieszczonych w kontekście
praktycznym
7.b.1. W celu oszacowania wysokości drzewa uczeń ustawił się tak, że koniec jego
cienia pokrywał się z końcem cienia drzewa. Następnie zmierzył swój cień – 3, 6 m.
Odległość ucznia od drzewa wynosiła 16,4m. Jaka jest wysokość drzewa, jeśli uczeń
ma 180cm wzrostu.
7.b.2. Oblicz x.
4
3
12
x
7.b.3. W trójkącie ABC bok AB ma długość 18cm. Bok AC podzielono w stosunku
2:3:4 i przez punkty podziału poprowadzono odcinki KL i MN, równoległe do AB
(L, N  BC). Oblicz długość odcinków KL i MN.
32
7.b.4. Trójkąty przedstawione na rysunku są podobne. Podaj skalę podobieństwa tych
trójkątów. Oblicz x i y.
6
5
4
y
6
x
7.b.5. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych równych 12 i 16 jest podobny do
trójkąta o obwodzie równym 6. Podaj długości przeciwprostokątnych obu trójkątów.
7.b.6 Prostokąt P1 o bokach długości 9 cm i 12 cm jest podobny do prostokąta P2 o
przekątnej długości 20 cm. Wynika stąd, że
A obwód prostokąta P2 jest równy 54 cm
B stosunek pola prostokąta P1 do pola prostokąta P2 jest równy 9 : 16
C stosunek pola prostokąta P1 do pola prostokąta P2 jest równy 16 : 9
D długość przekątnej prostokąta P1 wynosi 21
7.b.7. Mamy dwa trójkąty podobne o polach 81 cm2 i 27 cm2. Skala podobieństwa
pierwszego trójkąta do drugiego wynosi:
A
3
B
C
D
7.b.8 Odległość z Poznania do Warszawy w linii prostej wynosi 300 km. Zatem
odległość na mapie w skali 1 : 10000000 wynosi:
A
3 cm
B 30 cm
C 3 mm
D 0,3 mm
c) znajduję związki miarowe
w figurach płaskich, także
7.c.1. Pole rombu jest równe 8, a kąt ostry rombu ma miarę 300. Oblicz długość boku
i wysokość tego rombu.
33
z zastosowaniem trygonometrii,
również w zadaniach
umieszczonych w kontekście
praktycznym.
7.c.2. Wysokość trapezu prostokątnego jest równa 9, a kąt ostry ma miarę 600. Oblicz
pole tego trapezu, jeśli wiadomo, że dolna podstawa jest dwa razu dłuższa od górnej.
7.c.3. Oblicz wysokość wieży
300
10
450
7.c.4. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 3 i 4 3 . Oblicz
długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.
7.c.5. Przekątne rombu mają długości 6 i 6 3 . Oblicz długość boku rombu, kąt ostry
rombu i długość wysokości rombu.
7.c.6. W trapezie równoramiennym przekątna tworzy z dłuższa podstawą kąt  .
Wykaż, że pole tego trapezu jest równe d 2 sin  cos  .
7.c.7. Płetwonurek chce się zanurzyć na głębokość 8m, płynąc pod kątem 600 do tafli
wody, aby zaczepić linę zakotwiczoną hakiem do kufra leżącego na dnie. Czy do tej
wyprawy wystarczy mu lina długości 10m? Odpowiedź uzasadnij wykonując
odpowiednie obliczenia (pomiń wysokość kufra).
7.c.8. Dane są trzy koła parami styczne zewnętrznie. Pola tych kół są równe 4 , 9 ,
16 . Ile wynosi obwód trójkąta, którego wierzchołkami są środki tych kół?
A) 15
B) 18
C) 20
D) 25
7.c.9. Dwa koła o promieniu 8 przecinają się w dwóch punktach w taki sposób, że
promienie poprowadzone ze środka każdego okręgu do punktów przecięcia tworzą kąt
450. Oblicz pole części wspólnej tych kół.
34
7.c.10. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 6, a sinus kąta
2
leżącego naprzeciw niej jest równy . Jaką długość ma przeciwprostokątna?
3
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
7.c.11.Pod jakim kątem prosta o równaniu y 
A) 600
B) 300
C) 450
3
x przecina dodatnią część osi X?
3
D) 150
7.c.12. Ze skrawka materiału w kształcie trójkąta o długościach boków 7 cm, 24 cm, 25
cm wycięto koło wpisane w ten trójkąt. Ile cm2 materiału pozostało? Wynik podaj z
dokładnością do 0,01.
7.c.13. Plac przed szkołą jest w kształcie prostokąta o wymiarach 10 m x 15 m.
Dyrektor postanowił, że na środku powstanie klomb kwiatowy w kształcie koła o
promieniu 2 m. Pozostałą część placu chce obsiać trawą. Oblicz, ile kg trawy należy
zakupić, jeśli 1 kg trawy wystarcza na obsianie 12 m2. Przyjmij, że π≈3,14. Wynik
podaj w pełnych kilogramach.
7.c.14. W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę o 15° większą od
miary kąta między ramionami.
Miara kąta między ramionami wynosi:
A 50°
B 65°
C 130°
D 22,5°
7.c.15. W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej równej 9 i jednej z
przyprostokątnych równej 5, długość drugiej przyprostokątnej jest równa:
A
B
C
D
35
7.c.16. Szczyt domu jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości 24 m i
ramieniu długości 13 m. Firma chce umieścić na tej ścianie plakat reklamowy w
kształcie prostokąta wpisanego w trójkąt tak, aby jeden bok prostokąta należał do
podstawy trójkąta, a dwa jego wierzchołki do jego ramion i aby plakat miał możliwie
największe pole powierzchni. Oblicz pole tego plakatu.
d) określam wzajemne położenie
prostej i okręgu.
7.d.1. Ile punktów wspólnych ma prosta k o równaniu y  3 z okręgiem o środku
w punkcie O(3;-1), w zależności od promienia r tego okręgu.
7.d.2. Prosta przecina okrąg o promieniu 10 w punktach A i B. Oblicz odległość tej
prostej od środka okręgu, jeśli AB=12.
7.d.3. Punkty A, B, C dzielą okrąg w stosunku 3:4:5. Oblicz miary kątów trójkąta
ABC.
7.d.4. Dwa okręgi o promieniach 2 cm i 1 cm są styczne zewnętrznie. Prosta AB jest
styczna do tych okręgów. Wyznacz długość odcinka CO1 oraz oblicz pole trapezu
ABO1O2.
O1
O2
C
B
A
7.d.5. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość a i b. W ten trójkąt
wpisano kwadrat, którego dwa wierzchołki leżą na przyprostokątnych, trzeci na
przeciwprostokątnej, czwarty zaś pokrywa się z wierzchołkiem kąta prostego trójkąta.
ab
Wykaż, że długość boku kwadratu wynosi
.
ab
36
7.d.6. Dany jest okrąg o środku w punkcie O i promieniu r1 oraz okrąg o środku S
i promieniu r2. Określ wzajemne położenie tych okręgów, gdy
a) OS=1, r1 = 5, r2 = 6
8) Geometria na płaszczyźnie
kartezjańskiej
a) wykorzystuję pojęcie układu
współrzędnych na płaszczyźnie.
b) podaję równanie prostej
w postaci Ax+By+C=0 lub
y=ax+b, mając dane dwa punkty
lub punkt, współczynnik
kierunkowy
b) OS=2, r1 = 5, r2 = 6
c) OS=14, r1 = 5, r2 = 6
7.d.7. Obwód trójkąta wyznaczonego przez środki trzech okręgów stycznych
zewnętrznie o promieniach 3 cm, 4 cm, 5 cm wynosi:
A 24π cm
B 12 cm
C 24 cm
D 12π cm
8.a.1. Dana jest prosta o równaniu y= -3x+2 oraz punkty F(-1,5) i G(2,8)
Do danej prostej należą punkty
A) F i G
B) F
C) G
D) żaden z nich
8.a.2. W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów spełniających
warunek:
a) x>3 i y  4
b) x  4 i y >0
c) y= 2 i -3<x  5
8.a.3. Zbiór K jest kwadratem o wierzchołkach A(-1,0) B(2,0) C (2,3) D(-1,3).
Opisz za pomocą układu warunków:
a) zbiór punktów należących do K b) zbiór punktów należących do brzegu kwadratu
8.b.1. Zapisz w postaci ogólnej i kierunkowej wzór prostej przechodzącej przez punkty
A(2,5) i B(-2,3).
Zadanie z
poziomu
rozszerzonego
8.b.2. Napisz w postaci ogólnej równanie prostej o współczynniku kierunkowym
3
a   , przechodzącej przez punkt P(1; 3).
2
8.b.3. Napisz równania prostych zawierających boki trójkąta o wierzchołkach K(-3,4)
L(-1;0) i M(3,2).
8.b.4. Prosta l tworzy z osią X kąt o mierze 450 i przechodzi przez punkt M (-2; 2)
Napisz równanie tej prostej.
37
c) badam równoległość
i prostopadłość prostych na
podstawie ich równań
kierunkowych.
8.c.1. Prostą równoległą do prostej o równaniu y=2x+1 jest prosta o równaniu :
1
A) y=-2x -1
B) y=-2x+1
C) y-2x+4=0
D) y  x  2
2
1
8.c.2. Dane są proste o równaniach: k : y=3x+1; l: y  x  ; m: 2y-6x=7;
2
n : y+x=3.
a) wskaż proste równoległe
b) wskaż proste prostopadłe.
8.c.3. Napisz równanie prostej równoległej do prostej y=-x+3, przechodzącej przez
punkt A(4; 1).
8.c.4. Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej y=2x przechodzącej przez punkt
A(-2; 5).
8.c.5. Wyznacz równania symetralnej odcinka o końcach K(-2;7) L(4,5).
8.c.6. Wyznacz wartość parametru a, dla której prosta y  (a  5) x  6 jest
a) równoległa do prostej y  4 x  6
1
b) prostopadła do prostej y  x  1
2
8.c.7. Prosta o równaniu 2x + y – 3 =0 jest
A równoległa do prostej y = 2x + 1
B prostopadła do prostej y = 0,5x + 5
C prostopadła do prostej 2x + 4y + 1 =0
D równoległa do prostej y = 2x – 1
38
8.c.8. Proste mx – 3y – 15 = 0 i 2x + 0,5y + 5 = 0
A są równoległe dla m = 12
B nigdy nie będą prostopadłe
C przecinają się w punkcie (0; 5) dla m = 12
D są prostopadłe dla m = 0,75
d) interpretuję geometrycznie
układ dwóch równań liniowych
z dwiema niewiadomymi.
8.d.1. Rozwiąż graficznie układ równań. Podaj liczbę rozwiązań:
2 x  y  1
x  y  5
2 x  y  5
a) 
b) 
c) 
4 x  2 y  6
 2 x  y  6
3x  3 y  15
Sprawdź swoje rozwiązania, rozwiązując te układy równań metodą algebraiczną.
8.d.2. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostych o równaniach
x+y=0, 2x-4y=3.
8.d.3. Punkt będący interpretacją geometryczną rozwiązania układu równań
3 x  2 y  1
należy do

 x  y  3
A) I
B) II
C) III
D) IV ćwiartki układu współrzędnych
e) obliczam odległość punktów na 8.e.1. Oblicz długość odcinka AB, jeśli A(-4; 2), B(6; 8).
płaszczyźnie kartezjańskiej.
8.e.2. Oblicz obwód trójkąta o wierzchołkach A(-3;4), B(-1;0), C(3;2).
8.e.3. Oblicz długość promienia okręgu, którego średnicą jest odcinek AB, gdzie
A(-5; 1) i B(1; -7).
f) wyznaczam współrzędne
środka odcinka.
8.f.1. Środkiem odcinka o końcach A(-1; 4) i B(6; -3) jest punkt o współrzędnych:
A) S(-7; 7)
B) S(2,5; 0,5) C) S(7; -7)
D) S(5; 1)
8f. 2. Wiedząc, że punkt S(0; -5) jest środkiem odcinka AB i A(-3; 6), wyznacz
współrzędne punktu B.
39
8.f.3. Oblicz długości środkowych w trójkącie o wierzchołkach A(-4;3), B(6;1), C(8;3).
8.f.4. Odległość punktu P(1;3) od środka odcinka o końcach A(-3;4), B(5;6) wynosi:
A) 8 2
B) 2 2
C)8
D) 5
8.f.5. W równoległoboku ABCD dane są wierzchołki A(-4; 6), B(-2; 4), C(0; 2).
Wyznacz współrzędne punktu D.
8.f.6. Znajdź środek okręgu, którego średnica jest odcinkiem o końcach
A(-2; 5) i B(4; 3).
g) posługuję się równaniem
okręgu.
8.f.7. Oblicz długość wysokości trójkąta ABC, która jest opuszczona z wierzchołka C,
jeżeli A(-2; 1), B(1; -3), C(3; 3).
8.g.1. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S(-4; 2) i promieniu r = 6.
8.g.2. Napisz równanie okręgu symetrycznego do okręgu o równaniu
x  22   y  32  25 względem punktu P(0,2).
Poziom
rozszerzony?
8.g.3. Wyznacz promień i środek okręgu opisanego równaniem:
9
16
8.g.4.Wyznacz równanie okręgu wpisanego w kwadrat o wierzchołkach
A(0;-3), B(4;-1), C(2;3), D(-2;1).
a) ( x  2) 2  ( x  6) 2  9
b) x 2  ( y  3) 2  10
c) x 2  y 2 
8.g.5. Ile punktów wspólnych ma okrąg o środku S(0; 3) i promieniu
z prostą o równaniu y  3x  15 ?
6
Poziom
rozszerzony?
8.g.6. Dany jest okrąg o równaniu ( x  1) 2  ( y  2) 2  4 . Wskaż współrzędne środka
S i długość promienia tego okręgu.
A) S(-1; 2); r = 4
B) S(-1; 2); r = 2
C) S(1; -2); r = 2
D) S(1; -2); r = 4
40
8.g.7 Okrąg o środku w punkcie O(-1; 2) i promieniu 2 ma równanie postaci:
A (x + 1)2 + (y – 2)2 = 2
B (x + 1)2 + (y – 2)2 = 4
2
2
C
(x - 1) + (y + 2) = 4
D (x - 1)2 + (y – 2)2 = 4
8.g.8. Które z podanych równań opisuje okrąg?
A x2 + y – 3x =0 B x + y2 – 3y =0 C x2 + y2 – 3x =0 D x2 +y2 – 3x – 3,25 =0
9.a.1. Zaznacz w prostopadłościanie wskazane kąty:
9) Stereometria
a) wskazuję i obliczam kąty
a) a – kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do krawędzi bocznej;
między ścianami, między
b)  – kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do krawędzi podstawy;
ścianami i odcinkami oraz między c)  – kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy;
odcinkami takimi jak krawędzie,
d)  – kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do przekątnej ściany bocznej.
przekątne, wysokości.
9.a.2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym zaznacz następujące kąty:
a)  – kąt między ścianą boczną a krawędzią podstawy.
b)  – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
c)  – kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy
d)  – kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi.
9.a.3. Oblicz miarę kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa prawidłowego
czworokątnego do płaszczyzny podstawy, znając jego wysokość h  6 3 i długość
jego krawędzi podstawy a  3 2 .
9.a.4. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna nachylona jest do
podstawy pod kątem 450. Wyznacz wysokość ostrosłupa wiedząc, że krawędź
podstawy ma długość 2.
9.a.5. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ściana boczna jest nachylona do
podstawy pod kątem 600. Wyznacz długość wysokości ściany bocznej wiedząc, że
wysokość ostrosłupa jest równa 12.
41
9.a.6. Odcinek o długości 8 cm jest nachylony do płaszczyzny pod kątem 60°. Długość
rzutu prostokątnego tego odcinka na płaszczyznę jest równa:
A 4 cm
B
cm
C
cm
D 16 cm
b) wyznaczam związki miarowe
w wielościanach i bryłach
obrotowych z zastosowaniem
trygonometrii.
9.b.1. W prostopadłościanie przekątne podstawy mają długość d=8cm i tworzą kąt
o mierze  =60º. Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem  =30º. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
9.b.2. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna ma długość
d= 0,8dm i tworzy z przekątną podstawy kąt o mierze  =60º. Oblicz objętość
i pole powierzchni tego graniastosłupa.
9.b.3. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 6,
a wysokość tego graniastosłupa ma długość 10. Oblicz miarę kąta, jaki tworzy
przekątna graniastosłupa z krawędzią podstawy, mającą z tą przekątną punkt wspólny.
9.b.4. Oblicz miarę kąta rozwarcia stożka znając długość promienia r = 4cm
i tworzącej l = 0,8dm.
9.b.5. Objętość walca o promieniu podstawy r= 5cm i wysokości h= 0,8dm wynosi
A) 600cm3 B) 200  cm3 C) 20  dm3 D) 40  cm3
9.b.6. Pole powierzchni bocznej walca jest równe 48 , a jego objętość wynosi
96 .Wyznacz długość promienia podstawy i wysokość walca.
9.b.7. Stożek „zwinięto” z wycinka koła o promieniu 12 i kącie środkowym
a = 2700. Oblicz promień podstawy oraz wysokość tego stożka.
9.b.8. Objętość kuli wynosi V 
4 2
 . Oblicz długość promienia tej kuli oraz pole jej
3
powierzchni całkowitej.
42
9.b.9 Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem o przekątnej
Zatem:
A pole powierzchni bocznej tego walca jest równe 18
B wysokość tego walca jest równa 3
C pole podstawy walca wynosi 9π
D promień podstawy wynosi 3
.
9.b.10. Sześcian umieszczony w kuli wypełnia nie mniej niż
A 60%
B 50%
C 40%
D 30%
jej objętości.
9.b.11. Kolumna w kształcie walca ma wysokość 5 m i średnicę 5 dm. Ile puszek farby
należy zakupić, aby pomalować 5 kolumn, jeżeli litr farby wystarcza na pomalowanie 8
m2 powierzchni, a pojemność puszki wynosi 2l?
9.b.12. Piłkę w kształcie kuli o średnicy 30 cm należy obszyć skórą. Ile należy kupić
pełnych m2 skóry na obszycie 40 piłek pamiętając o tym, że na szwy należy doliczyć
20% skóry?
9.b.13. Emalią z puszki o pojemności 0,8 litra pomalowano 20 m2 powierzchni. Oblicz,
ile milimetrów miała otrzymana warstwa emalii.
10.a.1. Podaj średnią arytmetyczną, medianę i odchylenie standardowe dla
10) Elementy statystyki
następujących zestawów danych:
opisowej
a) obliczam średnią arytmetyczną,
a) 1,4,2,3,4,1,2,3,4,4
b) 5,4,3,5,4,3,7,8,7,8,5,3
średnią ważoną, medianę
i odchylenie standardowe danych;
interpretuję te parametry dla
danych empirycznych.
43
10.a.2. Oblicz wartość średnią arytmetyczną, podaj medianę i odchylenie standardowe
dla zestawów danych przedstawionych w tabeli:
a)
Wartość
-2
-1
0
3
4
Liczba
4
3
2
1
5
wskazań
b)
Wartość
Liczba
wskazań
10
2
12
1
14
4
16
3
10.a.3. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe dla zestawów danych:
a)1,3,2,1,3,2,1,2,3,2
b)21,20,22,23,25,21
10.a.4. W pewnej miejscowości mierzono temperaturę powietrza (w oC) otrzymano
następujące wyniki: 28,28,27,26,25,25,24,24,25,26. Oblicz średnią
i odchylenie standardowe tych temperatur.
10.a.5. Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione w tabelce
Ocena
Liczba ocen
1
2
2
4
Średnia ze sprawdzianu wynosi:
A) 3,2
B) 3,31
3
2
C) 3,14
4
4
5
3
D) 3,13
10.a.6. W ciągu semestru uczeń otrzymał oceny: 4, 4, 5 z wagą 5; 3 i 2 z wagą 7 oraz 3,
4, 5, 5 z wagą 3. Oblicz średnią ważoną ocen tego ucznia.
44
10.a.7 Dany jest zestaw liczb: 1; 2; 20; 12; 10; 15. Zatem
A średnia arytmetyczna tych liczb jest większa od mediany
B tylko dwie z tych liczb są mniejsze od średniej
C mediana zestawu danych wynosi 16
D cztery z tych liczb są mniejsze od średniej arytmetycznej
b) zliczam obiekty w prostych
sytuacjach kombinatorycznych,
niewymagających użycia wzorów
kombinatorycznych, stosuję
zasadę mnożenia.
10.b.1. Rzucono sześcienną kostka do gry, a potem monetą. Ile jest wszystkich
możliwych wyników tego doświadczenia? Ile jest zdarzeń polegających na tym, że na
kostce wypadła parzysta liczba oczek, a na monecie orzeł?
10.b.2. Magda ma 4 różne spódniczki, 3 różne bluzeczki i 5 różnych par butów. Na ile
sposobów może się ubrać, jeśli zestawienia kolorystyczne nie mają dla Magdy
znaczenia?
10.b.3. Ile można utworzyć różnych liczb o niepowtarzających się cyfrach z cyfr 1, 2,
3, 4?
A) 32
B) 24
C) 64
D) inny wynik
10.b.4 Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 1, 2 i 3?
10.b.5. Ile można utworzyć liczb trzycyfrowych z cyfr 0, 1, 2, 3, 6, 8, w których
a) cyfry nie powtarzają się
b) cyfry mogą się powtarzać.
10.b.6. Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych parzystych?
10.b.7. W dwudziestoosobowej klasie zostanie wybrany samorząd złożony z trzech
osób: przewodniczący, zastępca i skarbnik. Na ile sposobów można dokonać wyboru?
10.b.8. Ile jest różnych liczb trzycyfrowych parzystych ułożonych z cyfr 0, 2, 3, 5, 7?
A
55
B 4 * 54
C 53 * 23
D 54 * 2
45
c) wykorzystuję sumę, iloczyn
i różnicę zdarzeń do obliczania
prawdopodobieństwa.
10.c.1. Z talii 32 kart (od „siódemki” do asów) wyciągnięto losowo kartę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyciągnięta karta jest:
a) kierem
b) asem
c) asem lub kierem
d) asem kierowym.
10.c.2. Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia, że wypadła parzysta suma oczek lub iloczyn podzielny przez 5.
10.c.3. Sześciotomową encyklopedię ustawiono w sposób losowy na półce. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że
a) wszystkie tomy ustawiono kolejno od pierwszego do szóstego
b) tom 1. i 2. stoją obok siebie.
10.c.4. Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzeń: A – na obu kostkach wypadła parzysta liczba oczek, B – suma oczek jest
równa co najwyżej 9 oraz prawdopodobieństwa zdarzeń:
a) A  B
b) A  B
c) A \ B
d) wykorzystuję własności
prawdopodobieństwa i stosuję
twierdzenie znane jako klasyczna
definicja prawdopodobieństwa do
obliczania prawdopodobieństwa
zdarzeń.
10.d.1. Liczby naturalne od 1 do 30 napisane zostały na 30 kartkach po jednej liczbie
na kartce. Losujemy jedną kartkę. Oblicz prawdopodobieństwo, że na tej kartce jest
liczba:
a) parzysta
b) podzielna przez 4
c) pierwsza
10.d.2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej dwóch oczek w rzucie
sześcienną kostką do gry wynosi:
1
5
1
1
A)
B)
C)
D)
3
6
6
2
10.d.3. W pudełku jest 10 lizaków: 6 malinowych i 4 truskawkowe. Dziecko wyjmuje
dwa lizaki. Prawdopodobieństwo tego, że oba są malinowe jest równe
6
3
1
18
A 10
B 10 C 3
D 50
46
1-2,5
-2
-1
-3
32W[m]
0
2A
11
B
13
1
C
10.d.4. Danych jest 11 kolejnych liczb naturalnych dodatnich. Losujemy spośród nich
jedną. Wówczas prawdopodobieństwo, że
3
A jest ona podzielna przez 4 jest zawsze mniejsze od 11
2
B jest ona podzielna przez 5 jest zawsze równe 11
1
C jest ona podzielna przez 11 jest zawsze równe 11
1
D jest ona podzielna przez 10 jest zawsze mniejsze od 11
47