Zestaw 3. Statystyki dostateczne minimalne

Zestaw 3TE. Statystyki dostateczne minimalne
Twierdzenie (Lebesque'a o różniczkowaniu całki – wniosek dla funkcji jednej zmiennej).
Niech f będzie funkcją sumowaną (całka jest skończona) na przedziale [a,b] , a F będzie
funkcją określoną wzorem
x
F ( x)   f (t )d L (t ) dla x  [a, b] .
a
Wtedy F ' ( x)  f ( x) prawie wszędzie w [a,b].
Twierdzenie (O zupełności statystyk dostatecznych).
Jeżeli T jest dostateczna i ograniczenie zupełna dla rodziny rozkładów P , to T jest
minimalną statystyką dostateczna dla P.
Twierdzenie (Lehmanna o rodzinach wykładniczych).
Jeżeli P jest absolutnie ciągła względem  -skończonej miary  i
k

f ( x)  C ( ) exp  j T j ( x)
 j 1

oraz   R k zawiera k-wymiarowy przedział, to T  (T1 ,..., Tk ) jest statystyką zupełną.
Zadanie 1. Zbadać zupełność statystyki T ( X)  X ( n ) dla próby z rozkładu R(0, ) dla   0 .
Czy jest to minimalna statystyka dostateczna?
Przykładowe rozwiązanie :
Rodzina rozkładów indukowana przez badaną statystykę X ( n )  max( X 1 ,..., X n ) jest
określona przez funkcję gęstości (patrz: zestaw 2)
fT (s) 
Stąd
E ( ( X ( n ) ))    ( s )
R
ns n1

n
ns n1
n

I ( 0, ) ( s ) .
I ( 0, ) ( s )ds    ( s )
0
ns n1

n
ds 
n

n

  (s)s
n 1
ds .
0

Wobec tego E ( ( X ( n ) ))  0 jest równoważne równaniu   ( s ) s n1ds  0 .
0
Na mocy twierdzenia Lebesque'a o różniczkowaniu całki otrzymujemy  ( ) n1  0 prawie
wszędzie dla   0 co skutkuje równością  ( )  0 prawie wszędzie dla   0 .
Wniosek: Statystyka T ( X)  X ( n ) jest zupełna dla próby z rozkładu R(0, ) dla   0 .
Wniosek: Statystyka T ( X)  X ( n ) jest zupełna oraz dostateczna dla próby z rozkładu R(0, )
dla   0 . Stąd na mocy twierdzenia o zupełności statystyk dostatecznych wynika, że jest
minimalną statystyką dostateczną.
Zadanie 2. Dla n-elementowej próby z rozkładu R(  12 ,  12 ) , gdzie   R :
a) wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną,
b) wykazać, że nie jest zupełna badając E (max X  min X) .
Zadanie 3. Dla n-elementowej próby z rozkładu Poissona P( ) dla   0 :
a) wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną stosując rozbicie na warstwice,
b) zbadać jej zupełność.
Zadanie 4. Dla n-elementowej próby z rozkładu wykładniczego ( ,1) dla   0 :
a) wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną,
b) zbadać jej zupełność.


Zadanie 5. Dla rodziny rozkładów normalnych postaci N (1,  2 ) ,   0 :
a) wykazać, że nie jest zupełna obliczając E ( X  E ( X )) ,
b) uzasadnić dlaczego nie można rozumowania z punktu a) zastosować dla rodziny
N ( m ,  2 ) , m  R,   0 .


Zadanie 6. Dla n-elementowej próby z rozkładu o gęstości f ( , x)  e( x  ) I ( , ) ( x)
wyznacz minimalną statystykę dostateczną.
Zadanie 7. W oparciu o kryterium faktoryzacji zaproponować minimalną statystykę
dostateczną dla n-elementowej próby X  ( X 1 ,..., X n ) z rozkładu o funkcji gęstości względem
miary Lebesque'a
2x
f ( x,  ) 
I
( x) .
 ( 0, )
Zadanie 8. Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla rodziny rozkładów
 dP( , )

( x)  e  ( x ) I ( ,) ( x) ,

 d

gdzie  jest miarą Lebesque'a.


Zadanie 9. Zbadać zupełność rodziny rozkładów N (0, 2 ) :   0 .
Zadanie 10. Statystyka X ma rozkład określony następująco: P( X  0)   (1   ) ,
P ( X  1)   , P( X  2)  (1   ) 2 dla   (0,1) . Sprawdzić, czy X jest statystyką zupełną.