MUMIO: Lab 1, Pakiet Maple, rozkłady, sploty W matematyce ubezpieczeniowej wielkości szkód, ryzyko, wielkości wystepuj ace w kontrak, , tach sa, zmiennymi losowymi. Dla wyliczenia składek za ubezpieczenie szkód podstawowe znaczenie maja, liczby: EX, V arX. Do liczenia tych liczb wygodnie jest używać gotowych pakietów, np. Maple. 1. Zapoznaj sie, ze struktura, pakietu Maple V: a) przejdź: New User’s Tour z menu Help korzystając z pomocy prowadzącego b) zapoznaj sie, z poleceniami : plot, plot3d, animate, int, Int, sum, lim, heaviside, za każdym razem wpisujac w menu , komende, do arkusza, markujac , ja, myszka, , a nastepnie , help wybierajac help on... , 2. a) Sprawdź, (wygodniej przy pomocy Maple) że podane niżej wzory definiuja, rozkłady. b) Policz wartość oczekiwana, i wariancje, tych rozkładów używając Maple c) Zrób animację wykresu funkcji prawdopodobieństwa rozkładu w wybranym przez siebie zakresie parametrów, dla punktu (a), (c) oraz dla (b) przy n = 40. (a) Rozkład Poissona z parameterem λ: p(j) = exp(−λ)λj /j!, j = 0, 1, 2, . . . . (b) Rozkład dwumianowy z parametrami n = 1, 2, . . . , p ∈ (0, 1): p(j) = j = 0, . . . , n. n j (n−j) , j p (1−p) (c) Rozkład geometryczny z parametrem p: p(j) = p(1 − p)j , j = 0, 1, . . .. 3. Ryzyko X ma rozkład z atomami P (X = 0) = 0.8, P (X = 1) = 0.1 oraz gȩstość fX (x) = 0.1 dla x ∈ (0, 1). Ryzyko Y ma rozkład z atomami P (Y = 0) = 0.7, P (Y = 2) = 0.1 i gȩstościa̧ fY (y) = 0.1 dla y ∈ (0, 2). a) Znajdź dystrybuante, zmiennych X oraz Y . b) Przedstaw FX oraz FY w postaci mieszanki dystrybuant czystych typów. c) Jeśli X i Y sa̧ niezależne, policz E(XY ), V ar(X + Y ), P (X + Y ∈ [1, 2]), P (XY < 0.5). 4. Policz P (X + Y ¬ 5) dla X, Y niezależnych o rozkładzie dwumianowym z parametrami n = 10, p = 1/3. 5. Jeśli X ma dystrybuante, FX (x) = 1 − exp(−x) dla x ­ 0 i równa jest zero poza tym, to a) znajdź jej gestość , b) policz EX, V arX c) znajdź dystrybuanty zmiennych losowych Y = min(X, d), Z = max(d, X) dla d = 1. 1 Przykłady rozkładów Rozkłady maksimów Znajdź w Maple i zapoznaj sie z użyciem rozkładów: Rozkład Weibulla x r F (x) = (1 − e( λ ) )I[0,∞) (x) λ, r > 0, x ∈ R. 6. Znajdź gęstość i momenty zwykłe rozkładu Weibulla. Zrób animację wykresu gęstości dla ustalonego λ = 1 i różnych wartości r. Rozkład Gumbela −(x−µ)/λ G(x) = e−e x, µ ∈ R, λ > 0. 7. Znajdź gęstość i wartość oczekiwaną rozkładu Gumbela. Zrób animację wykresu gęstości dla ustalonego µ = 1, µ = 2 i różnych wartości λ. Rozkład Pareto F (x) = (1 − ( x0 α ) )I[x0 ,∞) (x) x α, x0 > 0. 8. Znajdź gęstość i wartość oczekiwaną rozkładu Gumbela. Zrób animację wykresu gęstości dla ustalonego x0 = 1 i różnych wartości α. Dystrybuanta empiryczna Niech x1 , . . . , xn będą wartościami liczbowymi uzyskanymi jak wynik pewnego zjawiska losowego powtarzanego n razy niezależnie. Możemy myśleć o tych wartościach jako o próbce z pewnego rozkładu danego przez dystrybuantę F , która jest związana z niezależnymi zmiennymi losowymi X1 , . . . , Xn o jednakowym rozkładzie danym przez F . Wtedy F̂n (x) := 1 (I (x) + · · · + I[xn ,∞) (x)) n [x1 ,∞) jest dystrybuantą czysto dyskretną nazywaną dystrybuantą empiryczną rozmiaru n, dla próbki x1 , . . . , xn . Oznaczmy uporządkowane wartości x1 , . . . , xn od najmniejszej do największej przez x1:n ¬ x2:n ¬ · · · ¬ xn:n (statystyki porządkowe). Jeśli wartości próbki są wszystkie różne, to F̂n (xi:n ) = i/n, i = 1, . . . , n. 2 F̂n często używana jest jako przybliżenie F . Piszemy F̂n (x) ∼ F (x), rozumiejac to jako graniczną relację (lemat Gliwenki-Cantellego) sup |F̂n (x) − F (x)| →n→∞ 0 x dla prawie wszystkich realizacji x1 , x2 , . . . ciągu iid X1 , X2 , . . .. 9. Wygeneruj (Maple) próbkę z rozkładu wykładniczego oraz z rozkładu Pareto i zbadaj graficznie jakość przybliżenia rozkładów przez odpowiednie dystrybuanty empiryczne. 3