D2. WYZNACZANIE WZGLĘDNYCH PRZENIKALNOŚCI ELEKTRYCZNYCH I STRAT część teoretyczną opracowała: Bożena Janowska-Dmoch część eksperymentalną opracował: Marek Pękała Substancje o znikomo małym, szczątkowym przewodnictwie nazywamy dielektrykami. W atomach lub cząsteczkach dielektryka umieszczonego w polu elektrycznym następują zmiany w rozkładzie ładunków wewnątrz dielektryka poprzez indukowanie dipoli elektrycznych lub porządkowanie własnych dipoli równolegle do linii sił zewnętrznego pola. Proces ten nazywamy polaryzacją dielektryka. Wyróżniamy następujące rodzaje polaryzacji: elektronową, jonową i orientacyjną. Skutkiem polaryzacji jest zmniejszenie się natężenia pola elektrycznego wewnątrz dielektryka. Makroskopowe własności dielektryków opisuje wielkość fizyczna nazywana przenikalnością elektryczną . Generalnie przenikalność elektryczna nie jest stałą, jej wartość może zmieniać się w ośrodku od punktu do punktu. Wartość przenikalności elektrycznej zależy również od czynników zewnętrznych, takich jak wilgotność, czy temperatura. W silnych polach elektrycznych przenikalność elektryczna, dla pewnej grupy substancji zwanej dielektrykami nieliniowymi, zależy od natężenia pola elektrycznego. W zmiennym polu elektrycznym przenikalność elektryczna zależy jeszcze od częstotliwości zmian pola elektrycznego. W polu elektrostatycznym lub w polach wolnozmiennych przenikalność elektryczna jest wielkością rzeczywistą, natomiast w polach szybkozmiennych wygodnie jest posługiwać się pojęciem zespolonej przenikalności elektrycznej. Gdy kondensator wypełniony dielektrykiem podłączymy do źródła zmiennego napięcia, to zmiany napięcia powodują zmiany polaryzacji dielektryka nazywane prądem przesunięcia. Oprócz prądu przesunięcia, który wyprzedza w fazie przyłożone napięcie o , 2 do okładek kondensatora może dopływać prąd zgodny w fazie z napięciem. Prąd ten świadczy o stratach energii przy polaryzacji dielektryka. Energia ta rozprasza się w dielektryku i ujawnia się w postaci ciepła, co można by obserwować mierząc wzrost temperatury dielektryka umieszczonego w kalorymetrze. Aby uwzględnić efekty polaryzacji i strat w dielektryku wprowadza się zespoloną przenikalność elektryczną: ˆ i , gdzie jest względną przenikalnością elektryczną, zaś jest czynnikiem strat. Obecność strat dielektryka powoduje zmianę różnicy faz między napięciem i natężeniem prądu. Staje się ona mniejsza niż . Miarą opóźnienia zmian polaryzacji dielektryka w stosunku do 2 zmian pola elektrycznego jest tangens kąta strat zdefiniowany jako: tg i nazywany współczynnikiem strat dielektrycznych. Jeżeli kondensator wypełniony dielektrykiem podłączymy do źródła wytwarzającego zmienne sinusoidalnie napięcie U U 0 cos t , to w kondensatorze powstaje zmienne sinusoidalnie pole elektryczne o natężeniu E E0 cos t . Indukowane w dielektryku zmiany 2 rozmieszczenia ładunków, opisane przez wektor indukcji elektrycznej D (zwany także wektorem przesunięcia), nie zachodzą natychmiastowo, lecz są przesunięte w fazie względem natężenia pola elektrycznego o kąt , czyli D D0 cos t , gdzie D0 jest amplitudą zmian wektora indukcji. Zachowanie dielektryków w przemiennym polu elektrycznym najwygodniej jest opisywać posługując się liczbami zespolonymi. Przyłożone napięcie jest częścią rzeczywistą pewnej liczby zespolonej U U 0 e i t , a natężenie pola elektrycznego jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej E E0 e i t . Relację między zespolonymi wektorami D i E można zapisać w postaci D 0ˆ E , gdzie ˆ i oznacza zespoloną przenikalność elektryczną dielektryka. Z własności liczb zespolonych wiadomo, że ˆ i e i , gdzie 2 2 , a e i cos i sin . Wektor indukcji zapiszemy D 0ˆ E 0 E0 e i t e i D0 e i t , gdzie D0 0 E0 jest amplitudą wektora indukcji elektrycznej i tak, jak wspomniano wyżej wektor indukcji jest przesunięty w fazie względem natężenia pola elektrycznego. W ośrodkach jednorodnych wektor D jest równoległy do wektora E i zespoloną przenikalność elektryczną możemy przedstawić wzorem ˆ D0 e i t e i D 0 cos i sin i . i t 0 E0 0 E0 e Równanie to jest równoważne dwóm następującym równaniom, które muszą być spełnione jednocześnie (część rzeczywista po lewej stronie równania musi być równa części rzeczywistej po prawej stronie i analogicznie dla części urojonych) a stąd D0 cos 0 E0 tg . D0 sin , 0 E0 (1) Indukcję elektryczną można rozdzielić na dwie składowe. Jedną składową jest indukcja elektryczna próżni 0 E , drugą składową jest polaryzacja dielektryka P równa co do wartości gęstości powierzchniowej ładunku indukowanego w dielektryku, czyli D 0E P . 3 Jeśli w jednostce objętości dielektryka znajduje się N elementarnych dipoli, każdy o momencie dipolowym p i , to wektor polaryzacji możemy przedstawić jako wartość średnią sumy wektorowej tych momentów dipolowych P N p i 1 . i Gdy dielektryk jest izotropowy i gdy brak zewnętrznego pola elektrycznego, to polaryzacja jest równa zero, bo dipole są rozłożone bezładnie i żaden kierunek nie jest uprzywilejowany. Natomiast w zewnętrznym polu elektrycznym na każdy z dipoli działa moment siły, który dąży aby ustawić dipol zgodnie z kierunkiem pola a jednocześnie pole elektryczne indukuje w cząsteczce dodatkowy moment dipolowy. Wektor polaryzacji definiujemy jako moment dipolowy jednostki objętości tej substancji, czyli P lim 1 V 0 V N p i 1 i . W idealnym dielektryku, gdzie nie ma swobodnych ładunków r 0 , ciągłe zmiany pola elektrycznego powodują ciągłe przesunięcia ładunków polaryzacyjnych, które nazywamy prądem przesunięcia. Gęstość prądu przesunięcia jest równa prędkości zmian wektora indukcji elektrycznej i t i t i t 2 D jD 0 E0 e i 0 E0 e 0 E0 e t t Prąd przesunięcia wyprzedza w fazie napięcie o . Gęstość prądu przesunięcia zależy od 2 częstości , czyli w polu elektrostatycznym prądu przesunięcia nie ma. W rzeczywistych dielektrykach, gdzie 0 , wystąpi dodatkowa składowa zgodna w fazie z napięciem zwana prądem przewodzenia (lub prądem strat). Gęstość prądu przewodzenia jp wyraża postać mikroskopowa prawa Ohma j p E Współczynnik nazywamy przewodnictwem właściwym danej substancji. Wypadkowa gęstość prądu płynącego w obwodzie zawierającym kondensator z dielektrykiem jest sumą prądu przesunięcia i przewodzenia j j D j p i 0 E E . Obliczając gęstość prądu wynikającą z prędkości zmian wektora indukcji elektrycznej z uwzględnieniem strat otrzymujemy równanie D j ˆ 0 E i ˆ 0 E i 0 E 0 E . t t 4 Z porównania obu zależności wynika związek między czynnikiem strat a przewodnictwem dielektryka . (2) 0 Cel Celem ćwiczenia jest wyznaczenie, dla wybranych ciał stałych, przenikalności elektrycznej , współczynnika strat dielektrycznych tg oraz przewodnictwa właściwego . Wymagania Momenty dipolowe molekuł, dipol w polu elektrycznym. Dielektryki polarne i niepolarne, dielektryk w polu elektrycznym. Rodzaje polaryzacji dielektryków. Wektor natężenia pola elektrycznego, wektor indukcji elektrycznej, wektor polaryzacji, przenikalność dielektryczna, pojemność elektryczna kondensatorów. Kondensator w obwodzie prądu przemiennego. Prawo indukcji Faradaya, SEM indukcji. Obwód RLC, rezonans, kształt krzywej rezonansowej a straty w obwodzie. Pochłanianie energii w dielektryku. Prawa Ohma i Kirchhoffa. Literatura A. Chełkowski, Fizyka dielektryków, PWN T. Krajewski, Zagadnienia fizyki dielektryków, WKŁ. K. Zboiński, Laboratorium z fizyki, Liber Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, cz.III, Elektryczność i magnetyzm, PWN. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna , PWN. Opis układu Metody pomiaru generator 1,2 MHz ze obwód rezonansowy RLC podstawowych parametrów wzmacniaczem dielektryków, czyli i tg , są V różne dla różnych zakresów częstotliwości pola elektrycznego. W obszarze częstotliwości radiowych, 104 108 Hz, Cz stosuje się metody rezonansowe. ~ Obwód rezonansowy składa się z cewki indukcyjnej i połączonych Cx ze sobą równolegle dwóch kondensatorów. Jednym z nich jest kondensator pomiarowy o pojemności C0, który może być wypełniany badanymi dielektrykami, a wtedy jego pojemność zmienia się na Cx, drugim jest kondensator o regulowanej pojemności Cz z precyzyjnym odczytem zmiany pojemności. Do części uzwojenia cewki tego obwodu jest włączony woltomierz służący jako wskaźnik dostrojenia. Obwód rezonansowy jest słabo sprzężony indukcyjnie z generatorem prądu przemiennego o częstotliwości 1,2 MHz. Prąd przemienny płynący w obwodzie generatora 5 wytwarza w cewce zmienny w czasie strumień indukcji magnetycznej. Część tego strumienia wnika do cewki obwodu rezonansowego indukując w niej siłę elektromotoryczną indukcji (SEM). Wartość siły elektromotorycznej indukowanej w obwodzie rezonansowym zależy od zgodności częstości drgań własnych obwodu z częstością pracy generatora. Optymalne dostrojenie do rezonansu jest sygnalizowane przez maksimum napięcia na woltomierzu w obwodzie pomiarowym. Istota pomiaru polega na dostrojeniu pojemności obwodu rezonansowego do rezonansu najpierw dla pustego kondensatora o pojemności C0, a po wypełnieniu tego kondensatora dielektrykiem ponownie dostraja się obwód do rezonansu dla pojemności Cx. Kształt krzywej rezonansowej pozwala wyznaczyć współczynnik strat dielektrycznych tg danej substancji. Jako kondensator o regulowanej pojemności zastosowano układ dwóch współosiowych cylindrów o różnej średnicy, przesuwanych wzajemnie przy pomocy śruby mikrometrycznej. Jego pojemność jest liniową funkcją wskazania śruby mikrometrycznej, przy czym wkręcenie śruby o 1 mm zwiększa pojemność o 1,4 pF, zaś wykręcenie śruby zmniejsza pojemność o tę samą wartość. Wyprowadzenie wzorów Pomiar przenikalności elektrycznej Częstość obwodu generatora jest w naszym ćwiczeniu stała. Do niej musi być dopasowana częstość własna obwodu rezonansowego, więc dla ustalonej geometrii układu częstość rezonansowa obwodu pomiarowego jest również wielkością stałą. Częstość ta zależy od indukcyjności L i całkowitej pojemności C obwodu. Słabo tłumiony obwód RLC jest w rezonansie, gdy częstość drgań jest równa 1 LC . Wtedy na indukcyjności L pojawia się maksymalna siła elektromotoryczna, co można stwierdzić obserwując wskazania woltomierza. W skład pojemności całkowitej obwodu wchodzą: pojemność kondensatora pomiarowego Cp, pojemność kondensatora zmiennego Cz i pojemność rozproszona obwodu Cr. Kondensatory są połączone ze sobą równolegle, czyli C C p C z Cr . Zmieniając pojemność Cz i notując wskazania woltomierza uzyskujemy dla kondensatora pomiarowego zależność U(Cz) nazywaną krzywą rezonansową. Oznaczmy przez C0 pojemność pustego kondensatora płaskiego. Pusty kondensator oznacza, że przestrzeń między jego okładkami jest wypełniona powietrzem. Przenikalność elektryczna powietrza w temperaturze pokojowej jest równa 1,005 i tylko 0,5% różni się od przenikalności elektrycznej próżni. Pojemność pustego kondensatora płaskiego wyraża się wzorem S C0 0 , d gdzie S jest powierzchnią okładek, zaś d jest odległością między okładkami. 6 Po wypełnieniu kondensatora pomiarowego dielektrykiem o przenikalności elektrycznej 1 jego pojemność wzrośnie razy C p C 0 co spowoduje przyrost pojemności o C p 1C 0 . Jeśli początkowo dostroimy układ do rezonansu dla pustego kondensatora pomiarowego pojemnością kondensatora zmiennego równą Cz1, to dla kondensatora z dielektrykiem rezonans wystąpi dla mniejszej pojemności Cz2 takiej, która skompensuje przyrost C p , czyli C z 2 C z1 C p C z C p C z 2 C z1 1C0 1 C z 2 C z1 , C0 Jeśli rezonans dla kondensatora pustego występuje w położeniu l1 śruby mikrometrycznej kondensatora zmiennego, a dla kondensatora wypełnionego dielektrykiem w położeniu l2, to C z 2 C z1 A l2 l1 , gdzie A jest stałą aparaturową: A 1,4 pF mm pF 1,4 l 2 l1 mm 1 . C0 Wyznaczanie strat dielektrycznych Współczynnik strat dielektrycznych tg wyznaczamy z kształtu krzywej 1 , gdzie Q jest współczynnikiem dobroci obwodu Q rez rezonansowego (patrz np. instrukcja ćwiczenia E3). Jeżeli pojemność obwodu rezonansowego 1 C h od pojemności rezonansowej Crez, to napięcie wskazywane przez różni się o 2 woltomierz będzie mniejsze od napięcia w rezonansie. Korzystając z tego, że krzywa rezonansowa jest symetryczna, możemy wyznaczyć różnicę pojemności Ch dla dwóch punktów na zboczach krzywej rezonansowej, leżących symetrycznie po obu stronach U maksimum, w położeniach, dla których mierzone napięcie będzie równe U max (warunek 2 połowy mocy traconej podczas rezonansu, a moc ~ U2), wtedy rezonansowej, bo tg 7 2 1 1 1 1 1 1 1 tg rez rez LC 2 LC1 rez C h C h L C rez L C rez 2 2 1 1 1 rez C h C h LC rez 1 LC rez 1 2 C 2 C rez rez 1 Gdy Ch << Crez, to z rozwinięcia w szereg Taylora wynika, że 1 1 1 C h 1 C h 1 1 C h , zaś 2 C rez 2C rez 1 C h , a wtedy 2 C rez 2C rez tg C h 2C rez (3) Pojemność rezonansowa naszego obwodu pomiarowego jest równa C rez 195 pF . Jest ona sumą pojemności kondensatora pomiarowego Cp, pojemności kondensatora zmiennego Cz i pojemności rozproszonej obwodu Cr. Straty dielektryka wypełniającego kondensator wyznaczamy z różnicy między stratami obwodu z kondensatorem zawierającym dielektryk 1 1 tg 1 i bez dielektryka 2 tg 2 , czyli przy pomocy wzorów (1) i (3) otrzymujemy: 1tg1 tg 2 , a przy pomocy wzoru (2) dochodzimy do wzoru na przewodnictwo dielektryka 0 . Wykonanie ćwiczenia W części doświadczalnej dokonuje się rejestracji krzywych rezonansowych, czyli zależności napięcia U od pojemności C, dla kondensatora wypełnionego badanym dielektrykiem o grubości d i pustego powietrznego kondensatora o takiej samej odległości okładek. Z zarejestrowanych krzywych rezonansowych wyznacza się dwa parametry: pojemność rezonansową Crez, przy której napięcie osiąga maksimum Umax = Urez, oraz tzw. szerokość połówkową Ch, czyli różnicę pojemności Ch = C1 C2 pomiędzy pojemnościami C1 i C2, dla których U(C1) = U(C2) = Umax/ 2 . 8 Wyniki wszystkich pomiarów muszą być zapisane w sprawozdaniu, opatrzone odpowiednimi jednostkami i podpisane przez asystenta. Uwaga 1: włączenia napięcia zasilania i dobór parametrów układu zapewniających właściwe sprzężenie obwodów dokonuje asystent (odległość między cewkami powinna być większa niż 14 cm). Uwaga 2: układy generatora, zasilacza oraz woltomierz są układami lampowymi i wymagają kilku minut nagrzewania dla ustalenia parametrów. Pomiary z kondensatorem płaskim a) Wkręcamy śrubę regulującą odległość między okładkami kondensatora płaskiego i doprowadzamy do zetknięcia metalowych okładek kondensatora. W tym położeniu czujnik mikrometryczny powinien wskazywać zero. Możliwa jest korekta zerowania czujnika przez obrót śrubki umieszczonej na szczycie czujnika. b) Między okładkami kondensatora umieszczamy dielektryk. Odległość między okładkami d równą grubości dielektryka odczytujemy na czujniku mikrometrycznym. c) Zapisujemy grubość i nazwę próbki. d) Sprawdzamy, czy przełącznik zakresów woltomierza lampowego jest ustawiony na zakresie 300 mV. Uwaga! W pomiarach krzywej rezonansowej wystarcza rejestracja względnych wartości napięcia, więc żeby podnieść dokładność odczytu wskazania przyrządu można odczytywać z górnej skali o zakresie 0 – 1000 działek na najwyższym zakresie woltomierza. e) Obracając śrubą mikrometryczną kondensatora zmiennego znajdujemy na woltomierzu maksimum napięcia rezonansowego U max U rez . f) Prawym niebieskim pokrętłem zasilacza dobieramy taki prąd anodowy zasilacza, aby przy napięciu rezonansowym, wskazówka woltomierza znalazła się w zakresie 940990 działek na najwyższej skali. g) Wykręcamy śrubę mikrometryczną zmniejszając napięcie do 900 działek, a następnie co 100 aż do 200 działek notujemy wskazania woltomierza U i położenia śruby kondensatora l. h) Powracamy do położenia rezonansu, a następnie wkręcając śrubę mikrometryczną zmniejszamy napięcie do 900 działek, a następnie . co 100 aż do 200 działek notujemy wskazania woltomierza U i położenia śruby kondensatora l. Propozycja zapisu wyników: Położenie lmax = ......... Nazwa próbki i odległość między okładkami d [jednostka] Umax = .......... Położenie śruby mikrometrycznej l1 poniżej rezonansu [mm] Napięcie U [działki] Położenie śruby mikrometrycznej l2 powyżej rezonansu [mm] 9 i) Żeby zmierzyć tzw. szerokość połówkową Ch odstrajamy układ od rezonansu tak, U max U rez aby napięcie spadło do wartości i notujemy położenia śruby 2 2 mikrometrycznej po obu stronach rezonansu, dla których warunek ten jest spełniony. j) Dla każdej próbki zapisujemy błędy systematyczne d, l, U wynikające z dokładności przyrządu. k) Wyjmujemy dielektryk. i przed rozpoczęciem pomiarów dla każdej próbki sprawdzamy czy czujnik mikrometryczny wskazuje zero przy zetknięciu okładek kondensatora. l) Ustawiamy okładki kondensatora w odległości równej grubości poprzednio badanego dielektryka. m) Powtarzamy pomiary tak, jak w punktach c) j). n) Pomiary dla kolejnych próbek wykonujemy zgodnie z punktami a) m). Opracowanie wyników pF przeliczamy położenia l śruby kondensatora mm zmiennego na pojemność Cz w pF. Obliczamy niepewność systematyczną Cz. Za pomocą stałej aparaturowej A 1,4 a) Na jednym papierze milimetrowym lub wydruku komputerowym sporządzamy wykresy krzywych rezonansowych dla kondensatora pustego i dla kondensatora z badanym dielektrykiem w funkcji zmiany pojemności kondensatora zmiennego. W kilku punktach na wykresie zaznaczamy niepewności pomiarowe. b) Obliczamy powierzchnię okładek kondensatora płaskiego wiedząc, że średnica okładki jest równa 95 mm. i dla każdej próbki obliczamy pojemność pustego kondensatora C0. c) Obliczamy przenikalność elektryczną badanych płytek. Niepewność pomiarową wyznaczamy metodą propagacji niepewności pomiarowych. d) Obliczamy straty dielektryczne i przewodnictwo badanych płytek dielektrycznych wiedząc, że częstotliwość generatora wynosi 1,2 MHz. Niepewności pomiarowe wyznaczamy metodą propagacji niepewności pomiarowych. We wnioskach analizujemy: o czym świadczy różnica szerokości krzywych rezonansowych dla powietrza i dla dielektryka i co wynika z porównania kształtów krzywych rezonansowych badanych substancji. czy wyznaczone wartości przenikalności elektrycznych i przewodnictwa są w granicach niepewności pomiarowych zgodne z wartościami tablicowymi. ile razy przewodnictwo badanych dielektryków jest mniejsze od przewodnictwa np. miedzi. który z badanych dielektryków ma najmniejsze przewodnictwo i o czym to świadczy. jaki mechanizm powoduje straty dielektryczne.