Znajomość prądu I pozwala wyznaczyć pozostałe prądy płynące w
advertisement
Elementy elektrodynamiki oraz obwody elektryczne prądu stałego i przemiennego Dr inż. Andrzej Skiba Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Politechniki Gdańskiej Gdańsk 16 stycznia 2016 Plan wykładu: 1. Rozwiązanie zadania z poprzedniego wykładu 2. Pojemność jako element obwodu elektrycznego 2.1. Definicja pojemności elektrycznej 2.2. Pojemnościowy dzielnik napięciowy 2.3. Siła przyciągania się okładzin kondensatora 2.4. Zależność pomiędzy prądem i napięciem 2.5. Obwody prądu stałego z elementami RC 3. Indukcyjność jako element obwodu elektrycznego 3.1. Definicja indukcyjności 3.2. Zależność pomiędzy prądem i napięciem 4. Obwody z sinusoidalnymi prądami i napięciami 4.1. Prawo Ohma w obwodach prądu przemiennego 4.2. Rozwiązanie obwodu prądu przemiennego 5. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. Rozwiązanie zadanie z poprzedniego wykładu Wyznaczyć taką wartość Rx, by moc wydzielająca się w tej rezystancji była największa z możliwych. Obliczyć tę maksymalną moc. Obliczyć wszystkie pozostałe prądy płynące w obwodzie i sprawdzić bilans mocy. Do rozwiązania zadania wykorzystane zostanie twierdzenie Thevenina. Wyodrębniony linią kreskowaną dwójnik aktywny zastąpiony zostanie źródłem napięciowym o parametrach wyznaczonych zgodnie z twierdzeniem Thevenina. Mamy więc do rozważenia obwód: Kreskowana linia pokazuje sposób zastosowania twierdzenia Thevenina po raz drugi. W wyniku dwukrotnego zastosowania twierdzenia Thevenina otrzymujemy obwód: Maksymalna moc wydzielać się będzie na Rx gdy Rx = 12 W, zaś Pmax = 14,08 W. Ponadto prąd I = 1,08 A. Znajomość prądu I pozwala wyznaczyć pozostałe prądy płynące w obwodzie oraz napięcie na zaciskach źródła prądowego: Bilans mocy: Moc źródeł Pd = 20·0,233 + 20,5·1,5 = 35,410 W. Moc rezystorów Pp = 0,2332·30 + 1,0832·12 + 0,652·20 + 1,52·5 = 35,403 W. Błąd względny d = 0,020 %. 2. Pojemność jako element obwodu elektrycznego 2.1. Definicja pojemności elektrycznej Weźmy dwie bryły metalowe nie połączone ze sobą i za pomocą specjalnej pompki, która potrafi przepompowywać ładunki elektryczne, przepompujmy swobodne elektrony z jednej bryły na drugą. Pomiędzy bryłami pojawi się wówczas napięcie U, którego wartość będzie wprost proporcjonalna do wielkości przepompowanego ładunku Q. Współczynnik C proporcjonalności pomiędzy ładunkiem Q a napięciem U jest właśnie pojemnością elektryczną układu tych dwóch brył metalowych. Pojemność C nie jest zależna od wielkości przepompowanego ładunku. Zależy od kształtu i wielkości brył, ich wzajemnego położenia oraz od właściwości otoczenia (medium), w którym umieszczone są bryły. Jednostką pojemności jest farad (F) czyli stosunek kulomba (C) do wolta (V). Ponieważ zaś kulomb to amperosekunda, to farad może być wyrażony stosunkiem sekundy do oma. Dla przykładu wyznaczmy pojemność kondensatora płaskiego Kondensator płaski to fragment układu dwóch nieskończenie wielkich równoległych metalowych płyt, umieszczonych w odległości d od siebie, w środowisku o przenikalności elektrycznej e. Przeniesienie ładunków z jednej płyty na drugą w taki sposób, by gęstość powierzchniowa ładunków na każdej płycie miała wartość s, wytworzy w przestrzeni otaczającej płyty, pole elektryczne. Każda płyta wniesie do tego pala wkład o wartości: Pomiędzy płytami natężenie pola elektrycznego będzie sumą natężeń od obu płyt: Różnica potencjałów, czyli napięcie pomiędzy płytami, osiągnie więc wartość: Rozważając fragment płyt o powierzchni S, otrzymamy zależność pomiędzy przepompowanym pomiędzy płytami ładunkiem Q, a napięciem w postaci: 2.2. Pojemnościowy dzielnik napięciowy Najprostszy pojemnościowy dzielnik napięcia stanowią dwie pojemności połączone szeregowo. Podanie na wejściu napięcia U naładuje obie pojemności tym samym ładunkiem Q: Ponadto: Potraktowanie tych równań jako układu względem niewiadomych U1 oraz U2, prowadzi do rozwiązania: W związku z tym ładunek na każdej pojemności: Zaś wzór na zastępczą pojemność układu dwóch pojemności połączonych szeregowo: Pięciosegmentowy izolator wysokiego napięcia Podział napięcia na segmentach izolatora Postawimy założenie, że C1 = 2·C2. Wówczas: Podział napięcia na elementach izolatora 2.3. Zależność pomiędzy prądem i napięciem dla C Natężenie prądu (krótko: prąd) jest stosunkiem porcji ładunku elektrycznego DQ do przedziału czasu Dt, podczas którego ten ładunek przepłynął Tak wyrażony prąd oznacza wartość średnią za przedział czasu Dt. Bardziej poprawną definicję prądu przedstawia wzór powyższy przy przejściu do granicy dla Dt → 0: Podstawiając ładunek na pojemności i zakładając stałość C, otrzymamy zależność między prądem i napięciem na pojemności w postaci Wzór ten, wbrew pozorom, nie oznacza wcale, że prąd stały nie może przepływać przez pojemność. Jeżeli, na przykład, napięcie na pojemności będzie zmieniać się liniowo, to prąd doładowujący lub rozładowujący tę pojemność, będzie prądem stałym. 2.4. Siła przyciągania się okładzin kondensatora W polu elektrycznym siła działająca na ładunek elektryczny jest iloczynem wartości tego ładunku i natężenia pola w miejscu, w którym on się znajduje Weźmy kondensator płaski o pojemności C naładowany do napięcia U. Ładunek na każdej z okładzin ma wartość Q = C·U. Natężenie pola elektrycznego w miejscu, w którym jest jedna z okładzin, wywołane ładunkiem zgromadzonym na drugiej okładzinie, ma wartość Siła działająca na tę okładzinę jest więc Rozważmy następujące zadanie: Kondensator o pojemności C1 został wstępnie naładowany do napięcia U1 i odłączony od źródła. Obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, by rozsunąć okładziny tego kondensatora na odległość o 20% większą od początkowej. Rozwiązanie: w odłączonym od źródła kondensatorze Q = const., a to oznacza F = const. Wobec tego: Wynik ten można sprawdzić bilansując energię: energię skupioną w polu elektrycznym naładowanego kondensatora wyraża wzór Rozsuwając okładziny kondensatora zmniejsza się jego pojemność do wartości Kondensator odłączony od źródła utrzymuje stały ładunek (Q = const.), więc energia po rozsunięciu: Praca wykonana podczas rozsuwania okładzin jest różnicą energii końcowej W2 i początkowej W1: 2.5. Obwody prądu stałego z elementami RC W obwodzie prądu stałego, w stanie ustalonym, gdy wszystkie napięcia i prądy mają stałe wartości, prąd przez pojemności nie przepływa. Rozwiązując obwód elektryczny zasilany napięciem stałym, w którym występują rezystory i pojemności, przed wszystkim należy sprawdzić czy można w obwodzie znaleźć połączenie galwaniczne biegunów źródła napięciowego poprzez rezystory. Na przykład w obwodzie: prąd może przepływać przez szeregowo dla tego prądu połączone rezystory R1, R2 oraz R3. Przyjmując R1 = R3 = 100 W oraz R2 = 200 W, prąd ten będzie miał wartość Pozwala to obliczyć napięcia na rezystorach R2 i R3, niezbędne do obliczenia napięć na pojemnościach. W celu wyznaczenia napięć UC1, UC2 i UC3 zbudować należy układ trzech równań: dwa będą bazować na drugim prawie Kirchhoffa, trzecie zbilansuje ładunki elektryczne w odosobnionej przestrzeni pokazanej linią kreskowaną. Dla C1 = C2 = 10 mF oraz C3 = 5 mF otrzymamy rozwiązanie: UC1 = -3 V, UC2 = 7 V oraz UC3 = 8 V. 3. Indukcyjność jako element obwodu elektrycznego Przed próbą zdefiniowania indukcyjności, jako elementu obwodu elektrycznego, należy przede wszystkim: • rozróżnić dwa podobnie brzmiące pojęcia – indukcja i indukcyjność, • przypomnieć fizyczne prawo indukcji magnetycznej Faradaya. Indukcja magnetyczna to wielkość fizyczna wektorowa, która charakteryzuje pole magnetyczne. Najczęściej oznaczana jest literą B i zdefiniowana odpowiednią zależnością pomiędzy ładunkiem, jego prędkością i siłą, która działa na ten ładunek. Wymiarem indukcji magnetycznej jest tesla (T), czyli stosunek webera do metra kwadratowego. Weber (Wb) to woltosekunda czyli iloczyn wolta i sekundy. 3.1. Definicja indukcyjności Indukcyjność jest cechą charakteryzującą obiekt, stanowiący element obwodu elektrycznego, zdefiniowaną jako współczynnik proporcjonalności pomiędzy strumieniem skojarzonym z tym obiektem a prądem, który ten strumień wywołał. Jednostką indukcyjności jest henr (H), czyli stosunek webera (Wb = Vs) do ampera (A). Jak łatwo wyznaczyć: henr to omosekunda. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya wiąże pole magnetyczne ze zjawiskami elektrycznymi w sposób następujący: Występujący w powyższym wzorze znak minus należy traktować łącznie z obowiązującym tutaj prawoskrętnym układem współrzędnych Jeżeli w sytuacji pokazanej na rysunku magnetyczny strumień j(t) będzie funkcją rosnącą (posiadającą dodatnią pochodną), to siła elektromotoryczna indukowana w konturze zaznaczonym okręgiem, będzie miała wartość ujemną. Gdyby więc wzdłuż konturu ułożyć zwój wykonany z materiału przewodzącego, to po zwarciu jego końcówek, w zwoju popłynie prąd w kierunku pokazanym strzałką. 3.2. Zależność pomiędzy prądem i napięciem dla L W celu zwiększenia indukcji pola magnetycznego a więc również strumienia magnetycznego, nawija się odpowiednią ilość zwojów na karkas budując solenoid. Zastosowanie drugiego prawa Kirchhoffa pozwala zapisać równanie A stąd Podsumowując Oznacza to, że w obwodzie prądu stałego w stanie ustalonym, gdy wszystkie napięcia i prądy występujące w obwodzie są stałe, na indukcyjności napięcie jest zerowe. Można to interpretować tak, jakby indukcyjność była zwarciem. 4. Obwody z sinusoidalnymi prądami i napięciami Gdy przykładowo w rezystancyjnym obwodzie prądu stałego znamy wartości prądów I2 = 4 A oraz I3 = 3 A, to, na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa, łatwo odgadniemy ile wskazywać będzie amperomierz A1: I1 = I2 + I3 = 7 A. A jak to będzie w obwodzie prądu przemiennego, w którym jeden z rezystorów zastąpimy kondensatorem? Gdy wartości skuteczne prądów, wskazywane przez amperomierze A2 i A3, będą przykładowo równe I2 = 4 A oraz I3 = 3 A, to czy amperomierz A1 również wskaże I1 = 7 A? Otóż niestety NIE! Zanim jednak to sobie wyjaśnimy, należy zdefiniować pojęcie wartości skutecznej prądów oraz napięć okresowych. Wartością skuteczną prądu okresowego, na przykład sinusoidalnego, nazywamy taką wartość natężenia prądu stałego, który przepływając przez rezystor spowodowałby wydzielenie takiej samej ilości ciepła, która wydzieli się podczas przepływu w tym samym czasie, równym okresowi, rozważanego prądu okresowego. Dla prądu lub napięcia sinusoidalnego wartość skuteczna jest pierwiastek z dwóch razy mniejsza od amplitudy: Przyrządy pomiarowe (amperomierze i woltomierze) stosowane w obwodach prądu przemiennego mierzą właśnie wartości skuteczne prądów i napięć. Przykładowo napięcie w gniazdkach, w naszych mieszkaniach, jest napięciem sinusoidalnym o wartości skutecznej U = 230 V i częstotliwości f = 50 Hz. Jego amplituda Um = 325,269 V a okres T = 20 ms. 4.1. Prawo Ohma w obwodach prądu przemiennego Rezystory, kondensatory i cewki indukcyjne (solenoidy) zachowują się w obwodach prądu przemiennego (sinusoidalnego) w dość specyficzny sposób. Dla każdego z nich wyznaczona zostanie odpowiednia postać prawa Ohma. W każdym przypadku prąd i napięcie będą opisane następującymi funkcjami czasu: Symbol w oznacza pulsację przy czym: zaś ji oraz ju to fazy początkowe prądu i napięcia. Rezystor Przebieg wartości chwilowych prądu i napięcia oraz tak zwany wykres fazorowy tych wielkości: Prawo Ohma: Solenoid Przebieg wartości chwilowych prądu i napięcia oraz tak zwany wykres fazorowy tych wielkości: Prawo Ohma: Kondensator Przebieg wartości chwilowych prądu i napięcia oraz tak zwany wykres fazorowy tych wielkości: Prawo Ohma: Właśnie relacje pomiędzy napięciem i prądem, przedstawione na wykresach fazorowych każdego z elementów obwodów elektrycznych, należy brać pod uwagę przy formułowaniu praw Kirchhoffa. Oznacza to, że: suma prądów (w pierwszym prawie Kirchhoffa) oraz suma napięć (w drugim), powinny być traktowane jako sumy w sensie geometrycznym – podobnie jak to jest, przy sumowaniu wektorów. W przypadku rozważanego wcześniej obwodu: kondensator i rezystor są połączone równolegle, występuje więc na nich to samo napięcie URC. Prądy jednak nie będą w tej samej fazie. Przedstawia to wykres fazorowy: Wynika z niego, że I1 = 5 A. 4.2. Rozwiązanie obwodu prądu przemiennego Obwód elektryczny, którego schemat pokazano na rysunku zasilono napięciem sinusoidalnym o wartości skutecznej U = 120 V i częstotliwości f = 50 Hz. Idealne przyrządy pomiarowe mierzące wartości skuteczne wskazują IR = 0,4 A, IL = 0,3 A oraz URL = 90 V. Wyznaczyć wskazanie amperomierza AC oraz woltomierza VC. Wykres fazorowy prądów i napięć można narysować następująco: Wykorzystując jedno z podstawowych twierdzeń geometrii oraz fakt, że oba trójkąty (czerwony prądowy i niebieski - napięciowy) są trójkątami prostokątnymi, z łatwością wyznaczymy, że IC = 0,5 A oraz UC = 150 V. 6. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Z jaką szybkością poruszał się dyliżans na planie filmowym podczas kręcenia sceny wjazdu tego dyliżansu, jeżeli na ekranie jego koła, mające po N = 12 szprych, zdawały się być widzom nieruchome? Średnica kół dyliżansu D = 1,2 m. Zdjęcia filmowe wykonywano kamerą z częstotliwością f = 24 klatki na sekundę. Zadanie 2 Sześcian o krawędzi a = 10 cm wykonany z drewna o gęstości r = 600 kg/m3 pływa w dużym naczyniu z wodą częściowo zanurzony. Obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać wynurzając całkowicie ten sześcian z wody. Przyjąć gęstość wody ro = 1000 kg/m3 oraz przyspieszenie grawitacyjne g = 10 m/s2. Tarcie oraz efekty związane z napięciem powierzchniowym zaniedbać. Zadanie 3 Drabina o długości L oparta jest o pionową ścianę. Gdy dolny punkt drabiny zaczyna poruszać się ze stałą prędkością v0 wzdłuż podłogi, górny punkt ślizga się bez tarcia wzdłuż ściany. Wyznaczyć wartość wektora prędkości górnego końca drabiny w chwili, gdy drabina nachylona jest pod kątem a do podłogi. Zadanie 4 Kondensator płaski o pojemności C1 podłączono do źródła o napięciu U. Obliczyć pracę, jaką trzeba wykonać, by, nie odłączając go od źródła (U = const.), rozsunąć okładziny kondensatora na odległość o 20% większą od początkowej. Zadanie 5 Kondensator o pojemności C1 = 20 μF naładowany wstępnie do napięcia U10 = 24 V połączono poprzez rezystor o rezystancji R = 100 Ω z drugim, uprzednio nienaładowanym, kondensatorem o pojemności C2 = 10 μF. Ile ciepła wydzieli się na rezystorze podczas przepływy prądu, dzięki któremu w obwodzie wystąpi stan równowagi napięciowej w obwodzie? Zadanie 6 Akumulator o napięciu źródłowym U i rezystancji wewnętrznej r = 0,2 Ω włączono do obwodu zawierającego pięć rezystorów, solenoid i kondensator. Ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora w stanie ustalonym wyniósł Q = 125 nC. Obliczyć napięcie źródłowe akumulatora, jeżeli R = 1,6 Ω, L = 50 mH, zaś C = 40 nF. Zadanie 7 Obwód elektryczny, którego schemat pokazano na rysunku zasilono napięciem sinusoidalnym o wartości skutecznej U = 100 V i częstotliwości f = 50 Hz. Idealne przyrządy pomiarowe mierzące wartości skuteczne wskazują IL = 2 A, IC = 1 A oraz ULC = 80 V. Wyznaczyć wartość rezystancji R zainstalowanej w tym obwodzie. Dziękuję za uwagę.
